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Wavelet
Analisi tempo-frequenza
Cenni di Jpeg 2000
Livio Tenze
[email protected]
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Testi utilizzati
• “Wavelet transform”, Sheng
• R. C. Gonzales and R. E. Woods. Digital Image
Processing. Prentice Hall
• http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/W
Ttutorial.html
• Signal Processing Magazine, Review on JPEG
2000
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Argomenti del seminario 1/3
• Introduzione all'analisi tempo-frequenza
– Wavelet continua
– Confronto con Fourier, Short time Fourier transform
(STFT), Wigner, Ambiguity, Gabor, Wavelet
– Ammissibilità e regolarità
– Dal continuo al discreto
• Wavelet partendo dalla multirisoluzione
– Scomposizione piramidale
– Subband coding
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Argomenti del seminario 2/3
– Funzioni di scala e proprietà necessarie
– Funzioni wavelet
– Formalizzazione dell'espansione in serie, DWT,
CWT, Fast wavelet transform (FWT)
– Trasformata wavelet in 2 dimensioni
• Cenni alla compressione Jpeg 2000
– Perché una nuova trasformata per la compressione
di immagini
– Descrizione generale dello standard Jpeg 2k
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Argomenti del seminario 3/3
– Scelta dei kernel di filtri
• filtri ortogonali versus biortogonali
• filtri lineari e problemi ai bordi
• embedded zero-tree wavelet (EZW)
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Wavelet continua
• Analisi wavelet utile per segnali non stazionari
– rispetto STFT e Wigner, la wavelet fornisce Q
costante
• Le basi sono generate da una funzione madre
mediante dilatazione e traslazione
• L'”ammissibilità“ assicura l'esistenza
dell'inversa
• La “regolarità” fornisce la località in frequenza
e nel tempo
• Per ridurre il prodotto tempo-larghezza di banda
si ricorre alla DWT
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Wavelet continua
• La trasformata ortonormale viene ottenuta in un
ambiente multirisoluzione partendo dalle
funzioni di scala (cfr subband coding, QMF)
– Fast wavelet transform (FWT): algoritmo ad albero
• Applicazioni:
– Analisi di segnali sismici, radar, sonar,
elettrocardiografici, transitori motore
– Compressione dei dati
– Filtraggio
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Wavelet continua
Sia data f(t) in L l’insieme delle funzioni misurabili e di quadrato
integrabili, si definisce la trasformata wavelet come:
W f ( s, )   f (t )hs*, (t )dt
dove
hs , (t ) 
 t  
h

s  s 
1
Per valori s>1 la funzione si contrae, mentre per valori 0<s<1 si
dilata. Vale inoltre la normalizzazione dell’energia:
 h  (t )
h,
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2
2
dt   h(t ) dt  1
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Wavelet continua
Si ottiene quindi:
W f ( s, ) 
1
s

