Produzione di particelle in
collisioni Pb Pb
Parte 1:
Molteplicità di particelle non
identificate
Produzione di particelle in
collisioni di ioni
Molteplicità = numero di particelle prodotte in una collisione
La molteplicità in collisioni nucleari contiene informazioni su:
Entropia del sistema creato nella collisione
Come l’energia iniziale disponibile nella collisione viene ridistribuita per produrre
particelle nello stato finale.
Densità di energia nello stato iniziale (formula di Bjorken)
Meccanismi di produzione delle particelle
Geometria (centralità) della collisione
Quindi, si possono ottenere informazioni importanti sulla
collisione “semplicemente” contando il numero di particelle
prodotte
Analisi che non richiede identificazione di particelle, quindi viene
normalmente effettuata nei primi giorni di presa dati
A RHIC il primo articolo è apparso 7 giorni dopo aver acceso il fascio
3
E’ semplice contare le particelle?
In collisioni PbPb centrali all’SPS si creano più di 1000
particelle !!!
4
E’ semplice contare le particelle?
In collisioni AuAu centrali alla massima energia RHIC
si creano circa 5000 particelle !!!
5
Molteplicità e detector design
Il numero di particelle prodotte nella collisione è un
parametro importante per progettare esperimenti con
ioni
L’ “occupazione” di un rivelatore (es. la frazione di pixel in cui
passa una particella) è legata alla densità di particelle (es. il
numero di particelle per cm2 sul sensore) e quindi alla molteplicità
Il danneggiamento da radiazione è legato al numero di particelle
che attraversano il volume del rivelatore o dell’elettronica
Al momento della progettazione di ALICE all’LHC i dati
sulle molteplicità a RHIC non erano disponibili
ALICE è stato progettato sulla base delle molteplicità date da
simulazioni Monte Carlo delle collisioni PbPb
I valori di dN/dy attesi a midrapidity variavano tra 2000 e 8000 particelle per
unità di rapidità a seconda del modello di produzione di particelle
implementato in un particolare Monte Carlo
I rivelatori di ALICE sono stati progettati per avere buone
performances fino a valori di densità di particelle dN/dy = 8000
6
Molteplicità e centralità
Il numero di particelle prodotte è legato alla centralità
(parametro di impatto) della collisione
Le collisioni di nuclei sono
descritte come sovrapposizione
di collisioni elementari tra i
nucleoni (es. modello di Glauber)
Il numero di collisioni tra
nucleoni ( Ncoll ) e il numero di
nucleoni partecipanti ( Npart )
dipendono dal parametro di
impatto b
Ogni collisione/partecipante
contribuisce alla produzione di
particelle e quindi alla
molteplicità
7
Produzione di particelle - Hard
Processi Hard =
processi ad alto momento trasferito piccole distanze
Interazioni a livello partonico
La produzione di particelle avviene su scale di tempi brevi
La costante di accoppiamento è piccola, quindi sono calcolabili con
tecniche perturbative (pQCD)
Sono processi rari (con
piccola sezione d’urto shard)
Scalano con il numero di
collisioni
hard
p AB
(b)  1  1  s hardTAB (b)
AB
 1  1  ABs hardTAB (b) 
 s hard ABTAB (b) 
 s hard N coll
8
Produzione di particelle - Soft
Processi Soft =
processi a basso momento trasferito grandi distanze
Non sono in grado di risolvere la struttura partonica dei nucleoni
La costante di accoppiamento è grande, l’approccio perturbativo non
funziona  richiedono l’uso di modelli fenomenologici non
perturbativi
99.5% soft
Il 99.5% (“bulk”) degli
adroni prodotti è soft (pT< 1
GeV)
La molteplicità di particelle
prodotte in processi soft è
prevista scalare con il
numero di partecipanti
Wounded nucleon model
9
Wounded nucleon model (I)
Basato sull’osservazione
sperimentale (inizio anni ’70)
che le molteplicità misurate
in collisioni protone-nucleo
scalano come:
R
N chpA
N chpp

1 1
 
2 2
v è il numero medio di collisioni
elementari tra nucleoni (=Ncoll)
Quindi:
R
N chpA
N chpp

