Corso di
ELETTROTECNICA
I metodi delle correnti cicliche
e dei potenziali ai nodi
Presentazione a cura del
Prof. Alvise Maschio
Dipartimento di Ingegneria Elettrica
Università di Padova
19/12/2015
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Eliminazione delle tensioni - 1


Sia data una rete lineare, in cui tutti i lati sono sede
di bipoli riconducibili a generatori affini di tensione.
In particolare, in nessun lato si trova un generatore
ideale di corrente.
Come esempio, si prenda la rete di figura.
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Eliminazione delle tensioni - 2
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Eliminazione delle tensioni - 3

La rete di figura è caratterizzata dai seguenti
parametri:
l 6
n  4

n 1 3

m  l (n 1) 3

Si possono quindi scrivere n – 1 equazioni
applicando la LKC ed m equazioni applicando la
LKT.
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Eliminazione delle tensioni - 4

Le LKC ed LKT vengono scritte per gli insiemi di
taglio e le maglie fondamentali individuabili, ad
esempio, nel grafo di figura.
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Eliminazione delle tensioni - 5

Nelle equazioni sono sottolineate le correnti relative
ai lati di albero (rami) e le tensioni relative ai lati di
coalbero (corde).
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n 1 LKC
m LKT
 I3  I 4  I1  0

I1  I 5  I 2 0
 I2  I6  I 3  0

V1 V4 V5  0

V2  V6 V5  0
V3 V4 V6 0

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Eliminazione delle tensioni - 6

Alle l equazioni precedenti vanno aggiunte le l
equazioni tipologiche dei bipoli presenti nei vari lati.
V1  E1  R1 I1
V2   E 2  R2 I 2
V  E  R I
3
3
3 3

V4  E 4  R4 I4

V  E 5  R5 I5
 5
V6  E 6  R6 I6
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Eliminazione delle tensioni - 7

Si possono ora eliminare le tensioni: ci si riduce ad
un sistema di l equazioni nelle l correnti.
 I3  I 4  I1  0
I1  I 5  I 2 0
 I  I  I  0
2
6
3

R1 I1  R5 I5  R4 I 4  E 1  E 5  E 4

R I  R I  R I  E 2  E6  E 5
 2 2 6 6 5 5
R3 I 3  R4 I 4  R6 I6  E 3  E 4  E6
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Eliminazione delle tensioni - 8

Vi sono m equazioni del tipo:
  RI    E

e n - 1 equazioni del tipo:
  I 0
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Eliminazione delle correnti di albero - 1

Nel grafo corrispondente alla rete si individuino un
albero ed il relativo coalbero. Si eliminano le n -1
correnti nei rami Irh e ci si riduce ad un sistema di
m equazioni nelle correnti sulle corde Ick.
Irh k  I ck

h 1,....,n 1
k taglio fond. rh
Si utilizzano quindi i vincoli sulle correnti degli
insiemi di taglio fondamentali. I  I  I
 4 3 1
I 5  I1  I2
I  I  I
 6 2 3
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Eliminazione delle correnti di albero - 2

Sostituendo nel sistema di l equazioni scritto in
precedenza si ottiene:

(R1  R5  R4 ) I1  R5 I 2  R4 I3  E 1  E 5  E 4
(R5  R2  R6 )I 2  R5 I1  R6 I 3  E 2  E 6  E 5
(R  R  R ) I  R I  R I  E  E  E
 4 6 3 3 6 2
4 1
3
4
6

(*)
cioè m equazioni del tipo:
   R I c    E
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Correnti di maglia - 1


Si consideri adesso un sistema di maglie
fondamentali, basate sulle corde del grafo. Si
scelga come verso di percorrenza della maglia
quello individuato dalla corrente nella corda
rispettiva.
Le correnti nelle corde non sono altro che le m
correnti cicliche (di maglia) di un sistema di maglie
fondamentali, IMk, dove:
k 1,....,m
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Correnti di maglia - 2

Le correnti nei lati della rete sono in generale
somma di più correnti di maglia.
I   I Mk

Nel caso di figura si ha ad esempio:
n 1
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
I 4  IM3  IM1
I 5  I M1  IM2
I  I  I
 6 M2 M3

I1  I M1
m I2  I M2
I  I
 3 M3
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Correnti di maglia - 3

