Liceo Scientifico “Malpighi”
Bologna
25 febbraio 2009
Il sonometro
e
il problema dell’accordatura
Un ponte tra Arte,
Fisica e Matematica
a cura di Alberto Martini e Gloria Nobili
Il sonometro

Un posto essenziale nella storia delle ricerche di acustica (e di
musica) è occupato da uno strumento costruttivamente molto
semplice, ma rilevante per i risultati che con esso si ottennero, il
cosiddetto monocordo,che venne usato per secoli negli studi sulle
proporzioni musicali, sugli accordi e sull'armonia. Infatti permise la
risoluzione del problema della determinazione del numero assoluto
di vibrazioni nell'unità di tempo (= frequenza in Hertz) che sono
associate ad un suono. La risoluzione di tale problema fu
fondamentale per lo sviluppo dell'acustica.
www.phys.uniroma1.it/DipWeb/museo/acu20.htm
Struttura del sonometro

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

Il monocordo consiste in una tavola su cui viene tesa, tra due cavalletti fissi fra i quali
ne può essere posto un terzo mobile, una corda. La corda è fissata da un lato ad un
piolo fisso, dall'altro ad una chiave o ad un peso che ne regolano la tensione.
Quando alla tavola sia sostituita una cassa armonica, siano presenti più corde e
scale, lo strumento viene detto sonometro.
Agendo sulla tensione si ottiene dalla corda, messa in vibrazione, un determinato
suono di altezza musicale (= frequenza) conosciuta. Per mezzo del cavalletto mobile
si può ridurre la parte di corda che può vibrare in modo da far generare un suono
diverso (più acuto = frequenza maggiore).
Agli inizi del Seicento si verificò che il rapporto fra le lunghezze delle corde è uguale
all'inverso del rapporto tra le frequenze dei suoni.
Un po’ di storia

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
Fra il 1700 e il 1711 Joseph Sauveur (1653-1716) (sordo dalla
nascita!) fece degli esperimenti fondamentali col sonometro
ponendo dei ‘cavalierini’ in vari punti della corda in modo da
determinare la posizione di ventri e nodi, termini da lui introdotti
insieme ad armonica superiore.
Provò sperimentalmente l’esistenza, nel moto vibratorio di una
singola corda, di più vibrazioni contemporanee che furono anche
dette suoni concomitanti (o, appunto, armonici superiori).
Estese le relazioni fra frequenza, lunghezza d'onda e lunghezza
della corda alla canna d'organo, trovandone conferma sperimentale.
La relazione
lunghezza corda- frequenza

Diminuendo la lunghezza della
corda, ad esempio a metà, si ottiene
un suono uguale al precedente come
tono, ma più alto di un'ottava: la
corda vibra con un numero di
vibrazioni al secondo doppio
(= raddoppia la frequenza). Se
accorciamo la corda ancora a metà,
quindi a un quarto rispetto all’inizio,
avremo un suono ancora più alto: la
corda vibra con una frequenza
quadrupla.
f α 1/L
Es: La 2 (ottava inf)
a 220 Hz
Es: La 3 a 440Hz
Es: La 4 (ottava sup)
a 880Hz
fα λ
Se L = L0
f0 = f
Se L1 = ½ L0
f1 = 2f
Se L2 = ¼ L0
f2 = 4f
Le relazioni
lunghezza corda – armoniche superiori

Nella
relazione tra L
e f interviene
anche λ in
quanto:
λα f

Quando una
corda vibra,
può quindi
vibrare in più
‘modalità’
diverse, rette
da semplici
relazioni
matematiche
Corda a riposo
di lunghezza L
Suono ‘base’
(es:110 Hz):
L = ½ λ ; λ = 2L; f = f0
1^ armonica superiore
L = λ; f = 2 f0
2^ armonica superiore
L = 3/2 λ ; λ = 2/3L; f = 3 f0
3^ armonica superiore
L = 2 λ ; λ = ½ L; f = 4 f0
In una stessa corda si possono produrre
contemporaneamente più vibrazioni,
ognuna con una sua λ e f caratteristiche.
Ciò che hanno in comune sono i vincoli
(o nodi) agli estremi fissati.
Il sonometro del Liceo Malpighi
Vista dall’alto
Confronto con un sonometro antico: il sonometro differenziale di Marloye (Konig, Parigi, 1873)
http://www.phys.uniroma1.it/DipWeb/museo/acustica.htm
Elementi caratteristici



