Capitolo II
“Deep Inelastic Scattering “ leptone (e,m,n)- nucleone:
interazione e.m. e debole di “corrente carica” ;
funzioni di struttura inelastiche e.m. e deboli del nucleone.
Ipotesi partonica, invarianza di scala.
Bibliografia:
- F.Halzen, A.D.Martin , “Quarks & leptons”, Wiley & Sons, 1984
cap. 8
- D.H. Perkins, “Introduction to High Energy Physics”, Addison-Wesley ,1987
cap. 7 e 8
- W.E. Burcham, M.Jobes “Nuclear and Particle Physics, Longman 1995,
cap. 12
1
Deep Inelastic Scattering
Nel processo di diffusione fortemente inelastico (“DIS”) eNeX il sistema
adronico X nello stato finale non e’ piu’ il nucleone, che viene distrutto dall’
urto; il sistema ha una massa invariante arbitraria W2=(P+q)2
(nello scattering elastico W2=MN2 )
Dove P e’ il 4-momento niziale del nucleone (nel laboratorio: P = (MN,0) ) e
q=(k’-k) e’ il 4-momento trasferito nell’urto con l’ elettrone.
L’energia del sistema adronico finale ed il
momento trasferito:
Eadr  E  E ' 
q 2  (k 'k ) 2
Pq
n
MN
ek
ek’
q=k’-k
(2.1)
sono ora variabili cinematiche indipendenti.
[Nota: l’invariante Pq calcolato nel sistema del
Laboratorio da’: P  q  M N q0  M N ( E  E ' ) ]
nucleone
X
P=(MN,0)
2
Deep Inelastic Scattering
Infatti:
W 2  ( P  q) 2  P 2  q 2  2 P  q
1
1
2
2
2
2
P  q  M Nn  (W  P  q )  (W 2  M N  q 2 )
2
2
In definitiva:
2M Nn  W 2  M N  q 2
2
(2.2)
dove la massa invariante W puo’ essere arbitraria
(nella diffuisone elastica: W2=MN2
2M Nn  q
2
)
Da un punto divista puramente fenomenologico, si puo’ ottenere la sezione
d’urto di diffusione in maniera analoga a quanto fatto per la sezione d’urto
elastica, modificando la corrente adronica nell’ ampiezza di scattering
rispetto all’ ampiezza point-like; le funzioni che sostituiscono i fattori di forma
elastici F1(q2) e F2(q2) sono ora funzioni, a priori, delle due variabili
cinematiche indipendenti q2 e n.
3
Deep Inelastic Scattering
La sezione d’urto di scattering va ora scritta in forma doppio differenziale
(l’ angolo di diffusione q e l’ energia E’ dell’ elettrone diffuso sono ora
variabili indipendenti):
2 2

Scattering  d 
q2
 d   2 k q 2  2
2
2

F  cos ( / 2) 
( F1  kF2 ) sin ( / 2)


  F1 
2 2 
2
elastico
4M
2M
 d  eN eN  d  Ruth. 


[eq. (1.19)]
Scattering
Inelastico:
(2.3)
 d 
 d 
2
2
2
2




 W2 (q ,n ) cos ( / 2)  2W1 (q ,n ) sin ( / 2)
 dE ' d eN eX  d  Ruth.
[ricordiamo,
eq. (1.16):

2
 2 E '2
4 2 E '2
 d 





2
4
2
2
4
q4
 d  Ruth. 4 E sin ( / 2) 4 E E ' sin ( / 2)
q 2  4 EE' sin 2 ( / 2) ]
Le “funzioni di struttura inelastiche” W1(q2,n) e W1(q2,n) vanno
determinate sperimentalmente.
4

Deep Inelastic Scattering
Vediamo ora a quale predizione porta per le funzioni di struttura l’ “ipotesi
partonica” sulla struttura del nucleone, ossia la supposizione che il processo
di diffusione inelastica eN eX risulti dalla sovrapposizione incoerente delle
sezioni d’urto di processi di scattering elastico ‘point-like’ su singoli partoni,
oggetti ‘puntiformi’ (come l’ elettrone) di spin ½ e carica elettrica frazionaria,
che identificheremo successivamente con i quarks.
La sezione d’urto di Mott (1.16’) per lo scattering elastico elettromagnetico
eq eq :

4 2e 2 q E '2 ( E ' / E )  2
q2
 d 
2

cos
(

/
2
)

sin
(

/
2
)


2
(1.16’)  d 
q4
2
m

eq eq


puo’ essere riscritta ( d    d dE ' ) :
d
(2.4)
 ddE ' 
 
4 2e 2 q E '2 ( E ' / E )  2
q2
q2 
 d 
2


sin ( / 2) n 


cos ( / 2) 
4
2
q
2m
2m 
 ddE ' eq eq

 
La funzione  in (2.4) esprime il fatto che E’ deve essere tale da soddisfare la
relazione di elasticita’ : n  q 2 / 2m , dove ora n  pq  q / m
5
con pq momento del partone e m massa del partone.
Deep Inelastic Scattering
Il partone i-esimo all’ interno del nucleone porta una frazione x del momento
totale: pq=xP; valgono le relazioni:
Mq2 = x2P2 = x2MN2, ossia mq = xMN e quindi n=pqq/m=xPq/ xM = Pq/M
ossia la variabile n=pqq/m che entra nell’ espressione dello scattering Mott eq
e’ la stessa variabile n=E-E’ che compare nella cinematica dello
scattering del nucleone.
f i ( x) xdx  1 (2.5)
La conservazione del momento impone inoltre:

i
dove fi(x) sono le funzioni di densita’ partoniche (“PDF”) che danno la
densita’ di probabilita’ di trovare il partone i-esimo con momento frazionario x
all’ interno del nucleone
Se si confronta l’ espressione della sezione d’urto inelastica (2.3) con (2.4),
si vede che ponendo:
 d 
 d 
 



 ddE '  eN eX
i  ddE '  eqi eqi
deve essere:
6
Deep Inelastic Scattering
(nz)=(z)/n
W2 (q 2 ,n )   
i
= g(x)
f i ( x) 2
q2
q2
f i ( x)ei  (n 
)dx   
ei  (1 
)dx 
2m
n
2nMx
i
2
 f i ( x) 2 2Mn 2 
1
2
 
ei
x

e

i xfi ( x )