Le LKT per le maglie fondamentali possono essere
riscritte in funzione delle m correnti di maglia. Si
ottiene un sistema di m equazioni indipendenti:
m


(R1  R5  R4 )I M1  R5 IM2  R4 IM3  E M1
(R5  R2  R6 ) IM2  R5 IM1  R6 I M3  E M2
(R  R  R )I  R I  R I  E
 4 6
3 M3
6 M2
4 M1
M3
cioè m equazioni del tipo:
RMkk IMk   RMkh I Mh  EMk
h
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Correnti di maglia - 4


Il termine RMkk è la somma di tutte le resistenze
dei lati che formano la maglia k-esima. RMkk è
detto autoresistenza (o resistenza totale) della
maglia k.
Il termine RMkh è la somma di tutte le resistenze
dei lati in comune alle maglie h-esima e k-esima.
RMkh è detto mutua resistenza (o resistenza
comune) fra le maglie h e k.
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Correnti di maglia - 5

Il termine EMk è la somma algebrica di tutte le
f.e.m. dei lati che formano la maglia k-esima. Le
f.e.m. sono prese con segno positivo se, dato il
verso di percorrenza della maglia, si entra dal
morsetto negativo del generatore, con segno
negativo nel caso opposto. EMk è detto f.e.m. (o
tensione impressa) totale della maglia k.
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Correnti di anello - 1



In alternativa, nel caso di rete piana, si considerano
gli m anelli interni (vedi figura).
Si può dimostrare che questi m anelli costituiscono
un sistema di maglie indipendenti.
Si definiscono pertanto m correnti cicliche di anello
(dette correnti di anello - Iak di figura), scelte in
modo che tutti gli anelli siano percorsi nello stesso
verso (orario o antiorario).
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Correnti di anello - 2

Le correnti nei lati della rete sono costituite da una
corrente di anello o dalla differenza tra due correnti
di anello. Nel caso di figura si ha ad esempio:
n 1


I 4  IA3  I A1
I 5  IA1  I A2
I  I  I
 6 A2 A3

I1  IA1
m I 2  IA2
I  I
 3 A3
Le correnti di anello sono per definizione solenoidali
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Correnti di anello - 3
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Correnti di anello - 4

Le LKT per i vari anelli possono essere riscritte in
funzione delle m correnti di anello. Si ottiene un
sistema di m equazioni indipendenti:
m


(R1  R5  R4 )I A1  R5 I A2  R4 IA3  E A1
(R5  R2  R6 ) IA2  R5 I A1  R6 IA3  E A2
(R  R  R )I  R I  R I  E
 4 6
3 A3
6 A2
4 A1
A3
cioè m equazioni del tipo:
RAkk IAk   RAkh IAh EAk
h
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Correnti di anello - 5


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Il termine RAkk è la somma di tutte le resistenze
dei lati che formano l’anello k-esimo. RAkk è detto
autoresistenza (o resistenza totale) dell’anello k.
Il termine RAkh è la somma di tutte le resistenze
dei lati in comune agli anelli h-esimo e k-esimo.
RAkh è detto mutua resistenza (o resistenza
comune) fra gli anelli h e k.
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Correnti di anello - 6

Il termine EAk è la somma algebrica di tutte le
f.e.m. dei lati che formano l’anello k-esimo. Le
f.e.m. sono prese con segno positivo se, dato il
verso di percorrenza dell’anello, si entra dal
morsetto negativo del generatore, con segno
negativo nel caso opposto. EAk è detto f.e.m. (o
tensione impressa) totale dell’anello k.
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Eliminazione delle correnti - 1


Sia data una rete lineare, in cui tutti i lati sono sede
di generatori affini di corrente e, in particolare, in
nessun lato si trova un generatore ideale di
tensione.
Come esempio, si prenda la rete di figura.
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Eliminazione delle correnti - 2
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Eliminazione delle correnti - 3

La rete di figura è caratterizzata dai seguenti
parametri:
l 6
n  4

n 1 3

m  l (n 1) 3

Si possono quindi scrivere n - 1 equazioni alla LKC
ed m equazioni alla LKT
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Eliminazione delle correnti - 4

Le LKC ed LKT vengono scritte per gli insiemi di
taglio e le maglie fondamentali individuabili, ad
esempio, nel grafo di figura.
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Eliminazione delle correnti - 5

