MATLAB
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Vettori ortogonali
 Autovalori, autovettori
 Esercizi vari

Vettori ortogonali

I vettori v1 , v 2 , , v m R non nulli
si dicono ortogonali se:
n
vi  v j  0 i  j i, j  1,..., m

I vettori non nulli si dicono ortonormali se sono
ortogonali e inoltre
vi

2
 1 i  1,..., m
Se m=n si dice che tali vettori ortonormali formano
una base canonica (ortonormale) di Rn
Matrici ortogonali

n n
Una matrice A R
si dice ortogonale
se le sue colonne formano vettori fra loro
ortonormali
A  (a1 ,
, an )
0 i  j
ai  a j  
1 i  j


AA  A A=I
T
T
le colonne (le righe) di A formano una b.c. di Rn
Vettori ortogonali in
MATLAB

Per verificare, mediante MATLAB, se 2
vettori colonna v1,v2 sono ortogonali
v1’*v2==0


Se il prodotto del vettore riga v1’ col vettore
colonna v2 e’ 0 => i vettori sono ortogonali
Per calcolare la norma di un vettore
norm(v)
Autovalori e autovettori
Data A  R n×n un numero  (reale o complesso) si
dice autovalore di A se esiste un vettore v  R n :
Av   v
Per trovare gli autovalori e autovettori di A
ava -> vettore colonna degli autovalori di A
ava= eig(A)
[V D] = eig(A)
D -> matrice diagonale contenente gli
autovalori di A
V -> matrice le cui colonne sono gli
autovettori di A relativi agli autovalori in D
Esempio
1 3 4 


A=  3 1 0 
 4 0 1



A R
n n
[V D] = eig(A)
V*V’
V’*V
diagonalizzabile =>
 P  R n×n det( P)  0 : P 1 AP  D, D  diag (1 ,..., n )


esiste una base di Rn formata da autovettori di A
A simmetrica => A diagonalizzabile
 U  R n×n ortogonale : U 1 AU  


in questo caso eig restituisce una matrice V ortogonale
Esercizio 1 e 2
Richiamare la matrice A (Esercizio 1 scorsa
lezione), costruire la matrice A*A’

1.
2.
3.

dire se è diagonalizzabile
trovare la matrix P che la diagonalizza
scrivere una base o.n. di R7
La matrice A è diagonalizzabile?
0 0
7


A=  8  4 2 
1

5
2

