SCUOLA DI SPECIALIZZAZIONE PER L’INSEGNAMENTO SECONDARIO
DELLA REGIONE EMILIA ROMAGNA
Università degli studi di Bologna, Ferrara, Modena e Reggio, Parma (cod. 4005)
SEZIONE DI PARMA
DIRETTORE Prof. Roberto Greci
INDIRIZZO FISICO-MATEMATICO-INFORMATICO
CLASSE A049
SEDE PARMA
RELAZIONE DI ABILITAZIONE ALL’INSEGNAMENTO SECONDARIO
IL RUOLO DEI MODELLI NELL’INSEGNAMENTO
DELLA MATEMATICA E DELLA FISICA
Specializzando
Raffaella Raschellà
Responsabile di indirizzo
Riccardo Tedeschi
Supervisore
Rosaria Evangelista
ANNO ACCADEMICO 2007/2008
IL RUOLO DEI MODELLI NELL’INSEGNAMENTO
DELLA MATEMATICA E DELLA FISICA
Much education today is monumentally ineffective. All
too often we are giving young people cut flowers when we
should be teaching them to grow their own plants.
John W. Gardner
INTRODUZIONE ........................................................................................................................................... 3
1
IL MODELLO NELLE SCIENZE E NELLA DIDATTICA ............................................................... 3
2
OSSERVAZIONE DEL CONTESTO ................................................................................................... 8
2.1
Istituti .............................................................................................................................................. 8
2.2
I tirocinio: Docente accogliente ................................................................................................... 9
2.3
I tirocinio: Classe I scientifico B................................................................................................. 10
2.4
I tirocinio: Classe II scientifico A / II classico B....................................................................... 12
2.5
II tirocinio: Docente accogliente ................................................................................................ 13
2.6
II tirocinio: Classe IV H .............................................................................................................. 14
2.7
II tirocinio: Classe V E................................................................................................................. 15
3
AZIONE I TIROCINIO – FISICA (IB) ............................................................................................... 16
3.1
Preparazione ................................................................................................................................ 16
3.2
Lezioni .......................................................................................................................................... 24
3.3
Verifica.......................................................................................................................................... 34
4
AZIONE I TIROCINIO - MATEMATICA (IIA/B).......................................................................... 38
4.1
Preparazione ................................................................................................................................ 38
4.2
Lezioni .......................................................................................................................................... 42
4.3
Verifica.......................................................................................................................................... 50
5
AZIONE II TIROCINIO – FISICA (VE) ............................................................................................ 52
5.1
Preparazione ................................................................................................................................ 52
5.2
Lezioni .......................................................................................................................................... 59
5.3
Verifica.......................................................................................................................................... 70
5.4
Questionario................................................................................................................................. 73
6
AZIONE II TIROCINIO – MATEMATICA (IVH)........................................................................... 75
6.1
Preparazione ................................................................................................................................ 75
6.2
Lezioni .......................................................................................................................................... 79
6.3
Verifica.......................................................................................................................................... 85
6.4
Questionario................................................................................................................................. 87
CONCLUSIONI ............................................................................................................................................ 88
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................ 94
1
ALLEGATI classe IscB ................................................................................................................................. 95
1.
Programma di Fisica ....................................................................................................................... 95
2.
Scheda consegnata dopo l’esperimento 1 .................................................................................... 95
3.
Altri esercizi assegnati .................................................................................................................... 96
4.
Verifica di fisica ............................................................................................................................... 96
ALLEGATI classe IIscA/IIclB...................................................................................................................... 99
5.
Programma di Matematica............................................................................................................. 99
6.
Problemi usati per introdurre concetti e teoremi........................................................................ 99
7.
Ripasso su probabilità e calcolo combinatorio .......................................................................... 101
8.
Verifica di Matematica.................................................................................................................. 102
ALLEGATI classe VE ................................................................................................................................. 103
9.
Programma di Fisica ..................................................................................................................... 103
10.
Dispensina sul modello di Drude ........................................................................................... 104
11.
Esercizi sui modelli di conduzione elettrica.......................................................................... 106
12.
Verifica di Fisica ........................................................................................................................ 107
13.
Questionario conclusivo........................................................................................................... 108
ALLEGATI classe IVH............................................................................................................................... 109
14.
Programma di Matematica ...................................................................................................... 109
15.
Esercizio per casa ...................................................................................................................... 109
16.
Verifica di Matematica.............................................................................................................. 110
17.
Questionario conclusivo........................................................................................................... 110
2
INTRODUZIONE
In questa tesi viene presentata e analizzata l’attività di tirocinio svolta durante i due anni della
Scuola di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario. L’azione si è svolta presentando due
argomenti di matematica e due di fisica in quattro classi di età diversa. L’aspetto che ha unificato
argomenti necessariamente diversi e in contesti differenti è stata l’idea del modello come
strumento di indagine e descrizione della realtà, che ha influenzato la scelta dei contenuti e
l’approccio didattico. La presentazione e relativa discussione della preparazione e dello
svolgimento dell’azione saranno quindi focalizzate ad analizzare l’insegnamento dei modelli
proposti nelle diverse classi, discutendo motivazioni, utilità, metodologie e risultati, senza
trascurare tuttavia altri aspetti importanti dell’azione svolta, di natura contenutistica o didattica.
La prima sezione vuole fornire un’introduzione al ruolo del modello nella matematica e nella
fisica, sia come strumento specifico delle due discipline, sia come strumento generale di indagine e
interpretazione della realtà, considerando anche le implicazioni didattiche.
La seconda sezione è dedicata all’osservazione del contesto del tirocinio, e comprende una
presentazione dei due istituti in cui si è svolto, un’analisi del lavoro dei due docenti accoglienti, e
delle classi in cui si è svolta l’azione, sia dal punto di vista del comportamento, delle dinamiche tra
studenti e tra studente e insegnante, sia dal punto di vista dell’atteggiamento nei confronti della
materia, dello studio, della lezione.
Le sezioni successive presentano le azioni svolte durante i due tirocini, di fisica e di matematica.
Sono organizzate in un paragrafo che descrive il lavoro di preparazione (motivazioni, vincoli,
analisi preliminare dell’argomento, unità didattica), uno che analizza le lezioni effettivamente
svolte, e uno dedicato alla verifica finale.
Nell’ultima sezione si propone un bilancio dell’esperienza di tirocinio, valutando il lavoro svolto e
i risultati ottenuti, e la possibilità di trasferire l’esperienza in contesti diversi.
1
IL MODELLO NELLE SCIENZE E NELLA DIDATTICA
Il modello è uno strumento fondamentale usato da tutte le scienze, sia umane sia naturali, con
l’obiettivo di rappresentare una porzione dell’oggetto di studio in modo che sia possibile non solo
riprodurne le proprietà essenziali, ma anche fare previsioni. I modelli assumono quindi un ruolo
centrale perché soddisfano più obiettivi: come supporto alla descrizione di un sistema, consentono
la comprensione e la comunicazione; come strumento di studio dell’evoluzione del sistema, sono
3
un tassello fondamentale del metodo scientifico, fornendo indicazioni per progettare esperimenti
di verifica o per interpretare l’osservazione di nuovi fenomeni. La capacità descrittiva e predittiva
sono inoltre fondamentali per progettare applicazioni tecnologiche.
I modelli della fisica sono riferiti a fenomeni naturali e utilizzano il linguaggio matematico. Una
schematizzazione del processo di costruzione di un modello fisico, che ha anche implicazioni
didattiche, si può riassumere attraverso i seguenti punti [1]:
1) individuare le variabili che possono essere rilevanti nella descrizione del fenomeno;
2) dare una descrizione verbale e schematica del fenomeno;
3) determinare le relazioni esistenti tra le variabili;
4) esprimere tali relazioni tramite equazioni e/o regole che danno al modello una valenza
predittiva.
Questi passaggi mostrano le caratteristiche fondamentali e comuni di ogni modello. Un modello
non è la riproduzione fedele della realtà, ma un’astrazione e una semplificazione, che rispetta
comunque le caratteristiche rilevanti del fenomeno. Le fasi che precedono la formulazione
matematica finale consentono di analizzare il fenomeno dal punto di vista qualitativo,
costruendosi delle immagini mentali che diano a esso significato, e che forniscano gli oggetti e i
meccanismi con cui descrivere quanto osservato. Dal punto di vista didattico, è importante che gli
studenti siano in grado di dare una descrizione verbale del fenomeno, oltre ad enunciare delle
leggi già formalizzate, sia per non perdere di vista il senso fisico del fenomeno, che rimane
nascosto dalla sola equazione matematica, sia per esplicitare all’insegnante i loro modelli
spontanei, in modo che l’azione didattica utilizzi, o corregga, le loro preconcezioni in modo
consapevole, limitando di conseguenza l’insorgere di misconcetti [2][3].
Le idee e i concetti che emergono in questa fase sono necessariamente un’elaborazione di quelli
contenuti in modelli e teorie già noti. Il rapporto con l’osservazione quindi non è di passiva
acquisizione, ma prevede una coordinazione tra ciò che si osserva e le conoscenze preesistenti, che
permettono di scegliere ciò che si vuole osservare, con che grado di precisione, e ciò che è rilevante
per farlo. Prevede cioè un’interpretazione delle osservazioni in base alle intenzioni e alle
conoscenze dell’osservatore. Questo è un punto che sfugge alla maggioranza delle persone che non
ha ricevuto una formazione scientifica specifica, e porta a un’idea equivoca della scienza che
“descrive ma non spiega”, e che si fonderebbe esclusivamente sull’esperienza, evitando
accuratamente ipotesi, intese come prodotti della nostra mente in contrapposizione alla realtà
dell’esperienza. Ma come riassume chiaramente Agazzi [4]:
4
<< La scienza non può fare a meno di enunciare ipotesi e teorie, proprio perché ogni conoscenza
umana non si può limitare a constatare, ma procede sempre a un tentativo di comprendere e
spiegare. […]
L’aspetto esplicativo si realizza, appunto, nella costruzione delle teorie che tentano di spiegare
in un quadro unitario l’insieme di ciò che si riesce ad appurare: proprio perché in tale quadro
compaiono elementi che oltrepassano il contenuto dell’osservazione, esse esigono il controllo
sperimentale e presiedono alla progettazione degli esperimenti. L’esperimento, quindi, non è
propriamente destinato a sancire delle leggi, ma proprio a vagliare le ipotesi teoriche. Si vede
pertanto che una scienza veramente sperimentale è quella in cui si costruiscono teorie,
contrariamente a quanto molti ritengono. Senza teorie gli esperimenti non hanno alcuna
funzione e non sono neppure formulabili. >>
L’aspetto dell’interpretazione è essenziale, e si può usare per distinguere modello e teoria. I due
concetti non hanno una definizione univoca, e sono stati usati storicamente e sono usati tuttora
nelle diverse scienze con significati diversi. Una proposta dovuta a Hestenes [5] consente di
chiarire il rapporto tra oggetto reale, oggetto astratto, e sua interpretazione, e di evidenziare le
analogie tra la modellizzazione come processo cognitivo e come attività della ricerca fisica. Il
modello è ciò che “dà significato” alla teoria, interpretando gli oggetti fondamentali e costruendo
relazioni tra essi, che devono rispettare i principi della teoria. Ad esempio, gli oggetti della
meccanica classica sono concetti astratti, come il punto materiale o il corpo rigido, e non hanno
significato finché non vengono legati a oggetti reali, ad esempio interpretando un gas di molecole
come un insieme di palline rigide e lisce all’interno della teoria cinetica dei gas (che secondo le
definizioni qui adottate, è un modello). Quello che si fa è quindi isolare gli aspetti dell’oggetto
reale sufficienti a studiare ciò che interessa, ed eventualmente operare approssimazioni che la
teoria da sola non prevede, ma che devono essere adattate al sistema in esame. Nell’esempio,
l’interesse è legare grandezze macroscopiche come pressione e volume a proprietà microscopiche,
e per farlo si possono trascurare la struttura interna delle molecole e degli atomi, le dimensioni
delle molecole rispetto alle loro distanze, le interazioni tra molecole, assumere movimenti
completamente casuali, perché queste ipotesi portano a una relazione tra pressione, volume ed
energia cinetica media delle molecole che è compatibile con la legge dei gas perfetti. La teoria da
sola, quindi, nella sua generalità e completezza, non fornisce leggi direttamente riferibili a un
sistema reale e direttamente verificabili da un esperimento, a meno di non operare scelte e
semplificazioni, cioè di costruire un modello. La teoria fornisce il quadro generale all’interno del
quale operare le scelte degli oggetti e delle grandezze da considerare, e i principi e le leggi che le
5
relazioni costruite nel modello devono rispettare [5]; ad esempio un modello fisico non può
prevedere una violazione della conservazione dell’energia. Si può vedere un’analogia con il
rapporto tra teoria e modello in matematica, dove il modello interpreta i termini primitivi, e
riproduce assiomi e teoremi della teoria. La differenza essenziale tra matematica e fisica è che la
validità di una teoria matematica è subordinata solo alla coerenza, quindi una teoria può essere
studiata solo sul piano formale e sintattico, senza necessità di costruire modelli; in fisica, invece,
una teoria deve poter produrre modelli che consentano di verificare il suo grado di aderenza a una
realtà esterna. In questa tesi verrà analizzato l’insegnamento del modello in senso fisico, sia in
lezioni di fisica sia di matematica, quindi finalizzato a descrivere situazioni reali (anche non
necessariamente oggetto di studio della fisica) e non a interpretare una teoria formale matematica.
Insegnare a costruire modelli, e non solo presentarne la sistemazione finale è importante per la
formazione degli studenti sotto più punti di vista. Partecipare attivamente al processo di
costruzione di particolari modelli consente di capire meglio anche i modelli che per motivi di
tempo o complessità vengono presentati solo nella loro forma finale. Questo da una parte permette
di utilizzare lo specifico modello che si sta studiando per risolvere problemi e descrivere situazioni
reali che si discostino dalla risoluzione di esercizi standard, dall’altra fornisce una comprensione
più profonda del ruolo del modello in generale nello studio della realtà, il rapporto tra realtà, sua
descrizione matematica e nostra rappresentazione mentale, e il suo utilizzo all’interno del metodo
scientifico. Una vera comprensione del metodo scientifico, che non si limiti alla ripetizione verbale
di una ricetta imparata a lezione (osservazione-ipotesi-esperimento-legge), ma che prenda
significato dalla sua applicazione in classe per lo studio di situazioni o fenomeni reali, oltre a
soddisfare l’obiettivo di una migliore conoscenza della specifica disciplina, aiuta a farsi un’idea
positiva di questa disciplina (la fisica come le altre scienze), in cui diventa chiaro il significato delle
approssimazioni e delle astrazioni, la loro utilità nell’indagine scientifica e nelle applicazioni
tecniche, e diventa evidente la tensione verso la generalità e l’unità, attraverso il riconoscimento
delle analogie tra teorie diverse. L’insegnamento tradizionale porta invece a considerarla come un
elenco di formule slegate tra loro e che funzionano solo nella realtà dei libri di testo, in cui
vengono applicate in esercizi standardizzati, ma che sembrano non avere alcuna utilità per
descrivere la realtà esterna [6][7]. Inoltre, una padronanza del metodo scientifico e dell’uso dei
modelli ne consente il loro utilizzo in situazioni diverse da quelle in cui sono stati appresi, e
contribuisce quindi alla formazione culturale generale dello studente, che sarà in grado, nella vita
quotidiana come in quella lavorativa, di analizzare informazioni e gestire situazioni in modo
6
consapevole e razionale. L’insegnamento a “pensare per modelli” può essere proposto già al
biennio con buoni risultati, sia nella comprensione dei modelli proposti, sia nello sviluppo della
capacità di costruire autonomamente modelli per affrontare argomenti nuovi [8]. E’ quindi
consigliabile impostare fin dall’inizio del percorso scolastico secondario superiore il corretto
approccio ai metodi e ai contenuti, dapprima lasciando che l’idea di modello e di teoria si formi
implicitamente attraverso gli esempi proposti e costruiti attivamente dagli studenti, e facendo
seguire successivamente una riflessione esplicita, fondata su riferimenti già in possesso degli
studenti, in modo da favorire comprensione e transfer.
I programmi ministeriali riconoscono l’importanza dell’insegnamento del metodo scientifico e
della capacità di costruzione e uso di modelli, ponendoli come obiettivi generali dell’insegnamento
delle materie scientifiche a diversi livelli e tipologie di scuola. Ad esempio nei programmi per il
biennio degli istituti tecnici si indicano, tra le finalità del corso “fisica e laboratorio”, <<in stretto
raccordo con le altre discipline scientifiche>>:
• la comprensione dei procedimenti caratteristici dell’indagine scientifica e la capacità
di utilizzarli;
• l’acquisizione di un corpo organico di contenuti e metodi finalizzati ad un’adeguata
interpretazione della natura;
• la comprensione delle potenzialità e dei limiti delle conoscenze scientifiche;
• l’acquisizione di un linguaggio corretto e sintetico;
• la capacità di analizzare e schematizzare situazioni reali e di affrontare problemi
concreti anche al di fuori dello stretto ambito disciplinare;
Le stesse finalità, espresse con le medesime parole, si trovano nei programmi Brocca per il triennio
del liceo scientifico, che aggiungono, specificando ulteriormente gli obiettivi:
• conoscere, scegliere e gestire strumenti matematici adeguati e interpretarne il
significato fisico;
• distinguere la realtà fisica dai modelli costruiti per la sua interpretazione;
• formulare ipotesi di interpretazione dei fenomeni osservati, dedurre conseguenze e
proporre verifiche;
• scegliere tra diverse schematizzazioni esemplificative la più idonea alla soluzione di
un problema reale;
• analizzare fenomeni individuando le variabili che li caratterizzano.
7
In matematica, l’insegnamento di concetti e tecniche attraverso la modellizzazione della realtà,
permette di avere come punto di partenza un riferimento al reale, che stimola l’interesse e aiuta la
comprensione perché permette di dare significato a simboli e formule. Offre inoltre lo spunto per
predisporre attività in cui lo studente è soggetto attivo del proprio apprendimento, in
contrapposizione all’apprendimento passivo di una sistemazione formale di definizioni, assiomi e
teoremi, tipico dell’insegnamento tradizionale [9]. Il meccanismo di astrazione non viene imposto
come punto di partenza da cui dedurre le applicazioni particolari, ma diventa un processo
realizzato dagli stessi studenti, che possono apprezzare l’utilità di concetti generali per descrivere
situazioni diverse. Un apprendimento attivo facilita inoltre la percezione della disciplina come
costruzione umana, dinamica e in evoluzione, avvicinando lo studente a un approccio da
ricercatore, mentre l’insegnamento dogmatico induce la falsa idea di un sapere statico.
In definitiva, l’insegnamento dei modelli è importante dal punto di vista dei contenuti perché il
modello è uno strumento fondamentale delle discipline scientifiche, e si presta a essere usato per
una didattica finalizzata all’apprendimento significativo, aspetto centrale delle moderne teorie
cognitive, come il costruttivismo, perché riconosciuto più efficace nello stimolare la motivazione, la
comprensione e stabilizzazione dei contenuti e lo sviluppo di capacità, rispetto al cosiddetto
apprendimento ricettivo, che ha caratteristiche più addestrative che educative.
2
OSSERVAZIONE DEL CONTESTO
2.1 Istituti
Il tirocinio del primo anno si è svolto nel Liceo “M. Gioia” di Piacenza. Il liceo comprende tre
indirizzi principali (classico, linguistico e scientifico) con diverse sezioni sperimentali.
E’ un istituto che cerca di sfruttare al massimo le opportunità offerte dall’autonomia scolastica, non
solo introducendo indirizzi con un curricolo personalizzato, ma anche riservando una quota del
curricolo per dei corsi a scelta da parte dello studente, e offrendo un gran numero di attività
extracurricolari, di orientamento (in ingresso per gli studenti della secondaria di primo grado e in
uscita per gli studenti delle ultime classi), sportive, culturali, di volontariato, con l’obiettivo di
coinvolgere gli studenti nella vita della scuola anche oltre l’orario di lezione. Queste attività sono
principalmente pomeridiane, ma spesso le attività preparatorie si svolgono al mattino, con la
conseguenza che durante le lezione c’è sempre qualche studente assente perché impegnato in
qualcuna di queste attività.
8
Il tirocinio del secondo anno si è svolto nel Liceo Scientifico “L. Respighi” di Piacenza. Pur
comprendendo diversi indirizzi e sperimentazioni, a differenza del Liceo Gioia è un liceo
esclusivamente scientifico. Si presenta inoltre come più tradizionale, con attività extracurriculari
concentrate al pomeriggio e più orientate al recupero o all’approfondimento disciplinare
(Laboratori di matematica, Mercoledì della Scienza, corsi di preparazione alle Olimpiadi,
certificazione informatica o linguistica, progetti in collaborazione con università …) anche se non
mancano attività come corsi di educazione alla salute, viaggi d’istruzione, corsi di fotografia e
cinema, il gruppo musicale e il giornalino d’istituto.
Entrambi i licei si presentano, attraverso il POF e il loro sito web, come istituti orientati alla
formazione globale della persona e non solo culturale; come integrati nel territorio e attenti
all’educazione alla cittadinanza. Differiscono tuttavia nella realizzazione pratica di questi intenti:
mentre il Gioia si presenta come luogo rivolto a tutta la cittadinanza, ad esempio con corsi di
lingue pomeridiani aperti a tutti e la biblioteca/mediateca aperta per tutta la giornata e che fa
prestito anche agli esterni, il Respighi rivolge le sue attività agli studenti, mostrandosi più come
scuola tradizionale; significativo ad esempio il fatto che la biblioteca sia accessibile solo a studenti
e docenti, e solo per due ore a giorno, di mattina.
2.2 I tirocinio: Docente accogliente
L’osservazione della docente accogliente è avvenuta in tutte e tre le sue classi, una prima, una
seconda e una quinta. Questo ha permesso di osservare come la docente adatta pratica didattica e
il rapporto con la classe a seconda del contesto.
