“Piano”
Lab 1 – Fattorizzazione LU + pivoting
Esercizi (+Sistemi sovradeterminati - Cholesky?)
Lab 2 – Metodi iterativi: Gauss Seidel e Jacobi. Esercizi.
Definizione di pseudoinversa
Lab 3 – Soluzione classica e ai minimi quadrati. Esercizi.
Calcolo degli autovalori.
Fattorizzazione LU
1
A=LU
L=
1
1
1
U=
Ax=b equivale a risolvere:
Il vantaggio: si risolvono facilmente per
sostituzione in avanti/indietro
Sostituzione in avanti
NON NULLI!!!
Sostituzione indietro
NON NULLI!!!
ESERCIZIO 1
Risolviamo Ax=b con:
utilizzando la fattorizzazione LU
(La soluzione esatta è x=[1 1 1 1]’)
“Qualità” della soluzione
Se conosciamo la soluzione esatta xe possiamo
valutare la norma dell’errore:
Anche il residuo è un’indice della bontà della
soluzione:
Condizionamento
Consideriamo un sistema perturbato:
Condizionamento:
Stima errore relativo:
ESEMPIO 2
Usiamo la matrice di Hilbert:
H=hilb(n); b=H*ones(n,1)
Calcoliamo (sapendo che la sol esatta è [1 1 ..1]’):
Errore e condizionamento
Quando LU non funziona
Condizioni per la fattorizzazione LU
Tutte le sottomatrici principali di A devono
essere non singolari:
Pivoting (per righe)
Scambio le righe di A per non avere pivot (ukk) nullo; lo
scelgo in modo che sia il più grande possibile.
K=1)
Scambio le righe 1 e 3; aggiorno U
Pivoting (per righe)
K=2)
La riga due rimane al suo posto;
K=3)
La 4 va al posto della 3
Pivoting (per righe)
ESERCIZIO 2

Siano dati A e b:
Effettuare la fattorizzazione LU con pivoting:
quali righe vengono scambiate?
 Risolvere il sistema.
 Valutare errore e residuo relativo (sol. esatta
[1 1 1 1]’)

ESERCIZIO 3

Risolvere il sistema dell’esercizio 1 eseguendo
la fattorizzazione LU con pivoting.

Calcolare errore e residuo relativo con e senza
pivoting.

Quale soluzione è più accurata? Perché?
Sistemi sovradeterminati

Ho più equazioni che incognite

Sistema di equazioni normali:
Fattorizzazione di Cholesky

D’D è simmetrica definita positiva

Posso fare la fattorizzazione di Cholesky cioè
scomporre in: H’H (comando Matlab: chol)
con H triangolare superiore. Si risolve come una
normale LU