2
q
i  n
 x  q 2 / 2 Mn v i

f ( x) [ g ( x)]dx 
f ( x)
| g ' ( x) |
e analogamente:
2W1 (q 2 ,n )   
i
2
ei q 2
q2
f i ( x)
 (n 
)dx 
2 2
2M x
2Mx
2

ei q 2 2Mn 2 
2 f i ( x)
   f i ( x)
x 
  ei
2
2
2
2 M nx q
M
i 
i
 x   q 2 / 2 Mn
7
Deep Inelastic Scattering
In definitiva:
f i ( x)
MW1 (q ,n )   ei
 F1 ( x)
2
i
2
2
nW2 (q 2 ,n )   ei 2 f i ( x) x F2 ( x)
(2.6)
i
ossia l’ipotesi che il DIS eN eX sia la sovrapposizione incoerente
di scattering elastici eq  eq su oggetti puntiformi di spin ½ porta a
prevedere che le funzioni di struttura W1(q2,n), W2(q2,n) siano
funzioni dell’ unica variabile adimensionale x=-q2/2Mn, detta
“variabile di Bjorken”:
“invarianza di scala” (o “Bjorken scaling”) delle funzioni di struttura
Inoltre dalla (2.6) segue la relazione:
F2 ( x)  2xF1 ( x) (2.7)
detta “relazione di Callan-Gross”, che e’ verificata sperimentalmente.
8
Deep Inelastic Scattering
Gli esperimenti a SLAC hanno verificato l’ invarianza di scala
[Ann.Rev.Nucl.Sci. 22 (203) 1972]:
nW2
[da: Burcham-Jobes,
Fig.12.15]
x=q2/ 2M(E-E’) fissato
2xF1/F2
q 2  4 EE' sin 2 ( / 2)
e la validita’ della relazione di
Callan-Gross:
[da: Burcham-Jobes,
Fig.12.18]
9
x=-q2/ 2Mn
Deep Inelastic Scattering
La relazione di Callan-Gross ha conseguenze interessanti sulla
espressione della sezione d’urto (2.3):
1-sin2q/2
4 2 E '2
 d 
2
2
2
2

W
(
q
,
n
)
cos
(

/
2
)

2
W
(
q
,
n
)
sin
( / 2) 


2
1
4
q
 dE ' d eN eX

2
2
4 2 E '2
4

E
'
2

W

(
2
W

W
)
sin
( / 2) 
2
1
2
4
q
q4


=F1/M
=F2/n

 F2
 1 1  xyM 

F
 
2
n

Mx
n
2
E
'




F2 ( x)  2xF1 ( x)
dove si e’ introdotta la “ variabile di inelasticita’ “ : y  Eadr  E  E '  n
E
E
E
2
2
2

q
4
EE
'
sin

/
2
2
E
'
sin
/2
Mxy
[ nota: x 


sin 2  / 2 
2Mn
2MEy
My
2E '
Nel CM invece, la relazione tra y e l’ angolo di scattering q* e’:
1 – y =(1/2)(1+cosq*) [vedi es. 2.1 ] ]
(2.8)
10
Deep Inelastic Scattering
In definitiva:
4 2 E '2
 d 



q4
 dE ' d  eN eX
2 2
 F2
 1 1  xyM  4 E ' F2 
 Ey  Mx 

F


1

Ey


 
2
n


4
q
Ey 
 Mx n  2 E ' 
 2 EE ' 

4 2 E '2 F2  E y 2 Mxy 


1 

4
q
Ey  E ' 2 2 E ' 
n  Ey
E’ conveniente esprimere la sezione d’urto doppio-differenziale in funzione
delle variabili x ed y; utilizzando:
E
dE ' d  2M
ydxdy
[vedi es. 2.2]
E'
si ha:
 E ' d 
4 2 E '2 F2  E y 2 Mxy 




1 

4
2
ME

ydxdy
q
Ey
E
'
2
2
E
'

eN eX


=s
= 1-y
 d 
4 2 s E '  E y 2 Mxy  4 2 s  E y 2 Mxy 



F2 1 

F2   


4
4
q
E  E ' 2 2E ' 
q
 dxdy  eN eX
 E' 2 2E 
4 2 s 
y2 

F2 1  y  
4
q
2

11
= 0 per E>>M
Deep Inelastic Scattering
Sviluppando:
si ottiene infine:

y2 1
1  y   1  (1  y ) 2
2 2

 d 
2 2 s
2



1

(
1

y
)
F2 ( x)
4
q
 dxdy eN eX

dove, ricordiamo dalla (2.6):

(2.9)
F2 ( x)   ei f i ( x) x
2
i
La sezione d’urto di DIS elettromagnetico eNeX misura le densita’
partoniche f(x) all’ interno del nucleone. Se indichiamo con:
(2.10)
q ( x)  u p ( x)  d p ( x)
q ( x)  u p ( x)  d p ( x)
le densita’ di quark e di antiquark nel protone
(up(x) e dp(x) sono le densita’ di quark di tipo “up”,
con carica 2/3, e di tipo “down”, con carica -1/3)
si ha
12
Deep Inelastic Scattering
per il protone:
2
2


1
2
 
 
2
( p)
F2 ( x)   ei f i ( x) x  x   u p ( x)  u p ( x)     d p ( x)  d p ( x)  
3
i

 3 
1

4


 x  u p ( x)  u p ( x)  d p ( x)  d p ( x) 
9

9
e per il neutrone, utilizzando l’ invarianza di isospin, per cui un(x)=dp(x) e
dn(x)=up(x):
4
1


(n)
F2 ( x)  x  un ( x)  un ( x)   d n ( x)  d n ( x)  
9
9

1
4

 x  d p ( x)  d p ( x)   u p ( x)  u p ( x) 
9
9

Per il nucleone in un processo di scattering su una “targhetta isoscalare”, in cui:
1
| N  | p   | n  
2