Prevalentemente, la lezione è di tipo dialogato, e può tendere più verso la lezione frontale
tradizionale o verso una maggiore partecipazione degli alunni a seconda del contenuto e della
classe. Ad esempio, per introdurre le disequazioni in seconda, ha annunciato il nuovo argomento e
proposto un problema (trovare i numeri reali che addizionati a 5 danno un numero maggiore di 7),
risolvendolo lasciando molto spazio alla classe ma guidando il procedimento: ha formalizzato il
problema chiedendo ai ragazzi di scegliere nomi e incognite e facendo proporre loro la
disuguaglianza n+5>7; ha guidato la soluzione con un dialogo del tipo (D=domanda, R=risposta):
−
D: quante sono le soluzioni? R: infinite
−
D: troviamone qualcuna. R: 4, 5, 6
−
D: troviamone qualcuna più piccola. R: 2.01, 2.001, …
−
D: quindi come devono essere le soluzioni? R: maggiori di 2
9
a questo punto ha formalizzato l’insieme delle soluzioni (con la scrittura per caratteristica o come
intervallo); ha proposto altri problemi proponendo di ricercare le regolarità; ha istituzionalizzato la
definizione di disequazione e fatto proporre ai ragazzi la definizione di disequazioni equivalenti,
facendo nascere l’esigenza di determinare dei principi di equivalenza, che ha fatto proporre agli
studenti partendo da esempi per poi istituzionalizzarli.
Questo schema di lezione sembra avvicinarsi al metodo comportamentista di suddividere in
piccoli passi e procedere per domanda e risposta, ma invece di prevedere un lavoro individuale
consente il confronto tra allievi e quindi quell’aspetto sociale considerato fondamentale per la
costruzione dei concetti dal modello socio-costruttivista. Questo risulta più evidente nella classe
seconda, molto partecipativa e motivata, mentre la lezione risulta più frontale nelle classi prima e
quinta, di atteggiamento più passivo, dove l’argomento è essenzialmente presentato
dall’insegnante, con poche domande di stimolo ad anticipare la conclusione o a proporre una
definizione. Talvolta è l’argomento stesso che richiede una lezione frontale più che dialogata, come
i teoremi di Euclide e Pitagora che sono stati introdotti in seconda in modo assiomatico,
enunciando ipotesi, tesi e dimostrazione.
Il metodo della lezione dialogata, in cui le domande sono talvolta rivolte genericamente alla classe
e talvolta dirette a specifici studenti, consente alla docente un continuo feedback della
preparazione e delle capacità degli allievi, di cui tiene conto in modo informale come impressione
generale e non con una valutazione quantitativa da affiancare a quelle delle verifiche ufficiali.
Consente inoltre di valorizzare gli interventi positivi e di stimolare chi si distrae. La docente è
molto attenta a pretendere attenzione e concentrazione da tutti, come dimostra la cura anche dei
dettagli: nelle classi del biennio, costituite da ragazzi giovani che tendono più facilmente a
distrarsi, fa alzare la classe in piedi al suo ingresso, per dare un segnale di stacco che li induca a
predisporsi alla lezione, preparando il materiale e concentrandosi; quando spiega, cammina tra i
banchi, per attirare meglio l’attenzione su di sé e controllarli (infatti cammina di più in prima, dove
sono molto più distratti); compila il registro a fine lezione, quando i ragazzi sono necessariamente
più stanchi.
2.3 I tirocinio: Classe I scientifico B
La classe è una prima liceo scientifico sperimentale (Brocca), composta da 25 alunni. La materia
insegnata dalla DA è Laboratorio di Fisica.
10
La classe appare in generale abbastanza passiva; i ragazzi partecipano poco e difficilmente
intervengono se non sono sollecitati direttamente, si distraggono facilmente e spesso è necessario
dire a qualcuno di loro esplicitamente di tirare fuori libro e quaderno o di prendere appunti. Sono
comunque educati, non c’è mai confusione né polemiche particolari, e nonostante l’apparente
passività e disattenzione sono abbastanza diligenti da ottenere risultati complessivamente
sufficienti. I risultati del primo quadrimestre sono di 4 insufficienze su 25 alunni, 19 hanno voti tra
sufficiente e discreto, e solo due hanno voti più che buoni. La docente accogliente conferma
l’impressione di generale passività, attribuendola al fatto che in prima la classe deve ancora fare
gruppo, devono ancora svilupparsi le dinamiche che stimolino a partecipare, a voler contribuire
alla lezione e a voler lavorare insieme. Questo incide anche sulla omogeneità dei risultati,
accentuata anche dall’età (le eccellenze emergono di solito nel triennio). Durante il Consiglio di
Classe ho potuto constatare che anche i docenti delle altre materie confermano l’impressione
generale sulla classe, evidenziando soprattutto l’atteggiamento nei laboratori, che viene
considerato un momento più di gioco che di lezione, un momento di scarsa importanza per cui
non vale la pena impegnarsi, anziché un’occasione per imparare in modo interessante e attivo.
Questo in parte comprova l’immaturità precedentemente rilevata, ma parallelamente tutti i docenti
di materie di laboratorio (scienze, fisica, informatica) evidenziano la contraddizione di una
maggiore attenzione rivolta alle lezioni frontali rispetto a quelle di laboratorio, fatto insolito per
una prima.
Lo schema didattico seguito dalla docente accogliente è essenzialmente quello di presentare
brevemente l’esperimento in classe, farlo svolgere in laboratorio, analizzare i risultati in classe e
spiegare la teoria alla base dell’esperimento, quindi di svolgere una verifica scritta, e interrogare
successivamente solo gli insufficienti. Durante l’introduzione in classe vengono evidenziati il più
possibile gli aspetti del fenomeno in esame che sono interessanti da osservare, e anticipata il meno
possibile la teoria. L’esperimento solitamente richiede materiale comune, che viene portato dai
ragazzi stessi e consente un controllo da parte dei ragazzi dell’intero esperimento, dalla
preparazione all’effettiva misura/osservazione e analisi dei dati; i gruppi sono scelti solitamente
dall’insegnante, cercando di uniformare il livello dei gruppi. I ragazzi non mostrano particolari
preferenze o conflittualità e lavorano in ogni gruppo in cui sono inseriti; interessante è l’influenza
del genere sul funzionamento del gruppo: in gruppi di tre persone di genere diverso, i due in
maggioranza (sia maschi sia femmine) operano praticamente e il terzo sta seduto e annota; nei
11
gruppi con componenti dello stesso genere tutti e tre sono in piedi e partecipano alla parte
‘manuale’ dell’esperimento.
L’esperimento è guidato da una scheda che indica passo-passo cosa fare e cosa osservare, propone
delle domande di analisi delle osservazioni, e la cui compilazione sostituisce la redazione di una
vera e propria relazione, in quanto la docente ritiene che in prima è troppo presto per pretendere
qualcosa di diverso da una semplice cronaca, che risulterebbe inutile.
La verifica è strutturata solitamente con una parte di test a risposta multipla per verificare la
comprensione della teoria, e una parte con qualche problema di applicazione in cui talvolta
bisogna usare i dati raccolti durante l’esperienza in laboratorio (e per cui possono tenere la scheda
compilata). Durante l’interrogazione controlla il quaderno dell’interrogato e propone sia domande
di teoria sia esercizi e problemi, coinvolgendo gli altri facendo calcolare il risultato cui si è giunti
alla lavagna, o facendo rispondere alle domande su cui l’interrogato è in difficoltà, e
approfittandone per dare chiarimenti di teoria collegandosi alle domande dell’interrogazione.
2.4 I tirocinio: Classe II scientifico A / II classico B
La classe deriva dalla fusione della IIA liceo scientifico sperimentale (Brocca), composta da 15
alunni, e la IIB liceo classico sperimentale a opzione europea, composta da 9 alunni. La materia
insegnata dalla DA è Matematica. Questa particolare composizione della classe implica che per
alcune materie le due classi sono separate, e per altre, come matematica, seguono insieme. Questo
non sembra avere influenza sulle relazioni tra i ragazzi, che sembrano interagire bene come classe
di 25 alunni e non appaiono divisi in due gruppi separati. Influenza tuttavia l’azione didattica e i
risultati, in quanto i due gruppi, in quanto classi diverse, possono avere attività extracurricolari in
giorni diversi, quindi ci si ritrova una volta con una mezza classe e una volta l’altra, in momenti
diversi.
Come già anticipato, l’atteggiamento di questa classe è non solo di attenzione e diligenza, ma quasi
tutti mostrano di voler partecipare e di essere interessati a imparare e non solo al risultato
scolastico. Gli studenti non si limitano a rispondere quando sollecitati dall’insegnante o a porre
domande di chiarimenti sulla spiegazione in corso, ma fanno proposte anche se non stimolati
direttamente, durante la correzione degli esercizi propongono spesso più soluzioni alternative, si
consultano spontaneamente tra di loro di fronte a un problema e pongono domande anche legate a
curiosità suggerite dalla lezione (ad esempio durante la spiegazione dei principi di equivalenza
per le disequazioni, uno studente ha chiesto se esiste un simbolo per indicare l’equivalenza in
12
questo caso) e che non si limitano ai contenuti specifici proposti, anzi talvolta anticipandoli (ad
esempio dopo la dimostrazione del I teorema di Euclide qualcuno ha proposto come usarlo per
dimostrare il teorema di Pitagora, che sarebbe stato argomento della lezione successiva). Sotto
questo aspetto la classe è abbastanza omogenea, e anche i risultati riflettono questo atteggiamento
positivo: le medie del primo quadrimestre riportano una sola insufficienza grave, sei quasi
sufficienze (media intorno al 5½), e per il resto i voti sono tra il sufficiente e il discreto, con le
sufficienze concentrate maggiormente nella classe a indirizzo classico. Tuttavia, solo uno ha voti
più che buoni. La DA e il Consiglio di Classe confermano la buona impressione generale
sull’atteggiamento e il rendimento ma evidenziano come nessuno sia particolarmente brillante.
Anche in questo caso si può applicare l’idea, già espressa a proposito della classe prima, che le
eccellenze emergano maggiormente al triennio. Questa classe mostra comunque più maturità
rispetto alla I sc B, non solo per l’anno di differenza (la DA testimonia che erano più maturi anche
l’anno precedente), soprattutto per il comportamento tenuto in laboratorio: lavorano in modo
ordinato, si consultano senza fare confusione, considerano il laboratorio con lo stesso impegno e
attenzione di una lezione in classe.
Il programma è presentato essenzialmente con il metodo dialogato discusso precedentemente, e
con il supporto del laboratorio di informatica, in cui viene usato il software Cabri per attività di
costruzioni geometriche per la migliore comprensione dei teoremi; le attività sono guidate passopasso e prese dal loro libro di testo.
La valutazione avviene attraverso interrogazioni e verifiche scritte tradizionali.
2.5 II tirocinio: Docente accogliente
L’osservazione del docente accogliente è avvenuta principalmente in due delle tre classi in cui
insegna, per motivi di orario, e questo ha reso obbligata la scelta delle classi in cui svolgere
l’azione, la quarta e la quinta, anche se il DA ha anche una terza.
La metodologia didattica è essenzialmente tradizionale, con una lezione frontale e logocentrica,
secondo la classificazione di Titone [10], verifiche orali e scritte comprendenti domande di teoria e
problemi. La scelta di non proporre attività di gruppo o laboratoriali, o comunque intese a rendere
gli studenti più attivi nella costruzione delle proprie conoscenze, è dettata nel docente dalla
mancanza di tempo degli indirizzi tradizionali cui appartengono queste due classi, e dalla
preferenza a svolgere un programma il più possibile completo dal punto di vista dei contenuti,
essendo matematica e fisica due materie caratterizzanti un liceo scientifico.
13
La lezione-tipo consiste nella spiegazione da parte dell’insegnante, seguita da esercizi di
applicazione, in parte svolti dal docente, in parte lasciati svolgere in classe dai ragazzi. Viene
quindi lasciato spazio agli studenti di lavorare da soli, ma sempre come applicazione di quanto
appena spiegato e mai come mezzo di costruzione attiva del sapere. La lezione non è dialogata,
non viene stimolata la partecipazione durante la spiegazione, che tuttavia viene frequentemente
intervallata da momenti in cui gli studenti devono risolvere brevi esercizi o effettuare calcoli da
soli, in modo da fissare e comprendere meglio quanto appena ascoltato. In questo senso i contenuti
vengono suddivisi in parti e proposti gradualmente, secondo la visione comportamentista.
La volontà di raggiungere buoni risultati in molti studenti in poco tempo porta il docente a
classificare i contenuti in modo da poter fornire algoritmi risolutivi e tecniche meccaniche,
soprattutto all’inizio della presentazione di un argomento. Assegna pochi compiti a casa, sia in
matematica sia in fisica, lasciando alla responsabilità dei ragazzi, che essendo al triennio
dovrebbero averne la capacità, di capire se hanno bisogno di ulteriore esercizio.
In fisica, la preferenza verso la completezza del programma e la mancanza di tempo si traducono
in un’impostazione che parte dalla formulazione matematica, in modo da poter fornire in breve
tempo la sistemazione finale di una teoria, completata successivamente da qualche riferimento a
fenomeni osservabili quotidianamente o ad applicazioni tecnologiche, piuttosto che partire da
fenomeni noti agli studenti o da attività di laboratorio da cui ricavare insieme le equazioni
descrittive e costruire un modello o una teoria.
Dal punto di vista del rapporto con gli studenti, riesce ad alternare i momenti di lezione a momenti
più rilassati di scambi di battute e attenzione ai problemi dei ragazzi, ottenendo rispetto e ordine
durante le lezioni, mantenendo tuttavia una certa confidenza.
2.6 II tirocinio: Classe IV H
La classe è a indirizzo tradizionale ed è composta da 19 alunni. Il docente accogliente insegna in
questa classe da quest’anno per quanto riguarda la matematica, e dall’anno scorso per la fisica.
Durante le lezioni sono in generale attenti, anche se quelli seduti in fondo alla classe tendono a
distrarsi; le chiacchiere sono comunque a bassa voce e saltuarie; solo raramente il docente deve
riprendere qualcuno, perché disturba o non svolge il lavoro proposto. La partecipazione è limitata
alla richiesta di chiarimenti durante gli esercizi svolti in classe o a fine lezione, mai durante la
spiegazione; non capita mai che qualcuno faccia osservazioni originali o anticipi i risultati esposti.
14
Durante il consiglio di classe emerge, a proposito del comportamento, un quadro differenziato a
seconda dei docenti, alcuni dei quali lamentano una distrazione continua durante le lezioni che
non ho osservato durante le ore di matematica. Riferendosi invece alle capacità e alla preparazione,
tutti i docenti sono concordi nel dire che in media la classe ha buone capacità, ma non hanno
costanza nel lavoro a casa, infatti hanno risultati carenti nelle materie in cui bisogna essere più
sistematici, come matematica e latino. Emerge anche il problema del ricambio continuo dei
professori, che dalla prima vengono cambiati quasi completamente ogni anno; questo provoca
necessariamente una certa frammentazione nel programma (il DA ha dovuto riprendere argomenti
non solo dell’anno precedente, ma addirittura del biennio, come le disequazioni di secondo grado
o fratte) e la difficoltà da parte dei ragazzi di acquisire un metodo di studio sistematico, avendo
ricevuto input continuamente differenti. Tuttavia, pur riconoscendo il problema, gli studenti,
attraverso i loro due rappresentanti di classe, mostrano maturità nel non usarlo come scusa per il
loro rendimento, ma dimostrando consapevolezza del fatto che anzi questa situazione richiede un
maggior impegno da parte loro.
Nell’ultima verifica tuttavia ci sono state solo due sufficienze, che hanno indotto il DA a scrivere
una lettera ai genitori. Dopo questo episodio l’atteggiamento è migliorato, e il maggior impegno
nel lavoro domestico si è reso evidente soprattutto con l’aumentare di studenti che chiedono di
correggere anche esercizi non esplicitamente assegnati.
2.7 II tirocinio: Classe V E
La classe è a indirizzo tradizionale ed è composta da 19 alunni. Il docente accogliente insegna in
questa classe dall’anno scorso, sia matematica sia fisica.
Dal punto di vista del comportamento, è una classe molto più tranquilla della IV. Durante le
lezioni nessuno chiacchiera o disturba, e quasi tutti seguono sul libro e prendono appunti. Sono
molto educati, anche in senso formale (ad esempio si alzano in piedi quando entra in aula un
professore o un collaboratore), e dimostrano di essere un gruppo molto unito nei momenti in cui si
possono rilassare e parlare tra loro, come nei momenti in cui il professore compila il registro, o nei
cambi d’ora. Il consiglio di classe conferma che è una classe tranquilla, dove si fa bene lezione, ma
dal punto di vista del rendimento ci sono diversi debiti non saldati e non si rilevano eccellenze,
anche se nel confronto con altre classi quinte risultano in media migliori. Lavorano poco a casa e
sembrano non essere preoccupati per l’Esame di Stato; qualche docente lamenta una certa
immaturità nel fatto che pretendono di avere il lavoro facilitato, richiedendo le interrogazioni
15
programmate. L’osservazione in classe conferma quanto emerso dal consiglio di classe. La
partecipazione alle spiegazioni è ridotta a svolgere quanto assegnato, ma quasi mai chiedono
chiarimenti o fanno osservazioni. Anche quando il professore propone domande, alla classe o a
persone specifiche, durante le spiegazioni, spesso non sanno rispondere, dimostrando un
atteggiamento passivo nei confronti delle lezioni e di non studiare in modo continuativo. Durante
gli esercizi svolti in classe molti dimostrano lacune gravi in matematica (addirittura qualcuno non
ricorda il teorema di Pitagora, o non sa calcolare la distanza tra due punti note le coordinate), e
non tutti svolgono gli esercizi assegnati per casa. Diverse volte il docente accogliente ha ritenuto di
fare loro un discorso per stimolarli a cambiare atteggiamento, per poter recuperare le lacune in
vista dell’Esame di Stato, soprattutto in matematica. Anche in fisica i risultati sono poco
soddisfacenti: nell’ultima verifica di fisica hanno riportato 6 sufficienze su 19.
3
AZIONE I TIROCINIO – FISICA (IB)
Nella classe I sc B è stata presentata un’unità didattica sulla fluidostatica.
3.1 Preparazione
Motivazioni e vincoli
La fase di azione in questa classe si è inserita a fine programma (allegato 1), dopo le esperienze
sull’elettrizzazione. La DA ha proposto, come possibile argomento alternativo al movimento e
all’esperimento sul piano inclinato previsto dal programma, l’argomento fluidostatica associato a
un esperimento sulla legge di Stevino presentato ai Giochi di Anacleto del 2006. Lo studio della
cinematica, e dell’esperimento sul piano inclinato in particolare, offre l’interessante opportunità di
evidenziare le caratteristiche essenziali del metodo scientifico, anche seguendo un approccio
storico di analisi di passi presi dai “Discorsi intorno a due nuove scienze” di Galileo [2]. Tuttavia
proprio un’analisi storica mostra che i concetti fondamentali della cinematica, di velocità,
accelerazione, quantità istantanea, e le leggi del moto, non sono stati sviluppati correttamente fino
al diciassettesimo secolo, mentre i concetti fondamentali legati alla fluidostatica erano noti già
nell’Antichità ai Greci. Ho quindi ritenuto più opportuno affrontare in una prima classe concetti
legati all’equilibrio e non al movimento, scegliendo di trattare la fluidostatica.
Considerando la natura del corso, più orientato a fornire una comprensione dei metodi della
scienza attraverso la pratica in laboratorio, che a fornire contenuti specifici, non avevo vincoli nella
16
scelta dei contenuti per sviluppare l’argomento; ho dovuto solo tenere conto del tempo a
disposizione (una decina di ore), che ho organizzato prevedendo due esperienze di laboratorio.
Per la progettazione degli esperimenti ho seguito l’abitudine della DA di utilizzare il più possibile
materiale comune e setup semplici. In questo modo gli studenti dovrebbero sviluppare l’idea che
la fisica descrive la realtà e non è solo una serie di leggi ideali che “funzionano” solo con sofisticate
attrezzature di laboratorio progettate apposta; inoltre, potendo controllare anche la fase di
preparazione oltre che di raccolta dati, si abituano a considerare tutti i dettagli di un esperimento,
e quindi a comprendere la differenza tra uno schema ideale e una situazione reale, a distinguere
tra le scelte necessarie e quelle opportune, tra errore nell’impostazione dell’esperimento e
nell’interpretazione successiva.
Analisi preliminare
I nuclei concettuali dell’argomento da trattare si possono riassumere nella mappa concettuale di
Figura 1.
FLUIDO
assenza di forma
propria
implica
è soggetto a
all’equilibrio assenza
sforzi di taglio
PRINCIPIO DI
PASCAL
(legge fenomenologica)
implica
forze ⊥
superficie
torchio
idraulico
isotropia
pressioni
implicano
ESP LABORATORIO
misura densità dell’olio
applicazioni
LEGGE DI STEVINO
implica
legge dei vasi
comunicanti
ESP LABORATORIO
studio galleggiamento
LEGGE DI
ARCHIMEDE
Figura 1. mappa concettuale di fluidostatica.
17
Il libro di testo adottato [11] tratta gli argomenti di fluidostatica in due diversi capitoli, uno
dedicato a “le forze e la pressione”, in cui la pressione atmosferica, il principio di Pascal e la legge
di Stevino sono affrontate insieme a un’introduzione delle forze come grandezze vettoriali, alle
forze di attrito, elastiche e gravitazionale; il successivo dedicato a “le forze e l’equilibrio”, in cui il
galleggiamento dei corpi è trattato insieme all’equilibrio dei corpi solidi, appesi o appoggiati. Pur
avendo scelto di limitare l’argomento alla sola fluidostatica, con particolare attenzione ai liquidi,
non ho ritenuto di dover fornire materiale diverso dal libro di testo, organizzato in paragrafi brevi
e indipendenti. Dal punto di vista della correttezza, il testo contiene degli errori che ho fatto notare
a lezione (la pressione non è definita come F⊥/S ma F/S; il punto di applicazione della massa di
acqua spostata viene fatto coincidere con il baricentro del corpo immerso, in un esercizio si assume
come uguale la pressione alla base di un bicchiere largo e di un bicchiere col gambo di vetro). Nella
presentazione dei contenuti è essenziale e manca di mostrare in diversi casi quando una legge o
una proprietà ne implica un’altra; su questi collegamenti, importanti per mostrare come la fisica
organizza i concetti in modo da spiegare il maggior numero di fenomeni a partire da pochi
principi, ho quindi insistito molto a lezione.
