Elaborazione numerica del suono Elaborazione numerica del suono 1 Campionamento Campionare un segnale elettrico significa determinare il suo valore ad intervalli prefissati di tempo. La frequenza di campionamento (fc) è il numero di campioni ottenuti in 1 secondo Inoltre il valore ottenuto è noto solo con precisione finita, causa il “numero di bit” del convertitore, che è limitato (tipicamente compreso fra 16 e 24) Conseguentemente, su un piano ampiezzatempo, la forma d’onda analogica è approssimata da una serie di punti giacenti sui nodi di un reticolo Elaborazione numerica del suono 2 Discretizzazione in ampiezza e nel tempo DV Dt Segnale analogico Segnale digitale (campionato) Elaborazione numerica del suono 3 Puo’ il segnale campionato rappresentare “fedelmente” quello originale? Sì, ma solo se si rispetta il teorema di Shannon: “La frequenza di campionamento deve essere almeno doppia della frequenza del segnale analogico che viene campionato” La frequenza pari a metà di fc viene detta “frequenza di Nyquist” – onde evitare che segnali a frequenza maggiore di essa siano presenti all’ingresso del campionatore, occorre un filtro analogico passa-basso che elimini ogni segnale al di sopra della frequenza di Nyquist. Tale filtro viene detto “anti Aliasing”. Elaborazione numerica del suono 4 ESEMPI CD audio – fc = 44.1 kHz – risoluzione 16 bit La frequenza di Nyquist è dunque pari a 22.05 kHz, ed il filtro anti-aliasing comincia a tagliare attorno ai 20 kHz, affinchè a 22.05 kHz il segnale sia attenuato di un’ottantina di dB. Registratore DAT – fc = 48 kHz – risoluzione 16 bit La frequenza di Nyquist è dunque pari a 24 kHz, ed il filtro antialiasing comincia a tagliare sempre attorno ai 20 kHz, affinchè a 24 kHz il segnale sia attenuato di un’ottantina di dB. DVD Audio – fc = 96 kHz – risoluzione 24 bit La frequenza di Nyquist è dunque pari a 48 kHz, ma il filtro antialiasing comincia a tagliare attorno ai 24 kHz, affinchè a 48 kHz il segnale sia attenuato di oltre 120 dB. Un filtro siffatto è molto meno ripido di quello del CD o del DAT, e conseguentemente è molto più “corto” nel tempo e non distorce la forma d’onda. Elaborazione numerica del suono 5 Risposta all’impulso Elaborazione numerica del suono 6 Un semplice sistema lineare Sistema fisico (un ingresso, una uscita) Lettore CD Amplificatore Altoparlante Microfono Analizzatore Sistema Schema a blocchi x(t) h(t) y(t) Input signal System’s Impulse Response (Transfer function) Output signal Elaborazione numerica del suono 7 Filtraggio FIR (Finite Impulse Response) x ( t ) x ( i Dt ) h( t) h (i Dt) y( t) y(i Dt) L’effetto del sistema lineare h sul segnale x è descrivibile tramite l’operazione di convoluzione discretizzata: N 1 y(i) x i j h j j0 Tale operazione si chiama anche filtraggio FIR – quindi qualunque sistema fisico che opera linearmente (senza distorsione) è in realtà un filtro FIR. In notazione compatta: y(i) xi h j Operatore “convoluzione” Elaborazione numerica del suono 8 Filtraggio IIR (Infinite Impulse Response) x ( t ) x ( i Dt ) a ( j) b( j) y( t) y(i Dt) L’effetto del sistema lineare sul segnale x è descrivibile alternativamente anche tramite un filtraggio “ricorsivo”: y( i ) N 1 N 1 j0 j1 x i j a j yi j b j In pratica, quindi, il segnale y, già filtrato agli istanti precedenti viene usato per calcolare il nuovo campione del segnale filtrato. In molti casi pratici questo consente di rappresentare fedelmente un sistema (un filtro) con un ridotto numero di coefficienti A e B, mentre con il filtraggio FIR, per effettuare un identico filtraggio, sarebbero occorsi migliaia di coefficienti. Elaborazione numerica del suono 9 L’algoritmo FFT La trasformata veloce di Fourier è molto impiegata in acustica. Gli scopi sono principalmente due: o Analsi spettrale in banda costante o Filtraggio FIR veloce L’FFT consente il passaggio fra un segnale nel tempo (“forma d’onda”) e la sua rappresentazione in frequenza (“spettro”), con risoluzione a bande costanti da 0 Hz (DC) alla frequenza di Nyquist (metà della frequenza di campionamento) Maggiore è la lunghezza del segnale nel tempo analizzato, migliore sarà la risoluzione in frequenza dello spettro ottenuto: [N punti campionati nel tempo] => [N/2+1 bande in frequenza] (il +1 rappresenta la risposta alla frequenza 0, cioè la componente continua del segnale, che in acustica si assume per definizione nulla, in quanto la pressione atmosferica viene sottratta) Elaborazione numerica del suono 10 L’algoritmo FFT Il numero di punti processati e deve essere sempre una potenza di 2, ad esempio 4096, 8192, 16384, etc. Segnale nel tempo (64 punti) IFFT FFT E’ anche possibile la trasformata inversa (da spettro a segnale nel tempo) Spettro in frequenza (32 bande + DC) Elaborazione numerica del suono 11 Filtraggio FIR veloce mediante FFT La convoluzione e’ piu’ efficente se effettuata nel dominio della frequenza: x(n) FFT x(n) h(n) y(n) X(k) X(k) H(k) IFFT Y(k) Problemi • Occorre acquisire l’intero segnale prima di poterlo filtrare • se n è grande occorre una FFT che occupa molta memoria. Soluzione • Algoritmo “Overlap & Save” Elaborazione numerica del suono 12 Schema a blocchi Overlap & Save Convoluzione veloce FFT con Overlap & Save (Oppenheim & Shafer, 1975): xm(n) FFT N-point x h(n) IFFT Xm(k)H(k) Select last N–Q+1 samples FFT N-point Append to y(n) Problemi • Eccessiva latenza di processamento fra input ed output • Se N è grande, continua a servire molta memoria Soluzione • Algoritmo “uniformly-partitioned Overlap & Save” Elaborazione numerica del suono 13 Uniformly Partitioned Overlap & Save La risposta all’impulso del filtro h(n) e’ anch’essa partizionata in blocchi di uguale dimensione (K punti) 1st block 2nd block 3rd block 4th block Elaborazione numerica del suono 14
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