1 ( p)
(n)
F2 ( x)  F2 ( x) 
2
1 5
5

 x  u p ( x)  u p ( x)   d p ( x)  d p ( x)  13
2 9
9

F2 ( x) 
Deep Inelastic Scattering
F2 ( x) 
5
q( x)  q ( x)x
18
Il modello a partoni, con l’ assegnazione di carica elettrica ai quark up e down
derivata dal modello statico a quark degli adroni (vedi seguito), predice quindi:
 d 
2 2 s
2 5


q( x)  q ( x)x

1

(
1

y
)
4
q
18
 dxdy  eN eX


(2.9’)
Confronteremo questa predizione con quella che deriva dall’ analogo processo
di diffusione da interazione debole nN nX (in cui non sono in gioco le cariche
elettriche), per il quale viene predetto lo stesso andamento nelle variabili y e x
(ma senza il fattore 5/18, che e’ una conseguenza delle assegnazioni di
carica ai quark).
Lo scattering elettromagnetico non permette di separare il contributo dei quark
(di valenza) da quello degli antiquark (dal ‘mare’ dei processi di annichilazione
qq all’interno del nucleone); cio’ come vedremo sara’ possibile usando
i neutrini al posto degli elettroni come ‘sonde’ per scandagliare la struttura
14
subnucleare.
Interazione debole di corrente carica
In analogia con la descrizione dell’ interazione elettromagnetica, per la
quale l’ ampiezza di transizione in un processo di diffusione tra fermioni
carichi point-like e’ data dalla (1.13):
 eeq 
M if   2 [ue (k ' ) m ue (k )][uq ( p' ) m uq ( p)]
q 
la teoria di Fermi dell’ interazione debole descrive
anch’essa lo scattering come un’ interazione
corrente-corrente:
M if  G[ue (k ' ) m un (k )][uu ( p' ) m ud ( p)] (2.11)
In assenza (al momento) di una teoria di campo completa
Fermi introdusse la costante di interazione debole G, che
ha le dimensioni dell’ inverso del
quadrato dell’ energia:
[G] = [1/q2]
ek
e-
e
k’
q=k’-k
quark
p
eq
p’
quark
n k
ek’
G
L’ interazione e’ di “corrente carica”, nel senso che (a
p
differenza dello scattering e.m.) la carica del fermione
quark d
uscente cambia di un unita’ rispetto a quella del fermione
entrante: la carica elettrica e’ stata trasferita nell’ interazione.
p’
quark u
15
Interazione debole: decadimento b
Storicamente, l’ interazione ‘di contatto’ (ossia non ‘mediata’ dal quanto
di un campo come il fotone) fu introdotta da Fermi per descrivere il
decadimento b del neutrone all’ interno dei nuclei radioattivi, che e’ il ‘prototipo’
dell’ interazione debole (di corrente carica;
p
vedi lezioni successive):
n
(2.12)
e-
n  p e- ne
ne
A livello elementare dei costituenti:
(2.12’)
d u
e-
ne
u
n
u
d
d
[ Il processo (2.12’) e’ descritto dalla stessa
matrice di transizione del processo di scattering:
GF
ne d  e- u
in cui l’ antineutrino ‘uscente’ dall’ interazione di decadimento e’
sostituito dal neutrino entrante nel processo di diffusione ]
p
d
u
e-
ne
16
Interaz. debole di C.C.: matrice di
transizione
La forma piu’ generale possibile di una interazione corrente-corrente, che
preservi l’ invarianza di Lorentz di Mif, che puo’ essere costruita dagli
spinori delle particelle in gioco e dalle matrici di Dirac e’ la seguente
[vedremo infatti successivamente come per il decadimento b la semplice forma
(2.11) non e’ sufficiente a descrivere correttamente l’ interazione ] :
M if 
 C (u O u
i
i  S , P ,V ,T , A
u
i d
)(ueOi un )  C 'i (uu Oi ud )(ueOi 5un )
(2.13)
viola la conservazione
della parita’
dove per brevita’ si sono omessi i quadri-momenti delle particelle e gli
Oi sono operatori bilineari covarianti delle matrici di Dirac m [per una
piu’ dettagliata discussione, vedi Burcham-Jobes, pg 396 e segg.,
Renton, pg.124 e 204 ; convenzionalmente, la matrice 5 nel termine di
violazione della parita’ viene inserita nella corrente leptonica]:
Specificamente:
OA   5 m
OS  1
OV   m
OP   5
i
i
OT   mn  [ m ,  m ]  ( m  n   n  m )
2
2
17
Operatore di parita’
Per inversione di parita’:



x  x'  x
t  t'
x  x'  x
con
l’ operatore di parita’ SP che agisce sugli spinori,
definito da:
1



 1



1





1




S P ( x, t )   ( x, t )
e’:
SP   0
Inoltre:
S P (  )   
viceversa: S P (  5 )    5
ossia
  5

(poiche’
e’ uno pseudoscalare.
e’ uno scalare,
 5 0   0 5
)
18
Interaz.debole di C.C.: matrice di transizione
L’ analisi dei dati relativi ai decadimenti b nucleari (sia con DJ=0,1 dove
J e’ lo spin del nucleone; discuteremo in dettaglio piu’ avanti l’analisi dei
decadimenti b nelle transizioni cosidette “di Fermi” e “di Gamow-Teller”)
dimostra che i termini scalare (S), pseudoscalare (P) e tensore (T)
nell’ ampiezza (2.13) sono nulli [vedi Burcham-Jobes, pg 398 e segg.].
Sperimentalmente, si osserva inoltre che i neutrini sono “left-handed” (spin
antiparallelo alla direzione del momento; gli anti-neutrini sono right-handed)
[ esperimento di Goldaber,Grodzins, Phys.Rev. 109 (1958), 1015;
vedi anche Burcham-Jobes pg 371] . Cio’ implica: C’V, A= - CV A.
In definitiva:
M if  CV [uu ( p' ) m ud ( p)][ue (k ' ) m (1   5 )un (k )] 
C A[uu ( p' ) m  5ud ( p)][ue (k ' ) m (1   5 )un (k )]
M if  [uu ( p' ) m (CV  C A 5 )ud ( p)][ue (k ' ) m (1   5 )un (k )] (2.14)
19
Interazione debole di C.C.: teoria V-A
Se la corrente adronica nell’ interazione e’ uguale a quella leptonica
(ossia CA= -CV ), si ha la “teoria V-A” dell’ interazione debole di corrente
carica:
G
M if 
[uu ( p' ) m (1   5 )ud ( p)][ue (k ' ) m (1   5 )un (k )]
2
(2.15)
Nel decadimento b nucleare cio’ non e’ vero [ sperimentalmente,
dalle frequenze di decadimento delle transizioni di Fermi (“vettoriali
pure”: 14O 14N+e+ne) e “miste” (di Gamow-Teller (“vettoriali-assiali”)
e di Fermi, come ad esempio il decadimento di neutroni liberi: n p+e-ne )
si misura:
]
CA
CV
 1.26  0.02
Questo e’ dovuto all’ interazione forte tra i quarks all’ interno del nucleone,
che alle energie tipiche dei decadimenti b (  MeV) sono importanti.
Alle alte energie utilizzate nei processi di DIS i quarks si possono considerare
liberi, e la teoria V-A risulta valida.
20
Decadimento del muone e determinazione di G
La determinazione piu’ precisa della costante di Fermi G ( la meno
affetta da incertezze sistematiche di origine teorica, presenti nel decadimento
b, dovute alla struttura nucleare) si ha dal decadimento del muone:
m  e n en m