Per quanto riguarda gli esercizi, il libro ne propone pochi e ho integrato con un altro testo [12],
equivalente per semplicità di trattazione ma più ricco di esercizi e problemi un po’ articolati. Il
libro adottato infatti tratta brevemente molti argomenti, con l’intento di dare le basi di tutta la
fisica classica, dalla meccanica alla termodinamica, la fluidostatica, l’ottica e l’elettromagnetismo; il
programma della DA si concentra invece su pochi concetti chiave, con l’attenzione più
all’acquisizione di un metodo che alla vastità dei contenuti.
Unità didattica
Prerequisiti matematici: equazioni lineari, proporzionalità diretta.
Prerequisiti fisici: grandezze (forza, peso, massa, densità, volume, superficie), concetti (equilibrio),
incertezze di misura.
Ostacoli: didattici (confusione tra massa e peso, indotta dall’uso del kgp nel corso di scienze,
difficoltà a vedere una legge fisica come un’equazione, indotta dall’uso delle formule inverse nel
corso di scienze); epistemologici (il comportamento dei solidi si acquisisce prima, lo si considera
quindi più naturale, e si tende ad estenderlo ai fluidi, creando dei misconcetti)
Obiettivi specifici: comprensione dei concetti e delle leggi fondamentali della fluidostatica
(definizione e proprietà di fluido, liquido, gas; pressione; principio di Pascal, legge di Stevino,
legge di Archimede)
18
Obiettivi generali: differenza tra legge fenomenologica e legge dimostrata da altre e verificata
sperimentalmente; acquisizione del metodo sperimentale (osservazione-ipotesi-esperimentointepretazione-legge); autonomia in laboratorio (capacità di compiere scelte operative, formulare
congetture, effettuare controlli per individuare eventuali errori)
Obiettivi metodologici: valutazione delle incertezze di misura, rappresentazione dei dati in grafici e
tabelle; lavorare in gruppo
Percorso didattico
Il percorso riportato è quello effettivamente svolto, e corrisponde a quello predisposto, a parte la
scansione temporale, non prevista nella preparazione e adeguata alla reazione della classe, e la
rinuncia a qualche esempio o applicazione, dettagliati nel paragrafo 3.2.
TEMPO
1h
LEZIONE
introduzione alla
fluidostatica /
Principio di
Pascal
1h
esercitazione
2h
LABORATORIO:
misura della
densità dell’olio
2h
Legge di Stevino
CONTENUTI
Concetto di pressione1, caratterizzazione
di fluido ideale2. (esempi puntine,
racchette da neve)
Pressione nel caso dei fluidi: forze normali
e indipendenti dall’orientazione della
superficie (esempi ventose, fiale).
Principio di Pascal (esperimento pag. 168,
torchio idraulico).
esercizi su pressione, densità, massa e
peso, principio di Pascal, conservazione
del volume nei liquidi
Osservazione: indipendenza della
pressione dall’orientazione e dalla forma.
Osservazione: confronto dislivelli di liquidi
di densità diverse → proporzionalità.
Ipotesi: pressione proporzionale a densità
e profondità → applicazione alla misura
della densità dell’olio → verifica con
misura indipendente (m/V)
Commento schede dell’esperimento e
discussione: la pressione è dovuta al peso
ma si esercita anche verso l’alto
(confronto con solidi); analisi dettagliata
della situazione dell’equilibrio, legato ai
dislivelli e indipendente dalla forma dei
due recipienti; analisi dati raccolti:
proporzionalità tra i dislivelli di olio e
acqua.
Legge di Stevino: suggerita
dall’esperimento, si può dedurre
teoricamente da leggi già note e dal peso
di una colonna di liquido.
Conseguenza: legge dei vasi comunicanti.
Applicazioni: paradosso idrostatico (botte
di Pascal).
19
OBIETTIVI
Comprensione del ruolo e
dell’uso delle grandezze fisiche
2
Costruzione di un modello
semplice e approssimato a
partire da proprietà di oggetti
reali.
1
Verifica dei prerequisiti.
Motivare la soluzione di un
esercizio
Acquisizione del metodo
sperimentale (osservazioneipotesi-esperimentointepretazione-legge).
Autonomia in laboratorio
(capacità di compiere scelte
operative, formulare congetture,
effettuare controlli per
individuare eventuali errori)
Distinzione tra legge
fenomenologica e legge
dimostrata da altre e verificata
sperimentalmente.
Riconoscere una legge fisica
come un’equazione.
20 min
Introduzione
esperimento sul
galleggiamento
3h
LABORATORIO:
equilibrio di solidi
in liquidi
2h
Legge di
Archimede
1h
2h
ripasso
verifica
Equilibrio dei solidi nei fluidi:
considerazioni su solidi sostenuti da solidi
(unica grandezza importante è il peso).
considerazioni sul galleggiamento
(esempi: nave pesante galleggia, moneta
leggera affonda, gnocchi prima affondano
poi galleggiano quando aumentano di
volume): quali proprietà del solido e del
liquido contano? Formulazione di ipotesi
da verificare con l’esperimento successivo.
Osservazione: dipendenza del peso
dell’acqua spostata e della spinta
esercitata dal liquido da: volume immerso,
peso dell’oggetto, densità dell’oggetto,
profondità dell’oggetto.
Osservazione: dipendenza del volume
immerso da peso/densità dell’oggetto e da
densità del liquido.
commento scheda dell’esperimento e
discussione risultati: un corpo riceve una
spinta verso l’alto sia che galleggia sia che
affondi; la spinta è indipendente dalla
profondità; questo è compatibile con la
pressione trovata nella legge di Stevino
(dimostrazione nel caso semplice di un
parallelepipedo); ruolo di: peso, densità,
volume oggetto, densità fluido.
Enunciato della legge di Archimede e
definizione di peso specifico.
problemi di ripasso
Analizzare osservazioni
qualitative per scegliere gli
obiettivi e le grandezze rilevanti
di un esperimento.
Acquisizione del metodo
sperimentale (osservazioneipotesi-esperimentointepretazione-legge).
Autonomia in laboratorio
(capacità di compiere scelte
operative, formulare congetture,
effettuare controlli per
individuare eventuali errori)
Distinzione tra legge
fenomenologica e legge
dimostrata da altre e verificata
sperimentalmente.
Riconoscere una legge fisica
come un’equazione.
rinforzo e recupero
Esperimento 1: misura della densità dell’olio
Materiale
In laboratorio: tubo di gomma, carta millimetrata, acqua
Da studenti: bottiglia, vassoio, scatola su cui fissare il tubo a
U e la carta mm, olio, galleggiante di polistirolo, righello,
elastico, cannuccia, scotch, forbici
Setup e procedimento
Immergendo il tubo nell’acqua a diverse profondità, si forma
un dislivello nell’olio.
Ogni gruppo ha una bottiglia di larghezza diversa, per
studiare se il dislivello dell’olio dipende dalla forma del
recipiente d’acqua.
Si misurano i dislivelli dell’olio per ogni dislivello che si forma
nell’acqua immergendo il tubo, e si ricava la legge che lega le
due grandezze.
Si applica la legge ai dati per calcolare la densità dell’olio.
Scheda studente
Segue la scheda consegnata agli studenti per guidare il
lavoro in laboratorio e la riflessione sulle osservazioni fatte.
20
MISURA DELLA DENSITÀ DELL’OLIO
Ti aspetti che sia più denso l’olio o l’acqua? In base a quali considerazioni?
Immergi il tratto libero del tubo nell’acqua della bottiglia. Cosa succede all’olio aumentando la profondità?
La pressione dell’acqua aumenta con la profondità perché aumenta il peso del liquido sovrastante. Per
esercitare la stessa pressione alla sua base, una colonna di liquido più denso dell’acqua dovrà avere
un’altezza maggiore o minore di quella dell’acqua?
Dalle considerazioni precedenti, puoi dire se l’olio è più o meno denso dell’acqua? Perché?
Immergi il tubo nell’acqua a una certa profondità, che misuri con il righello. Mantenendo fermo il tubo,
prendi nota del dislivello tra le due superfici libere dell’olio usando la carta millimetrata. Prendi i valori per
almeno 5 profondità, cercando di coprire un intervallo ampio di profondità, da 5 cm al fondo della bottiglia.
Completa la seguente tabella.
ACQUA
profondità
MISURA
MISURA
MISURA
MISURA
MISURA
MISURA
pelo libero di sx
OLIO
pelo libero di dx
dislivello
1
2
3
4
5
6
Che relazione c’è tra il dislivello dell’olio e la profondità del tubicino in acqua?
Per ogni profondità a cui è posto il tubicino in acqua, questa esercita una pressione sull’olio, provocando un
dislivello finché la pressione esercitata dall’olio non compensa quella dell’acqua.
Dalle considerazioni precedenti e da quello che hai osservato, ti sembra lecito supporre che la pressione sia
proporzionale alla densità del liquido e alla profondità? Perché?
Come puoi ottenere, dai dati raccolti in questo esperimento e dall’ipotesi appena fatta, la densità dell’olio? Ti
serve anche la densità dell’acqua; puoi trovarla sapendo che l’acqua contenuta in una bottiglia di 1l pesa 1kg.
Per verificare che la nostra ipotesi sia corretta, dobbiamo confrontare la densità appena misurata con quella
misurata con un’altra tecnica. Descrivi come si potrebbe fare in modo semplice.
21
Esperimento 2: studio del galleggiamento
Materiale
In laboratorio: supporti regolabili, acqua, bicchieri con gancio ed elastico, aste in fil di ferro da fissare ai
bicchieri e usare come indicatori, adesivi graduati da fissare agli ovetti
Da studenti: ovetti di plastica, bottiglia bassa, vaschetta, spago, scotch di carta, sabbia, metro di carta
Setup e procedimento
Il bicchiere viene fissato al supporto con l’elastico e al bicchiere viene agganciata un’asta che faccia da
indicatore; fissando il metro di carta al supporto si è costruito così un dinamometro.
Alla base del bicchiere viene agganciato l’ovetto, cui è apposto un adesivo graduato, e che viene riempito
con diverse quantità di sabbia e immerso nell’acqua. Si può quindi misurare approssimativamente il peso
dell’oggetto immerso, la frazione di volume immersa e la spinta esercitata dall’acqua, osservando
l’allungamento dell’elastico, le tacche immerse e l’accorciamento dell’elastico durante l’immersione,
rispettivamente.
Per consentire di staccare e riattaccare l’ovetto al bicchiere quando si cambia la quantità di sabbia, è stata
preparata una gabbietta di fil di ferro che rimane appesa al bicchiere, e che permette di inserire e disinserire
l’ovetto comodamente per aprirlo.
La bottiglia in cui viene immerso l’oggetto è piena fino all’orlo, in modo che tutta l’acqua spostata venga
raccolta nella vaschetta sottostante, e quindi versata nel bicchiere, in modo da poterne misurare il peso.
Vengono raccolti dati del peso dell’acqua spostata, della spinta dell’acqua e del volume immerso per diversi
pesi dell’oggetto, cioè per diverse quantità di sabbia.
Viene ripetuto l’esperimento dopo aver salato l’acqua per studiare l’influenza della densità del liquido.
Scheda studente
Segue la scheda consegnata agli studenti per guidare il lavoro in laboratorio e la riflessione sulle
osservazioni fatte.
IL GALLEGGIAMENTO
Domande preliminari
Immergendo un oggetto in un liquido, qual è il volume dell’acqua spostata?
pari al volume dell’oggetto
dipende dal recipiente
proporz. al peso dell’ogg.
Immergendo solo una parte dell’oggetto in un liquido, qual è il volume dell’acqua spostata?
pari al volume dell’oggetto
pari al V della parte immersa dell’ogg.
dipende dal recipiente
Esperimento 1
22
Appendi il bicchiere al supporto con l’elastico e fissa l’asta al bicchiere con lo scotch. Segna la posizione di
equilibrio sul metro. In questo modo hai un dinamometro che misura le forze in centimetri. Poni la bottiglia
nella vaschetta, in modo da riuscire a raccogliere tutta l’acqua tracimata. Riempi la bottiglia fino all’orlo.
Riempi l’ovetto con diverse quantità di sabbia e per ognuna:
a) appendi l’ovetto al bicchiere e misura il peso con il dinamometro
b) immergi nella bottiglia segnando di quanto si alza l’asta, cioè la forza Fa esercitata dall’acqua.
c) versa l’acqua tracimata nel bicchiere segnando di quanto si abbassa l’asta, cioè il peso dell’acqua
tracimata Pa, e il valore a cui arriva l’asta, cioè la risultante P-Fa+Pa.
Riempi la tabella con i valori ottenuti.
a) peso ovetto
P
a) n° tacche
immerse*
b) spinta
dell’acqua Fa
c) peso acqua
spostata Pa
c) risultante
P-Fa+Pa
RIEMPI a circa ½
RIEMPI a circa
3/4
RIEMPI tutto
RIEMPI tutto**
* se affonda completamente scrivere semplicemente “affonda”
** abbassa il supporto in modo che l’ovetto rimanga immerso a una profondità maggiore. Riazzera il dinamometro.
Indica come variano Pa e Fa al variare dei pesi P dell’ovetto. In particolare, indica se dipendono da peso,
volume totale, volume immerso, densità dell’ovetto.
La pressione dell’acqua sull’ovetto è proporzionale alla profondità, per la legge di Stevino. Quello che hai
osservato è compatibile con tale legge? Giustifica la risposta.
Esperimento 2
Sala l’acqua nella bottiglia e ripeti l’esperimento 1
a) peso ovetto
P
a) n° tacche
immerse
b) spinta
dell’acqua Fa
c) peso acqua
spostata Pa
c) risultante
P-Fa+Pa
RIEMPI a circa ½
RIEMPI a circa
3/4
RIEMPI tutto
RIEMPI tutto**
A parità di peso dell’ovetto, quali grandezze sono cambiate rispetto a prima? Come potresti usare i dati dei
due esperimenti per trovare la densità dell’acqua salata (sapendo che quella dell’acqua è 1g/cm3)?
23
3.2 Lezioni
Introduzione alla fluidostatica
Le prime lezioni erano intese a fornire i concetti necessari ad affrontare e a comprendere gli
esperimenti relativi alle leggi di Stevino e Archimede, cioè essenzialmente la definizione di
pressione, le proprietà dei fluidi e il principio di Pascal. Ho impostato questa fase con lezioni
frontali, cercando di stimolare interventi e proposte da parte della classe, con domande e
riferimenti a oggetti e situazioni quotidiani.
Per introdurre la pressione ho chiesto loro cos’è la forza, orientando le risposte a riconoscere la
funzione di questa grandezza più che a dare una definizione formale. Dopo un’iniziale resistenza a
tentare qualsiasi intervento, qualcuno ha proposto che è “qualcosa” che ha degli effetti sugli
oggetti (“deforma, sposta, fa cadere…”), offrendomi l’occasione di precisare che la forza, in quanto
grandezza fisica, è il concetto che usiamo per descrivere la causa di questi effetti, più che la causa
stessa. In questo modo ho cominciato a introdurre l’idea che le grandezze fisiche non sono
proprietà degli oggetti o dei fenomeni, da adottare necessariamente, ma nostre scelte, effettuate in
base alla classe di fenomeni che vogliamo descrivere. Di fronte all’osservazione che in certi casi si
hanno effetti diversi a parità di forza, casi esemplificati con oggetti comuni come le puntine o le
racchette da neve, è stato facile per i ragazzi riconoscere che bisognava considerare anche la
superficie su cui la forza si distribuisce, e che quindi si poteva introdurre una grandezza che
tenesse conto sia della forza sia della superficie. Diversi interventi, tuttavia, non provenivano da
un’analisi del fenomeno fisico seguita da un tentativo di descrizione, ma dalla riproduzione
acritica di quanto imparato alla secondaria inferiore; qualcuno ha addirittura motivato
esplicitamente la sua proposta di definire la nuova grandezza come F/S “perché lo abbiamo fatto
alle medie”, altri prevedevano che una persona con superficie di appoggio il doppio di un’altra e
doppiamente pesante affondasse nella neve della stessa profondità perché la pressione è la stessa,
non accorgendosi che stavano subordinando una legge (profondità proporzionale alla pressione,
peraltro non valida in generale) alla definizione e non viceversa. Ho quindi insistito perché
giustificassero ogni loro affermazione, e ho fatto notare che la pressione viene definita come forza
per unità di superficie perché comoda per descrivere una classe di osservazioni, ma che potrebbero
esistere fenomeni per cui è comodo introdurre una grandezza F/S2 o F2/S. Ho anche fatto proporre
a loro un simbolo, per mostrare la convenzionalità della scelta, non completamente arbitraria ma
vincolata a criteri di comodità e chiarezza (ad esempio hanno deciso di indicare la pressione con la
lettera minuscola, p, per distinguerla dalla forza peso che loro indicano con P).
24
In questa fase iniziale la classe ha confermato l’atteggiamento emerso durante la fase di
osservazione, in generale passivo e disattento; alla discussione partecipavano sempre gli stessi tre
o quattro studenti, e buona parte apparentemente seguiva ma non prendeva appunti, a meno di
non riprenderli singolarmente.
Ho introdotto i fluidi come caso limite di corpi deformabili, per la cui descrizione è quindi comodo
usare la pressione, evidenziando la proprietà che gli strati possono scorrere liberamente uno
sull’altro. A questo livello, ho solo accennato al fatto che questa è una semplificazione che ci
permette di trovare comunque leggi verificate sperimentalmente, senza discutere esplicitamente la
differenza tra modello e realtà. Da questa proprietà abbiamo dedotto che all’equilibrio la forza
esercitata da un fluido su una qualsiasi superficie è a essa perpendicolare, evidenziando come
questo caratterizzi i fluidi e li distingua dai solidi. Abbiamo poi distinto tra gas e liquidi,
assumendo i secondi incomprimibili e quindi di volume costante. Per spiegare l’isotropia della
pressione in un fluido ho mostrato una ventosa attaccata a un libro cui cambiavo l’orientazione,
perché vedessero che l’aria è in grado di esercitare sulla ventosa una forza tale da resistere a ogni
nostro tentativo di staccarla, anche dal basso verso l’alto, cosa che ovviamente un solido non è in
grado di fare. E’ emerso in questa discussione l’equivoco secondo cui è il vuoto ad attirare la
ventosa, e non l’aria a spingerla, che indica un’eccessiva disinvoltura nel dare descrizioni che
funzionano ma non sono realistiche. Ho infine presentato il principio di Pascal come legge
fenomenologica riferendomi all’esperimento illustrato sul libro di testo, chiamandolo principio per
indicare che da esso, insieme alle altre proprietà dei fluidi, si deducono le altre leggi che avremmo
studiato.
Ho assegnato esercizi sui concetti appena trattati e sui prerequisiti, verificando durante la
correzione in classe che le definizioni delle grandezze (pressione, massa, densità) fossero chiare, e
che le sapessero applicare, insieme ai concetti di proporzionalità diretta e inversa, e al principio di
Pascal e alle proprietà dei fluidi, in semplici problemi. In generale quasi tutti gli esercizi sono stati
svolti correttamente, mostrando una buona comprensione dei prerequisiti. Ho dovuto tuttavia
precisare che nella definizione di pressione compare la componente della forza perpendicolare alla
superficie (mentre sul loro libro di testo compare genericamente la forza), e la relazione tra massa e
peso, definendo la costante g come termine comune al calcolo del peso di tutti i corpi (che finora
loro conoscevano solo come forza gravitazionale esercitata dalla Terra sul corpo), evitando di
parlare di accelerazione perché non conoscevano le leggi della dinamica, e non era necessario per
l’argomento in corso. Durante la correzione dei problemi, chiedevo a chi li aveva risolti di spiegare
25
la tecnica risolutiva, per stimolare la consapevolezza dei propri ragionamenti e l’uso del
linguaggio specifico. Questo è un esercizio sicuramente necessario, considerata la tendenza,
comune e osservata anche in questa classe, a esporre i calcoli effettuati anziché individuare la
logica usata, e a risolvere i problemi meccanicamente, senza pensare alla situazione fisica. Ad
esempio in un esercizio coinvolgente un torchio idraulico (allegato 2, es. 1) hanno cercato di
risolverlo usando il principio di Pascal, solo perché il torchio idraulico era stato introdotto come
sua applicazione, senza accorgersi che il problema richiedeva semplicemente la conservazione del
volume del liquido.
Legge di Stevino
Per introdurre l’esperimento che ci avrebbe portato a trattare la legge di Stevino ho seguito
l’abitudine della DA di descrivere le operazioni e le osservazioni da svolgere, senza anticipare la
legge coinvolta, in modo che fosse il più possibile un esperimento di scoperta. Ho quindi
presentato l’obiettivo dell’esperimento come misura della densità dell’olio, senza nominare la
legge di Stevino, descritto brevemente le operazioni da compiere, e invitato a chiedersi cosa si
aspettassero prima di ognuna, in modo che le osservazioni risultassero consapevoli e non casuali.
In particolare, ho chiesto cosa si aspettassero immergendo il tubo nella bottiglia. In questa fase la
partecipazione è stata maggiore del solito, in molti hanno cercato di proporre le loro previsioni e
spiegazioni, mostrando di preferire una situazione di scoperta a una di spiegazione di fatti già noti
(come per la ventosa). L’opinione prevalente era che l’acqua sarebbe entrata nel tubo fino al livello
esterno, spingendo l’aria che avrebbe spinto l’olio creando un dislivello della stessa altezza della
colonna d’acqua nel tubo. Si vede come questa descrizione non tenga conto della diversa densità
dei due liquidi, né dell’equilibrio tra pressioni, né della dipendenza tra pressione e dislivello;
estende semplicemente l’osservazione che si potrebbe fare immergendo il tubo tenendo un
estremo libero: proprio la ricerca del perché in questo caso il comportamento non è quello atteso
dovrebbe far capire il coinvolgimento degli elementi elencati sopra, e fornire le basi per
comprendere la legge di Stevino.