 t 
f (t )h * 
 s

dt

La trasformata di Fourier della wavelet risulta essere
H s , ( )  
 t  
h
 exp  jt dt  s H ( s ) exp(  j )
s  s 
1
Una contrazione nel tempo corrisponde ad una dilatazione in
frequenza.
Si fa notare che le funzioni base non vengono specificate!
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Wavelet continua
• Le funzioni base vengono scelte sulla base di alcune
proprietà fondamentali. Le principali sono
l’ammissibilità e la regolarità delle funzioni.
– Ammissibilità: la wavelet deve oscillare per avere il valor
medio nullo
– Regolarità: le wavelet devono avere un decadimento
esponenziale con i momenti di ordine basso uguali a 0
– In altre parole la funzione oscilla e decresce
• Le wavelet possono essere continue o discrete,
ortonormali o non ortonormali, analitiche o numeriche
• Se la funzione scelta soddisfa le due condizioni
fondamentali, si ha che la trasformata possiede delle
caratteristiche di località nel tempo.
• Il fattore 1/s assicura che i coefficienti divengano
piccoli al crescere della frequenza. Ciò significa avere
località in frequenza.
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Analisi tempo-frequenza
• La trasformata wavelet di un segnale 1-D è una
funzione 2-D nello spatio tempo-scala
• La rappresentazione tempo-scala è molto simile alla
rappresentazione tempo-frequenza familiare nella
trasformata Short Time Fourier Transform (STFT)
• La wavelet è di particolare interesse per analizzare
segnali non stazionarî (come i segnali vocali, radar,
sonar, sismici, elettrocardiografici, musicali, torsionali
e motoristici) ed è un’alternativa alla classica STFT o
alla trasformata di Gabor
• La wavelet è locale sia in tempo che in frequenza!
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Analisi tempo-frequenza
• Un esempio di rappresentazione tempo-frequenza è lo
spartito musicale
• L’analisi è limitata dal principio di indeterminazione o
disuguaglianza di Heisenberg:
1
   t 
2
Un segnale non può essere rappresentato su un piano tempofrequenza come un punto, si può unicamente determinare la sua
posizione all’interno di un rettangolo.
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Limitazioni di Fourier
• La trasformata di Fourier non è sufficiente per
segnali tempo varianti.
• Fourier fornisce una perfetta località in
frequenza, ma una “globalità” nel tempo.
• Inoltre non fornisce alcuna informazione sulla
variazione temporale del segnale sotto esame.
• La STFT, la Gabor transform, la distribuzione
di Wigner e l’ambiguity function sono delle
soluzioni per l’analisi di segnali tempo-varianti.
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Short Time Fourier Transform
Gabor introdusse nel 1940 la STFT che è nota anche come sliding
window Fourier Transform ed è definita come segue:
S f ( ' , )   f (t ) g * (t   ) exp(  j ' t )dt
dove g(t) è una funzione finestra scelta opportunamente.
•Vengono definite come funzioni di Gabor:
g (t   ) exp(  j ' t )
È richiesto inoltre che
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 g (t )
2
dt  1
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Short Time Fourier Transform
• Spectrogram e Sonogram
• Risoluzione tempo-frequenza
t g (t ) dt


 g (t ) dt
2
2
t
2
2
 G ( ) d


 G ( ) d
2
2

2
2
• Finestra gaussiana
 t 2 
1
g (t )  exp   2 
s
 s 
G ( ) 
1
s

exp  s 2 2 / 4

La finestra gaussiana fornisce il minimo prodotto tempobanda determinato dal principio di indeterminazione.
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Wigner distribution
• E’ un’alternativa alla STFT per segnali non
stazionari
W f ( ,  )  
t  *
t

f    f    exp(  jt )dt
2 
2

È la trasformata di Fourier del prodotto tra la funzione dilatata e
spostata nel tempo di  per la stessa funzione complessa e
coniugata dilatata ed invertita.
•La proiezione lungo l’asse temporale fornisce il modulo al
quadrato della F
•La proiezione lungo l’asse delle frequenze è invece 2|f(t)|2
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Ambiguity function
A f (t ,  )  
t  *
t

f    f    exp(  j )d
2 
2

La ambiguity function può essere vista come una funzione di
autocorrelazione tempo-frequenza del segnale con un ritardo t
ed uno scostamento Doppler in frequenza .
•Sia la distribuzione di Wigner che la ambiguity sono utili per
l’analisi di segnali transitori
•La somma di due segnali produce dei termini di “prodotto
incrociato” che possono essere fastidiosi nell’analisi.
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Multirisoluzione wavelet
• La trasformata wavelet risulta essere la
correlazione tra una funzione e la wavelet
dilatata
• Ad una data risoluzione la trasformata viene
calcolata mediante un filtro la cui risposta in
frequenza è scalata come h(t/s)
• Quando la scala è piccola, la funzione è
concentrata nel tempo
• Quando la scala è grande, la wavelet è dilatata
nel tempo.
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Fidelity analysis
La versione contratta della wavelet permette di analizzare
le discontinuità e le singolarità con un supporto
temporale piccolo.
Allo stesso modo è possibile sfruttare una versione
dilatata della wavelet per avere una visione globale del
fenomeno.
La STFT non possiede le proprietà precedentemente
elencate.
Si può dimostrare che il rapporto tra la frequenza centrale di
analisi e la larghezza di banda (noto come fattore Q) nell’analisi
wavelet risulta essere:
1 ( ) s