m
GF
p
per il quale l’elemento di matrice e’:
nm
ne
k
ep’
k’
G
M if 
[un (k ) m (1   5 )um ( p)][ue ( p' ) m (1   5 )un (k ' )] (2.15’)
2
La frequenza di decadimento G e’ definita dalla relazione:
dN (t )
 GN (t )
dt
n.o di particelle
esistenti al tempo t
N (t )  N 0 e  Gt  N 0 e t /
n.o di particelle
iniziali
G  1/ 
21
Decadimento del muone e determinazione di G
Ge’ l’integrale delle frequenza di decadimento differenziale dG per avere una
data configurazione cinematica dei prodotti di decadimento, esteso su tutto
il volume dello spazio delle fasi permesso dalla conservazione del 4-impulso.
dG 
M if
nV
2
dQ
spazio delle fasi che compete allo stato
finale in cui:
- l’ elettrone ha 4-momento compreso tra p’ e p’+dp’

- ne tra k’ e k’+dk’
nm k  (k0 , k )
- nm tra k e k+dk
n.o di particelle che
m
decadono per unita’
di volume
p
d 3 p' d 3k ' d 3k
d 3 p'
d 3k '
d 3k
dQ 

3
3
3
2 E ' h 2 k '0 h 2 k 0 h
2 E ' (2 )3  3 2k '0 (2 )3  3 2k0 (2 )3  3
1
dG 
M if
2E
2
Dalla normalizzazione

degli spinori:

V0
GF
ne
e-

p'  ( E ' , p' )

k '  (k '0 , k ' )
d 3 p'
d 3k '
d 3k
 ( p  p'k  k ' )( 2 ) 4
3
3
3
2 E ' (2 ) 2k '0 (2 ) 2k0 (2 )
dV  2 EV0
nV  2 E
dalla cons.del 4-impulso, integrando
sulle 4-coordinate spaziali
22
Decadimento del muone e determinazione di G
Nel “rest-frame” del muone: E=m, ed integrando su d3k ( momento del nm):
1
dG 
M if
5
2m(2 )
2
d 3 p' d 3k '
 [m 2  2mk '0 2mE'2k '0 E ' (1  cos  )]
2 E ' 2k '0
angolo tra ne ed e-
dove la  di Dirac indica che tra tutti i valori di k, nell’integrazione viene
selezionato quello per cui il 4-impulso e’ conservato:
  
0  k  k ' p'
m  k 0  k '0  E '
2  2  2  
k  k '  p ' 2k ' p '
k0  k '0  E'2 2k '0 E' cos
(trascurando me)
2
2
m 2  k02  k '02  E '2 2k0 k '0 2k0 E '2k '0 E '
m 2  2k '02 2 E '2 2k '0 E ' (1  cos  )  2k0 ( E ' k '0 )
2k0 (m  k0 )  2mk0  2k02
m 2  2k '0 E ' (1  cos  )  2m 2  2mk '0 2mE'
m 2  2mk '0 2mE'2k '0 E ' (1  cos  )
m  k '0  E '
23
Decadimento del muone e determinazione di G
Utilizzando l’ algebra delle matrici di Dirac, dalla forma (2.15’) si dimostra
[per maggiori dettagli, vedi Halzen, cap. 12.5]:
M if
2
 64G 2 [( kp' )( k ' p)]
Inoltre, nel rest-frame del muone in cui p=(m,0,0,0):
2kp'  (k  p' ) 2  ( p  k ' ) 2  m 2  2 pk '  m 2  2mk0 '
k2=mn2=0
p2=me20
M if
2
p=p’+k’+k
2[( kp' )( k ' p)]  (m 2  2mk0 ' )mk0 '
 32G 2 (m 2  2mk0 ' )mk0 '
Inoltre, integrando su tutte le possibili direzioni dell’ elettrone e sull’angolo

azimutale del ne:
p'
d 3 p' d 3k '  4E '2 dE '2k0 ' sin k0 ' ddk0 ' 
 8 2 E '2 k0 '2 dE ' dk0 ' d cos 
q
e-
ne

k'
24
Decadimento del muone e determinazione di G
In definitiva:
1
dG 
M if
5
2m(2 )
2
d 3 p' d 3k '
 [m 2  2mk '0 2mE'2k '0 E ' (1  cos  )] 
2 E ' 2 k '0
G 2 mk0 '2 (m 2  2mk0 ' ) 8 2 E '2 k0 '2 dE ' dk0 ' d cos  1

 (...  cos  )
5
2m
4 E ' k0 '
2 E ' k0 '
dove si e’ usata la proprieta’ della funzione  :
 [m 2  2mk '0 2mE'2k '0 E ' (1  cos  )] 
1
 (...  cos  )
2 E ' k0 '
Infine, integrando su tutti gli angoli q del ne rispetto all’ elettrone, si ha:
G2
dG  3 mk0 '2 (m  2k0 ' )dE ' dk0 '
2
25
Decadimento del muone e determinazione di G
Lo spettro in energia dell’ elettrone si ottiene integrando, per una fissata
energia E’, su tutte le possibili energie dell’ anti-neutrino:
2
dG G 2
G
2
2
 3 m  k0 '2 (m  2k0 ' )dk0 ' 
m
E
'
(3  4 E ' / m)
3
dE ' 2
12
m / 2 E '
m/ 2
Infine la frequenza di decadimento totale e’:
m/ 2
G

0
dG
G2
5
dE ' 
m
dE '
192 3
Se si tiene conto della massa dell’ elettrone, l’ espressione va leggermente
modificata:
2


m
m
1
G2


5
e
e
G 
m 1  4
 8  
3
 192
m
 m  

26
[si ricordi: mm / me= (106 MeV )/ ( 0.511 MeV) 200  correzione del 2% ]
Decadimento del muone e determinazione di G
Dalla vita media osservata : m = ( 2.19703  0.00004) 10-6 s
si ottiene: G = (1.16632  0.00002) 10-5 GeV-2
Verifichiamo l’ ordine di grandezza:
192 3
192 3
192 3
G 