L’esperimento è stato svolto a gruppi di due o tre, decisi dalla DA, seguendo la scheda con le
indicazioni delle osservazioni, le misure e le riflessioni da compiere, in modo il più possibile
autonomo, in modo che tutti avessero modo di costruirsi le proprie idee e congetture, che
sarebbero state successivamente sistemate a lezione. All’inizio ho solo ricordato loro di osservare
se il livello dell’acqua all’interno del tubo immerso era quello da loro atteso, e rispondevo solo a
dubbi di carattere operativo, senza dare indicazioni su come interpretare le osservazioni.
26
Come già osservato, la classe tendeva a distrarsi facilmente e a lavorare in modo superficiale; non
solo nessuno si poneva domande o effettuava prove che andassero oltre quanto proposto dalla
scheda, ma dimostravano ingenuità e immaturità nel metodo, riportando come risultati delle
misure ciò che si attendevano (ad esempio dislivelli uguali), indicando incertezze sufficienti a
comprendere i valori attesi, preferendo la fretta nel raccogliere i dati all’affidabilità delle misure
(ad esempio leggendo la profondità in acqua senza tenere il tubo vicino al righello), o non
riconoscendo questioni ininfluenti (ad esempio un gruppo ha chiesto se la cannuccia, che serviva
solo a irrigidire il tubo per facilitare la lettura, dovesse essere a filo con il tubo). Dovevo quindi
continuamente correggere e indirizzare il loro lavoro.
Dopo aver lasciato un po’ di tempo per sistemare il setup e
rispondere alle prime domande della scheda, che aiutano a collegare
la pressione con il peso, e quindi con l’altezza e la densità della
h1
h3
h2
colonna di liquido, ho stimolato una discussione su cosa intendesse
la scheda con ‘profondità’ nel caso dell’acqua, tra le tre altezze
possibili (vedi figura). Capire quale scegliere tra h1, h2 e h3 equivale a capire da cosa dipende il
dislivello nell’olio, ed è quindi un punto cruciale per la conduzione e interpretazione
dell’esperimento. Inizialmente i gruppi si dividevano tra chi proponeva h1, prendendo
acriticamente il termine ‘profondità’, e chi h2, in coerenza con l’idea espressa nella discussione
introduttiva. Dopo aver sottolineato che noi eravamo interessati a raccogliere dati sulle grandezze
da cui dipendono le reciproche pressioni di olio e acqua, e aver suggerito di ragionare in analogia
con l’olio, che essendo in un tubo a U rendeva automatico prendere in considerazione il dislivello,
due gruppi hanno capito che la grandezza interessante era h3, pur non riuscendo a darne una
motivazione. Ho quindi spiegato che la pressione esercitata dai due liquidi sull’aria dipende dai
dislivelli perché è dovuta al peso della colonna di liquido “in eccesso”, che per il principio di
Pascal si trasmette fino all’interfaccia aria-liquido, esercitando una forza dal basso verso l’alto,
anche se il peso ha verso opposto.
Questa discussione era intesa a evidenziare come un esperimento non è un’osservazione passiva
della natura, ma richiede la consapevolezza di ciò che si vuole studiare e una scelta delle
grandezze da osservare. Analogamente, l’analisi dettagliata delle schede di laboratorio, che ho
discusso in classe dopo l’esperimento, voleva mostrare che una legge non deriva in modo
necessario e quasi meccanico dai dati raccolti, ma richiede un’attenta interpretazione delle
osservazioni e dei dati, che tenga conto anche di osservazioni e leggi già note ed eventualmente di
27
nuove ipotesi. Di seguito sono riportate le domande (D) della scheda una per una, con le risposte
ottenute con le rispettive occorrenze, indicate per ogni studente con la lettera del gruppo di
appartenenza, e seguite da un’analisi e il conseguente commento in classe (L). Per preparare la
discussione, a fine esperimento avevo anche consegnato delle domande (allegato 2) volte a
riflettere sui meccanismi fisici alla base delle osservazioni fatte.
D: Ti aspetti che sia più denso l’olio o l’acqua? In base a quali considerazioni?
RISPOSTE
acqua perché olio galleggia in acqua
olio perché meno fluido
acqua (senza giustificazione)
OCCORRENZE
AAACCDEEFGLLL
BBB
GHIII
L: La maggior parte ha risposto correttamente, dimostrando di avere un’idea intuitiva, o una
conoscenza proveniente dalla scuola dell’obbligo, del legame tra densità e galleggiamento. La
seconda risposta ha dato l’occasione di precisare la differenza tra densità e viscosità (ho
interpretato “meno fluido” come “più viscoso”), e la terza l’importanza di motivare ogni
intuizione per raggiungere una piena comprensione dei concetti.
D: Immergi il tratto libero del tubo nell’acqua della bottiglia. Cosa succede all’olio aumentando la
profondità?
RISPOSTE
olio sale dalla parte opposta
aumenta il dislivello dell’olio
olio sale
livello sx si alza e livello di dx si abbassa (o aumenta da una parte e
diminuisce dall’altra)
OCCORRENZE
CCEE
AD
AAB
BBFGGHIIILLL
L: Tutti hanno osservato l’aumento di dislivello, ma visto il diverso grado di precisione nella
descrizione, ho ricordato che nella fase preliminare di osservazione, non si sa a priori cosa è
rilevante, quindi è importante dare una descrizione il più possibile completa, per individuare
successivamente i comportamenti da studiare e le grandezze da misurare e da mettere in relazione.
D: La pressione dell’acqua aumenta con la profondità perché aumenta il peso del liquido sovrastante. Per
esercitare la stessa pressione alla sua base, una colonna di liquido più denso dell’acqua dovrà avere un’altezza
maggiore o minore di quella dell’acqua?
RISPOSTE
OCCORRENZE
AAABBBCCDEEFGGHIIILLL
minore
D: Dalle considerazioni precedenti, puoi dire se l’olio è più o meno denso dell’acqua? Perché?
RISPOSTE
meno denso (senza giustificazione)
meno denso perché la profondità dell’acqua è minore del dislivello
dell’olio
28
OCCORRENZE
AAACCDEEFGGHIIILLL
BBB
L: Queste domande volevano stimolare una riflessione sul legame tra la pressione e il peso del
liquido, e quindi con la densità e l’altezza. Tutti hanno dato la risposta corretta, ma senza
giustificazione, che non sapevano dare neanche quando sollecitati in classe, confermando la già
osservata difficoltà a esplicitare il proprio ragionamento. E’ da considerare però positivamente che
l’unico gruppo che aveva fatto un’ipotesi errata sulla densità dell’olio (il B), abbia poi usato
correttamente le informazioni provenienti dalla teoria e dall’esperimento per confutarla e trarre la
corretta conclusione.
D: Immergi il tubo nell’acqua a una certa profondità, che misuri con il righello. Mantenendo fermo il tubo,
prendi nota del dislivello tra le due superfici libere dell’olio usando la carta millimetrata. Prendi i valori per
almeno 5 profondità, cercando di coprire un intervallo ampio di profondità, da 5 cm al fondo della bottiglia.
INCERTEZZA
0.5 cm
0.05 cm
0.05 cm acqua, 0.5 cm olio
OCCORRENZE
RIFERIMENTO per i livelli
sx e dx dell’olio
generico
livello iniziale
ABCIL
DFGH
E
OCCORRENZE
ABCDEFHI
GL
L: Le incertezze di 0.5 mm applicano la regola di considerare come incertezza metà della
risoluzione dello strumento, in questo caso il righello e la carta millimetrata, ma non tiene conto
del menisco dell’olio nel tubo e la lontananza tra tubo in acqua e righello, che rendono difficoltosa
la lettura. D’altra parte, le incertezze di 0.5 cm sono eccessivamente sovrastimate e dovute
all’esigenza di “far tornare” i risultati. Ho precisato quindi che le convenzioni sul calcolo delle
incertezze devono essere applicate con accortezza, suggerendo 1 mm come incertezza dopo aver
discusso il caso specifico. La posizione dello zero per misurare i livelli dell’olio è arbitraria, e il
fatto che solo due gruppi abbiano preso il riferimento più “naturale”, cioè il livello iniziale, può
essere interpretato come una chiara comprensione della convenzionalità della scelta.
D: Che relazione c’è tra il dislivello dell’olio e la profondità del tubicino in acqua?
RISPOSTE
proporzionalità diretta (confusa con crescenza)
forza di proporzionalità diretta
(relazione di) proporzionalità diretta
diretta alla prima potenza
profondità è dislivello dell’acqua
OCCORRENZE
CEGGHIILLL
A
AABBCDFH
BE
I
L: In generale tutti hanno riconosciuto la corretta dipendenza tra i dislivelli dei due liquidi, ma la
prima risposta è associata a motivazioni che indicano una confusione tra la proporzionalità diretta
e la semplice crescenza; la seconda curiosamente scambia “legge” con “forza”, e l’ultima indica che
è stata letta male la domanda.
29
D: Per ogni profondità a cui è posto il tubicino in acqua, questa esercita una pressione sull’olio, provocando
un dislivello finché la pressione esercitata dall’olio non compensa quella dell’acqua.
Dalle considerazioni precedenti e da quello che hai osservato, ti sembra lecito supporre che la pressione sia
proporzionale alla densità del liquido e alla profondità? Perché?
RISPOSTE
Sì (lega aumento di dislivello ad aumento pressione)
Sì (nella motivazione usa la stessa costante k per p=kdh e hacqua=kholio)
Sì per le misure raccolte
Sì (senza giustificazione)
Sì perché dolio = dacqua hacqua/holio
Sì perché p=dhg (preso da libro?)
Sì perché p = dacqua/dolio
OCCORRENZE
CCGG
BB
IIIL
EEL
DFF
AA
H
L: Nonostante la scheda guidasse molto il ragionamento, le risposte mostrano che in pochi hanno
collegato correttamente le considerazioni e le osservazioni per trarre la conclusione suggerita (solo
la prima risposta, e la seconda in modo impreciso). Le ultime due partono da quello che avrebbero
dovuto dedurre, probabilmente consultando il libro, senza alcun riferimento all’esperimento. La
difficoltà sta nel seguire un percorso logico inverso a quello che sembra più naturale e che è stato
seguito per trovare la proporzionalità diretta tra dislivelli: se fino al passaggio precedente si è
individuata una relazione che è implicata dai dati, qui si deve giungere a una legge (p=kdh), che
non deriva dalla relazione precedente, ma che la implica; è quindi un’ipotesi che viene fatta da
considerazioni indipendenti (peso della colonna d’acqua, principio di Pascal) e che i dati si
limitano a non falsificare, ma che non possono verificare. Questo è un passaggio cruciale sia per
capire la legge particolare che stiamo studiando, sia per comprendere il metodo scientifico in
generale, e il ruolo del nostro modello iniziale di fluido, che permette di dedurre le leggi verificate
sperimentalmente. Mi sono quindi soffermata sulla sua discussione e spiegazione, riferendomi
anche alle domande lasciate per casa (allegato 2), intese a isolare i fattori che influenzano
l’equilibrio e individuare quindi le grandezze rilevanti per la legge che stavamo ricavando.
Arrivati a scrivere l’equazione che uguaglia le due pressioni esercitate da acqua e olio scritte in
funzione della densità, del dislivello e dell’accelerazione di gravità, ho mostrato come da questa si
possa ricavare, con passaggi algebrici, la densità dell’olio richiesta dalla domanda successiva della
scheda. Questo passaggio è apparentemente più semplice del discorso precedente in cui si
mettevano insieme considerazioni teoriche e sperimentali, ipotesi e dimostrazioni, perché richiede
la soluzione meccanica di un’equazione di primo grado. Tuttavia i ragazzi seguivano a fatica, sia
per la poca pratica sui passaggi matematici (in matematica avevano appena iniziato le equazioni),
ma soprattutto per le difficoltà a riconoscere una legge fisica come equazione, a capire che
30
l’incognita può essere una qualsiasi delle grandezze che compaiono nell’equazione, a seconda di
quali grandezze sono note. Questo deriva dall’ipostatizzazione dell’incognita [13], come conferma
il fatto che si sono sentiti meno spaesati quando ho indicato la densità dell’olio con x, ma anche
dall’abitudine a parlare di formule dirette e inverse (evitata dalla DA, ma seguita dall’insegnante
di Scienze), che induce a pensare una legge fisica come un’operazione, in cui si inseriscono i valori
delle grandezze note per trovare quello dell’incognita, e non come una relazione tra grandezze
espressa da un’uguaglianza; questo stimola solo capacità algoritmiche e non relazionali [13].
D: Come puoi ottenere, dai dati raccolti in questo esperimento e dall’ipotesi appena fatta, la densità dell’olio?
Ti serve anche la densità dell’acqua; puoi trovarla sapendo che l’acqua contenuta in una bottiglia di 1l pesa
1kg.
dolio = hacqua/holio
dolio = dacqua hacqua/holio
dolio = hacqua/holio
dolio = hacqua/holio
RISPOSTE
dacqua = 1g/cm3
dacqua = 1kg/dm3
dacqua = 1kg/dm3
dacqua = 1kg/dm3
dacqua = 1kg/m3
OCCORRENZE
non calcolato dolio
dolio = 0.8 (senza unità)
dolio = 0.9
dolio = 0.7/1
CCEEF
BBB
D
F
H
L: Le difficoltà appena descritte indicano che le risposte precedenti sono state trovate consultando
il libro e non impostando la corretta equazione, mettendo insieme informazioni in modo confuso,
come dimostrano l’errore dimensionale nella formula della densità dell’olio (tranne in un caso), la
mancanza di dimensioni nel calcolo di dolio, e il calcolo di dacqua che in diversi casi non fa uso delle
indicazioni della domanda.
D: Per verificare che la nostra ipotesi sia corretta, dobbiamo confrontare la densità appena misurata con
quella misurata con un’altra tecnica. Descrivi come si potrebbe fare in modo semplice.
RISPOSTE
calcoliamo massa con bilancia, calcoliamo volume con recipiente
graduato, d=m/V
calcolo della massa diviso il volume
OCCORRENZE
DF
EHIIILL
L: Queste risposte sono interessanti perché mostrano la confusione tra calcolo e misurazione, e
l’interpretazione della domanda come esercizio ideale e non come situazione reale: nessuno ha
descritto come si può pesare un liquido nella pratica. Tuttavia, ho tralasciato queste
considerazioni, considerata la difficoltà che avevano incontrato a seguire fin qui e la loro generale
difficoltà a mantenere la concentrazione, per non deviare il discorso e istituzionalizzare quanto
detto enunciando la legge di Stevino, puntualizzando l’indipendenza dalla forma del recipiente e
facendo qualche esempio. Nel correggere gli esercizi assegnati per casa, si è confermata sia la
discontinuità di questa classe (alcuni non avevano svolto gli esercizi e leggevano ora il testo
31
dell’esercizio), sia la difficoltà a esplicitare con che ragionamento si è risolto un esercizio, anziché
descrivere i calcoli.
Legge di Archimede
Come per l’esperimento precedente, anche per presentare l’esperimento sulla forza di Archimede
ho evitato di anticipare la teoria, dicendo che l’obiettivo era lo studio della forza esercitata dai
liquidi sui solidi, e dando indicazioni operative.
La preparazione del setup è stata lunga, ma l’ho lasciata fare dai ragazzi perché è una fase
importante di un esperimento, al pari dell’acquisizione dati. E’ un’occasione per rendersi conto dei
tanti dettagli che influenzano i risultati di un esperimento, che durante una descrizione a lezione
viene invece necessariamente schematizzato e semplificato, e soprattutto obbliga a compiere delle
scelte operative, che costringono di ipotizzare consapevolmente cosa influenza o meno il
fenomeno, e quindi poter successivamente interpretare meglio i risultati e correggere eventuali
errori procedurali. Questo approccio non banale è ovviamente assente in una prima classe, che ha
poca esperienza ed è abituata a seguire passo-passo le indicazioni di una scheda, ed è quindi
importante cominciare a stimolarlo in situazioni semplici, come la scelta se misurare il peso
dell’acqua spostata tenendo l’ovetto appeso o meno, o se trascurare il peso e il volume occupato
dalla gabbia. Un gruppo in particolare ha dimostrato di aver compreso il corretto atteggiamento
quando ha notato che la bottiglia era tagliata male, formando un bordo non orizzontale, e quindi
non si poteva riempire uniformemente fino all’orlo, e immergendo l’ovetto l’acqua usciva solo da
una parte; dopo aver inizialmente pensato di tagliare meglio la bottiglia, si è reso conto
autonomamente che comunque tutto il volume occupato dall’oggetto immerso deve
necessariamente uscire, visto che il pelo dell’acqua è orizzontale. Il resto della classe però non
mostrava questa flessibilità, e tendeva a chiedere conferma per ogni più piccolo dettaglio e a
eseguire acriticamente le indicazioni. Molti gruppi hanno anche confermato la superficialità nella
raccolta dati già osservata, soprattutto nel caso in cui l’ovetto galleggiava, e il numero di tacche
veniva riportato acriticamente in tabella senza accorgersi che non corrispondeva alla sola spinta
dell’acqua, perché l’elastico era in trazione o piegato. Su questo mi sono soffermata a lungo
analizzando la situazione con ogni gruppo.
A causa di questa mancanza di autonomia l’esperienza è risultata più lunga del previsto, e molti
gruppi non hanno avuto tempo di discutere tra loro le domande proposte dalla scheda, utili a
interpretare le osservazioni. Solo un gruppo, quello già notato precedentemente, ha cominciato
anche a porsi domande non direttamente suggerite dalla scheda, e a collegare quanto osservato in
32
questo esperimento con la teoria a loro nota. In particolare, sono stati gli unici a riflettere
sull’apparente incompatibilità tra la dipendenza della pressione dalla profondità e il risultato
sperimentale di indipendenza della spinta a profondità diverse. La scheda suggeriva di fare questa
connessione per preparare a una migliore comprensione del significato sia della legge di Stevino
sia del principio di Archimede, e della differenza tra il punto di applicazione della risultante delle
forze e quelli delle singole forze che realmente agiscono su un oggetto.
Non avendo completato le schede, non le ho ritirate a fine esperimento, lasciandole come spunto di
riflessione a casa. Nelle lezioni successive ho quindi discusso con la classe le domande proposte,
ma non ho potuto analizzare in dettaglio le loro risposte come per il primo esperimento. Ho anche
ripreso i problemi operativi emersi durante l’esperimento, come il controllo che le misure fossero
fatte in regime di linearità dell’elastico e gli accorgimenti per la misura nel caso di galleggiamento,
individuando, tra i dati raccolti dai gruppi, quali fossero affidabili. Da questi abbiamo dedotto che
la spinta è pari al peso dell’acqua spostata, e che il volume immerso aumenta con la densità
dell’ovetto (di cui si aumentava la massa a parità di volume). Usando queste osservazioni
sperimentali e imponendo la condizione di equilibrio ho ricavato l’equazione che lega la frazione
di volume immerso Vimm/V al rapporto tra le densità do dell’oggetto e dl del liquido, Vimm / V = do / dl.
Come già osservato nella presentazione della legge di Stevino, la classe aveva difficoltà a seguire
un discorso in cui si manipolano equazioni, e tendevano a non chiedere chiarimenti a meno di non
essere sollecitati direttamente. Una partecipazione leggermente maggiore c’è stata nella fase
successiva, in cui ho legato legge di Stevino e di Archimede deducendo la seconda dalla prima nel
caso semplice di un corpo a forma di parallelepipedo. Tuttavia, l’atteggiamento prevalente di
passività e la facilità a distrarsi non sono migliorati durante il periodo della mia azione. Ad
esempio quando ho ripreso l’equazione che uguaglia i rapporti tra i volumi e tra le densità,
qualcuno ha chiesto cosa fosse V, dimostrando non solo di non essere attento, ma di non ricordare
quanto detto solo la lezione precedente. Allo stesso modo, quando ho chiesto se avevano pensato
all’ultima domanda della scheda, che chiedeva come sfruttare le due serie di misure per calcolare
la densità dell’acqua salata, nessuno ha risposto, e molti mostravano di non sapere di che cosa
stessi parlando, come se non fosse stato un compito assegnato. Questa domanda è stata pensata
per stimolare a distinguere un problema fisico da uno matematico, tenendo conto degli oggetti e
delle situazioni reali che le equazioni e i simboli rappresentano, e non solo dei calcoli necessari per
dare una risposta. In questo caso, a parità di peso dell’ovetto, si potrebbe usare
Vimm(dolce) / Vimm(salata) = dacqua(salata) / dacqua(dolce), ma bisognerebbe avere una grande precisione
33
nel riempimento dell’ovetto durante le due serie di misure. Una soluzione più opportuna dal
punto di vista fisico è quindi di confrontare i risultati nel caso di immersione completa,
confrontando i volumi immersi e i pesi dell’acqua spostata nei due casi: dacqua(salata) / dacqua(dolce) =
Pacqua(salata) / Pacqua(dolce). A conferma di quanto detto prima, queste considerazioni non sono
emerse da una discussione né da risposte a miei suggerimenti, ma ho dovuto esporre il
ragionamento completamente, e pochi sono riusciti a seguire i passaggi algebrici.
Durante la correzione degli esercizi in vista della verifica, ho evidenziato come in ogni problema si
debbano individuare le grandezze che descrivono la situazione fisica, e una o più leggi che
contengano le grandezze note e quella richiesta, in modo da impostare un’equazione, che viene poi
risolta algebricamente. Ho mantenuto questo schema anche nei problemi più semplici, per
contrastare l’abitudine a ricercare formule ‘dirette’, che permettano di calcolare la grandezza
richiesta, e a impararle a memoria, perdendo di vista il senso fisico e i limiti di validità delle
formule. Considerato l’atteggiamento e le difficoltà della classe, mi ha stupito che metà della classe
abbia risposto correttamente alla seconda domanda del problema (3) dell’allegato 3, che è
controintuitiva e richiede una comprensione della legge di Archimede che vada oltre
l’applicazione diretta di formule o la conoscenza dell’enunciato. Inoltre, qualcuno è stato in grado
di motivare correttamente la risposta, ragionando qualitativamente sull’uguaglianza tra peso del
cubo di ghiaccio e quello dell’acqua spostata, che implica che la parte immersa ha lo stesso volume
che occuperà il ghiaccio quando sarà diventato acqua.