 
Q
1/ s
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Proprietà delle wavelet
• Se la funzione scelta è di quadrato integrabile e
soddisfa la condizione di ammissibilità, può
essere considerata una wavelet.
• Se la funzione soddisfa la condizione di
regolarità, risulta essere locale in tempo e
frequenza.
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Ammissibilità
La trasformata wavelet di un segnale 1d è una rappresentazione 2d del
segnale: è necessario che non si perda informazione nella trasformata. A tale
scopo è necessario che sia verificata la seguente espressione:
ds
 s  d f1 , hs, hs, , f 2  ch f1 , f 2
La precedente espressione viene verificata quando:
ch  
H ( )

2
d  
Ciò implica che la trasformata di Fourier della H deve avere un valore 0
alla frequenza =0. In altre parole le wavelet hanno un comportamento
passabanda.
Nel dominio del tempo quindi si ha che:  h(t )dt  0
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Regolarità
Si impone una richiesta aggiuntiva in modo tale che la trasformata garantisca
una riduzione dei coefficienti con il diminuire della scala (aumentare della
frequenza). In tal senso si avrà uno “smussamento” ed una concentrazione in
tempo ed in frequenza. Si può scrivere la seguente espressione:

1 
f ' (0)
f '' (0)
2
3
W f ( s,0) 
f
(
0
)
M
s

M
s

M
s

...
0
1
2


1!
2!
s

M p   t p h(t )dt  0
tempo
H ( p ) (0)  0
frequenza
Partendo dalla precedente espansione in serie, si può imporre il valore dei
primi n valori Mp=0, p=0,1,…,n. In questo modo i coefficienti della
trasformata wavelet saranno decrescenti come sn+2.
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Esempi di wavelet
 t2 
h(t )  exp( j0 t ) exp   
 2
Esempio matlab
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 t
h(t )  (1  t 2 ) exp  
 2
2



 1 0  t  1/ 2

h(t )   1 1 / 2  t  1
 0 altrimenti

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Passaggio dal continuo al discreto
•La trasformata wavelet continua rappresenta un segnale monodimensionale
in termini di tempo-scala: ridondante!
•Risulta quindi che il prodotto tempo-larghezza di banda è il quadrato di
quello del segnale di partenza
•L’uso di wavelet discrete può ridurre tale prodotto:

hi ,k (t )  s0i / 2 h s0i (t  k 0 s0i )

  k 0 s 0i
s0  1
si noti che il fattore di traslazione dipende dal valore di s0 (che
usualmente è pari a 2 => espansione diadica) e dal valore i che determina
la scala che si sta analizzando.
•Analogia con il microscopio …
Si può dimostrare che la trasformata wavelet ortonormale produce un
prodotto tempo-frequenza identico a quello del segnale di partenza.
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Passaggio dal continuo al discreto
•Se il segnale di partenza è continuo ed anche le funzioni wavelet sono
continue nella scala e nel tempo, si ottiene la trasformata wavelet
continua.
•Quando il segnale in ingresso è continuo, ma le funzioni wavelet sono
discrete in tempo e scala, si ottiene la scomposizione in serie wavelet.
•La teoria delle wavelet usando l’analisi dello spazio delle funzioni
dimostra che l’espansione in serie e la ricostruzione delle funzioni continue
possono essere calcolate con un approccio a multirisoluzione con filtri
discreti. Quando la trasformata wavelet è calcolata con il calcolatore, il
segnale in ingresso ed i filtri da iterare sono discreti: in questo senso si
parla di discrete wavelet transform.
Analogie con trasformata di Fourier
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Wavelet partendo dalla
multirisoluzione
• La multirisoluzione incorpora e unifica tecniche
provenienti da discipline diverse: subband coding,
quadrature mirror filtering, scomposizione piramidale
• Consiste nell’analizzare e nel rappresentare i segnali a
più risoluzioni
• Esistono varie vie per introdurre le wavelet, forse la
più agevole è quella che parte dall’MRA
• Idea di fondo:
– oggetti di piccole dimensioni e di basso contrasto sono più
visibili a risoluzioni elevate
– Il viceversa vale per gli oggetti di grandi dimensioni
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Chapter 7
Wavelets and Multiresolution Processing
Es: l’immagine
possiede una statistica
locale variabile
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Scomposizione piramidale
• Tecnica potente e semplice per rappresentare le
immagini a più risoluzioni:
– Immagini a risoluzione decrescente organizzate in
maniera piramidale: 2  1 1
1 4 2
N 1+ 1 + 2 + ... + P   N
4  3
 4 4
– Applicazioni tipiche in machine vision e
compressione
– Si possono costruire 2 piramidi: una approssimante
ed una contenente i residui di predizione (prediction
residual)
– Il residuo può essere codificato facilmente
– Si hanno J-1 approssimazioni e J residui di
predizione
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Chapter 7
Wavelets and Multiresolution Processing
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Scomposizione piramidale
Descrizione dell'algoritmo:
• filtraggio e decimazione del segnale in ingresso per
ottenerne un'approssimazione
• il risultato ottenuto al punto precedente viene
interpolato x2 e si valuta la differenza tra il segnale
originale e quello così ottenuto
• in assenza di errori di quantizzazione, i residui
possono permettere di ricostruire a ritroso la
piramide di approssimazione
• le approssimazioni possono essere compresse
(statistica attorno allo zero)
Es: piramide, stima del moto
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Chapter 7
Wavelets and Multiresolution Processing
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Subband coding
• Il segnale viene diviso in componenti di
larghezza di banda limitata
• Dal segnale scomposto si può ritornare
all'originale
• Applicazioni tipiche per segnali vocali e
compressione di immagini.
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Subband coding
Algoritmo di analisi
• si filtra il segnale con 2 filtri (a larghezza di
banda limitata): uno LP ed uno HP
• i segnali così ottenuti possono essere decimati
senza perdita di informazione
Algoritmo di sintesi
• i segnali vengono interpolati intervallando un
campione ed uno zero
• quindi si filtrano i segnali così trattati e si
sommano
Si presta all'uso di filtri polifase
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Chapter 7
Wavelets and Multiresolution Processing
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Subband coding
X down  z  =
xdown (n)  x(2n)
 x(n / 2) n  0,2,4,...
x up (n)  
altrimenti
 0
Si noti che