E’ composto da una cassa armonica sulla quale sono fissati tre regoli graduati: uno riporta le divisioni
corrispondenti alle note della scala cromatica temperata musicale (basata sul LA3=435 Hz); un altro alle
frequenze della scala cromatica naturale; l'ultima (quella centrale) è un metro diviso in millimetri. Due corde fisse
sono montate fra cavalletti e messe in tensione da chiavi; una terza corda può essere posta al centro fra le prime
due, passando su una carrucola per poter essere tesa tramite un peso. Cavalletti mobili permettono di limitare la
parte vibrante delle corde.
Si possono riprodurre le note di un’ottava intera, sia in una modalità (temperata) che nell’altra (naturale)
Se si osserva con attenzione, le tacche corrispondenti a note uguali sulle due scale non sono sempre allineate
(es: La, Si), ciò significa che le frequenze dei due suoni non sono le stesse! Anche se, musicalmente, si scrivono
nello stesso modo nel pentagramma (rigo musicale).

Si possono verificare 3 leggi sulle corde tese:
1° legge della lunghezza: mantenendo costante la tensione il numero delle vibrazioni eccitate sulla corda in un
secondo è inversamente proporzionale alla lunghezza della corda.
2° legge delle tensioni: il numero delle vibrazioni di una corda è direttamente proporzionale alla radice quadrata
del peso che la tende.
3° legge delle dimensioni : il numero delle vibrazioni di una corda è inversamente proporzionale al raggio della
corda e alla radice quadrata della sua densità.

Come mai ci sono due modalità?
Quando sono nate?
Quando si usano o sono usate?
Cosa centra la matematica nella loro costruzione?



Qualità (o timbro) del suono



In base alla forma d’onda, i
suoni si suddividono in:
a) semplici
(es: diapason)
b) composti
(es: corde di uno
strumento; colonne d’aria)
(b)
Sovrapposizione di onde
sinusoidali semplici =
suono complesso
(analisi di Fourier)
La lettera A sta al
posto della nota LA
(notazione anglosassone)
Notazione musicale

In musica, più che di frequenze, si parla di note e di ottave, per posizionare le
varie altezze (frequenze)
 Negli spartiti le altezze
delle note si individuano
in base alla posizione in
cui sono scritte nel
pentagramma.
Oltre alle 7 note di base,
esistono anche 5 suoni
intermedi, detti note ‘alterate’
( e ) che nel pianoforte
corrispondono ai tasti neri
e hanno frequenze
intermedie.
1 ottava = 13 note e
12 intervalli
Le scale musicali

Le scale musicali (successione ordinata di
suoni) sono costituite da una serie di note
corrispondenti a suoni di altezza progressiva, il
cui numero e i cui intervalli si possono ottenere
in modi diversi.
 Nell’ambito storico dei sistemi musicali
occidentali si susseguono in ordine di tempo:
1) scala greca (o pitagorica)
2) scala naturale ( o zarliniana)
3) scala temperata (attuale)
La scala pitagorica

Per tradizione si attribuisce a Pitagora (500 a.C. circa) la
costruzione di questa scala, che avviene per quinte successive
(= armonica superiore di frequenza tripla della fondamentale).
Per riportare l'insieme di note ottenuto nell'ambito dell'ottava di
partenza si divide la frequenza così ottenuta per 2n dove n è il
numero di ottave che si sono "percorse" dalla nota di partenza a
quella di arrivo.
Quinte
1
2
3
4
5
6
Suono base
frequenza f =1
Es: Do
Rapporti tra
le
frequenze
3:2
9:8
27:16
81:64
243:128
729:512
Note
scala
Sol
Re
La
Mi
Si
Fa
Frequenze scala pitagorica