In definitiva, le lezioni hanno rispettato essenzialmente l’ordine di presentazione e i contenuti
previsti nell’UD, a parte il taglio di qualche esempio o applicazione, come il paradosso idrostatico.
La passività della maggioranza della classe evitava che nascessero dubbi particolari o deviazioni
dal discorso previsto, ma d’altra parte era difficile avere un controllo in itinere di quanto fosse
stato recepito, essendo l’interazione limitata a pochi, mentre dagli altri si avevano solo risposte
saltuarie quando interpellati direttamente.
3.3 Verifica
La verifica (allegato 4) che ho proposto alla classe segue la struttura usata dalla DA: una parte di
test a risposta chiusa per verificare le conoscenze teoriche, e una parte di problemi, eventualmente
riferiti all’esperimento svolto. Per la parte di test ho inserito domande con definizioni (1, 2),
applicazioni dirette delle leggi studiate (4, 5, 7, 9, 10), quesiti che richiedono brevi calcoli (3, 8). I tre
problemi sono intesi a verificare la corretta comprensione e applicazione delle leggi di Archimede
34
e di Stevino. Tutti e tre descrivono una situazione reale in modo da evitare che la soluzione sia
indotta da un riconoscimento di parole chiave in una formulazione standard dell’esercizio, anziché
dalla capacità di descrivere un fenomeno fisico con una legge opportuna. Inoltre un riferimento a
una situazione già osservata in laboratorio dovrebbe consentire una previsione sull’ordine di
grandezza dei risultati e quindi un controllo sulla soluzione trovata. Il problema 13 presenta il
cosiddetto paradosso idrostatico, previsto nell’UD ma non presentato a lezione per mancanza di
tempo.
In Tabella 1 sono riassunti gli obiettivi verificati e i punteggi previsti per ogni esercizio.
Esercizio
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1p
2p
obiettivi specifici
unità di misura per la pressione
definizione di pressione
applicazione della definizione di pressione
principio vasi comunicanti
applicazione della legge di Stevino
applicazione della legge di Stevino
indipendenza della pressione dall’orientazione e
Stevino
principio di Pascal
legge di Archimede
conseguenza della legge di Stevino
applicazione della legge di Stevino
applicazione della legge di Archimede, peso,
soluzione di un problema fisico attraverso equazioni
applicazione della legge di Archimede, peso,
soluzione di un problema fisico attraverso equazioni,
composizione delle forze
13
competenze
coinvolte
C
C
CT
C
CT
CT
CT
punti
CT
C
CT
CT
CE
0.4
0.4
0.4
1.5
1
63
38
58
83
38
54
8
CE
.25
4
4
CT
1.5
54
42
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
0.4
% risp. corrette
parziali compl
100
54
75
79
67
71
46
Tabella 1. Griglia di valutazione della verifica di fisica proposta in 1B. C-Conoscenza di definizioni e
leggi; T-Applicazione immediata delle leggi, tecniche standard; E-Elaborazione di procedure. La
percentuale di risposte parzialmente corrette comprende anche le completamente corrette.
Il punteggio è costruito in modo che i voti siano compresi tra 2 e 10, e che si possa raggiungere la
sufficienza con le sole domande di teoria e i quesiti. I test a risposta multipla valgono quindi 4/10 e
i restanti 4 punti da attribuire ai problemi sono ripartiti in modo che il problema più difficile valga
di meno. Prima della verifica erano previsti un punto a problema, quindi due punti per il
problema 12, perché articolato in due parti e più complesso degli altri due, che richiedono
l’applicazione della legge di Stevino in modo analogo agli esercizi svolti in classe. Durante la
correzione però, avendo rilevato che solo una su 23 ha risolto la seconda parte del 12, e che anche
la prima parte è risultata eccessivamente difficile (solo un terzo l’ha svolta almeno in parte, e solo
in due l’hanno svolta completamente e correttamente), ho ridotto il punteggio di questo problema
35
per non penalizzare chi non è stato in grado di risolvere un problema evidentemente starato
rispetto alla preparazione ricevuta e forse all’età; ho considerato risolto al 100% il problema 12 se
corretto nella prima parte, e ho assegnato un bonus di ¼ di punto all’unica che ha risolto anche la
seconda parte.
10
9
8
7
6
5
4
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Figura 2. Distribuzione dei voti riportati nella verifica in 1B.
I risultati (Figura 2) sono abbastanza in linea con quelli riportati nelle precedenti verifiche, nel
senso che ogni studente, salvo qualche eccezione di netto peggioramento o miglioramento, ha
riportato un voto nella fascia a cui apparteneva prima; tuttavia la gamma dei voti è risultata meno
appiattita verso il sufficiente/discreto, spaziando dal gravemente insufficiente all’ottimo in modo
abbastanza omogeneo. Le insufficienze sono state in numero maggiore che nelle verifiche
precedenti.
Le differenze si possono comprendere considerando che l’argomento è stato presentato e valutato
da un differente insegnante. Anche se ho cercato di usare lo stesso schema di lezione e di
conduzione del laboratorio a cui la classe era abituata, ogni insegnante introduce inevitabilmente,
e anche volontariamente, un modo personale di organizzare la spiegazione, il lavoro, di gestire i
tempi, e di valutare; è quindi prevedibile che la classe risponda in modo diverso.
Osservando le percentuali di risposte corrette relative ai test a risposta chiusa, si può concludere
che la teoria e le sue applicazioni più immediate sono state recepite da buona parte della classe. Le
maggiori difficoltà emergono nei quesiti 2, 7 e 10. Nel (2), la classe si è divisa a metà, tra chi ha
risposto correttamente che la pressione è il rapporto tra la componente perpendicolare della forza e
l’area della superficie su cui agisce (risposta a), e tra chi ha definito la pressione come rapporto tra
forza e area (risposta c). Probabilmente avrei dovuto insistere maggiormente sulla definizione,
36
considerato che la confusione è comprensibile perché in fluidostatica le forze sono sempre
perpendicolari alle superfici, quindi le due definizioni divengono equivalenti. L’ho invece
precisato solo all’inizio in occasione della correzione di un esercizio. Nel (7) la risposta più comune
è stata la (d), a causa probabilmente di una confusione tra il valore della pressione in diversi punti
del liquido e il valore della pressione trasmessa in ogni punto del liquido, di cui parla il principio
di Pascal. Nel (10) le risposte errate si distribuiscono equamente tra la (a) e la (b), e in due casi la
(c). La risposta (a) indica una confusione con la condizione di galleggiamento, probabilmente
dovuta al fatto che la situazione del quesito è stata discussa in occasione della spiegazione della
legge di Archimede. La (c) è coerente con la risposta (d) nel quesito (7), cioè con il trascurare
l’aumento della pressione con la profondità, e in effetti chi ha risposto 10-c ha risposto anche 7-d.
L’apparente non conoscenza della legge di Stevino non ha però impedito a entrambi di risolvere
correttamente uno fra i due esercizi 11 e 13, che richiedono l’applicazione di questa legge. Si può
dire quindi che in questo caso sia stata assimilata la tecnica risolutiva ma non il significato fisico
della legge. Appare invece strana l’alta occorrenza della risposta (b), visto che è una condizione
che non si verifica mai, e che quindi non può derivare dalla generalizzazione di un caso particolare
studiato; né è facile capire quale equivoco sulle leggi della fluidostatica può portare a una forza
risultante esercitata da un liquido diretta verso il basso.
I problemi hanno creato più difficoltà, soprattutto il 12, in cui non bisognava applicare una tecnica
già vista, sia nell’analisi dei dati di laboratorio, sia negli esercizi in classe, ma impostare
un’equazione avendo una buona comprensione della legge di Archimede, della condizione di
equilibrio, del fatto che il peso è una forza. La difficoltà incontrata dalla classe, soprattutto nella
seconda parte, conferma la resistenza, già osservata durante le lezioni, a vedere una legge fisica
come un’equazione che permette di trovare una qualsiasi grandezza, anziché come formula che
permette di calcolare una grandezza specifica conoscendo le altre. Questo porta a cercare di
calcolare ogni grandezza con formule “dirette” fino ad arrivare a quella richiesta, e impedisce di
impostare un’equazione in cui la grandezza cercata è un’incognita, se non si conoscono già tutte le
altre.
L’11 e il 13 sono concettualmente analoghi e richiedono la conoscenza della stessa legge, ma il
primo ha avuto un successo leggermente superiore probabilmente perché riferendosi
all’esperimento di laboratorio, è stato risolto anche da chi ha applicato acriticamente la formula
usata per trovare la densità dell’olio, sostituendo la densità del mercurio a quella dell’olio. Il 13
richiedeva invece di conoscere la legge di Stevino, o di aver compreso che per avere la stessa
37
pressione di deve conservare il prodotto di densità e altezza della colonna d’acqua, e non il
rapporto. L’uso della proporzionalità diretta anziché inversa può essere stato indotto dalla
confusione con la proporzionalità tra dislivelli osservata nell’esperimento, ed estesa anche alla
relazione tra densità e dislivello (o altezza).
Riguardo il problema 11, un risultato sicuramente positivo è che nessuno ha scritto, come nelle
schede di laboratorio, d = hA/h, ma tutti hanno scritto un’equazione dimensionalmente corretta,
d h = dA hA oppure d = dA hA/h, recependo le precisazioni su cui si è insistito (a posteriori si può dire
opportunamente) durante la discussione delle schede a lezione.
4
AZIONE I TIROCINIO - MATEMATICA (IIA/B)
Nella classe II sc A / II cl B è stata presentata un’unità didattica sulla probabilità.
4.1 Preparazione
Motivazioni e vincoli
La fase di azione in questa classe si è inserita dopo i teoremi di Euclide e Pitagora in geometria e le
disequazioni di II grado in algebra; il programma (allegato 5) proseguiva con le similitudini in
geometria e il completamento dell’argomento disequazioni (fratte, con valore assoluto, irrazionali,
di grado superiore al secondo) in algebra. In accordo con la docente accogliente, ho scelto invece
l’argomento probabilità, che essendo relativamente indipendente dal resto del programma,
permette più libertà nell’organizzazione del percorso, sia dal punto di vista dei contenuti e della
metodologia, sia per la tempistica, non dovendo inserirsi in un discorso già iniziato da un altro
docente. Abbiamo scelto di dedicare a questo argomento due ore settimanali, in modo da non
interrompere lo studio di argomenti del “filone principale”, e quindi perdere l’esercizio sulle
tecniche di calcolo e sul metodo ipotetico-deduttivo.
I punti da trattare sono stati scelti dalla DA, cui interessava dare i concetti base di probabilità
classica e di calcolo combinatorio, rimandando agli anni successivi le interpretazioni frequentista e
soggettivista, e arrivando a trattare la probabilità condizionata e cenni di statistica descrittiva solo
tempo permettendo.
Analisi preliminare
I punti da trattare si possono riassumere nelle seguenti definizioni e teoremi:
Definizioni
ESPERIMENTO ALEATORIO: avvenimento il cui esito non è certo
38
EVENTO ALEATORIO: uno dei possibili esiti di un esperimento aleatorio
PROBABILITÀ DI UN EVENTO: misura della possibilità che esso si verifichi
SPAZIO CAMPIONARIO: insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento aleatorio
EVENTO COMPOSTO: evento che è combinazione di altri
EVENTO E UNIONE DI E1 e E2: evento che si verifica se si verifica E1 vel E2
EVENTO E INTERSEZIONE DI E1 e E2: evento che si verifica se si verifica E1 et E2
EVENTI INCOMPATIBILI: quando i casi favorevoli a uno non sono favorevoli anche all’altro
EVENTI COMPATIBILI: quando esistono casi favorevoli in comune
EVENTI INDIPENDENTI: la probabilità di uno non viene influenzata dal verificarsi dell’altro
PROBABILITÀ CLASSICA: P(E)= f/n; proprietà: P(evento certo)=1; P(evento impossibile)=0; 0<P<1
Teoremi
TEOREMA DELLA PROBABILITÀ CONTRARIA: P(non E)=1-P(E)
TEOREMA PROBABILITÀ TOTALE: P(E1∪E2)=P(E1)+P(E1)- P(E1∩E2)
TEOREMA PROBABILITÀ COMPOSTA: P(E1∩E2)=P(E1)*P(E2) per eventi indipendenti
PROBABILITÀ CONDIZIONATA: probabilità di un evento supposto che si sia verificato l’altro
TEOREMA PROBABILITÀ COMPOSTA: P(E1∩E2)=P(E1)*P(E2|E1) per eventi dipendenti
Calcolo combinatorio
sequenze
con ordinamento
senza ordinamento
senza ripetizioni
disposizioni semplici
combinazioni semplici
Dn,k=n!/(n-k)!
Cn,k= n!/(k!(n-k)!) coeff binomiale*
Dn,n=n!
con ripetizioni
permutazioni
disposizioni con ripetizioni
combinazioni con ripetizioni
Drn,k=nk
Crn,k= (n+k-1)!/(k!(n-1)!)
*proprietà:
−  n  è il numero di sottoinsiemi di k elementi in un insieme di n;
k
 
− con il triangolo di Tartaglia si vede facilmente che  n  =  n  e che
 k n− k
  

1
n
k =0
 
∑ k  = 2
n
, che è la cardinalità
dell’insieme delle parti. Allo stesso risultato si arriva contando le combinazioni della condizione di
appartenenza/non appartenenza di ogni elemento a un sottoinsieme (cioè si contano i sottoinsiemi
costruiti come n-uple di 0 e 1)
La teoria della probabilità si è evoluta storicamente a partire da un’impostazione intuitiva e per
certi versi ingenua all’attuale formulazione assiomatica, che evita le precedenti contraddizioni e la
necessità di fondare la teoria su un’interpretazione. Per una trattazione introduttiva è sufficiente
39
l’impostazione classica, che consente anche di giustificare i teoremi in modo intuitivo senza
eccessive formalizzazioni, come ben espresso da Laplace: “in fondo la teoria delle probabilità è
soltanto senso comune espresso in numeri” [14].
Il libro di testo adottato [15] segue questa impostazione, fornendo la definizione classica di
probabilità e accennando alle probabilità frequentista e soggettivista (ignorando la teoria
assiomatica) e giustificando i teoremi con esempi e la rappresentazione grafica. Gli esercizi
proposti sono in buon numero e vari per difficoltà e tipologia; non ho quindi proposto esercizi
diversi, se non nelle ultime lezioni, per integrare quelli del libro, quasi tutti già svolti.
La probabilità e il calcolo combinatorio richiedono, dal punto di vista del calcolo, al massimo la
conoscenza delle operazioni su frazioni, quindi non ho previsto nessuna verifica in ingresso dei
prerequisiti. Dal punto di vista concettuale, la probabilità richiede un cambio di mentalità rispetto
all’abituale approccio deterministico, ma il pensiero probabilistico solitamente non viene
sufficientemente sviluppato nei gradi inferiori di istruzione. Ho pensato quindi di far precedere
l’introduzione delle definizioni e dei teoremi da una serie di problemi sulla probabilità da risolvere
qualitativamente per confronto anziché calcolando esplicitamente le probabilità coinvolte; ho
preso spunto dai problemi analizzati durante le lezioni del corso di Didattica della Matematica I e
presentati come adatti a sviluppare il pensiero probabilistico. Visto l’obiettivo di costruzione di
nuovi concetti e di un nuovo approccio, ho presentato i problemi come lavoro di gruppo seguito
da una discussione in classe, secondo il modello socio-costruttivista e considerando che
l’atteggiamento attivo della classe si sarebbe prestato a questa modalità.
Gli ostacoli previsti per questi argomenti consistono principalmente nelle difficoltà di astrazione,
necessaria per generalizzare gli esempi particolari per comprendere le formule del calcolo
combinatorio, e per riconoscere in una situazione reale l’opportuno modello cui applicare la teoria.
Considerando il positivo atteggiamento e rendimento della classe, confermato soprattutto
dall’ultima verifica effettuata prima dell’inizio della mia azione, sulle disequazioni, in cui nessuno
aveva riportato insufficiente, ho pensato un percorso che prevedeva anche qualche
approfondimento (il triangolo di Tartaglia, il lotto…) e arrivava fino alla probabilità condizionata.
Come si vedrà, le differenze precedentemente evidenziate tra un argomento prevalentemente
tecnico e algoritmico come la risoluzione di disequazioni e la probabilità faranno emergere
difficoltà per cui il percorso verrà modificato in itinere rinunciando a qualche argomento e
aumentando le lezioni dedicate a esercitazioni in classe, guidate o di gruppo.
40
Unità didattica
Prerequisiti: teoria degli insiemi (insieme, insieme complementare, unione, intersezione), logica
(negazione, connettivi di congiunzione e disgiunzione), operazioni tra frazioni.
Ostacoli: ontogenetici (capacità di astrazione); epistemologici (pensiero probabilistico e non
deterministico).
Obiettivi specifici: definizioni di esperimento aleatorio, evento, esito, spazio campionario, evento
composto, evento contrario; probabilità di un evento semplice, unione, intersezione, probabilità
totale; rappresentazione insiemistica e ad albero; disposizioni semplici e con ripetizione,
combinazioni semplici.
Obiettivi generali: significato e uso del modello.
Percorso didattico
Il percorso riportato è quello effettivamente svolto, e corrisponde a quello predisposto, a parte la
scansione temporale, non prevista nella preparazione e adeguata alla reazione della classe, e alcuni
tagli o modifiche minori dettagliati nel paragrafo 4.2. I testi dei problemi sono riportati
nell’allegato 6.
TEMPO
1h
LEZIONE
introduzione
CONTENUTI
Attività a gruppi: problema “Méré 1”.
Discussione in classe: problemi
“Compleanni 1” e “Lanci”
.5h
definizione
classica della
probabilità
.5h
probabilità
composta
1h
probabilità totale
1h
disposizioni
esperimento aleatorio, evento, esito,
spazio campionario;
probabilità classica;
legge empirica del caso;
rappresentazione ad albero
evento intersezione;evento
complementare;
rappresentazione insiemistica;
probabilità composta
eventi compatibili e incompatibili;
evento unione;
probabilità totale;
problema “Libri”
disposizioni semplici e con ripetizione;
rappresentazione ad albero e “a caselle”1;
problemi “Compleanni 2” e “Méré2”2
.5h
permutazioni
permutazioni;
notazione fattoriale
41
OBIETTIVI
Passaggio dal pensiero
deterministico, sul passato, a
probabilistico, sul futuro.
Costruzione del concetto di
probabilità attraverso problemi
risolvibili per confronto, senza
calcolo.
Formalizzazione di idee intuitive.
Distinzione tra situazione reale e
modello matematico che la
descrive
Uso del registro grafico per
scoprire risultati e per condurre
dimostrazioni informali
1
modello come strumento di
calcolo più che rappresentazione
della realtà
2
scelta della tecnica più
conveniente; motivazione alla
formulazione di tecniche di
calcolo di fronte a risultati
controintuitivi
.5h
combinazioni
.5h
coefficiente
binomiale
.5h
esercitazioni
1h
1h
ripasso
ripasso
2h
verifica
combinazioni semplici;
coefficiente binomiale (definizione)
proprietà:  n  =  n  ;
 k n− k
  

legame del coefficiente binomiale con il
numero di sottoinsiemi di un insieme e
con la cardinalità dell’insieme delle parti.
“Diagonali di un poligono”3;
ripresa “Méré 2”
attività a gruppi: allegato 6
discussione problemi della lezione
precedente
studiare un problema da diversi
punti di vista
3
applicazioni alla geometria;
confronto diverse soluzioni
rinforzo e recupero
4.2 Lezioni
Introduzione al pensiero probabilistico
Prima di formalizzare le definizioni e i teoremi che permettono di calcolare la probabilità in
diverse situazioni, ho proposto un’attività a gruppi per stimolare lo sviluppo di un approccio
orientato al futuro, in contrapposizione al consueto pensiero deterministico, cominciando con il
problema “Méré 1” (allegato 6). Conoscendo la maturità di questa classe, ho lasciato che fossero i
ragazzi a dividersi in gruppi di tre o quattro, e infatti hanno lavorato senza far confusione,
consultandosi tra membri dello stesso gruppo e anche tra gruppi. Dopo qualche minuto abbiamo
confrontato i risultati dei diversi gruppi. Non tutti avevano una proposta di soluzione, mentre tutti
quelli che l’avevano erano d’accordo nel ripartire la posta secondo la frazione di partite vinte sul
totale (4/7 e 3/7). E’ evidente qui quanto sia radicato l’approccio legato al passato, tanto più che i
ragazzi sapevano che l’argomento trattato era la probabilità e quindi avrebbero dovuto aspettarsi
di dover includere nel calcolo della ripartizione la probabilità di vittoria. Per guidare la discussione
verso la consapevolezza che la ripartizione della vincita dovrebbe tener conto delle probabilità di
vincita, e non della storia della partita, ho chiesto di giustificare la soluzione proposta, ottenendo
risposte del tipo: “ho diviso per 7 e poi ho dato 4 al giocatore A e 3 a B”, cioè una descrizione del
calcolo e non del ragionamento. La difficoltà ad esplicitare un ragionamento o un’intuizione, che
ho rilevato più volte in tutta la classe, può impedire di individuare le regolarità e i collegamenti dei
concetti e delle loro proprietà, portando ad apprendere la matematica come una serie di regole e
tecniche mnemoniche; è quindi importante stimolare questa capacità sollecitando spesso a
motivare i metodi risolutivi scelti e a dare chiarimenti ai compagni. Quando qualcuno ha proposto
di considerare le probabilità di vincita e di ripartire secondo queste frazioni, c’era accordo unanime
nel calcolare le due probabilità come 2/3 e 1/3, secondo il ragionamento semplice che al giocatore B
42
mancano il doppio delle vittorie rispetto ad A per arrivare a 5. Nel commentare ho introdotto la
rappresentazione ad albero:
A
43
53
A
54
I partita
B
44
B
II partita
45
che sembra confermare le conclusioni degli studenti. La difficoltà di questo problema è capire
perché non si possono mettere sullo stesso piano i tre risultati 53, 54 e 45, cioè distinguere cosa
influenza la probabilità da ciò che ha significato solo per noi (che la partita termini raggiunto il 5),
e capire come trattare gli eventi composti. Prima di arrivare a questo livello, era necessario
costruire il concetto, e successivamente la definizione, di probabilità in casi elementari per poi
comprendere quelli composti. Ho quindi lasciato in sospeso la soluzione e proposto e discusso altri
problemi, per concentrarsi sullo studio di ciò che influenza la probabilità, costruendo, prima
ancora di definirli, i concetti di equiprobabilità, casi favorevoli e possibili. Già nel primo problema
la classe ha dimostrato di usare in modo inconsapevole la definizione classica (che ho verificato
non era a loro nota dalla scuola dell’obbligo), mentre le altre idee sono state discusse con i
problemi “Compleanni 1” e ”Lanci successivi e contemporanei” (allegato 6). Pur lasciando talvolta
qualche tempo per la riflessione personale e in gruppo, principalmente ho condotto la discussione
con l’intera classe, mantenendo un maggior controllo sulle idee che emergevano. Infatti
l’atteggiamento attivo della quasi totalità della classe non richiedeva di usare espedienti per
motivare la partecipazione, come la competizione tra gruppi o la necessità di difendere la propria
posizione con gli altri gruppi, ma tutti intervenivano e ribattevano spontaneamente agli interventi
dei compagni.