 
X up z  = X z 2
Z 1 X  z =  1 xn 
La versione ricostruita del segnale,
all’uscita del banco di sintesi, risulta allora
essere:
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  
1
X z1/ 2 + X  z1/ 2
2
n
1
Xˆ  z  = X  z  + X  z 
2

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Subband coding
Se si applicano quindi i filtri ai vari ingressi si ottiene
l’espressione dell’uscita del banco di sintesi:
1
1
Xˆ  z  = G0 z H 0 z X  z + H o  z X  z + G1 ( z )H1 z X z + H1  z X  z 
2
2
Ciò che si vuole ottenere è la perfetta ricostruzione
dell’ingresso x(n) all’uscita del banco di sintesi. Per ottenere
questo risultato si impone quanto segue:
H 0  z G0 z + H1  z G1 z  = 0
H 0 z Go z  + H 1 z G1 z  = 2
Si ottiene quindi il seguente sistema lineare:
 H 1 ( z ) 
G0 ( z )
2
G ( z )   det( H ( z ))  H ( z )
0
 1 


m
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 H 0 ( z ) H 0 ( z )
H m ( z)  

H
(
z
)
H
(

z
)
1
 1

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Subband coding
Scegliendo opportunamente il valore di det( H m ( z ))  z  ( 2 k 1)
e di =2 e calcolando l’inversa della Z-trasformata del
sistema lineare visto poc’anzi, si ottiene:
g 0 (n)  (1) n h1 (n)
g1 (n)  (1) n 1 h0 (n)
Scegliendo invece =-2, si ottiene:
g 0 (n)  (1) n 1 h1 (n)
g1 (n)  (1) n h0 (n)
I filtri di sintesi risultano essere copie “intermodulate” dei filtri
di analisi. Si può dimostrare che i filtri appena calcolati
risultano essere biortogonali.
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Ortonormalità, biortogonalità
Mantenendo le notazioni precedentemente usate per i filtri calcolati, si
definisce ora il concetto di biortogonalità. Una coppia di filtri si dice
biortogonale se:
hi (2n  k ), g j (k )   (i  j ) (n)
Oltre alla biortogonalità, i filtri in questione (colonna 3 della figura)
possono anche soddisfare una condizione maggiormente restrittiva,
quella della ortonormalità:
g i (n), g j (n  2m)   (i  j ) (m)
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Chapter 7
Wavelets and Multiresolution Processing
I filtri indicati in questa tabella possono essere facilmente generalizzati al caso
2-D.
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Chapter 7
Wavelets and Multiresolution Processing
Considerazioni sulla memoria necessaria ai filtri separabili.
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Wavelets and Multiresolution Processing
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Chapter 7
Wavelets and Multiresolution Processing
Average
Details: V,H,D
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Chapter 7
Wavelets and Multiresolution Processing
A differenza dalla
semplice scomposizione
piramidale la DWT
possiede le seguenti
proprietà:
•la statistica locale è
relativamente costante e
facilmente
modellizzabile.
•Molti valori risultano
essere nulli: quindi
risulta utile nella
compressione.
•Si possono ottenere
approssimazioni ad alte e
basse risoluzioni
partendo dalla DWT.
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Multirisoluzione: concetti base
Un segnale f(x) può essere analizzato come una combinazione lineare di
funzioni:
f ( x)    k  k ( x)