1 1 pA
 N coll
2 2
pA
pA
N coll
 1 N part

 pp
2
N part
ricordando che in pp: Npart = 2
e in pA: Npart= Ncoll+1
10
Wounded nucleon model (II)
Motivazione: la molteplicità “soft” è prevista scalare con
Npart perché si assume che la produzione di particelle soft
avvenga in questo modo:
Un nucleone quando subisce una collisione passa in uno stato eccitato
a vita media lunga
Le eventuali collisioni successive non alterano significativamente
questo “baryon-like object”
La lunga vita media e la dilatazione lorentziana dei tempi fanno sì che
il “baryon-like object” attraversi tutto il nucleo bersaglio prima di
decadere
In altre parole, il tempo di formazione ( = ħ/E ) delle particelle soft è
sufficientemente lungo che la loro materializzazione avviene fuori dal nucleo
La produzione di particelle soft quindi:
Avviene al di fuori dei nuclei collidenti
E’ indipendente dal numero di collisioni subite da ciascun nucleone
Dipende solo dal numero di nucleoni che hanno subito almeno una
collisione passando in uno stato eccitato, cioè da Npart
11
Misurare la molteplicità
Sperimentalmente si misura la molteplicità di:
particelle cariche (ionizzanti)
particelle in una certa regione spaziale coperta dai rivelatori
(accettanza)
Problema: è difficile confrontare risultati di esperimenti con accettanze diverse
Per questo motivo, le molteplicità vengono comunemente
espresse in termini di densità di particelle cariche in un
certo intervallo di angolo polare
Normalmente si usa il numero di particelle cariche in un’unità di
(pseudo)rapidità intorno a midrapidity: Nch(|h|<0.5) o Nch(|y|<0,5)
Inoltre, le distribuzioni dN/dh (dN/dy) contengono altre
informazioni sulla dinamica dell’interazione
La pseudorapidità è più facilmente accessibile
sperimentalmente perché richiede di misurare una sola
quantità (l’angolo q) e non richiede identificazione di
12
particelle e misura di momenti
Distribuzioni dN/dh e dN/dy
Rapidità a RHIC (collider)
Prima della collisione:
pBEAM=100 GeV/c per nucleone
EBEAM=(mp2+pBEAM2)=100.0044 per nucleone
b=0.999956, gBEAM≈100
y PROJ   yTARGET 
1 E BEAM  p BEAM 1 1  b
ln
 ln
 5.36
2 E BEAM  p BEAM 2 1  b
y  y PROJ  yTARGET  10 .8
Dopo la collisione:
I nucleoni del proiettile e del bersaglio (in
verde) sono rallentati e si trovano a valori di
y (e di b e di g) più bassi di quelli iniziali
Le particelle prodotte (in rosso) sono
distribuite nella regione cinematica compresa
tra le rapidità iniziali di proiettile e bersaglio
La massima densità è nella regione di
rapidità centrale (midrapidity) :
y MID
y PROJ  yTARGET

0
2
14
Rapidità a SPS (targhetta fissa)
Prima della collisione:
pBEAM=158 GeV/c , bBEAM=0.999982
pTARGET=0 , bTARGET=0
y PROJ 
1 E BEAM  p BEAM 1 1  b
ln
 ln
 5.82
2 E BEAM  p BEAM 2 1  b
1
ln 1  0
2
y  y PROJ  yTARGET  5.82
yTARGET 
Midrapidity
yMID 
y PROJ
 2.91
2
La distribuzione dN/dy nel sistema del centro di
massa si ottiene da quella misurata nel
laboratorio con una traslazione y’ = y - yMID
 La distribuzione dN/dh invece non ha questa proprietà
15
Pseudorapidità
pT = pL
q = 45 (135) degrees
h = ±0.88
pL>>pT
pT>pL
pL>>pT
Regione di midrapidity
Particelle con pT>pL prodotte
ad angoli q intorno a 90°
Formula di Bjorken per stimare
la densità di energia nel caso in
cui ci sia un plateau a
midrapidity invariante per
boost di Lorentz
 BJ
mT  dN 



Ac f  dy  y 0
Regioni di frammentazione
Particelle con pL>>pT
prodotte nella
frammentazione dei nuclei
collidenti ad angoli q intorno
16
a 0° e 180°
Collisioni PbPb all’SPS
Pb-Pb at 40 GeV/c (√s=8.77 GeV)
Pb-Pb at 158 GeV/c (√s=17.2 GeV)
centrali
periferiche
La posizione del picco si
sposta (midrapidity = ybeam/2 )
La densità di particelle al picco
aumenta con l’energia 17
Collisioni AuAu a RHIC
centrali
centrali
periferiche
periferiche
energia s
18
Molteplicità per coppia di
partecipanti
Si introducono le variabili:
dN / dh
h 0
N part / 2
N ch
N part / 2
con N ch 

dN
dh
dh
che sono la densità di particelle a mid-rapidity e la molteplicità
totale per coppia di partecipanti
Motivazione
Semplice verifica dello scaling con Npart
Se la produzione di particelle scala come Npart , queste variabili (o una delle
due) devono mostrare un andamento piatto in funzione della centralità della
collisione
Semplice confronto con le collisioni pp in cui Npart=2
19
Dipendenza dalla centralità
dN/dh a midrapidity
La densità per coppia di
partecipanti cresce di ≈25%
dalle collisioni AuAu
periferiche a quelle centrali
Molteplicità totale
Nch proporzionale a Npart
Nch per coppia di partecipanti
diverso rispetto a collisioni pp
20
Dipendenza da s
dN/dh a midrapidity
dN/dh|h0 in collisioni centrali
di ioni pesanti cresce come ln s
Andamento diverso in collisioni
pp e AA
Estrapolazione a LHC (s=5.5
TeV)  dN/dh|h=0 ≈ 1100-1500
Molteplicità totale
Andamento diverso in
collisioni pp e AA
Estrapolazione per LHC
(s=5.5 TeV)  Nch ≈
25000-30000
21
Conclusioni
Dalla misura della molteplicità delle particelle cariche (non
identificate) e della loro distribuzione in pseudorapidità (=angolo
polare) si impara che:
La produzione di particelle segue semplici leggi di scaling al variare della
centralità e dell’energia
 La molteplicità totale scala come Npart  produzione di particelle dominata da processi
soft
 La densità di particelle dN/dh a midrapidity cresce come il logaritmo di s
Se si usa la formula di Bjorken per calcolare la densità di energia
partendo dalle dN/dy (dN/dh) misurate alla massima energia di RHIC
si ottengono valori di:
 BJ
mT  dN 
0.6 GeV / c
3