Per aiutarli ad esplicitare i loro ragionamenti, ho sempre suggerito di ricercare il ragionamento più
semplice possibile, possibilmente qualitativo piuttosto che quantitativo, in modo da stimolarli a
ricercare una vera comprensione dei concetti e non all’applicazione di formule. I due problemi
proposti chiedevano infatti di confrontare le probabilità, non di calcolarle. Mentre quello sui lanci
non ha dato difficoltà, in quello sui compleanni non è stato considerata convincente
l’argomentazione secondo cui la situazione “due persone compiono gli anni lo stesso giorno” è
come la situazione “una persona compie gli anni in un giorno specifico”, dove il giorno è fissato
dal compleanno di una seconda persona anziché dall’autore del problema. Si vede qui
l’importanza dell’educazione a ragionare per modelli, astraendo dal contesto e riconducendo
43
situazioni e fenomeni diversi a uno stesso schema o immagine. In questo caso, entrambe le
situazioni si possono schematizzare con due caselle, da riempire la prima con un giorno a caso su
365 (scelto dall’autore della domanda o dalla nascita), e la seconda con un giorno uguale al
precedente, riducendo il problema a contare le coppie possibili. Il problema dei compleanni ha
offerto anche lo spunto per far notare che per risolverlo abbiamo assunto le date di nascita
equiprobabili, mentre statisticamente le nascite si concentrano in certi periodi dell’anno; ho quindi
mostrato il legame tra probabilità e frequenza, espressa dalla legge empirica del caso (accettata
senza difficoltà perché già assunta implicitamente), e sottolineato la differenza tra realtà e modello
usato per descriverla, che introduce delle approssimazioni.
Nella fase di discussione lasciavo che i ragazzi usassero un linguaggio anche impreciso, in modo
che potessero concentrarsi sulle loro intuizioni; ad esempio nel motivare perché ottenere due volte
6 lanciando 5 volte un dado è più probabile che ottenere 6 proprio al secondo e terzo lancio, una
ragazza ha detto che il secondo caso è “più specifico”, dimostrando di intenderlo nel senso di un
numero minore di casi favorevoli rispetto ai possibili, e non una particolarità nel significato,
rispondendo correttamente che la sequenza di esiti 66666 non è più specifica di 53112.
Teoria della probabilità
Dopo aver chiarito i concetti li ho istituzionalizzati, per avere un linguaggio condiviso, definendo
esperimento aleatorio, evento, esito, spazio campionario, probabilità come rapporto tra i casi
favorevoli e possibili. Nella correzione dei primi esercizi ho precisato il significato di evento certo e
impossibile, sottolineando la distinzione tra l’astrazione matematica e la realtà, presentando il
dado ideale, usato nel calcolo della probabilità, come modello dei dadi reali, che non possono
essere perfettamente simmetrici (e non possono essere lanciati in modo perfettamente casuale) e
quindi cadere su ogni faccia in modo equiprobabile.
Ho successivamente presentato la probabilità composta di eventi indipendenti, riprendendo i
problemi già presentati. In questo modo, oltre a completare l’analisi dei problemi, ho potuto far
riferimento a situazioni su cui i ragazzi avevano già riflettuto, facilitando la comprensione. Ho
mostrato, in modo dialogato, come calcolare la probabilità che due persone compiano gli anni in
una data specifica, sia calcolando casi favorevoli e possibili, sia moltiplicando le probabilità dei
singoli eventi. Mentre il secondo metodo è stato facilmente accettato, soprattutto dopo averlo
giustificato con una rappresentazione insiemistica (lo spazio campionario del secondo evento è
l’insieme dei casi favorevoli del primo evento), il primo ha creato molte difficoltà, a causa dei
grandi numeri in gioco. Ho quindi ripreso il problema della ripartizione della posta, calcolando le
44
probabilità dei possibili esiti successivi alla settima partita, cioè AA, AB, BA, BB, usando anche
l’analogia con il lancio di due monete, e usando sia la rappresentazione insiemistica sia quella ad
albero. In questo modo ho chiarito il calcolo dei casi possibili e favorevoli quando si hanno più
eventi indipendenti, mostrato come astrarre dal contesto e ricondursi a una situazione analoga e
più facilmente gestibile, e spiegato perché le probabilità di vincita per i giocatori A e B non erano
2/3 e 1/3 ma ¾ e ¼.
Ho introdotto i successivi argomenti (probabilità dell’evento unione per eventi compatibili e
incompatibili, evento complementare) partendo sempre da problemi e guidando le proposte della
classe. La discussione avveniva sempre in modo ordinato, molti partecipavano, non solo per
rispondere alle mie domande di stimolo o per chiedere chiarimenti, ma per ribattere agli interventi
dei compagni o dare spiegazioni a chi non capiva. Le richieste di chiarimenti mi permettevano di
individuare subito dove la spiegazione aveva generato equivoci e quindi precisare definizioni e
ragionamenti. Per la probabilità totale, ho proposto il problema “Libri” (allegato 6), che mi ha dato
l’occasione di suggerire di effettuare sempre un controllo della soluzione. Qualcuno aveva infatti
proposto di calcolare la probabilità che il libro estratto sia un giallo oppure in italiano sommando
le singole probabilità; ho mostrato che seguendo la loro regola, in certi casi la probabilità sarebbe
maggiore di 1. Questo suggerimento al controllo è stato recepito immediatamente da qualcuno: in
un’occasione ho proposto l’esercizio “qual è la probabilità che esca un numero primo e dispari nel
lancio di un dado”, senza accorgermi che gli eventi non erano indipendenti perché avevo calcolato
la probabilità direttamente contando i casi favorevoli dell’evento composto, essendo i numeri
coinvolti piccoli, ma qualche studente si è accorto che non si otteneva lo stesso risultato contando i
casi e moltiplicando le probabilità dei due eventi. Ho dovuto quindi anticipare che non sempre la
formula della moltiplicazione è applicabile, senza però definire gli eventi indipendenti e
dipendenti, perché avevo intenzione, in accordo con la DA, di tenere la probabilità condizionata
come ultimo argomento, se ci fosse stato tempo, perché difficile.
Per la probabilità complementare, dopo qualche esempio semplice, ho proposto i problemi “Méré
2” e “Compleanni 2” (allegato 6), che mi avrebbero anche dato lo spunto per introdurre il calcolo
combinatorio. Entrambi sono risultati molto difficili, anche se diversi hanno provato a proporre
soluzioni e sono nate le consuete discussioni di confronto. In particolare qualcuno aveva difficoltà
con la negazione, intendendo la negazione di “non esce mai 6” come “esce sempre 6”; in questo
caso una dimostrazione formale con il linguaggio della logica ha reso accettabile che la negazione
45
invece sia “esce almeno un 6”, mostrando loro che in certi casi il linguaggio rigoroso, che può
apparire un appesantimento e una complicazione, facilita invece la comprensione.
In questa fase il percorso didattico svolto ha seguito essenzialmente quello previsto, a parte il
taglio di alcuni problemi a causa dell’elevata difficoltà nei confronti dei primi problemi, che mi ha
indotto a dedicare loro più tempo. Inoltre le vivaci discussioni su ogni problema facevano
emergere domande che mi hanno portato talvolta ad anticipare argomenti e quindi modificare
l’ordine di presentazione, ad esempio ho trattato prima la probabilità composta e poi quella
dell’evento unione, diversamente da quanto inizialmente previsto.
Calcolo combinatorio
La correzione dei problemi “Méré 2” e “Compleanni 2” ha permesso di introdurre il calcolo
combinatorio. Il primo si può risolvere anche calcolando la probabilità dell’evento complementare
dell’evento composto “esce un numero diverso da 6 per quattro lanci”, e permette quindi un
controllo del risultato ottenuto calcolando con il calcolo combinatorio il numero di quartine senza
6 (cioè le disposizioni con ripetizione di 5 elementi a gruppi di 4). Il secondo richiede la probabilità
degli eventi dipendenti, non nota ai ragazzi, e quindi ha offerto una motivazione per cercare un
metodo di calcolo diretto di tutti i casi possibili e favorevoli, che sarebbe stato poi
istituzionalizzato definendo le disposizioni semplici e con ripetizione. In questa fase la classe ha
mostrato molte difficoltà, e anche se manteneva l’atteggiamento di interesse e in molti cercavano di
proporre le proprie soluzioni, le formule corrette non sono emerse dai loro interventi ma ho
dovuto mostrarle e motivarle io. Per facilitare la comprensione ho usato il registro grafico,
costruendo le disposizioni con la rappresentazione ad albero, oppure schematizzando la situazione
del problema con una serie di caselle, segnando in ognuna il numero di casi possibili. Ho applicato
questo schema a tutti gli esempi, cominciando da piccole quantità, in modo che nello schema ad
albero fossero visibili tutte le disposizioni, e generalizzandolo a quantità maggiori. E’ emersa qui
chiaramente la difficoltà, dovuta all’età, ad astrarre dal contesto del problema applicando uno
schema ricavato per numeri piccoli a quantità maggiori e non completamente visualizzabili. Anche
la DA ha confermato che il calcolo combinatorio in seconda risulta ostico, e che di solito lo tratta a
livello elementare per poi riprenderlo nelle classi successive. Ho quindi deciso di procedere più
lentamente di quanto avevo inizialmente pensato, rinunciando a trattare le combinazioni con
ripetizione oltre che la probabilità condizionata, dedicando molto tempo a esercitazioni in classe.
Per lo stesso motivo, ho tagliato dall’unità didattica gli approfondimenti come il triangolo di
46
Pascal-Tartaglia e alcune proprietà del coefficiente binomiale, argomenti interessanti ma che a
questo livello sarebbero risultati inutili complicazioni.
Per semplificare la formalizzazione, ho definito le disposizioni parlando di “disposizioni di n
oggetti a gruppi di k”, e non “disposizioni di n elementi di classe k”, per conservare un riferimento
a situazioni visualizzabili, e non ho usato il simbolo di fattoriale, non ancora conosciuto dalla
classe, ma ho usato la scrittura intuitiva Dk,n = n(n-1)…(n-(k-1)). Ho inizialmente assegnato esercizi
che coinvolgevano piccole quantità, perché potessero avere un controllo sul calcolo elencando
interamente le sequenze, ma molto vari come contesto, in modo che si abituassero a riconoscere lo
schema astratto di raggruppamento indipendentemente dalla situazione reale. La difficoltà
maggiore era considerare come “casella” e come “oggetti da disporre” concetti che non fossero
direttamente riconducibili a contenitori e oggetti. Ad esempio, un problema chiedeva la probabilità
che esca testa due volte in cinque lanci di una moneta. Questo problema è complicato dal fatto che
ci sono degli oggetti indistinguibili (due teste e tre croci), e può essere semplificato contando,
anziché i modi di disporre due teste su cinque lanci, il numero di posizioni che possono assumere
le due teste. Ho suggerito quindi di considerare che la prima testa può uscire in uno dei cinque
lanci, e per ognuna di queste cinque possibilità la seconda testa ha quattro posizioni in cui uscire,
ottenendo, dividendo per due perché le teste sono indistinguibili, 5*4/2=10. Quello che riusciva
difficile alla maggior parte della classe era identificare le posizioni con gli oggetti e le teste come
caselle, mentre risultava più naturale fare in viceversa; era difficile cioè riconoscere lo schema a
caselle e oggetti come un modello astratto, come uno strumento di calcolo cui ricondurre le
situazioni reali, senza dare significato reale ai suoi componenti. Di fronte alla difficoltà nel
comprendere il metodo risolutivo, molti mostravano di aver risolto gli esercizi guardando il
risultato e cercando una formula simile a quelle delle disposizioni che restituisse il risultato;
nell’esempio appena descritto, qualcuno ha proposto 5*2 o 101, senza ovviamente essere in grado
di giustificarlo.
Dopo aver presentato le disposizioni ho dato esercizi che prevedevano le permutazioni senza che
le avessi ancora nominate, visto che sono un caso particolare di disposizioni semplici. Tuttavia,
durante la correzione degli esercizi un ragazzo mi ha chiesto se avevo proposto quegli esercizi per
introdurre un nuovo argomento, visto che sul libro compaiono nel paragrafo sulle permutazioni,
che non avevo spiegato. Questo mi porta ad alcune riflessioni. La tecnica di proporre problemi
senza aver spiegato la relativa teoria, utile per stimolare la costruzione dei concetti in modo più
solido della semplice applicazione di una teoria recepita in modo passivo, può indurre ad avere
47
difficoltà a capire quando un problema si può affrontare con gli strumenti già in possesso oppure è
una situazione nuova. Il fatto che non abbiano risolto gli esercizi di permutazione con le
disposizioni di n oggetti a gruppi di n indica come sia radicata negli studenti, anche diligenti e
attenti, anche con un’insegnante che non propone tecniche mnemoniche ma stimola al
ragionamento e giustifica ogni passaggio, la tendenza ad associare a ogni problema il paragrafo di
riferimento, anziché cercare di rispondere alla richiesta con gli strumenti a disposizione. La
capacità di gestione delle proprie conoscenze e capacità di fronte a un problema non “etichettato”,
essendo un’abilità metacognitiva, non è banale e deve essere esercitata a lungo proponendo
sistematicamente situazioni-problema ed esercizi di cui non si sappia a priori l’argomento di
riferimento, mentre l’uso di situazioni-problema in modo occasionale può creare confusione.
Ho utilizzato la correzione di questi esercizi per introdurre le permutazioni, evidenziando che
sono un caso particolare di disposizioni semplici, e introducendo la notazione fattoriale. Nella
correzione successiva, siccome usavo ancora la notazione del tipo n(n-1)…1 qualcuno ha chiesto se
si può calcolare anche con il fattoriale, confermando quando appena osservato: pur sapendo che le
due scritture sono equivalenti, hanno bisogno di sapere come l’insegnante, o il libro, vuole che si
risolva un esercizio; l’esercizio è visto cioè l’applicazione acritica di ciò che è stato insegnato, come
associato a una tecnica, e non un problema da risolvere.
Le stesse difficoltà si sono ripresentate con l’introduzione delle combinazioni semplici. Tuttavia,
nelle ultime lezioni sempre più studenti dimostravano di essere in grado di motivare le proprie
soluzioni, cercando di ricostruire lo schema ad albero o a caselle per calcolare le disposizioni o
combinazioni, piuttosto che riferirsi alle formule predefinite. La maggior parte continuava tuttavia
a cercare di ricondursi all’applicazione di formule standard. Ad esempio, quando ho chiesto di
trovare il numero di diagonali di un poligono di lato n, solo una ragazza ha riconosciuto
un’analogia con il problema precedente, che chiedeva quante strette di mano possono esserci tra n
persone, considerando le diagonali come coppie di vertici, ed escludendo le coppie corrispondenti
ai lati, proponendo n(n-3)/2, quindi applicando il ragionamento sotteso alla formula delle
combinazioni semplici per costruirne un’altra, anziché applicare meccanicamente la formula. Gli
altri, dopo aver recepito il suggerimento di considerare diagonali e lati come coppie di vertici,
hanno preferito a questa espressione quella più standard per contare il numero di coppie di vertici,
n(n-1)/2, cui sottrarre il numero n di lati.
Nelle ultime lezioni ho proposto esercizi misti, di probabilità e di calcolo combinatorio, per non
fissare l’attenzione solo sull’ultimo argomento. Ho ripreso più volte il problema “Méré 2”, perché
48
si presta a essere risolto in più modi, e perché le prime volte era risultato troppo difficile, quindi ho
aspettato che avessero acquisito più confidenza con gli strumenti concettuali e matematici
necessari. In effetti, nessuno ha compiuto l’errore “storico” di risolverlo calcolando entrambe le
probabilità come 2/3 (4/6 nel primo caso e 24/36 nel secondo) anche se non hanno trovato
facilmente la soluzione corretta; inoltre nella discussione qualcuno effettuava il controllo,
mostrando al compagno che la sua soluzione doveva essere errata perché cambiando i numeri in
gioco si sarebbero avuti dei valori incompatibili con le proprietà della probabilità, ad esempio una
probabilità maggiore di uno.
Ho dedicato le ultime due lezioni a un’attività di gruppo, proponendo di risolvere i problemi
nell’allegato 7 durante la prima, e discutendo poi le soluzioni la lezione successiva. In questo modo
i ragazzi hanno potuto svolgere esercizi di ripasso senza avere in anticipo le soluzioni, e io ho
potuto osservare meglio gli obiettivi raggiunti e le difficoltà di ognuno. Nonostante le precedenti
osservazioni sui miglioramenti raggiunti, durante il lavoro di gruppo è emerso che per molti le
difficoltà erano ancora rilevanti. Il positivo atteggiamento ha permesso tuttavia di sfruttare questa
attività per un miglioramento significativo. Ad esempio un gruppo ha riconosciuto che per
risolvere i problemi di calcolo combinatorio cercavano una formula che portasse al risultato del
libro (non a caso per questa attività ho dato loro solo il testo senza i risultati), chiedendo
chiarimenti sul ragionamento. Dopo aver brevemente spiegato lo schema logico comune a tutti gli
esercizi, ho indicato loro gli esercizi da cui cominciare, escludendo quelli che avevo inserito per
stimolarli ma che sono meno standard (come il n.7) e quelli meno immediati (come il n.3 e 10). A
fine lezione hanno mostrato di saper applicare correttamente il ragionamento e di risolvere gli
esercizi di calcolo combinatorio più semplici. Durante la successiva discussione, purtroppo in
presenza di mezza classe perché la IIclB era in gita, ho osservato di nuovo il netto miglioramento
nel giustificare il procedimento risolutivo, e nell’individuare dei controlli per riconoscere quando
una soluzione è errata, senza confrontare con il risultato riportato. In particolare la corretta e ben
motivata soluzione del primo esercizio mi sembra indice di una buona comprensione di cosa
influenza la probabilità, e della capacità di distinguere quando bisogna considerare l’ordinamento
o meno. La discussione dell’esercizio 7 è esemplificativo della partecipazione della classe. Una
studentessa ha osservato che non si possono contare i casi favorevoli e possibili perché le posizioni
del disco sono infinite, e una compagna ha ribattuto che si può calcolare il rapporto tra le aree. Ho
fatto notare che l’intuizione era giusta, perché quello che è importante è la frazione di casi
favorevoli rispetto ai possibili, e non tanto il loro valore assoluto, ma che aveva considerato le aree
49
sbagliate (area del disco diviso area della mattonella), giustificandolo col fatto che in questo modo
la probabilità che il disco cada nella mattonella aumenterebbe all’aumentare dell’area del disco.
Sono seguite quindi diverse proposte compatibili con questa osservazione, ma confuse e non
giustificate. Un ragazzo ha fatto notare che il disco può solo cadere dentro la mattonella o su una
riga, concludendo che la probabilità è ½. La conclusione era errata, ma l’intuizione era giusta,
infatti quando una compagna ha osservato che il disco può cadere anche fuori, lui ha giustamente
ribattuto che se esce è dentro a un’altra mattonella, mostrando di aver capito che il problema si
poteva ridurre a una sola mattonella. Ho confermato, suggerendo che dovevamo trovare la
condizione che deve soddisfare il disco perché rimanga dentro a una mattonella. Quando un altro
ragazzo ha notato che il centro deve distare dal bordo più della lunghezza del raggio, ho messo
insieme a questo il suggerimento del rapporto tra le aree, calcolando la probabilità come
(20cm)2/(40cm)2=1/4. Tutta questa discussione si è sviluppata in modo ordinato e spontaneo, senza
bisogno di interventi da parte mia per stimolarla, ma solo per qualche precisazione o
suggerimento.
4.3 Verifica
Ho scelto, come modalità di verifica, la tradizionale verifica scritta comprendente esercizi da
risolvere, per adeguarmi alla modalità usata dalla DA e quindi a cui i ragazzi sono abituati.
Ho scelto gli esercizi (allegato 8) in modo che coprissero tutti gli argomenti trattati (probabilità di
un evento semplice, unione, intersezione, probabilità totale, disposizioni semplici e con ripetizione,
combinazioni semplici), e fossero del tipo e del livello di difficoltà degli esercizi svolti in classe e a
casa.
L’esercizio (3) fa riferimento al problema qui denominato “Méré 2”, più volte discusso in classe.
Può essere quindi risolto velocemente richiamando il risultato noto, oppure per tentativi. Permette
quindi di verificare anche la capacità di richiamare e sfruttare risultati oltre che di elaborare e
applicare tecniche risolutive. L’esercizio (8) è formulato in modo che prima di individuare il
calcolo necessario bisogna tradurre la situazione reale descritta in problema matematico, e verifica
quindi la capacità di modellizzare e di argomentare usando un linguaggio appropriato.
In Tabella 2 sono riassunti gli obiettivi verificati e i punteggi previsti per ogni esercizio.
Il punteggio è costruito in modo che i voti siano compresi tra 2 e 11, che i problemi articolati in
sottoesercizi valgano 1.5 e quelli singoli 1 punto. L’esercizio 8 vale 0.5 perché discorsivo e senza
calcoli. Il punteggio è stato distribuito in modo da superare 10 dopo aver riconosciuto, visti i
50
risultati, che la verifica assegnata era troppo difficile (vedi dopo per i commenti), in accordo con la
DA che ha confermato che il calcolo combinatorio risulta sempre ostico nelle seconde.