5
5
5
6
5
5
6
34 1
m
0.106 GeV 2.2 10 s 1.34 10 GeV 2.2 10 0.95 10 J
192 3
13
4


1330

10
GeV
2.8 10 11GeV 5 1034 1,6 10 10 GeV 1
2
G  1,16 105 GeV 2
27
GF dal decadimento b
In maniera analoga al decadimento del muone, e’ possibile ricavare la
costante debole di C.C. dall’ analisi del decadimento b nucleare.
Se si considerano transizioni tra stati nucleari con JP=0+, in cui cioe’
Gli stati iniziale e finale del nucleo abbiano lo stesso momento angolare J e
la stessa parita’ (“transizioni di Fermi super-permesse” , SFT), il termine
pseudoscalare ~ CA5m nella corrente adronica dell’ elemento di
matrice (2.14):
M if  [uu ( p' ) m (CV  C A 5 )ud ( p)][ue (k ' ) m (1   5 )un (k )]
e’ nullo, e quindi:
M
SFT
if

Gb
2
[un ( p' ) m u p ( p)][ue (k ' ) m (1   5 )un (k )]
[nota: il processo di transizione e’, per questi nuclei: p n e+ ne ;
esso e’ possibile solo all’ internodei nuclei, essendo mp< m n ]
28
GF dal decadimento b
Esempi di transizioni SFT sono:
Emax(MeV)
14O  14N* + e+ + n
1.814
e
26Al  26Mg* + e+ + n
3.208
e
34Cl  34S* + e+ + n
4.460
e
t1/2= ln2 (s)
71.36
6.37
1.56
Tempi di
dimezzamento
Un’ ulteriore semplificazione deriva dal fatto che, date le energie in gioco
(Emax~MeV), il nucleone di rinculo nel processo e’ non relativistico; in
tale limite [ pn 0; per maggiori dettagli vedi Halzen, cap.12.3]:
u n m u p  0
( m=1,2,3 )
u n  0 u p  2mN
e quindi:
M
SFT
if

Gb
2
2mN [ue (k ' ) 0 (1   5 )un (k )]
29
GF dal decadimento b
Calcolando, come per il caso del muone, la frequenza di decadimento:
dG 
M
SFT 2
if
2m N
dQ
si arriva all’ espressione:
G
1


Gb
2
30 3
5
EMAX
f (Z )
simile a quella vista per il mdecay, dove ora il ruolo della massa mm e’
giocato dalla massima energia disponibile; vi e’ inoltre una correzione f(Z)
dipendente dalla struttura del nucleo (dall ‘interazione coulombiana tra gli
Z protoni del nucleo radiattivo). [ Per una piu’ dettagliata discussione,
Si veda: E.Segre’, “Nuclei e particelle”, Zanichelli, 1986, cap.9 ]
Dalle misure dei tempi di dimezzamento si ottiene:
G = (1.136  0.003) 10-5 GeV-2
con una piccola (ma importante!) discrepanza dal valore G ottenuto dal
30
decadimento del muone, dovuta al “mixing dei quarks”.
Quark mixing e angolo di Cabibbo
Come vedremo, in natura esistono tre diversi “sapori” (“flavours”) dei quarks
di tipo “up” (carica elettrica +2/3): u,c,t
e di tipo “down” (carica -1/3)
: d,s,b
di masse molto diverse tra loro. La loro esistenza rende conto della ricca
spettroscopia degli stati adronici.
Nel modello a quarks, ad esempio:
| p | uud , | n | ddu 
mN= 940 MeV
Adroni con stranezza

0
m= 140 MeV
|  | ud , |  | uu  dd ,...
nulla (S=0)
|  0 | sud ,

| K | us , | K | sd ,...
0
| c | cud ,
| D  | cd , | D 0 | cu ,...
| 0b | bud ,
| B  | ub , | B 0 | bd ,...
m= 1115 MeV
mK= 490 MeV
m= 2280 MeV
mD= 1860 MeV
m= 5640 MeV
mB= 5280 MeV
Adroni con stranezza
S=1
Adroni con charm
C=1
Adroni con beauty
B=1
I numeri quantici S, C, B sono conservati nelle interazioni forti.
31
Quark mixing e angolo di Cabibbo
L’ autostato di interazione dei quark di tipo “down” che entra negli
elementi di matrice di transizione e’ una mistura degli autostati di massa:
q’ = UCKM q
q’ = (d’,s’,b’) , q = (d, s, b )
dove UCKM e’ una matrice complessa unitaria 3x3 detta di
Cabibbo-Kobayashi-Maskawa
[ storicamente, il mixing fu introdotto negli anni ’60  d '   cos qC
   
da Cabibbo per i primi due quark d,s allora noti:
 s'    sin q C
sin q C  d 
 
cos q C  s 
con un unico angolo di mixing (“angolo di Cabibbo”); il formalismo fu
esteso (1973) a 3 famiglie di quarks [ UCKM e’ descritta da 3 angoli di mixing
+ una fase] da Kobayashi e Maskawa.
Discuteremo in dettaglio nella 2a parte del corso la teoria CKM e le sue
verifiche sperimentali. Rimanendo per ora nell’ ambito della teoria di
Cabibbo, nel calcolo dell’ elemento della matrice MSFT compare
la combinazione: d’ = cosqC d + sin qC s e quindi:
Gb=GFcosqC
cos q C 
Gb
GF
 0.974  0.003
qC 13o.
32
Quark mixing e angolo di Cabibbo
Come detto, il primo angolo di mixing fu introdotto da Cabibbo (1963) per
ricondurre ad una sola costante di accoppiamento i decadimenti deboli con
DS = 0 e quelli con | DS | = 1 :
DS=0
n  pe n e
u
u
d
d
n
u
|DS|=1
m+

e-
nm
d
ne
GF
M if  GF [u m (1   5 )un ][uu m (1   5 )ud ' ]
  pe n e u

0
0
p
d
u
   m n m
u
p
d
u
u
d
s
e-
GF
ne
K   m n m
m+
K
s
ud '  cos qC ud  sin qC us
nm
33
Quark mixing e angolo di Cabibbo
Nel processo:
u
   m n m
m+

d
nm
L’ elemento di matrice e’ simile a quello visto per il decadimento del muone
[eq. (2.15’)], con l’ importante differenza che la corrente dello stato iniziale e’
ora costituita da quarks che interagiscono all’ interno di uno stato legato
(il pione):
M if  GF [u m (1   5 )un ] jmhadr
Cio’ e’ parametrizzato da un fattore di forma, analogamente a
quanto fatto per il nucleone nello scattering e.m.
Il pione e’ un mesone scalare (spin J=0); vi e’ quindi un unico fattore di
forma f(q2) (a differenza del nucleone), che va considerato al valore fisso
q2=m2 ; in definitiva:
M if  GF [u m (1   5 )un ]qm f (m2 )
34
Quark mixing e angolo di Cabibbo
Il calcolo di
dG 
M if
2
2m
dQ
procede quindi in maniera analoga a quanto visto sia per il muone che
per il decadimento b, ottenendo
2

m
G 2 cos 2 q C 2
m
G(  mn ) 
f m mm2 1  2
[ vedi Halzen, cap 12.6 ]:
8
 m




2
 mm 
G sin q C 2
2
G( K  mn ) 
f k mk mm 1  2 
8
 mk 
2
2
Per il decadimento del K:
f k2 mk
G( K  mn )
2
 tan q C 2
1  mm2 / mk2
G(  mn )
f m