 


700


1
.
1


Ac 0  dy  y 0 145 fm 2  c  0 
2

2
≈15 GeV/fm3 (0= 0.35 fm/c)
≈5 GeV/fm3 (0= 1 fm/c)
ben al di sopra della densità critica (c≈1 GeV/fm3) previsti dalla
lattice QCD per la transizione di fase
22
Parte 2:
Molteplicità delle varie specie
adroniche
Introduzione
La misura delle molteplicità di particelle della varie specie adroniche
(= quanti pioni, quanti kaoni, quanti protoni …), cioè della composizione
chimica dopo l’adronizzazione, permette di rispondere ad alcune
domande sullo stato del sistema al momento del chemical freeze-out
La fireball era in equilibrio termico e chimico al momento del freeze-out ?
Qual era la temperatura Tch al momento del chemical freeze-out?
Qual era il contenuto barionico della fireball
Note:
Equilibrio termico:
 a livello macroscopico: temperatura T della fireball definita e uniforme
 a livello microscopico: distribuzione di velocità delle particelle descritta da una
distribuzione tipo Maxwell-Boltzmann con un unico parametro, la temperatura T
Equilibrio chimico:
 a livello macroscopico: densità ni delle varie specie di particelle uniformi all’interno della
fireball
 a livello microscopico: molteplicità di particelle delle varie specie adroniche dipende solo
dalle masse e dalla temperatura
24
Molteplicità di particelle identificate (I)
Pioni vs protoni
A basse energie (s<5
GeV) la fireball è
dominata dai nucleoni
che provengono dai
nuclei collidenti (alto
stopping power)
I pioni (prodotti
nell’interazione)
dominano per alte
energie (s>5 GeV)
La diminuzione
dell’abbondanza di
protoni la crescere di s
indica un aumento della
trasparenza dei nuclei
collidenti al crescere
dell’energia
25
Molteplicità di particelle identificate (II)
Pioni
Sono i più abbondanti
tra gli adroni prodotti
(perché sono quelli con
massa minore e soglia di
produzione più bassa)
La differenza tra le
abbondanze di p+ e p- a
basse energie è dovuta
alla conservazione
dell’isospin
L’alto stopping power che
si ha a basse energie
forma una fireball
dominata dai nucleoni dei
nuclei collidenti 
eccesso di neutroni (N > Z
per i nuclei pesanti) 
isospin totale negativo 26
Molteplicità di particelle identificate (III)
Antiprotoni
Sono particelle
prodotte nella collisione
Diversamente dai protoni
per i quali nella fireball ci
sono sia quelli prodotti sia
quelli “stoppati” dai
nuclei collidenti
Forte dipendenza da s
(onset of production)
alle energie SPS
Alle energie di RHIC il
numero di antiprotoni è
≈ a quello di protoni
Net-protons ≈ 0
Il numero di protoni
“stoppati” dai nuclei
collidenti è piccolo
27
Molteplicità di particelle identificate (IV)
Kaoni (e iperoni L)
Il numero maggiore di
K+ e L rispetto alle
rispettive particelle (Ke Lbar) a basse energie è
dovuto al contenuto di
quark di questi adroni
Il K+ (u+anti-s) e la L
(u+d+s) richiedono solo la
produzione del quark
strano, mentre i quark
leggeri sono presenti nei
nucleoni stoppati
Il K- (anti-u+s) e la Lbar
richiedono invece la
produzione di 2 o 3 quark
nuovi
Produzione associata di
K+ e L (coppie s anti-s)28
Molteplicità di particelle identificate (V)
Kaoni (e iperoni L)
La differenza tra K+ e
K- (e tra L e Lbar)
diminuisce al crescere
di s perché con il
diminuire dello stopping
power diminuisce il peso
dei quark “stoppati”
rispetto a quelli
“prodotti”
Le abbondanze di Lbar e
di antiprotoni (entrambi
formati da 3 quark
“prodotti” e con masse
simili) sono molto simili
29
Molteplicità di particelle identificate (VI)
Conclusioni
Basso s (< 5 GeV):
fireball dominata dalle
particelle stoppate
Alto contenuto barionico
Importanza dell’isospin e
dei quark “stoppati” dai
nuclei collidenti
Alto s (> 20 GeV):
Fireball dominata dalle
particelle prodotte
Basso contenuto barionico
Gerarchia in massa ( Np >
NK > Np )
30
Modelli statistici di
adronizzazione
Modelli statistici: assunzioni di base
Il sistema (fireball) creato in una collisione di ioni pesanti si
trova in equilibrio termico e chimico al momento del freezeout chimico
Si può scrivere una funzione di partizione del sistema e usare la
meccanica statistica
Idea originale: Fermi (1950s), Hagedorn (1960s): la produzione di adroni in
sistemi eccitati avviene secondo una legge puramente statistica
Per collisioni di ioni si usa l’ensemble grande canonico
Il sistema adronico è descritto come un gas ideale di adroni
e risonanze
ideale = non interagenti
32
Modelli statistici: note
L’equilibrio termico e chimico è POSTULATO come ipotesi
di lavoro
Con questa assunzione si può prevedere la molteplicità di adroni
delle varie specie (quanti pioni, quanti kaoni, quanti protoni…) che si
fissano al momento del freeze-out chimico del sistema
Dal confronto delle molteplicità previste con quelle misurate
sperimentalmente si può verificare la validità dell’ipotesi di
equilibrio chimico e termico
Non si fanno assunzioni sulla presenza o assenza di una
fase partonica
Non si dice niente su COME e QUANDO il sistema
raggiunge l’equilibrio chimico e termico
Però: se si forma un sistema partonico in equilibrio chimico e
termico (= il QGP) a un tempo QGP, ci si aspetta che l’equilibrio
venga mantenuto nella successiva evoluzione della fireball fino al
freeze-out e che quindi il sistema sia in equilibrio al momento
dell’adronizzazione
33
Perché ensemble gran-canonico?
I calcoli sono più semplici perché l’energia e le cariche
sono conservate “in media” su un volume grande (e non
esattamente e localmente come in un sistema canonico)
E’ una buona approssimazione per un sistema di molte particelle
La “slice” di fireball a midrapidity (quella di cui si misurano
le abbondanze di particelle) è un sistema che scambia
particelle e energia con un “serbatoio” esterno ( = le altre
particelle prodotte nella collisione)
Per sistemi più piccoli (cioè collisioni di ioni a basse
energie, collisioni periferiche o collisioni elementari pp e
e+e-) si deve usare:
 l’ensemble canonico
in cui l’energia è conservata “in media” nel sistema mentre le cariche sono
conservate esattamente e localmente
l’ensemble microcanonico
in cui energia e cariche sono conservate esattamente
34
Gas di adroni e risonanze
Nei modelli statistici di adronizzazione si usa solitamente
un gas di adroni e risonanze non interagenti che contiene i
contributi di:
Tutti i mesoni noti con masse <≈ 1.8 GeV
Tutti i barioni noti con masse <≈ 2 GeV
In questo range di massa:
Lo spettro adronico e’ ben conosciuto e misurato con precisione
Le catene di decadimento delle particelle e delle risonanze sono noti
I limiti di massa limitano la validità del modello a
temperature T<190 MeV circa. Per temperature superiori
il contributo di risonanze più pesanti non è più trascurabile
In ogni caso, al di sopra della temperatura critica per la transizione
di fase (≈160-200 MeV) non avrebbe senso parlare di gas di adroni
35
Perché gas di adroni e risonanze?
Per densità e temperature non troppo alte contiene tutti i
gradi di libertà di un sistema confinato e fortemente
interagente
Le interazioni che portano alla formazione di risonanze sono incluse
implicitamente nell’hamiltoniana (Hagedorn)
Si approssima un gas di adroni che interagiscono tra loro
scambiandosi delle risonanze con un gas di adroni e risonanze che
non interagiscono
E’ consistente con l’equazione di stato che risulta da
calcoli di QCD su reticolo al di sotto della temperatura
critica
Quindi: il gas di adroni e risonanze è un “modello
effettivo” di un sistema fortemente interagente
36
Ensemble gran canonico
La funzione di partizione per il caso di gas non interagente
è data dal prodotto delle funzioni di partizione
(indipendenti tra loro) delle varie specie adroniche:
Z GC (T , V , m ) 