Nelle equazioni sono sottolineate le correnti relative
ai rami e le tensioni relative alle corde.
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n 1 LKC
m LKT
 I3  I 4  I1 0

 I1  I5  I2  0
 I2  I6  I 3  0

V1  V5 V4 0

V2  V6 V5  0
V3 V4 V6 0

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Eliminazione delle correnti - 6

Alle l equazioni precedenti vanno aggiunte le l
equazioni tipologiche dei bipoli presenti nei vari lati.
I1  J 1  G1 V1
I 2  J 2  G2 V2
I   J  G V
3
3
3 3

I 4  J 4  G 4 V4

I  J 5  G 5 V5
 5
I6   J6  G6 V6
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Eliminazione delle correnti - 7

Si possono ora eliminare le correnti; ci si riduce ad
un sistema di l equazioni nelle l tensioni.
V1  V5 V4 0
V2  V6 V5  0
V V V 0
3
4
6

G3 V3  G4 V4  G1 V1   J 3  J 4  J 1  J N1

G V  G5 V5  G 2 V2   J1  J 5  J 2  J N2
 1 1
G2 V2  G6 V6  G3 V3  J 2  J6  J 3  J N3
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Eliminazione delle correnti - 8

Vi sono n - 1 equazioni del tipo:
  GV    J

e m equazioni del tipo:
 V 0
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Eliminazione delle tensioni di coalbero - 1

Nel grafo corrispondente alla rete si individuino un
albero ed il relativo coalbero. Si eliminano le m
tensioni nelle corde Vch, riducendosi ad un sistema
di n - 1 equazioni nelle tensioni sui rami Vrk.
Vch  k  Vrk

h 1,....,m
k maglia fond. ch
Si utilizzano quindi i vincoli sulle tensioni delle
maglie fondamentali.

V1 V4 V5
V2 V5 V6
V V V
 3 6 4
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Eliminazione delle tensioni di coalbero - 2

Sostituendo nel sistema di l equazioni scritto in
precedenza si ottiene:

(G3  G4  G1 )V4 G3 V6  G1 V5  J 3  J 4  J1
(G1  G5  G2 )V5  G1 V4 G2 V6  J 1  J 5  J 2
(G  G  G )V G V  G V  J  J  J
 2
6
3 6
2 5
3 4
2
6
3

(**)
cioè n - 1 equazioni del tipo:
   GVr   J
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Potenziali ai nodi - 1

In alternativa (vedi figura) si sceglie un nodo
comune (di massa) a cui si assegna potenziale
nullo, e si esprimono tutte le tensioni in funzione
degli n -1 potenziali degli altri nodi che sono tra
loro indipendenti:
m
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
V1 VN1 VN2
V2 VN2 VN3
V V V
 3 N3 N1

V4 VN1
n 1 V5 VN2
V V
 6 N3
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Potenziali ai nodi - 2
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Potenziali ai nodi - 3

Operando le opportune sostituzioni nel sistema (**),
si ottiene un sistema di n - 1 equazioni indipendenti
negli n - 1 potenziali di nodo:

(G3  G4  G1 )VN1  G3 VN3 G1 VN2  J N1
(G1  G5  G2 )VN2  G1 VN1  G2 VN3  J N2
(G  G  G )V G V  G V  J
 2
6
3 N3
2 N2
3 N1
N3
n 1

cioè n - 1 equazioni del tipo:
GNkkVNk  GNkh VNh J Nk
k 1,........,n1
h
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Potenziali ai nodi - 4


Il termine GNkk è la somma di tutte le conduttanze
che si appoggiano al nodo k-esimo. Esso è detto
autoconduttanza (o conduttanza totale) del nodo k.
Il termine GNkh è la conduttanza del lato che si
appoggia alla coppia di nodi h e k. Esso è detto
mutua conduttanza (o conduttanza comune) fra i
nodi h e k.
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Potenziali ai nodi - 5

Il termine JNk è la somma algebrica di tutte le
correnti impresse dei lati che si appoggiano al nodo
k. Le correnti sono prese con segno positivo se il
riferimento di corrente è diretto verso il nodo, con
segno negativo nel caso opposto. Esso è detto
corrente impressa totale del nodo k.
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