k
Se l’espansione risulta essere unica, si dice che fk(x) sono delle funzioni
base. Le funzioni esprimibili con tale base formano uno spazio di
funzioni V.
Per ogni spazio V esiste un insieme di funzioni duali che possono essere
usate per calcolare i coefficienti k come segue:
 k  ~k ( x), f ( x)   ~k* ( x) f ( x)dx
In funzione dell’ortogonalità o meno delle funzioni base è possibile
incontrare vari casi…
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Multirisoluzione: concetti base
Caso 1: le funzioni base formano una base ortonormale per V.
0
1
 j ( x),  k ( x)   jk  
jk
jk
Caso 2: le funzioni base formano una base ortogonale per V, ma non
ortonormale. La relazione tra le funzioni base e le funzioni duali è:
0
1
 j ( x), ~k ( x)   jk  
jk
jk
Caso 3: le funzioni base non formano una base ortogonale per V, cioè
esiste più di una n-pla di coefficienti per l’espansione della stessa
funzione f(x). Le funzioni di espansione ed il loro duale sono dette
sovradimensionate o ridondanti.
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Multirisoluzione: funzioni di scala
Si considerano ora la famiglia di funzioni ottenute da traslazioni intere e
riduzioni di scala di tipo diadico:
 j . k ( x)  2 j / 2  ( 2 j x  k )
Il valore k imposta la posizione relativa della funzione, mentre il valore j
ne imposta la scala.
Scegliendo opportunamente le funzioni è possibile descrivere
completamente lo spazio L2(R), cioè l’insieme delle funzioni reali
misurabili e di quadrato integrabili.
Fissando il valore di j=j0 le funzioni di espansione risultanti descrivono
un sottoinsieme dello spazio totale. Indicheremo tale sottospazio come
Vj0.
f ( x)    ( x)

k
j0 , k
k
Aumentando il valore di j si aumenta la dimensione dello spazio che
considera delle funzioni con variazioni più piccole e quindi dettagli più
piccoli.
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Wavelets and Multiresolution Processing
Aumento di scala
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Chapter 7
Wavelets and Multiresolution Processing
© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods
Digital Image Processing, 2nd ed.
www.imageprocessingbook.com
Richieste fondamentali dell’MRA
• Le funzioni di scala sono ortogonali alle traslazioni
intere
• I sottospazî descritti dalle funzioni di espansione in un
basso valore di scala sono contenuti in quelli descritti
dalle scale più alte
V  ...  V1  V0  ...  V
• La sola funzione comune a tutti i sottospazî Vj è
f(x)=0.
V  {0}
• Ogni funzione può essere espressa con una precisione
arbitraria.
V  {L2 ( R)}
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Conclusioni sulle funzioni di scala
Sotto le condizioni appena elencate, le funzioni di espansione del
sottospazio Vj possono essere come la somma pesata delle funzioni alla
scala j+1.
 j ,k ( x)    n j 1,n ( x)
n
Sostituendo quindi la funzione fj+1,n e rinominando i coefficienti n in
hf(n) si ottiene:
 j ,k ( x)   h (n)2 ( j 1) / 2  (2 j 1 x  n)
n
o nella forma più generale nota come refinement equation o dilation
equation:
 ( x)   h (n) 2 (2 x  n)
n
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