Z iGC (T , V , m i )
i
Dove l’indice i indica la specie adronica (pione, kaone, protone …)
T è la temperatura e V il volume del sistema
mi è il potenziale chimico che garantisce la conservazione in media
del numero di particelle di specie i
Può essere diverso per le varie specie adroniche: ad esempio la conservazione
del numero barionico influisce sui protoni, ma non sui pioni
Passando ai logaritmi
ln Z GC (T ,V , m ) 

i
ln Z iGC (T ,V , mi )
37
Potenziale chimico m
Il potenziale chimico m è il parametro che nell’ensemble gran-canonico
garantisce la conservazione “in media” delle cariche ed è dato da:
m   mQ j Q j
j
Qj sono le cariche (numeri quantici) conservate
mQj sono i potenziali chimici che garantiscono che le cariche Qi siano
conservate “in media” nell’intero sistema
m = energia necessaria per aggiungere al sistema una particella con numeri
quantici Qj
In un gas adronico (=governato da interazioni forti) limitato a masse
<1.8 GeV (= senza charm, bottom e top) ci sono 3 cariche conservate:
Carica elettrica Q (o terza componente I3 dell’isospin)
Numero barionico B
Stranezza S
Quindi per una particella di specie i con isospin I3i, numero barionico Bi
e stranezza Si si ha:
mi  m I 3 I 3i  m B Bi  m S Si
38
Statistiche quantistiche (I)
Funzione di partizione gran-canonica:
Z iGC (T , V , m i ) 