Esercizio
1
2
a
b
c
a
b
c
d
3
4
5
6
7
8
a
b
obiettivi specifici
competenze
coinvolte
CT
CT
CT
CE
CT
CT
CL
def. prob., casi fav e poss
def. prob., casi fav e poss
def. prob., casi fav e poss, teo prob totale
Rappresentazione insiemistica, operazioni tra insiemi
def. prob., casi fav e poss
prob totale
definizione evento impossibile,
argomentazione
utilizzo risultato già noto, prob composta, prob
evento complementare
soluzione per tentativi anziché calcolo diretto
disposizioni con ripetizione
modellizzazione,
combinazioni semplici
calcolo combinatorio generico
permutazioni, ripetizioni
permutazioni, ripetizioni
modellizzazione situazione reale, giustificazione
senza calcolo completo (controesempio),
corretta esposizione
punti
1.5
1.5
% risp.
parz.
95
100
91
86
50
50
23
corrette
compl.
77
86
45
18
45
23
18
CE
1
50
23
CT
CE
1
1
50
59
27
23
CE
CT
CT
EL
1
1.5
64
73
55
55
41
36
14
41
0.5
Tabella 2. Griglia di valutazione della verifica di matematica proposta in 2A/B. C-Conoscenza di
definizioni
e
teoremi;
T-Applicazione
immediata
di
tecniche,
E-Elaborazione
di
procedure,
modellizzazione, L-Argomentazione, uso del linguaggio specifico. La percentuale di risposte
parzialmente corrette comprende anche le completamente corrette.
I risultati (Figura 3) hanno confermato la distribuzione dei voti della classe: poche insufficienze,
molti voti sufficienti e discreti, nessuno oltre al buono, e voti mediamente inferiori per la IIclB.
10
9
8
7
6
5
4
II sc A
II cl B
3
2
0
2
4
6
8
Figura 3. Distribuzione dei voti riportati nella verifica in 2A/B.
51
10
12
14
Tuttavia ci sono stati dei risultati inattesi. I miglioramenti nella risoluzione e nell’argomentazione
osservati nelle ultime lezioni, in buona parte della classe, non sembrano coerenti con il fatto che
nessuno sia riuscito a svolgere tutti gli esercizi, e quasi nessuno (solo 4 su 22) è stato in grado di
rispondere correttamente alla domanda 2d, apparentemente innocua e analoga ad altre oggetto di
discussione in classe. Si può ipotizzare che il compito sia risultato lungo perché la classe non è
riuscita a prepararsi a casa sufficientemente, forse per il problema già citato delle numerose altre
verifiche nella stessa settimana; considerato l’atteggiamento osservato in classe non si può pensare
a una scarsa considerazione di questo argomento rispetto agli altri (per il suo contenuto o perché
tenuto da un docente non titolare). In ogni caso, la lunghezza del compito ha sicuramente creato la
difficoltà aggiuntiva di dover gestire il tempo e scegliere quali esercizi svolgere, con il conseguente
abbassamento generale delle prestazioni, anche in esercizi che avevano ricevuto migliore risposta
durante le lezioni.
Inoltre, solo 3 su 22 hanno risolto l’esercizio 3 ricordando il risultato, ottenuto in classe, relativo
alla probabilità di ottenere almeno un 6 su 4 lanci, e calcolando la probabilità su un numero
inferiore di lanci per verificare che 4 fosse il minimo. Altri 6 hanno tentato di risolvere per
tentativi, ma lasciando il problema incompleto o sbagliando l’impostazione; tutti gli altri hanno
saltato questo esercizio. Questa è un’ulteriore conferma della tendenza a non leggere l’enunciato
del problema come una domanda a cui rispondere con tutte le risorse, ma a ricercare in esso il
richiamo a una tecnica da applicare (che però in questo caso non era standard).
5
AZIONE II TIROCINIO – FISICA (VE)
Nella classe V E è stata presentata un’unità didattica sulla conduzione elettrica nei metalli.
5.1 Preparazione
Motivazioni e vincoli
L’azione si è svolta tra novembre e dicembre. In questa classe ho scelto di presentare un’unità
didattica di fisica, perché in matematica avrei dovuto inserirmi in un argomento già iniziato (i
limiti e la continuità) e quindi proseguire con un percorso impostato da altri, mentre in fisica avrei
potuto iniziare un argomento nuovo e quindi avere più spazio per la sperimentazione. L’azione si
è inserita dopo l’argomento elettrostatica. Seguendo il programma (allegato 9), il DA ha proposto
di trattare le correnti continue. Per la scelta dei contenuti specifici, il docente accogliente mi ha
52
lasciato una certa libertà di operare aggiunte al suo programma o di posticipare qualche
argomento, che avrebbe trattato lui in seguito.
Nella scelta degli argomenti, ho tenuto conto del programma fornitomi, che non ho voluto
stravolgere nelle sue parti “tradizionali”, anche in vista della terza prova dell’Esame di Stato; del
fatto che questa classe non aveva mai svolto un’attività di laboratorio; e della volontà di stimolare i
ragazzi a comprendere a fondo la descrizione fisica dei fenomeni studiati, non limitandosi a
ricordare formule e applicarle negli esercizi. Ho quindi scelto di includere una presentazione del
modello di Drude della conduzione dei metalli, in modo da avere la possibilità, attraverso il
confronto tra descrizioni macroscopiche e microscopiche, di discutere il significato di modello e
descrizione fisica della realtà. Ho di conseguenza posticipato la trattazione dei condensatori, che
sarebbero stati trattati dal docente accogliente quando i ragazzi sarebbero stati in possesso degli
adeguati strumenti matematici (per la descrizione dei processi di carica e scarica) e fisici (correnti
non stazionarie).
Analisi preliminare
Lo studio del trasporto di carica nei metalli si colloca nel contesto più ampio dello studio dei
fenomeni elettrici (sia di equilibrio sia di trasporto) in ogni tipo di materiale, ed è quindi
importante individuare i legami tra i fenomeni, i concetti e le leggi che descrivono le correnti nei
metalli e quelli più generali. La mappa concettuale di Figura 4 mostra la distinzione tra ciò che si
può ricavare dalle esperienze di elettrostatica e delle correnti nei metalli, e l’interpretazione
“finale”, che unifica l’interazione e riconduce alla composizione della materia in particelle cariche
di due tipi, ma che richiede esperienze mutuate da altri campi, in particolare la chimica (che
suggerisce l’ipotesi atomica) e la conduzione nei liquidi (che con l’elettrolisi conferma che la carica
è trasportata da particelle discrete). Questa distinzione è importante per mostrare agli studenti
come opera la fisica, per mettere in evidenza che non esiste mai un esperimento cruciale che
implica in modo univoco le grandezze e le leggi per descriverlo, ma ogni osservazione viene
collocata in un quadro più ampio, coordinando la deduzione da leggi già note con l’acquisizione di
fatti nuovi. Il criterio fondamentale è quello di semplicità, che porta a cercare di descrivere il
maggior numero di fenomeni con pochi concetti e poche leggi, e a scegliere, tra due teorie che
descrivono gli stessi fenomeni, quella più semplice. Partendo dalla fenomenologia e mostrando
quello che si può dedurre da essa, e introducendo più modelli compatibili con essa, è possibile
evitare il nozionismo di definizioni e formule introdotte in modo assiomatico, non accompagnato
da una vera comprensione delle motivazioni e del loro legame con la realtà, chiarendo il significato
53
di modello, strumento di descrizione della realtà ma che comprende una componente
convenzionale.
FENOMENI
ELETTROSTATICI
conservazione
carica *
attivati e
temporanei
attrazione e
repulsione
FENOMENOLOGIA
CORRENTI
intensi rispetto
gravità
due tipi di
elettrizzazione
scariche, calore, defless. ago magn.,
solo a circuito chiuso
CARICHE IN MOTO?
nuova
interazione
spiegabili con
def: I = q/∆t
DUE TIPI
DI CARICA
LEGGE DI
COULOMB
eccesso /
mancanza di
un tipo
pr. sovrapposiz
conservativa
continua
discreta
∆V provoca
trasporto carica
def V
scelta viene da
chimica, elettrolisi,
esp. Thomson
legge maglie
studio in
diversi mezzi
(Tabella 3)
legge nodi
* conservazione
carica
LEGGI DI
KIRCHHOFF
studio circuiti
esperimenti
Tolman-Stewart e
Rowald
studio
relazione ∆V-I
nei metalli
LEGGI DI OHM
∆V=RI
cariche libere +
attrito
LABORATORIO
R=ρ l/S
modello a
fluido
cons. energia
simboli
strumenti
EFFETTO
JOULE
MODELLO DI
DRUDE
componenti
Figura 4. mappa concettuale sul trasporto di carica nei metalli.
E’ utile quindi, prima di introdurre l’argomento delle correnti elettriche, stimolare una riflessione
sull’elettrostatica, cercando di capire perché è stata introdotta un’interazione diversa dalla gravità,
perché si è introdotta una nuova grandezza, la carica, e la si è distinta in due tipi, e se le leggi
studiate sono indotte dalla fenomenologia nota (agli studenti) o se fanno parte di una sistemazione
finale che mette a frutto anche altri esperimenti1.
Nella fase introduttiva è anche importante collocare l’argomento rispetto al resto del programma,
in modo da non dare l’idea di tanti argomenti separati e indipendenti. Bisogna evidenziare che si
sta studiando il caso dinamico mentre prima ci si era limitati alle situazioni di equilibrio,
1
E’ quanto suggerisce Arons [2], capitolo 6.
54
concentrandosi sul movimento di cariche mantenute nel tempo (quindi circuiti chiusi) e non
transizioni verso l’equilibrio (come nella ridistribuzione di carica in un conduttore). Inoltre ci si
limita al trasporto nei metalli, pur essendo l’argomento molto più ampio, come riassunto in
Tabella 3.
Infine, può essere utile distinguere nettamente, anche cronologicamente, tra la trattazione più
“fisica”, che presenta leggi derivanti da quelle fondamentali, leggi fenomenologiche,
considerazioni energetiche, interpretazione microscopica, e quella più “tecnica”, che fornisce
regole semplificate per la trattazione di circuiti reali, pur derivandole da approssimazioni delle
leggi fisiche. In questo modo diventa chiaro quando si stanno operando approssimazioni e quando
si stanno applicando direttamente le leggi, superando l’apparente contraddizione, ad esempio, di
confrontare le diverse resistività dei metalli e poi considerare un intero tratto di circuito come un
punto, come se ai capi di un filo la differenza di potenziale fosse nulla.
MATERIALE
metalli
elettroni
PORTATORI
semiconduttori
elettroni e lacune
liquidi
ioni positivi e negativi
gas
elettroni, ioni positivi e negativi
FENOMENI/LEGGI
leggi di Ohm: ∆V=RI, R=ρS/l
ρ(T)∝T per alte T
ρ(T)∝T5 per basse T
leggi di Ohm
ρ(T) decrescente
ioni prodotti per dissociazione elettrolitica
correnti governate da leggi di Faraday
correnti di varia intensità: scarica oscura,
scarica a bagliore, scarica ad arco
Tabella 3. Confronto della conduzione elettrica nei diversi tipi di materiale.
Il libro di testo adottato [16] segue l’ordine degli argomenti tradizionale: cariche e forze elettriche
nel caso statico, potenziale elettrico, correnti continue, campo magnetico statico, legge
dell’induzione elettromagnetica, correnti alternate, onde elettromagnetiche; questa prima sezione
sull’elettromagnetismo è seguita da una sezione di fisica atomica e subatomica. Il docente segue
l’ordine e i contenuti del libro, quindi mi sono riferita anch’io a esso, non essendoci problemi di
prerequisiti e per rispettare le abitudini degli studenti. Inoltre il libro fornisce molti collegamenti a
fenomeni quotidiani e applicazioni tecnologiche, e una grande varietà di esercizi, dalle domande
di comprensione dei concetti, ai quesiti a risposta multipla, a problemi di diversa complessità. Non
ho dovuto quindi fornire materiale aggiuntivo, per quanto riguarda le parti trattate nel testo. Per
quanto riguarda il modello di Drude, il libro si limita ad accennare brevemente in modo
qualitativo al fatto che su scala microscopica il trasporto di carica può essere visto come dovuto a
elettroni che sono accelerati dal campo elettrico e urtano continuamente contro gli atomi del
55
metallo; per questo argomento ho preparato un testo di sintesi di quanto spiegato in classe
(allegato 10), e una serie di domande ed esercizi in preparazione alla verifica (allegato 11).
Unità didattica
Prerequisiti matematici: equazioni algebriche e sistemi, proporzionalità diretta.
Prerequisiti fisici: grandezze (campo elettrico, potenziale elettrico, carica elettrica, velocità,
accelerazione, densità), concetti (equilibrio, conservazione dell’energia, variazione temporale e
differenza spaziale, interpretazione microscopica della temperatura, struttura atomica della
materia a livello qualitativo), leggi (leggi della dinamica), incertezze di misura.
Prerequisiti chimici: valenza, massa atomica.
Ostacoli: didattici (settorializzazione delle materie che rende difficile l’utilizzo di concetti imparati
in chimica in un argomento di fisica, e il richiamo di concetti fisici imparati negli anni precedenti);
ontogenetici (difficoltà a concepire e visualizzare oggetti microscopici, difficoltà a distinguere un
modello o un’immagine mentale usati per descrivere la realtà dalla realtà stessa); epistemologici
(comprensione delle resistenze in parallelo ostacolata da un’idea di conservazione, in questo caso
della carica, estesa a casi in cui non si applica)
Obiettivi specifici: Riconoscere le caratteristiche elettriche dei conduttori; applicare le leggi di Ohm;
calcolare la corrente in un circuito elementare e in un circuito a più maglie; analizzare un circuito
con più resistenze in serie o in parallelo e determinare la resistenza equivalente (dal programma
del DA). Analizzare i circuiti dal punto di vista energetico; comprendere la connessione tra regole
operative e leggi fondamentali; dare un’interpretazione microscopica semiquantitativa delle leggi
di Ohm e della dipendenza della resistività dalla temperatura.
Obiettivi generali: distinguere tra legge fenomenologica e legge derivata dai principi di una teoria;
significato e uso del modello, limiti e validità; riconoscere le motivazioni che portano a scegliere un
modello o introdurre una grandezza o una legge.
Percorso didattico
Il percorso riportato è quello effettivamente svolto, e corrisponde a quello predisposto, a parte la
scansione temporale, nella preparazione solo stimata e adeguata alla reazione della classe.
ORE
1h
LEZIONE
riflessione su
elettrostatica
CONTENUTI
discussione su elettrostatica: perché un
nuovo tipo d’interazione, perché 2 tipi di
carica, perché carica trasportata da
particelle discrete
56
OBIETTIVI
distinguere tra realtà e modelli
usati per descriverla
1h
introduzione
all’elettrodinamica
passaggio dall’equilibrio allo studio del
trasporto di carica; schema trasporto in
metalli, semiconduttori, liquidi e gas e
limitazione del nostro campo d’indagine
(corrente continua nei metalli);
prime definizioni: circuito, corrente e fem
distinguere lo studio delle
cariche all’equilibrio e in
movimento;
conoscere le grandezze fisiche
principali per descrivere il
trasporto di carica
1h
leggi di Ohm
I e II legge di Ohm;
considerazioni su limiti di validità e
significato fisico
2h
modello di Drude
versione microscopica delle leggi di Ohm;
ipotesi e risultati del modello
conoscere la natura di una legge
fenomenologica;
interpretare le leggi di Ohm con
un modello di fluido elettrico
comprendere la necessità di un
modello microscopico
.5h
considerazioni
energetiche
circuiti
effetto Joule; potenza assorbita e
dissipata; consumi energetici
intro circuiti reali: fili, resistori,
approssimazioni
misure corrente/ddp per conduttori ohmici
e no
.5h
3h
LABORATORIO:
I legge Ohm
1h
circuiti
1h
dipendenza ρ da T
1h
commento
relazioni lab
esercitazioni
verifica
correzione verifica
3h
1h
1h
resistenze in serie e in parallelo;
leggi di Kirchhoff
ripresa risultati esperimento e modello di
Drude per spiegare ρ(T); limiti del modello
esercizi di ripasso per verifica
applicare la conservazione
dell’energia ai circuiti
applicare leggi fisiche per trovare
regole pratiche
verificare leggi note; interpretare
risultati inattesi (non linearità
lampadina)
applicare leggi fisiche per trovare
regole pratiche
distinguere tra induzione
sperimentale e deduzione da
conoscenza preesistente
rinforzo e recupero
questionario anonimo su azione
tirocinante; correzione verifica
Esperimento: conduzione elettrica nei metalli
Materiale
Generatore, voltmetro, multimetro, cavi, resistori da ¼W, lampadina da 12V, carta millimetrata.
I collegamenti sono facilitati dall’uso di cavi a banana e componenti saldati su supporti provvisti di boccole.
Setup e procedimento
L’esperimento è operativamente molto semplice, essendo il primo che gli studenti fanno.
Si costruisce il circuito collegando il componente (resistore o lampadina) al generatore, e l’amperometro in
serie e il voltmetro in parallelo. Si scelgono diversi valori di tensione e si misurano i corrispondenti valori di
corrente. I resistori sono scelti in modo da poter trascurare le resistenze interne del generatore e degli
strumenti di misura.
Nel caso dei resistori si conferma la linearità prevista dalla legge di Ohm, mentre nel caso della lampadina si
osserva una curva che dovrebbe suggerire (guidati dalla scheda e dalla discussione in laboratorio con
l’insegnante) non una violazione della legge di Ohm, ma una dipendenza della resistenza dalla temperatura.
Scheda studente
Segue la scheda consegnata agli studenti per guidare il lavoro in laboratorio e la riflessione sulle
osservazioni fatte.
57
Studio della conduzione nei solidi metallici
Materiale: generatore, voltmetro, multimetro, cavi, resistori, lampadina. Tutte le resistenze assorbono al
massimo ¼ W.
Procedimento:
1. Costruisci un circuito che ti permetta di applicare una tensione a un resistore e di misurarne corrente e
differenza di potenziale; ricorda che l’amperometro deve essere collegato in modo da essere attraversato
dalla stessa corrente della resistenza (in serie) e il voltmetro in modo da essere sottoposto alla stessa
differenza di potenziale della resistenza (in parallelo).
A
V
R
2. Utilizza prima la resistenza da 220 Ω. Calcola la ∆Vmax massima che si può applicare per non superare la
potenza massima, e costruisci una tabella analoga alla seguente scrivendo nella prima colonna 10 valori di
∆V equispaziati tra 0 e ∆Vmax. Non superare comunque i 2/3 del fondoscala del generatore.
Per ogni valore della ∆V, misurata con il voltmetro, misura la corrente con l’amperometro e completa la
tabella indicando per ogni misura la portata e la risoluzione (che possono variare a seconda della scala
scelta). Riporta i dati su un grafico.
∆V (V)
0
3
6
portata
15 V
risoluzione
0.1 V
I (mA)
0
portata
1 mA
risoluzione
0.01 mA
esempio di tabella per la raccolta dei dati
Domande per l’analisi dei dati:
− La relazione tra ∆V e I è quella attesa (indicare quale)?
− La retta ∆V(I) ha intercetta nell’origine degli assi?
− Il coefficiente angolare della retta è quello atteso (indicare quale)?
− Per ogni risposta negativa, cercare di individuare una causa.
3. Collega una resistenza a scelta tra quelle da 1kΩ e da 10kΩ. Procedi come al punto 2.
4. Collega al posto della resistenza la lampadina e procedi come al punto 2, considerando come ∆Vmax quella
indicata sul supporto.
Indicazioni per la relazione:
Una buona relazione è precisa e completa, ma sintetica. Una struttura tipica è:
obiettivo – materiale/strumentazione – procedimento – dati raccolti – analisi dati – conclusioni.
Nella sezione materiale/strumentazione, elencare gli strumenti usati indicando la grandezza fisica misurata,
la portata e la risoluzione.
Nella sezione dati, riportare sia la tabella dati come indicato in questa scheda, sia un grafico per ogni serie di
misure (eventualmente allegare il foglio in carta millimetrata); indicare le incertezze di misura.
Nella sezione analisi dati, interpretare i dati raccolti seguendo la traccia data dalle domande di questa
scheda.
Nella sezione conclusioni riassumere quali leggi/fenomeni sono stati studiati, evidenziando cosa è stato
confermato, e come interpretare eventuali risultati inattesi.
58
5.2 Lezioni
Riflessione su argomenti precedenti
Le prime lezioni che ho svolto sono state di esercitazione per la preparazione alla verifica
sull’elettrostatica, prima di cominciare il mio argomento. Questo mi ha permesso di cominciare a
puntualizzare questioni che avrei inserito nelle lezioni successive, e anche di farmi un’idea del loro
approccio ai problemi e alle situazioni fisiche, e del loro modo di rispondere alle mie sollecitazioni.
Ho impostato questi due incontri facendo proporre da loro esercizi da correggere. Dai chiarimenti
richiesti sono emerse difficoltà soprattutto nell’associare le grandezze, le definizioni e leggi
studiate a situazioni e oggetti reali. Ad esempio, una ragazza era in grado di risolvere un problema
che coinvolgeva lo schermo elettrostatico, ma non aveva idea di che cosa fosse come oggetto reale,
e si è stupita quando le ho detto che poteva essere semplicemente una scatola con pareti di metallo.
Ho cercato di dare spiegazioni il più possibile qualitative, riferendomi a principi generali
(simmetria, conservazione dell’energia o della carica) e oggetti reali, in modo da dare il significato
fisico del problema più che la tecnica matematica di risoluzione. Ho cominciato a introdurre la
questione dell’origine sperimentale delle leggi, ad esempio facendo notare che il principio di
sovrapposizione non è scontato, è un fatto sperimentale, che i due tipi di carica si differenziano con
il segno per semplificare la forma della legge di Coulomb, cioè che sperimentalmente sappiamo
che esistono due tipi di carica, mentre che uno sia positivo e uno negativo è una scelta
convenzionale e di comodità. Ho anche ripassato il significato e l’uso delle cifre significative,
perché ho visto che non erano abituati a tenerne conto.
