L4 - MECCANICA: STUDIO DEL MOTO
• Cinematica  pura descrizione del moto
• Dinamica il moto è messo in relazione alle cause
come e perchè gli oggetti si muovono 
(equilibrio, energia, vibrazioni)
La maggior parte dei fenomeni “usuali” può essere descritta dalla
Meccanica Classica: v << c, d >> atomo
1
CINEMATICA: Moto rettilineo
Localizzare un oggetto: trovare la sua posizione relativa
ad un punto di riferimento
Sistema di riferimento
x
x
Posizione: coordinata x(t) [m]
Spostamento: Dx = x2 –x1 = x(t2) – x(t1)
o
x1
x2
2
Velocità media:
Dx
v 
Dt
velocità istantanea:
[m/s]
Dx dx
v  lim

Dt  0 Dt
dt
3
Rappresentazioni grafiche
x(t): diagramma orario
traiettoria
v media =
pendenza della retta
che congiunge i punti
x(t1) e x(t2)
4
Esempio: velocità media e istantanea
x (m)
6
4
2
0
-2
1
2
3
4 t (s)
Quanto vale la velocità media nei primi 4 secondi?
E la velocità istantanea nell’istante t = 4 s ?
5
Dv
Accelerazione media: a 
Dt
[m/s2]
Dv dv d 2 x

 2
accelerazione istantanea: a  lim
Dt 0 Dt
dt dt
6
Esempio
Un’automobile passa da 0 a 90 km/h in 5 s.
Quanto vale l’accelerazione media ?
7
Esempio
La posizione di una particella sull’asse x é data dalla funzione: x = 8t2
– 6t + 4, dove le unità di misura di x e t sono espresse in m e s.
Trovare le funzioni v(t) e a(t) della particella.
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Riassumendo
Se la posizione x è nota in funzione del tempo
 possiamo trovare la velocità v e l’accelerazione a
in funzione del tempo!
x
x  x( t )
dx
dt
dv
d 2x
a 

dt
dt 2
v 
v
a
t
t
t
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Relazioni cinematiche
v = cost
x  x0  vt
moto rettilineo
uniforme
a  cost
v  v0  at
1 2
x  x0  v0t  at
2
moto rettilineo
uniformemente
accelerato
10
Rappresentazioni grafiche
Esempio: a costante
• x(t)
x = xo + vot + ½ at2
• v(t)
v = vo + at
• a(t)
a = cost
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Esempio
Nota la velocità della luce v = 3 .108 m/s e la distanza Sole-Terra d = 1.5
. 1011 m, quanto tempo impiega la luce del Sole per raggiungere la
Terra ?
Esprimere l’Anno Luce (distanza percorsa dalla luce in un anno) in km.
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Si possono ricavare altre relazioni:
1
x  x0  v0t  at 2
2
v  v0  at
• Risolvendo
rispetto a t:
v  v0
t
a
• Sostituendo:
 v  v0  1  v  v0 
x  x0  v 0 
  a