e  b ( Es  mi N s )
s
s sono gli stati del sistema di particelle identiche di specie i
l’energia e il numero di particelle dipendono dallo stato (Es e Ns)
b=1/T (se T è misurata in MeV)
Per un sistema quantistico:
Lo stato |s> è definito dai numeri di occupazione degli stati |a> di
particella singola ( es. : |s> = |1,0,0,3,5…> = |n1, n2, n3 … > = |{na(s)}> )
Il numero di particelle e l’energia dello stato s sono dati da:
Ns 

a
na( s )
Es 

a
na( s ) Ea
a sono gli autostati (di energia Ea) dell’hamiltoniana di particella
singola (= livelli energetici con degenerazione di spin)
39
Statistiche quantistiche (II)
Inseriamo Es e Ns nella funzione di partizione:
Z iGC (T ,V , mi ) 
e
b (
 na( s ) Ea  mi  na( s ) )
a
a

e
n 
 b ( Ea  mi )na( s )
a
(s)
s
a
Usiamo le proprietà dell’esponenziale: ex+y=ex·ey e exy=(ex)y
Z iGC (T ,V , m i )



na( s )  
e
 
a
avendo definito:
 b ( Ea  mi ) na( s )




 n ( s )  
a
X a 
 
a
na( s )



X a  e  b ( Ea  mi )
Esplicitando sommatorie e produttorie:
Z iGC (T ,V , mi ) 

n1
n2
...
X 1n1 X 2n2 ... 

n1
X 1n1 

n2
X 2n2 ... 

a
( Xa )n
n
40
Statistica di Fermi-Dirac
Vale il principio di esclusione di
Pauli: il numero di occupazione
per uno stato a di particella
singola puo’ essere solo 0 o 1
Z iGC (T ,V , mi ) 
1

a
( Xa )n 
n 0
b ( E m )




1

X

1

e
 a 
a
a
i
a
ricordando che si era definito:
X a  e  b ( Ea  mi )
41
Statistica di Bose-Einstein
Il numero di occupazione per uno
stato a di particella singola puo’
assumere qualunque valore intero
na = 0, 1, 2, 3, …
Z iGC (T ,V , mi )


( Xa )  

a
a
n
n 0
 1 


 1  X a 
1  e

a

 b ( Ea  mi ) 1
ricordando che si era definito:
X a  e  b ( Ea  mi )
Nota: la somma della serie geometrica Sxn converge a 1/(1-x) solo nel
caso in cui x < 1, che nel nostro caso si traduce in un vincolo su mi:
e  b ( Ea  mi )  1  b ( Ea  mi )  0  mi  Ea a
 mi  E0
42
Funzione di partizione gran canonica
La funzione di partizione per l’i-esima specie adronica si
può quindi scrivere come:
Z iGC (T ,V , mi )

1  e

a

 b ( Ea  mi ) 1
gas ideale di particelle identiche (gas di Bose o gas di Fermi)
il + vale per i fermioni e il – per i bosoni
a sono gli autostati (di energia Ea) dell’hamiltoniana di particella
singola
= livelli energetici con degenerazione di spin
Passando al logaritmo:
ln Z iGC (T , V , m i ) 

a

 ln 1  e  b ( Ea  mi )

43
Funzione di partizione gran canonica
Limite macroscopico: dalla somma sugli stati a di particella
singola si passa all’integrale sui momenti:

a



V
h
(2s  1) d p 
3
3

V
h
(2s  1) 4p p dp 
3
2
4p V
h3

g i p 2 dp
dove gi=2s+1 è il fattore di degenerazione di spin
Sostituendo nell’espressione di lnZGC si ricava (ħ=c=1):
ln
Z iGC (T ,V , m i )

Vg i
2p
2


0

Vg i
2p
2





 p 2 dp ln 1  e  b ( E  mi ) 
0

 p 2 dp ln 1  li e  bE
Dove si è introdotta la fugacità li definita come:
li  e bm i
44
Densità di particelle
La densità ni di particelle di specie i si ricava come:
N i 1 (T ln Z iGC )
ni 

V V
mi
in cui Ni è il numero totale di particelle di specie i nel sistema
Sostituendo l’espressione della funzione di partizione si
ricava:
Tg i 

 b ( E  mi )
2
ni (T , m i ) 

p
dp
ln
1

e

2 0
m i
2p
Tg i 
1
 b ( E  mi )
2


p
dp
(

)
e
b 
2 0
 b ( E  mi )
2p
1 e





gi
2p 2


0
p 2 dp
e b ( E  mi )  1
che sono le distribuzioni di Fermi-Dirac (+) e di Bose-Einstein (-)
45
Integrazione della funzione di
partizione (I)
L’espressione analitica della molteplicita’ Ni di adroni di
specie i si ottiene integrando la funzione di partizione
Sviluppando il logaritmo in serie di Taylor si ottiene:
ln
Z iGC (T , V , m i )


