2. Studio del dominio e del segno delle funzioni
Si è soliti iniziare lo studio delle funzioni con il dominio. Si tratta di escludere quei valori della variabile
indipendente per i quali la funzione non è calcolabile. Il numero di casi ai quali fare attenzione è in realtà
abbastanza limitato, e cioè:
1.
n
2.
g (x )
⇒ f (x ) ≠ 0
f (x )
3.
loga f (x ) ⇒ f (x ) > 0
4.
α
g (x )
[ f (x )] , α ∈ ℝ ⇒ f (x ) ≥ 0; [ f (x )] ⇒ f (x ) > 0
f (x ), n pari ⇒ f (x ) ≥ 0
π
+ k π; k ∈ ℤ
2
arcsin f (x ), arccos f (x ) ⇒ −1 ≤ f (x ) ≤ 1
tan f (x ) ⇒ f (x ) ≠
5.
6.
A seguire si procede con lo studio del segno, cioè con la ricerca dell’insieme di positività e di negatività.
Esempio 10
(polinomi ReF p312-313da114a120)
Studiare dominio e segno della seguente funzione:
y = x 3 − 7x + 6
Studio del Dominio
La funzione è un polinomio di terzo grado. Poiché non è presente nessuno dei casi di esclusione elencati
sopra il dominio è tutto l’insieme dei numeri reali
D:ℝ
Studio del Segno
Scomponiamo il polinomio in fattori. Com’è noto le radici razionali di un polinomio a coefficienti interi, se
esistono, sono da ricercare della forma:
±
divisori del termine noto
divisori coefficiente grado max
abbiamo che i divisori del termine noto 6 sono 6, 3, 2,1 , mentre il coefficiente del termine di grado massimo
è 1 . Sono quindi candidati ad essere radici razionali i numeri ±6, ±3, ±2, ±1 .
Verifichiamo x = 3 :
33 − 7 × 3 + 6 = 12
non è dunque radice.
Verifichiamo x = −3 : −27 + 21 + 6 = 0 , è radice.
Eseguiamo quindi la divisione del polinomio per x + 3 oppure adoperiamo Ruffini:
x3
−x
0
3
−7x
0
2
6
−3x
−3x 2
0
−7x
0
6
3x 2
9x
0
0
2x
6
−2x
−6
0
0
x +3
x − 3x + 2
2
1
−3
1
0 −7 6
−3 9 −6
−3 2
0
−
+
1
+
2
10
Le altre due radici, 1 e 2 si trovano facilmente risolvendo
l’equazione x 2 − 3x + 2 = 0 . Riscrivendo la funzione nella
forma f (x ) = (x + 3)(x 2 − 3x + 2) eseguiamo il prodotto dei
segni:
−3
1
−3
2
segno di x 2 − 3x + 2 +
+
−
+
−
+
+
+
−
+
− +
segno di x + 3
2
1
0
Nel piano cartesiano si procede quindi a cancellare le
regioni dove la funzione non esiste.
Esempio 8 (radici ReF p308n48-49-50)
Studiare dominio e segno della seguente funzione:
y = x 3 − 7x + 6
Studio del Dominio
La funzione è una radice di indice pari di polinomio di terzo
grado. Questa è definita solo per valori positivi o nulli
dell’argomento. Dobbiamo imporre quindi:
−3
0
1
2
x 3 − 7x + 6 ≥ 0
Avendo già studiato il segno di questo polinomio nell’esempio
precedente possiamo concludere che:
D : [−3;1] ∪ [2; +∞)
Nel piano cartesiano si procede quindi a cancellare le regioni dove la funzione non esiste.
Studio del Segno
Una radice di indice pari, laddove esiste, è sempre positiva o nulla. Possiamo quindi concludere che:
x 3 − 7x + 6 ≥ 0
∀x ∈ D
e quindi cancellare il semipiano negativo nelle regioni rimaste.
Esempio 9
Studiare dominio e segno della seguente funzione:
y = 4 − x2
Studio del Dominio
La funzione è una radice di indice pari di polinomio di secondo grado.
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Dobbiamo imporre quindi:
−2
4 − x2 ≥ 0
−
2
−
+
che risolta fornisce :
D : [−2;2]
2
0
−2
Studio del Segno
Una radice di indice pari, laddove esiste, è sempre positiva o
nulla. Possiamo quindi concludere che:
4 − x2 ≥ 0
∀x ∈ D
e quindi cancellare il semipiano negativo nelle regioni
rimaste
Esempio 10
Studiare dominio e segno della seguente funzione:
y=
x −3
x 2 + 2x
Studio del Dominio
La funzione è una radice di indice pari di una funzione razionale fratta. Questa è definita solo per valori
positivi o nulli dell’argomento. In aggiunta dobbiamo escludere quei valori che rendono nullo il
denominatore. Dobbiamo imporre quindi:

x −3


≥0

 x 2 + 2x




2


x + 2x ≠ 0
Studiamo il segno della prima quantità facendo il prodotto dei suoi fattori:
x 2 + 2x ≥ 0 ⇒ x (x + 2) ≥ 0 ⇒ (−∞; −2] ∪ [0; +∞)
−2
−2
segno di x − 3
2
segno di x + 2x
−
+
x −3> 0 ⇒ x > 3
0
+
0
3
−
−
−
+
+
−
+
+
−
+
−
+
possiamo concludere che D : (−2; 0) ∪ [3; +∞)
Studio del Segno
Una radice di indice pari, laddove esiste, è sempre positiva o nulla. Possiamo quindi concludere che:
12
x −3
≥0
x 2 + 2x
∀x ∈ D
e quindi cancellare il semipiano negativo nelle regioni dove
esiste. Notare che i punti isolati dove la funzione non è
definita sono rappresentati da linee continue nel
diagramma, a differenza dei punti dove cambia il segno, per
i quali usiamo una linea tratteggiata
−2
0
3
Domini di funzione Re Fraschini p. 17-23 segno p. 23-25
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