 a  2  a 
2
v 2  v 0  2a( x  x0 )
2
13
Caduta libera dei gravi
• Quando un oggetto è lasciato libero, cade verso terra; la forza che ne
causa la caduta è detta forza di gravità
• L’accelerazione causata dalla gravità si indica per convenzione con la
lettera g
• L’accelerazione g risulta la stessa per qualunque oggetto, è cioè
indipendente dalla natura materiale dell’oggetto
g = 9.81 m/s2
– All’equatore
– Al polo nord
g = 9.78 m/s2
g = 9.83 m/s2
14
Caduta libera dei gravi
In prossimità della superficie
terrestre:
a = - 9.81 m/s2 = - g
(il segno negativo dipende dalla scelta
dell’orientazione dell’asse y)
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Esempio
In un cantiere una chiave inglese viene lasciata cadere da
ferma da una certa altezza h e arriva al suolo con v = 24
m/s.
a) Quanto tempo ha impiegato a cadere?
b) Da che altezza é caduta?
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Consigli su come impostare la risoluzione di un
problema:
– a. Leggere attentamente il testo
–
–
–
–
–
b. Fare un disegno scegliendo il sistema di riferimento
c. Quali relazioni cinematiche si possono usare?
d. Risolvere il problema simbolicamente
e. Verificare se la risposta è dimensionalmente corretta
f. Risolvere il problema numericamente.
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Esempio
a)
b)
c)
Una palla viene lanciata
lungo la verticale ascendente
con velocità iniziale v0=20
m/s.
Per quanto tempo rimane in
aria?
Qual è il valore della
massima quota raggiunta?
In quale istante si trova a 15
m sopra il suolo?
18
Esempio
Dalla cima di un edificio si lancia verticalmente verso l’alto
un sasso. Esso raggiunge la massima altezza 1.60 s dopo il
lancio. Ricade in strada dove giunge 6.00 s dopo il lancio.
Determinare:
a) La velocità di partenza del sasso;
b) l’altezza massima raggiunta sopra l’edificio;
c) l’altezza dell’edificio.
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L5 - CINEMATICA
Moto in due (o piu’) dimensioni
RIEPILOGO – le grandezze cinematiche fondamentali:
• posizione, velocità e accelerazione sono vettori
(caratterizzati da modulo, direzione e verso):
y
• Vettore posizione r = xi + yj + zk
O
P
r
x
z
• Vettore spostamento Dr = r2 – r1 =
= (x2 – x1)i + (y2 – y1)j + (z2 – z1)k
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Velocita’
• Velocità media:
• Velocità istantanea:
Dr
v  lim
Dt 0 Dt
dr d
v
 ( xi  y j  z k )  (vx i  v y j  vz k )
dt dt
La velocità è sempre tangente
alla traiettoria
v = v uT
21
Accelerazione
22
23
Accelerazione - II
24
25
Total Acceleration
• The tangential acceleration causes the change in
the speed of the particle
• The radial acceleration comes from a change in
the direction of the velocity vector
26
Moto circolare
27
Moto circolare uniforme
28
29
Changing Velocity in Uniform Circular Motion
• The change in the velocity vector is due to the
change in direction
• The vector diagram shows
• The magnitude of the centripetal acceleration
vector is given by
• The direction of the centripetal acceleration
vector is always changing, to stay directed
toward the center of the circle of motion
30
Moto dei proietti
• È il moto di particelle di
massa m che vengono
lanciate con velocità
iniziale vo e sono
soggette alla sola
accelerazione di gravità
g supposta costante
31
Moto dei proietti
Osservazione sperimentale:
La pallina rossa viene
lasciata cadere da ferma
nello stesso istante in cui
l’altra è lanciata
orizzontalmente verso
destra con velocità vo.
gli spostamenti verticali
delle due palline sono
identici
• Il moto orizzontale e il
moto verticale sono
indipendenti
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Analisi del moto dei proietti
• Il moto può essere analizzato separatamente nelle sue
componenti:
la componente orizzontale è descritta dalle relazioni
cinematiche del moto rettilineo uniforme, quella verticale
dalle relazioni del moto uniformemente accelerato
Il moto avviene nel piano individuato da vo e g: scegliamo un
sistema di riferimento cartesiano ortogonale orientando
l’asse x orizzontalmente e l’asse y lungo la verticale
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Analisi del moto dei proietti
Analizziamo separatamente il moto orizzontale:
ax  0
v x  vox  cost
x  xo  v0 x t
e il moto verticale:
ay  g
v y  voy  gt
1 2
y  yo  voyt  gt
2
vox  vo cos o , voy  vo seno
34
Equazione della traiettoria
luogo geometrico dei punti occupati in funzione del tempo
dalla punta del vettore posizione r(t)
Eliminando t fra le equazioni del moto nelle componenti x e y:
x  xo
x  xo  voxt  t 
vox
voy
1 ( x  xo ) 2
1 2
( x  xo )  g
y  yo  voyt  gt  y  yo 
2
2
vox
2
vox
ponendo :
vox  vo cos o , voy  vo seno
xo  yo  0
g
2
 y  tan o x 
x
2(vo cos  o ) 2
( y = ax +bx2 con a,b cost è l’equazione di una parabola)
 traiettoria parabolica
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Gittata
Distanza orizzontale coperta dal proietto
all’istante in cui tocca il suolo
2vo sen o
1 2
y  0  (vo sen o )t  gt  t  0, t 
2
g
e sostituend o nella x  xo  vo cos  o t
 x  xo 
2
2
2vo
v
sen o cos  o  R  o sen(2 o )
g
g
La gittata è massima quando θo = 45o
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Esempio 1
Nel 1996 C. Lewis vinse la medaglia d’oro nel salto in lungo con un
salto di 8.50 m. Se l’angolo con cui spiccò il salto fu 23o, calcolare,
assumendo il moto parabolico, il modulo vo della velocità iniziale.
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Esempio 2
Dal tetto di un edificio di altezza h viene lanciata una pallina con
velocità vo = 10 m/s e inclinazione θo = 30o rispetto all’orizzontale.
Calcolare l’altezza h dell’edificio, sapendo che la pallina arriva al
suolo ad una distanza d = 18 m dalla base dello stesso.
y
vo
θ
h
d
x
38
N.B.
• È necessario specificare sempre in quale sistema di
riferimento si descrive il moto: le coordinate del
punto, le componenti di v e di a, l’espressione
analitica della traiettoria dipendono dal sistema di
riferimento.
Però le relazioni più generali tra le grandezze
cinematiche sono relazioni vettoriali e in quanto tali
sono invarianti (covarianti) rispetto alla scelta del
sistema di riferimento.
39
Relative velocity
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Relative velocity - II
• Reference frame S is
stationary
• Reference frame S’ is
moving
• Define time t = 0 as
that time when the
origins coincide
• Let v0 be constant
41
Relative velocity - III
42