Vg i
2p
2
Vg i
2p
2



0

Vg i
2p
2


0


 p 2 dp ln 1  li e  bE 
 

k
(

1
)
 p 2 dp
lik e  bE
k
k 1

(1) k k
li
k
k 1



k

p 2 e  kbE dp
0
Nota: lo sviluppo di Taylor si può fare se:
li e  bE  1  e bm i  e bE
 mi  E
46
Integrazione della funzione di
partizione (II)
Integrando per parti si arriva a:

k

Vg
(

1
)
GC
k
2  kbE
i
ln Z i (T , V , m i ) 
l
p
e
dp
i
2
0
2p k 1 k


 3
Vg i
(1) k  p  kbE

li  e
2
2p k 1 k
 3


k


Vg i
2p 2

(1) k k
li
k
k 1



0




0
0

p  kbE
dE 
dp
e
(kb )

3
dp 

3
p 3  kbE
p
dp
e
(kb )
3
E
ricordando che:
E
p 2  mi2

dE d

dp dp
p 2  mi2 
1
2 p 2  mi2
 (2 p) 
p
E
47
Integrazione della funzione di
partizione (III)
Cambiando variabile di integrazione (da p a E) si ha:
ln
Z iGC (T ,V , m i )


Vg i
2p 2
(1) k k
li
k
k 1



0
p 3  kbE
p
dp
e
(kb ) 
3
E
3


Vg i
2p 2
Vg i
2p
2

(1) k k
li
k
k 1


(1) k
li
k
k 1
k





mi

2
2 
 E  mi 
E
p


 kbE
dE
e
(kb ) 
p
3
E

E
dE
mi
ricordando che:
E
p 2  mi2
2

2 3/ 2
 mi
3
e  kbE (kb )
p
dp
E
 p  0  E  mi
 dE 
48
Integrazione della funzione di
partizione (IV)
Introducendo la variabile x=kbE si ha:
ln
Z iGC (T , V , m i )



Vg i
2p 2
Vg i
2p 2
Vg i
2p 2


Vg i
2p 2




k

k

(1) k
li
k
k 1
(1)
k
k 1

2

k b
d (kbE )
2
(1) k
li
k
k 1
(1) k
li
k
k 1
k

E
dE
k
b
k mi

dx
x
k mi
2
k mi
li
kb

b
k mi

2 3/ 2
 mi
3
mi
2

b


2
k b
2

x
dx
2
2

2 3/ 2
mi
3k 3 b 3
2
3k 3 b
2
E k b
2
e  kbE (kb ) 

2 3/ 2
mi
3
ex 

2 3/ 2
 k b mi
3k 2 b 2 mi2
2
2
e  kbE 
ex
49
Integrazione della funzione di
partizione (V)
Introducendo w=kbmi si riscrive come:
ln
Z iGC (T , V , m i )



Vg i
2p 2
Vg i
2p
2
Vg i
2p 2


k 1


Vg i
2p 2
(1)
k

(1)
k 1

2
m
lik i

k
2
k mi
li
kb

dx
x
2
k2
k2
k
lik
mi2
b
2
k mi
li

x
dx

b
k mi
w

2 3/ 2
3w 2
w
x


w

1
 w2



dx 
w
3w 2
x

dx 2  1
w



3/ 2
2

1
w
b 3


w
2
2

2 3/ 2
 k b mi
3k 2 b 2 mi2
2
2
ex 
ex 
3/ 2
3


(1)
k
k 1
b
k2
(1) k
k 1

ex 
ex
50
Integrazione della funzione di
partizione (VI)
Introducendo y=x/w si ricava:
ln Z iGC (T , V , m i ) 


Vg i
2p
2
Vg i
2p
2
Vg i
2p 2


k 1
(1)
2
m
lik i
k
1
w
b 3
k2

(1) k k mi2 1
li
w
k
kb 3
k 1



 dy y

1

(1) k k mi2  1 2
li
 w
k
kb  3
k 1

w
 x2

dx 2  1
w



wdy y  1





2
2
1
1
3 / 2  wy
e
3/ 2
ex 

3 / 2  wy 
e


Il termine tra parentesi quadre coincide con la seguente
rappresentazione integrale delle funzioni di Bessel modificate:
p
t
K n (t ) 
 
1
(n  ) !  2 
2
n
 

1

dy y 2  1
n 1 / 2 ty
e
51
Integrazione della funzione di
partizione (VII)
Ri-sostituendo w=kbmi e b1/T si conclude:
ln
Z iGC (T , V , m i )



Vg i
2p
2
Vg i
2p
2
Vg iT
2p 2


2p

(1) k

(1) k
k 1

k
k 1


k 1
k

Vg i
2
2
(1) k
k2
2
(1) k k mi2  1 2
li
 w
k
kb  3
k 1

lik
lik
mi2
b
mi2
b
 dyy

1
2

1
3 / 2  wy 
e


K 2 ( w) 
K 2 (kbmi ) 

k 2
li mi K 2 
kmi
 T



52
Densità di particelle di specie i
La densità ni di particelle di specie i si ricava come:
N i (T ,V , m i )
V
ni (T , m i ) 

g iT 2
2p 2
1  (T ln Z iGC )


V
m i

(1) k lik 2  kmi
mi K 2 
2
m i
 T
k 1 k

km i

gT
(1)   T
 i 2
e
2
m i 
2p k 1 k

2

g iT
2p
2



k

 kmi
2
 mi K 2 
 T



(1) k k 2  kmi
li mi K 2 
k
 T
k 1


 