Sperimentalmente: G( K  mn ) 
G(  mn ) 
cos qC  0.965
BR ( K  mn )
K

BR (  mn )




2
 18.5  tan 2 q C
0.64
s 1
8
1.24 10
1.

s 1
8
2.6 10
2
2
[assumendo
fK(mK2)= f(m2) ]
tan qC  0.27
valore che si discosta di appena 1%
da quello trovato dal rapporto Gb/Gm=0.974
35
Sezioni d’urto dei processi di scattering debole
Vedremo piu’ avanti che la sezione d’ urto per lo scattering debole e’:
(s)  G2 s/
Per s = 1 GeV2 :
 ( s  1GeV )  1,33 10 10 GeV 41GeV 2 /   0.4 10 10 GeV 2 
 0.4 10 10 (0.197 fm) 2  0.4 10 10  0.0388 10 30 m 2 
 0.4 10 10  0.388mb  0.15 10  4 nb
Questa sezione d’urto va confrontata , ad esempio, con quella per lo
scattering e.m. e+e-  m+m- , che vedremo essere:
QED(s=1 GeV) = 87 nb
ossia circa 6 ordini di grandezza maggiore
36
Scattering debole neutrino-quark
Il calcolo della sezione d’ urto del processo di scattering debole nd e- u
procede in maniera analoga a quella del processo elettromagnetico
eq eq , con le sostituzioni:
2 2
e e q 
 4   G 2
 q 
 m   m (1   5 )
Il termine che nel processo di QED vale [cfr. (1.15) e (1.16’), trascurando il
termine in mq2]:
2
e
2
q
m m M if
2
 e 2e 2 q 
e 2e 2 q  s 2  u 2 
  4 2[( k ' p' )( kp)  (k ' p)( kp' )] 
 2 
q
2


 t

ora vale [di nuovo, calcolo laborioso; cfr. Perkins, app.F ] :
(2.16)
2
e
2
q
m m M if
2
 4G [( k ' p' )( kp)]  G s
2
2 2
s/2
dove si e’ utilizzata la variabile s di Mandelstam.
n k
p
d
k’
ep’
u
s=(k+p)22kp
37
Scattering debole neutrino-quark
In definitiva, per la sezione d’urto [cfr. (1.14’)]:
d
1 mm

M if
2
d (2 )
s
2
e
d  2 sin  d 
*
*
 2d (cos  * )  4dy
2
q
 d

 dy
2

2
G s
(2 ) 2
k=(E,k)
n
2 2

1 me mq


M if
2
s
nn emddemuu (2 )
e-
k’=(E’, k’)
q*
d
u
2

G2s

(2.17)
dove si e’ espressa la sezione d’urto in funzione della variabile di
inelasticita’ introdotta nel DIS [cfr. (2.8)]:
E  E'
y
E
1
1  y  (1  cos  * )
[ si dimostra, vedi es. 2.1:
d (cos  * )  2dy
2
dove q* e’ l’angolo di scattering nel CM; N.B.: la relazione tra y e l’angolo
di scattering nel laboratorio e’:
]
Mxy
38
2
sin  / 2 
2E '
Scattering debole n-quark
B
n
Per il processo di diffusione da anti-neutrini (dal punto
di vista sperimentale, interessa lo scattering da
anti-neutrini del muone): n u  m  d
m
o del processo di scattering inverso: m  d n m u
l’ elemento di matrice e’ lo stesso del processo
da neutrini:
n m d  m u
A
d
(I)
D
m-
k
k’
p
p’ u C
dn m  um 
AB  CD
s  ( p A  pB )  ( pd  pn ) 2
u  ( p A  p D )  ( pd  p m  ) 2
se si sostituiscono le particelle della corrente leptonica
crossing
(n, m) con le antiparticelle con momenti opposti
(“crossing”), ossia sostituendo [per le relazioni tra
B
-k’ D
-k
nm
le variabili di Mandelstam, vedi es. 2.3]:
m+
s
s  u   (1  cos  )
2
A
nelle variabili cinematiche che entrano nell’ ampiezza
di scattering:
2 2
(2.18) me mq
 M if
spin
2
 G 2 s 2  me2 mq2  M if
spin
2
 G 2u 2
d p
( II )
p’
u
C
dm   un m
AD  CB
s ( II )  ( pd  pm  ) 2 
 ( pd  p m  ) 2  u ( I )
Scattering debole n-quark
In definitiva, con la sostituzione (2.18) la sezione d’urto (2.17) diventa:
d
1 1 2 2

me mq  M if
2
d (2 ) s
spin
d  4dy
1  cos   2(1  y )
 d

 dy
2
G 2u 2
G 2 s(1  cos  ) 2


2
(2 ) s
(2 ) 2 4

G2s


(1  y ) 2

n m u  m  d
(2.19)
dove di nuovo si e’ espressa la sezione d’urto differenziale in funzione
della variabile di inelasticita’ y.
Per invarianza rispetto all’inversione CPT, si ha inoltre:
 d

 dy

 d 
G2s


 

(1  y ) 2

n m u  m  d  dy n m u  m  d
(2.19’)
40
Scattering debole n-quark
Riassumendo, abbiamo i seguenti “mattoni fondamentali” per costruire
le sezioni d’ urto di diffusione neutrino - nucleone:
 d

 dy
Notiamo le
elicita’:

G2s


m u

nn m dd 
 m u
m
 d

 dy

G2s


(1  y ) 2
m d

nn m uu 
m d
m
m-
n
m+
n
q d
q u
d
u
q:
q:
m-
u
 elicita’ permessa per m, d
m+
d
 elicita’ proibita per m, d
 la sezione d’urto si annulla a q
(ossia ad y = 1; si ricordi: 1-y=(1+cosq)/2 )
Siamo ora in grado di studiare il processo di deep inelastic scattering
debole, utilizzando cioe’ come sonde i neutrini e gli anti-neutrini; vedremo che
essi mettono in evidenza la stessa struttura nucleare (lo stesso andamento
delle densita’ partoniche in funzione del momento frazionario x e lo stesso
41
comportamento di invarianza di scala delle funzioni di struttura).
Scattering neutrino-nucleone
Abbiamo visto che la sezione d’urto doppio-differenziale per il DIS
elettromagnetico su una targhetta isoscalare e’ data dalla (2.9):
 d 
2 2 s
2



