Diaposit. 1
Indagine
Dati N punti nel piano, determinare quante rette passano per essi.
Osservazioni:
1. Dovremo far uso dell'assioma intuitivo di Euclide:
“2 punti determinano una sola retta”
2
E' necessario sapere come sono situati i punti nel piano.
proposito si possono fare due supposizioni
Aquesto
Prima supposizione:
Fra gli N punti dati, non ve ne sono 3 che siano sulla stessa retta.
Diaposit. 2
L'enunciato completo diventa: Dati N punti nel piano, determinare
il numero di rette che passano per essi. Fra gli N punti dati, non ne
esistono 3 che stiano sulla stessa retta.
La difficoltà dipende dal valore di N, perciò costruiamo una
tabella cominciando dai casi più semplici: N = 2, 3, 4, 5, 6...
N(nº dei pti.)
2
Rappresentazione
N.
(nº di rette determinate)
R
1
3
3
4
6
4 rette dal primo vertice. E
dagli altri vertici?: altre 4!
5
Però ogni retta è stata contata 2 volte!
Per “correggere” bisogna contare solo la metà di esse.
.....
4*5=20.
20/2 = 10
Diaposit. 3
N(nº di pti.)
Rappresentazione
(nº di rette determinate)
R
2
1
3
3
4
6
5
6
4 rette dal vertice scelto. E
dagli altri vertici?: Altri 4.
Però ogni retta è contata 2 volte!
Per “correggere”, bisogna contarne la metà:
5 rette dal primo vertice (esse
risultano dalla sua unione con gli altri
punti.)
Come nel caso precedente,se conto tutte le
rette che passano per ogni punto, ogni retta
l'avrò contata in 2 occasioni (nei 2 punti che la
determinano), perciò devo “correggere”:
4da ogni vertice*5vertici =20
20/2=
10
5da ogni vertice*6vertici =30
30/2=
15
Diaposit. 4
Infine, supponiamo di avere N punti (o vertici) numerati.
1
2
Uniamo uno di essi
(p. es. il punto “N”) con gli altri.
N
3
N-1
4
Quante rette si formano?
N-2
5
6
7
Tante quanti sono i punti con i quali
si unisce N, cioè N-1 rette!
Allora se da un punto qualsiasi (tutti sono “uguali”), si formano N-1 rette, dato
che abbiamo N punti, è chiaro che in totale avremo (“quasi”) N*(N-1) rette.
Il “quasi” fa intendere che c'è un errore da correggere perchè ogni retta
è stata contata 2 volte e noi dobbiamo contarla solo 1 volta.
Ciò si realizza contando solo la metà di quelle che abbiamo contato prima, vale a dire:
N*(N-1)/2 rette
Diaposit. 5
Enunciati alternativi
1. Contesto non geometrico: A una festa partecipano N amici, tutti si
salutano fra loro. Quanti saluti si producono?
1
2
N
3
Il conteggio doppio dà [ N*(N-1) ], perciò bisogna dividere per 2
[ N*(N-1)/2 ],
4
N-1
6
5
2. Contesto geometrico: Quante sono i lati e le diagonali di
un poligono con N lati?
Diaposit. 6
Seconda supposizione
Supponiamo che gli N punti siano allineati.
Quante rette si formano?
1
2
3
E' evidente che si forma una sola retta
che è quella che passa per questi punti.
Proprio la retta che indica il loro
allineamento!
4
5
6
7
N-1
N
Diaposit. 7
Terza supposizione
Supponiamo che degli N punti, (N-1) siano allineati e 1
punto (l'ultimo di essi) sia fuori dalla linea retta che li
unisce:
1
N
2
3
Quante rette si formano?
4
5
6
7
N-1
1 (dell'allineamento) + N-1(per unire il punto chiamato“N”
Con il resto dei punti)
In tutto saranno N
Diaposit. 8
Eccetera.
Questo eccetera è per invitarti a continuare l'indagine.
Si può ideare qualche altra supposizione?