 




53
Correzioni (I)
Catene di decadimento
Il numero delle particelle di specie i misurate (es. pioni) è dato dalla
produzione “thermal” (Ni) + il contributo dei decadimenti delle
particelle a vita breve che non vengono misurate (ed es. le r che
decadono in pioni)
Ni
MEAS
(T ,V , m i )  N i
THERM
(T , V , m i ) 

BR j i  N j (T , V , m i )THERM
Ad alte temperature
e/o alti mB, la molteplicità
degli adroni leggeri è
dominata dal contributo del
decadimento delle risonanze
np+total / np+thermal
j
54
Correzioni (II)
Per alte densità di particelle (cioè alti T e/o mB) bisogna
inserire nella funzione di partizione le interazioni repulsive
a piccole distanze che si osservano tra gli adroni
Si introduce una repulsione “hard-core” di tipo Van der Waals
assegnando ad ogni adrone un volume
Veigen
4
 4 p R3
3
(“Excluded volume correction”)
Il raggio R viene normalmente posto a 0.3 fm (che corrisponde al volume di
hard-core misurato in scattering nucleone-nucleone) per tutti i tipi di adrone
55
Correzioni (III)
Larghezza delle risonanze
Si inserisce nella funzione di partizione un’ulteriore integrazione
sulla massa con una distribuzione Breit-Wigner
ni (T , mi ) 
gi
2p
1
2
N BW
 dm

0
i2
p 2 dp
(m  mi ) 2  i2 / 4 e b ( Ei ( m)  mi )  1
Fattore gs (<1) di soppressione di stranezza
Tiene conto del fatto che il quark strano per la sua massa maggiore
potrebbe non aver raggiunto l’equilibrio chimico.
Per riprodurre i dati PbPb a SPS e AuAu a RHIC non c’è bisogno di
introdurre questo gS, cioè gS=1 che indica equilibrio chimico anche
per le particelle strane)
Per sistemi con poche particelle (p-p e collisioni di nuclei a basse
energie) si trova invece gS<1
56
Parametri liberi del modello
N i (T ,V , mi )  V  ni (T ,V , mi ) 
con li  e mi / T
Vg iT
2p
2

(1) k k 2  kmi
li mi K 2 
k
 T
k 1




mi  Bi m B  Si m S  I 3i m I3
,
Ci sono 5 parametri liberi: T, mB, mS, mI3 e V
La conoscenza di carica elettrica (=terza componente dell’isospin),
numero barionico e stranezza dello stato iniziale (= i protoni ZS e i
neutroni NS “stoppati” dai nuclei collidenti) permette di fissare il
volume della fireball V, e i potenziali chimici mS e mI3
V
n I
i 3i
i
ZS  NS

2
V
n B  Z
i i
S
 NS
i
Restano quindi 2 parametri liberi:
V
n S
i i
0
i
T e mB
57
Fit alle abbondanze di
particelle misurate
Fit ai rapporti di particelle
Perché usare i rapporti di particelle ?
Si cancellano alcuni errori sistematici sulle misure sperimentali
Si rimuove la dipendenza dal volume V (la cui determinazione è
affetta dall’incertezza sullo stopping power e sulla correzione di
“excluded volume”) nei calcoli del modello teorico
Si ricavano i valori di T e mB che minimizzano lo scarto tra i
rapporti di di particelle previsti dal modello statistico e
quelli misurati.
Si minimizza una quantità c2 definita come:
c 
2

i

Riexp .