Riordinando in 1 ottava si ottiene:
Nota
Do
Re Mi
Fa Sol La
Si
Do
Rapporto
numerico
1
9/8
81/64
4/3
3/2
27/16 243/128 2
frequenze
In Hertz A
261
293
330
348
391
440
495
522
frequenze
In Hertz B
256
288
324
341
384
432
486
512
Questo sistema fu in vigore nell'Antichità e nel Medio Evo, sino a tutto il secolo XV,
è eccellente per la musica monodica (canto "gregoriano") ma inadatto alla polifonia.
La scala naturale

La necessità di una riforma della scala pitagorica era già stata sentita da Aristosseno
(IV secolo a.C.) e riproposta da vari autori (tra cui anche Vincenzo Galilei), ma
venne ufficialmente codificata da Gioseffo Zarlino (1517 – 1590), organista al duomo
di S. Marco a Venezia. In definitiva a lui è attribuita l'invenzione della moderna armonia
tonale, basata su due soli modi: il maggiore e il minore.



La riforma consiste nell’uso dei suoni armonici che accompagnano il suono
fondamentale; dato che possiedono frequenza multipla secondo i numeri interi,
l'intervallo naturale suona quindi puro, senza battimenti, ed è tanto più "piacevole"
all'ascolto quanto più è "semplice" il rapporto fra le frequenze dei suoni.
La conferma scientifica di tale effetto uditivo venne da Joseph Sauveur nel 1701.
La ‘base’ per la costruzione di tale scala sono gli accordi perfetti maggiori
costituiti da 1 terza maggiore +1 terza minore = 1 quinta
sol
Si
a cui corrispondono i rapporti 5/4 = 1,25 e 6/5 = 1,2
5/4
Accordo di Fa
Do
5/4 * 6/5 = 3/2
Fa
La
5/4
5/4
Do
6/5
Sol
Mi
6/5
Accordo di Do
5/4 * 6/5 = 3/2
Re
6/5
Accordo di Sol
5/4 * 6/5 = 3/2
Storicamente la scala naturale
ebbe vita breve: da Zarlino a BACH!
Il problema erano le note alterate…
Frequenze scala naturale

Riorganizzando le note e i corrispondenti rapporti all’interno di 1 ottava si
ottiene la scala naturale:
Nota
Do Re
Mi
Fa
Sol La
Si
Do
Rapporto
numerico
1
9/8
5/4
4/3
3/2
5/3
15/8 2
frequenze
In Hertz A
264
297
330
352
396
440
495
528
frequenze
In Hertz B
256
288
320
341
384
427
480
512
La scala temperata

Il problema dei diesis e dei bemolle creava non poche difficoltà tecniche.
Già Marin Mersenne (1588 – 1648) nella sua “Harmonie Universelle”
aveva proposto un cambiamento, che poi venne attribuito all’organista
Andrea Werckmeister (1645 – 1706)
 La novità consiste nell’aver unificato il diesis e il bemolle tra 2 note
consecutive e nell’aver diviso l’ottava in 12 semitoni uguali, in
progressione geometrica, ciascuno dei quali è pari a 2 1/12 .
 Ogni rapporto tra 2 note successive vale quindi 1, 05946…
Nota
Do Re
Mi
Fa
Sol
La
Si
Do
Rapporto
numerico
1
2 2/12 2 4/12 2 5/12 2 7/12 2 9/12 211/12 2 12/12
frequenze
In Hertz A
262
294
330
349
392
440
494
524
frequenze
In Hertz B
256
287
323
342
384
431
483
512
La misura in cent degli intervalli






