Progetto lauree scientifiche
Unità 2
Costruzione con riga e
compasso di poligoni
iscritti in una circonferenza
A cura di Maurizio Dini e Paola Gario
Dipartimento di Matematica
“F. Enriques”
Università degli Studi di Milano
Poligoni regolari e circonferenze
1° problema: dato un n-gono regolare costruire con
riga e compasso la circonferenza ad esso inscritta (o
circoscritta)
Il problema
ha sempre
soluzione!
Sarà vero anche per
il problema inverso?
Poligoni regolari e circonferenze
2° problema: data una circonferenza costruire con
riga e compasso un n-gono regolare ad essa
inscritto (o circoscritto)
Ad esempio
il 7-gono!
Cosa sentono le mie orecchie!
Ci sono poligoni regolari che non si
possono costruire con R & C !
Carl F. Gauss 1777-1855
Poligoni regolari e circonferenze
RIEPILOGANDO:
1° problema: dato un n-gono regolare costruire con riga e
compasso la circonferenza ad esso inscritta (o circoscritta)
2° problema: data una circonferenza costruire con riga e
compasso un n-gono regolare ad essa inscritto (o
circoscritto)
Il 1° problema ammette sempre soluzione.
Il 2° problema no.
Ne riparleremo la
prossima volta. Per
ora fidatevi di
Gauss.
Prime costruzioni
Partiamo da una circonferenza e costruiamo
il 6-gono (esagono regolare) con R & C.
Provate voi!
Prime costruzioni
Ora, partendo dal 6-gono,
sapreste costruire un 12-gono,
un 24-gono, un 48-gono, ... ?
Basta
dimezzare!
Prime costruzioni
Abbiamo ottenuto così la Proprietà 1:
Se il k-gono regolare è costruibile con R & C
allora lo sono anche tutti i 2nk-goni per ogni n>0.
Prime costruzioni
Non è difficile ricavare anche una seconda proprietà:
Se l’ n-gono regolare è costruibile allora lo sono anche
tutti i k-goni con k > 2 divisore di n.
Ad esempio il 30-gono:
30 ha 3, 5, 6, 10 e 15 come fattori.
Unendo i suoi vertici uno ogni
15-gono
10-gono
10
6532 otteniamo un 5-gono
6-gono
3-gono
Il pentadecagono
Il triangolo equilatero (3-gono regolare) e il pentagono
regolare sono costruibili con R & C.
Una costruzione è presentata da Euclide nei suoi Elementi.
Quella
La costruzione
del 5-gono
del
fingiamo
3-gono la
di
conoscerla
sappiamo già...
fare!
Ve la farò nella
prossima lezione!
Oddio...
Euclideee!
Il pentadecagono
In una stessa circonferenza supponiamo di aver
inscritto il 3-gono regolare ACF e il 5-gono
regolare ABDEG. Questo ci permetterà di
costruire il 15-gono regolare.
Provate voi!
Il pentadecagono
“Sia AC il lato di un triangolo equilatero iscritto nel cerchio e sia AB il
lato di un pentagono equilatero pure iscritto nel cerchio; perciò, dei
quindici archi uguali di cui consta la circonferenza del cerchio ABCD,
l’arco ABC, che è un terzo della circonferenza, verrà a constare di
cinque (archi) mentre l’arco AB, essendo un quinto della circonferenza,
verrà a constare di tre. Quindi l’arco
M
B
C
BC che rimane consterà di due di
quei quindici archi. Si divida l’arco
D
BC per metà in M.
Ciascuno dei due archi BM ed MC è
perciò 1/15 della circonferenza.”
A
Dagli Elementi di Euclide - Libro IV
E
G
F
Il pentadecagono
Poiché 1/5 = 3/15 , 1/3 = 5/15 e 5/15 - 3/15 = 2/15 , l’arco BM si
ricava bisecando l’arco BC ottenuto dalla differenza tra
l’arco AC e l’arco AB.
M
3
B
4
5
C
6
2
D
7
1
A
8
15
9
E
14
10
13
G 12
11
F
Il pentadecagono
Il ragionamento di Euclide consiste nel determinare una
combinazione lineare a coefficienti interi di 1/5 e 1/3 che
dia proprio 1/15 come risultato:
1
1 1
x y 
5
3 15
x, y  Z
ovvero si tratta di determinare una soluzione intera
dell’equazione:
3x  5 y  1
Poiché la coppia (2, -1) è una soluzione, l’arco cercato può
essere ottenuto come differenza tra l’arco che sottende due
lati del pentagono e l’arco che sottende il lato del triangolo.
Il 51-gono regolare
Il “metodo” usato per costruire il (3x5)-gono
regolare, può essere applicato anche ad altri casi.
Provate a
costruire il
(3x17)-gono
regolare!
Ehi… ma il
17-gono chi
me lo dà?
Approfondimento
Il “metodo” generale usato consiste in questo.
Si parte da una circonferenza divisa in n parti e in m parti.
Tanti (x) archi da 1/m
sottratti a
tanti (y) archi da 1/n
devono dare
un arco da 1/mn
Tradotto in equazione:
x/m
y/n
1/mn
1
1
1
x y 
m
n
mn
dove x e y dovranno essere interi opportuni di segno
opposto.
Approfondimento
L’equazione si riscrive:
nx  my  1
(*)
Attenzione: cerchiamo le soluzioni intere!
E’ un’equazione
diofantea!
Anche quella
delle mie terne
pitagoriche!
Pitagora 571-496 aC
Anche quelle
del mio ultimo
teorema!
P. de Fermat 1601-1665
Approfondimento
Attenzione: non sempre una equazione come la
(*) ammette una soluzione intera. Ad esempio:
12 x  10 y  1
Perché?
non ha soluzioni intere.
Perché non
può essere
che...
26x  5 y   1
ovvero
1
6x  5 y 
2
con x e y interi!
Approfondimento
In generale: se i numeri m ed n hanno dei
fattori in comune allora l’equazione
nx  my  1
non ammette una soluzione intera.
E’ vero anche
il viceversa!
Non è difficile spiegarlo
ma ora non ho tempo.
Andate a leggere il
mio libro VII.
Approfondimento
Riassumendo abbiamo individuato una ulteriore
proprietà:
Proprietà 3
Se un m-gono e un n-gono regolari possono essere
costruiti con R & C e se MCD(m, n) = 1 allora
anche il nm-gono regolare è costruibile con R & C.