model 2
 Ri
s i2
Riexp e Rimodel sono i rapporti misurati sperimentalmente e quelli previsti dal
modello
 si è l’errore (statistico + sistematico) sui punti sperimentali
59
Rapporti di particelle all’AGS
AuAu - Ebeam=10.7 GeV/nucleon - s=4.85 GeV
Minimum of c2 for: T=124±3 MeV mB=537±10 MeV
c2 contour lines
60
Rapporti di particelle all’SPS
PbPb - Ebeam=40 GeV/ nucleon - s=8.77 GeV
Minimum of c2 for: T=156±3 MeV mB=403±18 MeV
c2 contour lines
61
Rapporti di particelle a RHIC
AuAu - s=130 GeV
Minimum of c2 for: T=166±5 MeV mB=38±11 MeV
c2 contour lines
62
Fit alle molteplicità
Se si usano le molteplicità anziché i rapporti di particelle
Un parametro libero (il volume V) in più
Maggiori incertezze sistematiche (sia nel modello che nei dati)
T e mB in accordo con i risultati dei fit ai rapporti, ma c2 peggiore
63
Freeze-out chimico
Parametri del modello termico vs. s
La temperatura T aumenta
rapidamente con s fino a
raggiungere i 170 MeV (≈
temperatura critica per la
transizione di fase) per
s≈7-8 GeV e poi rimane
costante
Il potenziale chimico mB
diminuisce al crescere di s
in tutto il range di energia
esplorato dall’AGS a RHIC
65
Freeze-out chimico sul diagramma
delle fasi
I parametri del
modello di
adronizzazione
statistica si possono
rappresentare sul
piano T, mB
E’ interessante
confrontarli con la
linea prevista con
calcoli di QCD sul
reticolo per la
transizione di fase
(“phase boundary”) da
materia adronica a
QGP
66
Freeze-out chimico e
transizione di fase
T
Lattice-QCD
RHIC
SPS
Stat.Thermal Model
Caso 1: (T,mB) molto al di sotto del “phase boundary ”
 Lunga fase adronica dopo la transizione di fase?
 Il sistema non raggiunge mai il “phase boundary” ?
mb
RHIC
Caso 2: (T,mB) al di sopra del “phase boundary ”
 Errore nel modello di adronizzazione statistica
T
SPS
 Cade l’ipotesi del gas di adroni e risonanze
 Errore nel calcolo del “phase boundary” in Lattice QCD
mb
T
RHIC
SPS
AGS
mb
Caso 3: (T,mB) molto vicini al “phase boundary ”
 Rapido freeze-out chimico immediatamente dopo la
transizione di fase ?
 Gli adroni “nascono” in equilibrio termico e chimico ?
67
Freeze-out chimico e
transizione di fase
La linea della
transizione di
fase viene
raggiunta alle
energie SPS
(s≈ 8-10 GeV)
Per energie più
alte il freezeout chimico è
molto vicino alla
transizione di
fase predetta
dalla QCD sul
reticolo
68
Freeze-out chimico e
freeze-out termico
Freeze out termico
 Cessano le interazioni
elastiche
 Si fissa la dinamica delle
particelle (“momentum
spectra”)
Tfo (RHIC) ~ 110-130 MeV
Freeze-out chimico
 Cessano le interazioni
inelastiche
 Si fissano le abbondanze
delle particelle (“chemical
composition”)
Tch (RHIC) ~ 170 MeV
69
Conclusioni
I modelli di adronizzazione statistica permettono di
ricavare la temperatura T e il potenziale chimico barionico
mB della fireball al momento del chemical freeze-out a
partire dai rapporti misurati tra le abbondanze delle varie
specie adroniche
L’accordo tra le abbondanze di particelle misurate e quelle previste
dal modello ci dice che il processo di adronizzazione avviene
seguendo leggi statistiche (= massimizzazione dell’entropia) e che il
sistema si trovava all’equilibrio chimico e termico al momento del
freeze-out
La linea di freeze-out chimico raggiunge quella della
transizione di fase calcolata con la QCD sul reticolo per
energie s ≈ 8-10 GeV (nel range di energie dell’SPS)
Indicazione per un freeze-out chimico immediatamente successivo
alla transizione di fase da QGP a gas di adroni ?
70
Tecniche sperimentali
Identificazione di particelle in ALICE
Inner Tracking System (ITS)
 Momentum, dE/dx
Time of Flight (TOF)
Time Projection Chamber (TPC)
 momentum, dE/dx
72
Inner Tracking System (ITS)
6 strati cilindrici di
rivelatori al silicio
Punti ricostruiti con alta
precisione spaziale vicino
al vertice di interazione
Identificazione di
particelle tramite dE/dx
misurato nei layers di
drift e strip
Layer Technology
Radius
(cm)
±z
(cm)
Spatial
resolution
(mm)
rf
z
1
Pixel
4.0
14.1
12
100
2
Pixel
7.2
14.1
12
100
3
Drift
15.0
22.2
38
28
4
Drift
23.9
29.7
38
28
5
Strip
38.5
43.2
20
830
6
Strip
43.6
48.9
20
830
Silicon Pixel Detectors (2D)
Silicon Drift Detectors (2D)
Silicon Strip Detectors (1D)
L= 97.6 cm
R= 43.6 cm
73
ITS
PIXELS
DRIFTS
STRIPS
74
Time Projection Chamber (TPC)
Principale rivelatore tracciante
Caratteristiche:
Rin
90 cm
Rext
250 cm
Length (active volume)
500 cm
Pseudorapidity coverage: -0.9 < h < 0.9
Azimuthal coverage:
2p
# readout channels
≈560k
Maximum drift time:
88 ms
Gas mixture:
90% Ne 10%
CO2
Fornisce
Molti punti ricostruiti in 3D per ogni
traccia
Identificazione delle particelle basata
sulla dE/dx
75
Identificazione attraverso dE/dx
dE/dx estratta dal segnale
generato dalla particella
nell’attraversare i rivelatori

dE
Z 1 2
  r  2 z ln ...
dx
A b
Momento estratto dal raggio
di curvatura della traccia
nel campo magnetico B
p [GeV / c]  0.3 B [T ]  R [m]
76
Time Of Flight
Multigap Resistive Plate Chambers
per l’identificazione di pioni, kaoni e
TOF
protoni basata sulla misura del tempo di
volo (efficiente fino a pT≈2.5 GeV/c)
Caratteristiche:
Rin
370 cm
Rext
399 cm
Length (active volume)
745 cm
# readout channels
≈160k
Pseudorapidity coverage: -0.9 < h < 0.9
Azimuthal coverage:
2p
Dalla misura del tempo di volo si
calcola la massa come:
m
p
bg
p
1 b
b2
2
p
 ctTOF


1

p
2
b
 L
1
2

  1

77