Il sistema logaritmico in base 2 per calcolare le frequenze delle note non è
comunque molto agevole.
Alexander Ellis (1814 – 1890) propose il cosiddetto sistema dei ‘cent’.
1 Cent = 1/1200 parte dell’ottava (di 2) = 1,00057775…= 2 1/1200
1 Cent = 1/100 semitono temperato
I semitoni temperati sono adatti a misurare la scala musicale temperata, i cents
sono idonei a misurare qualsiasi intervallo.
Un buon orecchio musicale molto difficilmente apprezza differenze di altezza
inferiori a 8 cent; un’orchestra ben intonata tollera fluttuazioni di 10 cent.
Nota
Do Re
Mi
Fa
Rapporto
numerico
1
frequenze
In Hertz
frequenze
In cent
Sol
La
Si
Do
2 2/12
2 4/12
2 5/12 2 7/12 2 9/12 211/12 2 12/12
262
294
330
349
392
440
494
524
0
200
400
500
700
900
1100
1200
Confronti tra le varie accordature
RAPPORTI DI FREQUENZA
NOTE
SCALA
CROMATICA
SCALA TEMPERATA
Valore
matematico
decimale
SCALA NATURALE
in cent
2⁰
1.00000
0
Do ♯/ Reb
2 1/12
1.05946
100
RE
2 2/12
1.12246
200
Re♯/ Mib
2 3/12
1.18921
300
MI
2 4/12
1.25993
FA
2 5/12
Fa♯/Sol b
DO
Valore
matematico
decimale
1
1.0000
SCALA PITAGORICA
valore
matematico
decimale
in cent
0
1
1.0000
0
1.1250
204
in cent
9/8
1.1250
204
9/8
400
5/4
1.2500
386
81/64
1.2656
408
1.33485
500
4/3
1.3333
498
4/3
1.3333
498
2 6/12
1.41422
600
SOL
2 7/12
1.49831
700
3/2
1.5000
702
3/2
Sol♯/ La b
2 8/12
1.58740
800
LA
2 9/12
1.68180
900
5/3
1.6666
864
27/16
1.6875
906
La♯/ Si b
2 10/12
1.78181
1000
SI
2 11/12
1.88776
1100
15/8
1.8750
1088
243/128
1.8984
1110
DO
2 12/12
2.00000
1200
2
2.0000
1200
2
1.5000
2.0000
702
1200
Valutazioni quantitative
sul sistema temperato
NOTE
SCALA
cromatica
DO 3
FREQUENZE
FATTORE
SCARTI
RAPPORTO
FREQUENZE
SCARTI
RAPPORTO
(in Hertz)
decimale
in Hertz
o semitono
(in Hertz)
in Hertz
o semitono
256
s
1
0
261,6256
m
Do# - Re b
271,2226
c
1,059463
15,22255
1,0594631
277,1826
u
15,55707
1,0594631
RE
287,3503
i
1,122462
16,12773
1,0594631
293,6648
s
16,48214
1,0594631
304,437
e
1,189207
17,08674
1,0594631
311,127
i
17,46222
1,0594631
MI
322,5398
n
1,259921
18,10277
1,0594631
329,6276
c
18,50057
1,0594631
FA
341,719
t
1,33484
19,17921
1,0594631
349,2282
a
19,60067
1,0594631
Fa# - Sol b
362,0387
i
1,414214
20,31967
1,0594631
369,9944
l
20,76619
1,0594631
SOL
383,5666
f
1,498307
21,52794
1,0594631
391,9954
e
22,00101
1,0594631
Sol # - La b
406,3747
i
1,587401
22,80806
1,0594631
415,3047
23,30926
1,0594631
LA 3
o corista
430,539
c
1,681793
24,1643
1,0594631
440
24,6953
1,0594631
La # - Si b
456,1401
a
1,781797
25,60118
1,0594631
466,1638
26,16376
1,0594631
SI
483,2636
1,887749
27,1235
1,0594631
493,8833
27,71954
1,0594631
512
2
28,73635
1,0594631
523,2511
29,36783
1,0594631
Re# - Mi b
DO 4
Il perno dell’accordatura musicale attuale è il La 3 ( o la corista) a 440 Hz.
Estensione musicale
N.B. Limiti delle
frequenze udibili:
20 – 20000 Hz !!!

La tastiera di un pianoforte presenta circa 7 ottave, dal La a 27,5 Hz a
quello a 3520 Hz. La voce umana ha minor estensione!
Conclusioni

La Matematica e la Fisica ci possono essere di grande
aiuto per comprendere cosa si ‘nasconde’ dietro una
sensazione sonora, ma non sopperiranno mai le
sensazioni interiori che la musica evoca e esprime in
modo così sublime!
Fine