1

(
1

y
)
F2 ( x) 
4
q
(2.9)  dxdy eN eX


2 2 s
2 5
q( x)  q ( x)x

1  (1  y )
4
q
18


ottenuta sulla base dell’ ipotesi partonica e della sezione
d’urto del processo elementare di QED (scattering Mott
eeqeq), che nella forma Lorentz-invariante (1.16’’) e’:
k
2 2
2 2
2
2
2
1 e eq  s  u 
1 e eq s  u 
 d 

1 2  


 2 
2
2
2 
d

(
4

)
2
s
t
(
4

)
2
t

eq eq


 s 
2
2 2
e 2eq2 s   1
1 e eq s
 
2



1

(
1

cos

)

1

1

y




2
4
(4 ) 2 2q 4   2
  (4 ) 2q

1
t =-q2
u = -s(1+cosq)/2
= 1-y

e-
e
k’
q=k’-k
quark
p
eq
p’
quark
42
Scattering neutrino-nucleone
In maniera analoga, partendo dalle sezioni d’urto
elementari (2.17) e (2.19’) per lo scattering debole:
 d
(2.17) 
 dy

G2s



n m d  m u
 d
(2.19’) 
 dy

G2s


(1  y ) 2

n m u  m  d
 d 
G2 1



xsq( x)  xs(1  y) 2 q ( x)
 dxdy nN m  X  2
(si ricordi la sostituzione:
G
k’
d
nm
si ottiene la sezione d’urto per lo scattering di
neutrino su una targhetta isoscalare che contiene
quark q(x) ed antiquark q(x):

m-
nm k

u
u
k
G
k’
m-
d
(2.20)
e 2e 2 q (4 ) 2  2e 2 q
2


G
;
q4
q4
43
l’ energia del CM del processo elementare che coinvolge il quark di momento
frazionario x all’ interno del nucleone e’ s’=xs )
Scattering n-N
nm
Gli anti-neutrini vengono diffusi dai quark u e anti-d
all’ interno del nucleone; la loro sezione d’urto e’
data quindi da:
 d 
G 1



xs(1  y) 2 q( x)  xsq ( x)
 dxdy n N m  X  2
2


k’
G
u
(2.21)
nm
d
k
G
Ne consegue dunque che nell’ ipotesi partonica,
la somma delle sezionid’urto doppio differenziali
per lo scattering di neutrini e di anti-neutrini:
 d 


 dxdy nN m  X
m+
k
k’
u
d
 d 
G 2 xs
G 2 xs
2

 

1  (1  y) q( x) 
1  (1  y) 2 q ( x)
2
2
 dxdy n N m  X

 d 


 dxdy nN m  X



 d 
G 2 xs

 

1  (1  y) 2 q( x)  q ( x) 
2
 dxdy n N m  X

m+

misura la stessa funzione di densita’ partonica q(x)+q(x) misurata dallo
scattering e.m. eqeq [cfr. (2.9) e (2.9’)].
44
Scattering n-N
 d 

(2.22) 
 dxdy nN m  X
 d 
G2s
G2s
2

 

1  (1  y) xq( x)  q ( x) 
1  (1  y) 2 F2nN ( x)
2
 dxdy n N m  X 2




F2nN   f i ( x) x  [q( x)  q ( x)] x
dove si e’ introdotta la
funzione di struttura “debole”:
i
analogamente a quanto fatto per lo scattering e.m.
La predizione del modello a quark per il nucleone, con le assegnazioni
di carica +2/3 e -1/3 per i quark up e down , e’ quindi che il rapporto:
 d 


 dxdy eN eX
 d 
 d 



 
 dxdy nN m  X  dxdy n N m  X
sia indipendente da x, e che la funzione
di struttura F2nN misurata attraverso la
relazione (2.22) sia:
18
F2nN ( x)  F2eN ( x)
5
e’ la funzione di struttura e.m. misurata attraverso la relazione
dove F2eN
(2.9) :
 d 
2 2 s
2
eN



1

(
1

y
)
F
2 ( x)
4
q
 dxdy  eN eX


45
Scattering n-N
La verifica sperimentale fu data dal confronto dei dati dai neutrini ottenuti
con la camera a bolle GARGAMELLE
F2nN(x)
( situata inizialmente presso il
proto-sincrotrone (PS) da 26 GeV
del CERN; successivamente collocata
presso il SuperProtoSincrotrone (SPS)
da 400 GeV)
con i dati di DIS e.m. di SLAC:
[ da: Perkins,
Fig.8.12 ]
x=-q2/2Mn
A differenza dello scattering e.m., l’ insieme dei dati di neutrini e anti-neutrini
permette di separare il contributo da quark ed antiquark; infatti :
 d 
(2.23) dxdy 

nN m  X
2
 d 
G2s
G
s

 

1  (1  y) 2 xq( x)  q ( x) 
1  (1  y) 2 xF3nN ( x)
46
2
 dxdy n N m  X 2




Scattering n-N
dove si e’ introdotta la funzione:
F3nN  q( x)  q ( x)
E’ quindi possibile determinare
separatamente le densita’ partoniche
di quark e anti-quark:
q( x)  ( F2  xF3 ) / 2 x
q ( x)  ( F2  xF3 ) / 2 x
[da: Perkins, Fig. (8.13)]
x=-q2/2Mn
Sperimentalmente si osserva che i quarks sono portatori di circa il 70% del
momento totale portato dai partoni; gli antiquark sono concentrati a valori47di
basso momento frazionario.
Scattering n-N
Dai dati risulta:
1
1
1
18
nN
eN


q
(
x
)

q
(
x
)
xdx

F
(
x
)
dx

F
2 ( x)dx  0.50
0
0 2

5 0
ossia l’integrale del momento frazionario portato dai partoni e’ all’incirca solo
la meta’ del momento totale del nucleone
vi sono altri costituenti, non dotati di carica e.m. e debole, che sono portatori
di un’ equivalente frazione di momento; essi sono, come vedremo, i “gluoni”,
i mediatori dell’ interazione forte tra i quark all’ interno del nucleone.
L’integrale di F3(x)=q(x)-q(x) misura invece il numero di quarks di valenza nel
nucleone, poiche’ il ‘mare’ contiene un egual numero di quark e antiquark;
Vale cioe’ la ‘regola di somma” di
1
Gross-Llewelling Smith:
nN
F
3
( x)dx  3
0
che risulta verificata sperimentalmente [CDHS, Zeit.Phys.C1,143 (1979),
Phys.Rev.Lett.42, 1317 (1979)]
48
Scattering neutrino-nucleone
Collisione di CC nN nella
Big European Bubble Chamber
(BEBC):
n m N  m   adroni
nm
m
“Narrow-band” n beam al
SPS del CERN, En200 GeV;
il muone e’ identificato grazie alla
sua penetrazione attraverso il ferro
posto a monte della camera, e
misurato da camere a fili proporzionali
[da: Perkins, Fig. 8.1]
49
BEBC
[Nucl.Instr.Meth. 154 (1978), 445.]
Camera a bolle:
- Targhetta : mistura H2/Ne
- Massa fiduciale M = 14 tons
- Immersa in un campo magnetico
B= 3 T (magnete superconduttore)
Dp/p 7%
Identificatore di muoni:
nm
beam
150 m2 di camere proporzionali a multifilo
(MWPC)
50
Esperimento CDHS
n beam
( Cern-Dortmund-Heidelberg-Saclay
collaboration)
[Nucl. Instr.Meth. 148 (1978) 235 ]
Fe+scintillatore;
(19 moduli, separati da
camere a deriva)
Massa 1200 tons
eventi di CN
(vedi dopo)
eventi di CC
51
Confronto F2nN - F2e.m.
F2
Esperimenti BCDMS, NMC:
e-N scattering a SLAC
Esperimento CCFR:
nN scattering al CERN
5 vN
F ( x, q )  F2 ( x, q 2 )(1   corr ( s ( x), c( x))
18
eN
2
2
piccola correzione per i
quark strange e charm del “mare”
Notare la dipendenza di F2 da q2
a x fissato (“violazione dell’
invarianza di scaling”, vedi dopo)
Q2(GeV2)
[QCD Workshop, Aachen, 1992]
52
Fasci di neutrini
Principio di funzionamento:
Lo spettro di adroni secondari nella
collisione altamente anelastica di
p (450 GeV) su targhetta di Berillio:
Lo spettro ‘ideale’ di energia di
neutrini di decadimento da un fascio
monocromatico di adroni (pioni e kaoni)
di energia EH:
m= 140 MeV
2
2
m H  mm
mK= 494 “
En  E H 2
mm= 106 “
mH  E H2  2
[  es. 2.4 ]
angolo di decadimento del n
,K m nm
53
Fasci di neutrini
n beam setup al CERN:
Spettro dei n nel
“Narrow Band Beam” (NBB) del CERN
Effetti di:
- divergenza angolare del fascio
di adroni primario
- dispersione in energia del
fascio primario
54
Es.2.1: variabile di inelasticita’
Dimostriamo la relazione:
k’=(E’, k’)
1
(1  cos  * )
m2
k=(E,k)
q*
per la variabile di inelasticita’: y  E  E '
n
p d
E
p’ u
Si ha:
E ' mq E ' pk '
[ q*: angolo di diffusione nel CM;
1 y  

E mq E
pk
nel laboratorio: y  2 E ' sin 2  / 2 ]
Mx
1 y 
( E, E’ si intendono misurate nel laboratorio, in cui p=(mq,0) e quindi
pk’=mqE’ e pk=mqE )
Allora:
e quindi:
  2
pk ' | p || k ' |  p  k ' | p | (1  cos(   * )) 
k’

q* m| p 2 | (1  cos  * )
p
q*


d
pk | p 2 | (1  cos  )  2 | p 2 |
pk ' 1
 (1  cos  * )
pk 2
55
Es.2.2: calcolo di dE’d
Dimostriamo la relazione:
Ricordiamo:
y
n
E

dE ' d  2M
E
ydxdy
E'
E  E'
E'
 1
E
E
dE '   Edy
d  2 sin d  2  d cos
dE ' d  Edy 2  d cos 
Inoltre:
sin 2 ( / 2)  (1 / 2)(1  cos  )
2d sin 2 ( / 2)  d cos 
dE ' d  4Edy  d sin 2 ( / 2)
 q 2  4EE' sin 2  / 2  2E ' sin 2  / 2
Ricordiamo inoltre:
x


2Mn
2MEy
My
 2E ' d sin 2  / 2
Mydx
Ad` un fissato y : dx 
2

d
sin

/
2

My
2E'
Mydx
E
e quindi: dE ' d  4Edy  2 E '  2M E ' ydxdy
56
Es.2.3: relazioni tra le variabili di Mandelstam
Richiami sulle relazioni tra le variabili di
Mandelstam:
k
k’
s  (k  p ) 2  (k ' p ' ) 2  2kp  2k ' p '
t  (k  k ' ) 2  q 2
p
u  (k  p ' )  (k ' p )  2kp'  2k ' p
2
p’
2
k’
k
In funzione dell’ angolo di scattering nel CM:
 
s  (k  p )  2kp  2( EEq  k  p ) 
n
q
quark
p
2
 2(k 2  k 2 cos  )
t  (k  k ' ) 2  2kk' 
 2( EE 'kk' cos  )  2k (1  cos  )
2
u  (k  p' ) 2  2kp' 
 2k (1  cos(   ))  2k (1  cos  )
2
2
2
s  4k 2  ECM
s
t   (1  cos  )
2
s
u   (1  cos  )
2
57
Es.2.4: energia di fasci di neutrini
Dimostrare la relazione:
En  E H

pn

p

pm
mH2  mm2
mH2  E H2  2
angolo di decadimento del n



p  pm  pn

 2
( p  pn )  p2  En2  2 p En cos  pm2
E  Em  En
E2  m2  En2  2 p En cos  Em2  mm2
 E2  En2  2E En  mm2
2 En
( E2  p E cos  )  D
E
2En ( E  p cos )  m  mm  D
2
2
Per l’ espressione entro parentesi si ha:
E2  E E2  m2 cos   E2  E2 1  m2 / E2 cos  
 E2  E2 (1  m2 / 2 E2 )(1   2 / 2) 
 E  E (1   / 2  m / 2 E  m  / 4 E )  E  / 2  m / 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
58
Es.2.4: energia di fasci di neutrini (cont.)
In definitiva:
2 En 2
2 En  E2 2 m2 
2
2
( E  p E cos  ) 


D

m

m

m


E
E  2
2 
En  E
m2  mm2
m2  E2 2
59