Fin dalle prime lezioni la classe si è confermata molto tranquilla ed educata. Parlavano tra loro un
po’ di più che durante le lezioni del DA, ma per confrontarsi sugli esercizi proposti e mai
disturbando. Inoltre ho notato fin da subito una partecipazione maggiore rispetto alla fase di
osservazione; ponevano più domande e provavano a rispondere alle mie, forse sentendosi più in
confidenza con una tirocinante giovane che con il loro professore.
Dopo la verifica ho cominciato il mio argomento. Ho introdotto l’argomento distinguendolo dal
precedente, evidenziando che mentre prima avevano studiato cariche ferme e campi statici, ora
avremmo studiato cariche in moto non per stabilire un nuovo equilibrio, ma mantenute
costantemente in moto da un campo elettrico, nel nostro caso statico (correnti stazionarie). In
questo modo ho legato l’argomento in corso a quello precedente, evidenziando anche che le leggi
che conoscevano sono riferite all’equilibrio, e non è detto che possano essere estese al caso
dinamico. Avrei ripreso questa osservazione quando avrei parlato della corrente come fenomeno
59
di volume, in contrasto con le cariche in un conduttore all’equilibrio che si dispongono sulla
superficie.
Ho proposto una riflessione sull’elettrostatica per evidenziare cosa si può dedurre dalla
fenomenologia che conoscono e cosa gli è stato anticipato ma proviene da studi ulteriori. Ho
concentrato l’attenzione soprattutto sul confronto delle caratteristiche dei fenomeni gravitazionali
ed elettrici, e di conseguenza delle proprietà delle corrispondenti leggi che legano la forza alle
grandezze caratteristiche di ciascuna interazione, e sul perché riusciamo a descrivere tutti i
fenomeni elettrici con due soli tipi di carica. Mettendo insieme i miei suggerimenti e gli interventi
della classe, abbiamo costruito alla lavagna la seguente tabella:
GRAVITÀ
attrattiva
tra ogni coppia di corpi
debole
dipende da massa
FORZA ELETTRICA
attrattiva o repulsiva
si ‘attiva’ per sfregamento e si disattiva in poco tempo
intensa (es pezzetti di carta)
dipende da carica, che è di due tipi
principio di sovrapposizione
simmetria radiale → conservativa
dipendenza da 1/r2 → legge di Gauss
In questo modo è risultato chiaro perché è stato necessario introdurre un nuovo tipo di forza, visto
che quella finora nota, la gravità, non poteva descrivere certa fenomenologia. E’ interessante
l’osservazione fatta da uno studente quando ho chiesto perché il comportamento del righello che
attira pezzettini di carta dopo averlo sfregato contro la manica di lana, non possa essere spiegato
con la gravità. La sua spiegazione è stata che la carta viene attirata verso l’alto anziché verso il
basso, mostrando di considerare la gravità solo come l’interazione tra un oggetto e la Terra. Dopo
avergli fatto notare che si trattava di un’attrazione, esattamente come l’interazione gravitazionale,
abbiamo potuto approfondire trovando differenze nell’intensità della forza (il righello applica sul
pezzo di carta una forza maggiore che la Terra, non rispettando la dipendenza dalle masse
espresse dalla forza di Newton), nel fatto che l’interazione si osserva solo tra alcuni corpi, e solo
dopo aver ‘attivato’ lo stato di elettrizzazione, per sfregamento, contatto o induzione, oltre che
naturalmente nel fatto che è anche repulsiva. Ho anche fatto notare che la classificazione in due
soli tipi di elettrizzazione, descritti da due tipi di carica, non è implicita nel fatto che l’interazione
ha due versi; è una scelta che deriva dall’osservazione che non si è mai trovato un corpo carico che
attira due corpi che tra di loro si attraggono, e dal criterio di semplicità. Per sottolineare questo
criterio fondamentale della fisica, ho enunciato il principio di Ockham, che ben lo riassume, anche
nella forma originale latina.
60
Ho introdotto la questione se la carica sia continua o discreta, facendo notare che nessuno degli
esperimenti finora ricordati suggeriscono l’uno o l’altro modello, e che se si è già parlato loro di
elettroni e protoni, è perché sappiamo dalla chimica che la materia è composta di atomi, e dallo
studio del trasporto di carica nei liquidi che questa sembra trasportata in unità discrete dagli
atomi, anche se le particelle elementari che oggi conosciamo saranno riconosciute definitivamente
da esperimenti a cavallo tra ‘800 e ’900. In questo modo ho dato una motivazione allo studio del
trasporto di carica, che ho introdotto mostrando la vastità del problema copiando alla lavagna la
Tabella 3, evidenziando che il nostro interesse sarà limitato alla conduzione nei metalli.
Conduzione elettrica nei metalli
Con la riflessione sull’elettrostatica ho dato l’impostazione secondo cui a partire da osservazioni
sperimentali si individuano delle grandezze che consentano di descrivere quantitativamente i
fenomeni, e tra le quali si cerca di determinare relazioni. Allo stesso modo, per le correnti ho
richiamato fenomeni che ci permettono di dire che le ‘correnti’, intese come fili collegati a batterie o
generatori, sono cariche in moto per analogia con i fenomeni elettrostatici (attrazione e repulsione)
e con i fenomeni dovuti a cariche che sappiamo in moto per ridistribuzione o per movimento
meccanico (effetti magnetici, scintille) [2]. Considerato il legame con cariche ed elettricità, è
risultato quindi naturale definire, come grandezze caratteristiche per lo studio delle correnti,
l’intensità di corrente I che descrive quanta carica ‘scorre’ e con che velocità, e la differenza di
potenziale ∆V che è legata al campo elettrico e quindi alla forza con cui le cariche sono indotte a
muoversi. Ho definito anche la fem, precisando la necessità di una forza non conservativa per il
mantenimento del movimento in un percorso chiuso, e quindi la differenza tra fem e ∆V, e ho
fornito le unità di misura.
Ho osservato una grande difficoltà nel seguire i riferimenti a fenomeni che dovrebbero far parte
dell’esperienza quotidiana, come se non si fidassero a fare riferimento a quanto sanno per
esperienza se l’argomento non è stato “fatto”. Ad esempio non capivano l’accenno alla capacità di
una corrente a muovere un ago magnetico, come se fosse necessario aver svolto l’argomento
‘campo magnetico’ e non semplicemente aver sentito parlare di effetti magnetici nei gradi
precedenti di istruzione e aver visto una bussola. Spesso erano il loro silenzio e i loro sguardi che
mi suggerivano di ripetere e precisare, perché in generale facevano molto poche domande,
limitandosi a chiedere chiarimenti su dettagli o definizioni, mai sul filo logico o su idee generali. A
causa di queste difficoltà ho ridotto al minimo gli esempi proposti, per non aumentare la loro
confusione, ma sufficienti per dare l’idea che anche senza conoscere i dettagli dei generatori di
61
corrente, possiamo riconoscere la natura elettrica delle correnti per analogia e usando il criterio di
semplicità, che ci forniscono delle ipotesi di partenza. Questa introduzione qualitativa voleva
introdurre i concetti prima della formulazione matematica, quindi ho assegnato, dal libro,
dapprima esercizi e domande volte a chiarire l’idea di corrente, la differenza tra la scala
macroscopica e microscopica (ad es. si chiedeva se caricando un pettine con i propri capelli si
produce una corrente correndo, oppure caricando il pettine con il pelo di un cane e correndo con il
pettine in mano), e il fatto che la carica sia trasportata in unità discrete, prima di aver formulato
qualsiasi legge. Dalla correzione ho constatato che tutti erano in grado di calcolare quanti elettroni
colpiscono lo schermo di un televisore in un secondo sapendo la corrente presente nel tubo,
mostrando confidenza con l’idea che la carica sia suddivisa in parti uguali sugli elettroni e
trasportata da essi, mentre le altre domande hanno rivelato tentativi di spiegazioni inadeguati. Il
fatto che si producesse o meno una corrente veniva attribuito al fatto che dopo un po’ la carica si
perde, piuttosto che al fatto che su scala macroscopica si osservasse o meno una carica netta in
movimento.
Nel presentare le leggi di Ohm, ho introdotto la prima come legge fenomenologica, distinguendola
da una legge derivabile da principi fondamentali, precisando il commento del loro libro1, che in
modo ambiguo sostiene che non sia una legge di natura. Quindi ho ricordato che su scala
macroscopica niente ci vieta di considerare la corrente elettrica come un fluido, e con l’aiuto di
questa immagine ho proposto loro di trovare la relazione tra resistenza e lunghezza e sezione del
conduttore, che hanno previsto correttamente.
L’atteggiamento della classe era di grande diligenza, tutti prendevano appunti e un buon numero
cercava di rispondere alle domande che proponevo nel corso della spiegazione, gli interventi erano
ordinati e non c’era bisogno che fossero regolati dall’alzata di mano; tuttavia si è confermata una
certa passività con la mancanza di domande od osservazioni che andassero al di là dei chiarimenti
su dettagli.
Dopo aver presentato le leggi di Ohm nella loro forma macroscopica, ho trattato il modello
microscopico di Drude, che fa uso solo di concetti classici ed è abbastanza semplice da poter essere
proposto in un liceo. Ho descritto prima qualitativamente il modello, evidenziando le idee
essenziali che lo guidano (elettroni sotto l’azione del campo elettrico che si muovono tra gli atomi
1
"La legge di Ohm non è una legge di natura, ma un'utile legge empirica, come la legge di Hooke per le
molle o la legge dei gas ideali che approssima il comportamento dei gas reali." In [16], pag. 85.
62
del conduttore, contro cui subiscono continui urti durante il percorso), quindi ho presentato la
trattazione matematica, in cui a ogni passaggio dicevo esplicitamente, scrivendolo anche alla
lavagna, la legge o la definizione usata. Successivamente ho preparato un breve riassunto della
lezione svolta (allegato 10), che ho poi consegnato ai ragazzi. Nell’esposizione ho mantenuto lo
stile della lezione frontale dialogata, la più vicina a quella cui la classe era abituata ma che mi
consentisse di stimolare un po’ di partecipazione attiva, e contemporaneamente consentisse di
trattare i contenuti previsti nelle ore a disposizione. In questo caso tuttavia, sia per la difficoltà
dell’argomento sia per la verifica di matematica fissata per l’ora successiva, la classe si è dimostrata
più passiva del solito, si limitavano a copiare alla lavagna, senza rispondere alle mie sollecitazioni,
e qualcuno si distraeva chiacchierando con il compagno. L’influenza negativa della verifica è
dimostrata anche dal fatto che nessuno aveva svolto gli esercizi assegnati, proprio per prepararsi
alla verifica di matematica, confermando la non abitudine a un lavoro costante e sistematico, né in
fisica né in matematica. Nella lezione successiva qualcuno mi ha chiesto di correggere sia gli
esercizi sulle leggi di Ohm sia quelli di applicazione del modello di Drude (semplici calcoli del
tempo medio tra due urti o della densità dei portatori nel caso di rame ed argento), ma
complessivamente solo in pochi svolgevano il compito assegnato e studiavano volta per volta.
Durante gli esercizi in classe ho notato anche una notevole difficoltà nei calcoli numerici, a fronte
di una maggiore dimestichezza nella manipolazione delle formule simboliche. Ho scelto il più
possibile esercizi che dessero lo spunto per parlare di situazioni reali e conosciute dagli studenti,
ad esempio facendo calcolare correnti e differenze di potenziale per spiegare perché gli uccelli
appoggiati sui cavi dell’alta tensione non rimangono fulminati. Durante la correzione degli esercizi
sul modello di Drude ho precisato i limiti del modello, dicendo che descrive qualitativamente il
comportamento dei metalli, e quantitativamente in buona approssimazione i metalli del gruppo
del rame, mostrandoli su una tavola periodica, sfruttando un supporto visivo diverso dalla
lavagna per rompere la monotonia e aiutare la memorizzazione.
Ho concluso la parte ‘fisica’ con considerazioni energetiche, evidenziando l’importanza e la
generalità della conservazione dell’energia nel trattare situazioni fisiche. Non ho rilevato difficoltà
nell’accettare che a causa della presenza di una differenza di potenziale le cariche dovrebbero
essere accelerate, mentre la corrente costante significa velocità media costante, e che quindi
l’energia della batteria deve trasformarsi in una forma diversa dall’aumento di energia cinetica, e
qualcuno correttamente ha proposto che si trasformi in calore. Ho quindi ricavato l’espressione
della potenza dissipata per effetto Joule, definito il kWh, e assegnato esercizi sia di applicazione
63
diretta delle relazioni tra potenza, corrente e differenza di potenziale, per fissarle, sia sui costi e il
consumo di energia elettrica di uso domestico, per mostrare applicazioni reali.
Per ricordare loro di studiare volta per volta, ho indicato le pagine del loro libro che si riferiscono
ai contenuti trattati, segnalando le parti da saltare, e assegnando alcuni esercizi guidati contenuti
nelle pagine di teoria. Inoltre talvolta ho chiesto a qualcuno, a inizio lezione, di riassumere gli
argomenti toccati la lezione precedente.
Circuiti elettrici
Nel passare alla fase più ‘tecnica’, ho distinto esplicitamente le lezioni precedenti, in cui abbiamo
cercato di spiegare i fenomeni con leggi legate a leggi fisiche fondamentali e alla struttura della
materia, distinguendo tra i diversi tipi di materiali, dalle successive in cui da queste leggi
avremmo ricavato, con opportune approssimazioni, regole operative per descrivere il
comportamento dei circuiti, senza più preoccuparci dei dettagli della composizione dei
componenti. Per mostrare i componenti tipici di un circuito reale, ho mostrato un modem interno
di un pc, dove si possono distinguere resistori e condensatori, e altri (ad esempio diodi e integrati)
che non abbiamo discusso. Con mia sorpresa, quasi nessuno aveva mai visto una scheda interna di
un computer. Questo mi ha confermato la loro difficoltà a collegare la fisica vista a scuola con
l’esperienza quotidiana, non solo perché non hanno mai avuto occasione di andare in laboratorio e
non sono stati abituati a lezione a vedere questi collegamenti, ma anche perché mancano essi stessi
delle esperienze quotidiane cui riferirsi. Di conseguenza, ho pensato di impostare questa fase con
un’introduzione ai componenti, alla simbologia e alle convenzioni, e quindi di svolgere
l’esperienza di laboratorio, in modo da fornire un po’ di esperienze su oggetti reali cui riferirsi per
comprendere le leggi sulle resistenze in serie e in parallelo, e dei nodi e delle maglie, trattate
successivamente.
Nella fase introduttiva ho dato la convenzione sul verso della corrente, di cui non avevo ancora
parlato. In questo modo ho potuto rendere evidente come la fenomenologia vista finora non
consente di decidere se a muoversi siano le cariche negative o positive, fatto che si può scoprire
sperimentalmente solo con l’effetto Hall, che a loro non ho citato perché per ora sarebbe solo un
nome senza significato, mentre più avanti lo tratteranno sicuramente, come applicazione della
forza di Lorentz. Ho sottolineato inoltre che per descrivere le grandezze in gioco in un circuito
(correnti, differenze di potenziale, resistenze) è sufficiente fissare un verso convenzionale e
scrivere le equazioni in modo coerente, senza bisogno di sapere il segno dei portatori.
64
Durante le lezioni svolte dopo il laboratorio, avendo loro già visto cavi, resistori, e multimetri, e
preso confidenza con il significato di costruire un circuito ed effettuare una misura di tensione o
corrente, ho mostrato dalla cattedra i circuiti cui mi riferivo per ricavare le leggi che stavo
trattando. In questo modo ho potuto ottenere più risultati: mostrare il collegamento tra equazioni
matematiche e realtà, avere la possibilità di sollecitare ipotesi da verificare sperimentalmente in
tempo reale, distinguere tra un circuito reale, la sua rappresentazione grafica e la sua
schematizzazione simbolica.
In questa fase ho proceduto per gradi, partendo da quello che già sapevano per usarlo per delle
previsioni. Ho inizialmente collegato semplicemente un resistore a una batteria, e fatto dire da loro
la corrente che si aspettavano, facendo poi leggere il valore sull’amperometro da uno studente
seduto in un posto vicino alla cattedra. Ho quindi definito il collegamento in parallelo, chiedendo
come si aspettavano che variasse la corrente. Ragionando sulla conservazione della carica,
qualcuno ha proposto che la corrente dovesse diminuire perché si separa nei due resistori, e il resto
della classe era d’accordo. Ho fatto quindi leggere la corrente che attraversa il primo resistore, che
risultava invariata. E’ seguita una discussione sulle motivazioni di questo comportamento, che ho
guidato fino a capire che la corrente nel ramo della batteria doveva essere aumentata (cosa che
abbiamo verificato) e che i due resistori erano sottoposti alla stessa differenza di potenziale. A
questo punto abbiamo formalizzato e ricavato l’espressione della resistenza equivalente a un
parallelo. Solitamente si presentano prima le resistenze in serie, perché la configurazione e
l’espressione della resistenza equivalente sono più semplici. Ho preferito partire dal parallelo per
fare accettare come normale il fatto che aggiungendo resistenze la corrente nel circuito può
aumentare (se l’avessi presentato dopo poteva essere visto come anomalia, e non venir
interiorizzato), e perché, aspettandomi il ragionamento errato da loro proposto rifacendosi alla
conservazione della carica, mi sembrava interessante mostrare come anche un ragionamento che a
noi sembra logicamente inattaccabile possa essere smentito dalla natura, e affermare quindi il
primato della verifica sperimentale. In effetti il circuito reale li ha motivati più del solito, e oltre a
partecipare alle mie sollecitazioni, in diversi hanno fatto domande di chiarimento, o fatto
osservazioni in cui cercavano di collegare quello che vedevano ora con quello che avevano visto in
laboratorio (ad esempio una ragazza ha osservato che il comportamento delle resistenze in
parallelo spiegava la prova che aveva fatto in laboratorio, di collegare due lampadine in parallelo
senza che la luminosità variasse, contrariamente a quanto si aspettava). In maniera analoga ho
presentato le resistenze in serie. Per trattare le leggi di Kirchhoff, ho fatto riferimento ai risultati
65
delle configurazioni dei circuiti già mostrati, e a quello che durante le discussioni la classe ha
mostrato di sapere: la conservazione della carica è stata applicata in modo naturale a un nodo
qualsiasi, mentre ho rilevato maggiore difficoltà nell’accettare il legame tra la legge delle maglie e
la conservazione dell’energia, e una certa confusione tra potenziale e differenza di potenziale.
Esperienza di laboratorio
Ho ritenuto necessario inserire un’esperienza di laboratorio nell’unità didattica a causa della già
evidenziata scarsa familiarità della classe con esperimenti reali e non solo descritti, e la scarsa
abitudine a collegare leggi e definizioni a oggetti e situazioni reali. Il DA è stato d’accordo, non
avendo mai avuto occasione di portarli in laboratorio. Con questi obiettivi e vincoli ho pensato di
proporre un esperimento semplice nella realizzazione operativa e nella legge da verificare,
lasciando però anche spazio per una componente di scoperta oltre alla verifica. Ho quindi
predisposto un’esperienza per verificare la legge di Ohm su resistori di diversa resistenza, e su una
lampadina. Nel caso dei resistori, l’obiettivo principale è familiarizzare con componenti e
strumenti dei circuiti reali, e con i collegamenti necessari, oltre che riconoscere una relazione
lineare tra grandezze a partire da misure reali; per la lampadina, gli studenti dovrebbero
riconoscere una relazione non lineare, nonostante il filamento di tungsteno della lampadina sia
metallico e quindi si aspettino uno comportamento ohmico. La scheda consegnata dovrebbe
stimolare la discussione tra gruppi che, insieme ai suggerimenti dell’insegnante, dovrebbero
ricercare la causa del comportamento inatteso in una variabilità della resistenza per ogni valore di
differenza di potenziale, e la causa di questa variabilità da una dipendenza con la temperatura.
Ho lasciato che i gruppi fossero scelti dai ragazzi, visto che sono abbastanza maturi per dividersi
senza generare polemiche o conflitti, e non richiedendo l’esperienza una composizione particolare,
essendo molto semplice. La classe ha confermato la sua maturità lavorando in modo ordinato e
senza confusione, anche quando qualcuno si alzava per andare a confrontarsi con qualche gruppo
diverso dal proprio, seguendo la scheda senza distrarsi eccessivamente, anche se, come è naturale
e giusto che sia, erano sicuramente più rilassati che durante le lezioni. Nei diversi gruppi tutti
partecipavano sia alla costruzione dei circuiti sia all’annotazione dei dati e alla discussione.
All’inizio erano molto lenti anche nei collegamenti più semplici, ma motivati a fare prove e a
capire autonomamente, chiamandomi ogni tanto per avere conferme o chiarire dubbi. Inizialmente
avevo previsto un’esperienza di due ore, ma vista la loro lentezza causata dalla non abitudine al
laboratorio, ho preferito lasciare il tempo a tutti i gruppi di studiare anche la lampadina,
chiedendo mezz’ora all’ora successiva, cosa possibile perché era di matematica. Le domande dei
66
gruppi mi hanno dato lo spunto per ricordare e precisare l’uso delle scale, delle incertezze di
misura, la differenza tra linearità e proporzionalità. Ho osservato di nuovo una grande difficoltà
nei calcoli numerici, che in alcuni gruppi si traduceva in rifiuto; ho dovuto sollecitare più volte
alcuni gruppi a calcolare per ogni resistore usato la tensione massima erogabile, compatibilmente
con la potenza massima assorbibile. In generale si limitavano ad eseguire quanto proposto nella
scheda. Un gruppo si è dimostrato più curioso e autonomo, cominciando a fare prove di
collegamenti non previsti dalla scheda. Li ho guidati a fare osservazioni non occasionali,
chiedendosi sempre cosa si aspettavano prima di provare una certa configurazione. Ad esempio
hanno osservato come, collegando due lampadine in parallelo, l’intensità non venisse ‘ripartita’ tra
le due lampadine, come si aspettavano, e che se si interrompeva il collegamento di una, questa si
spegneva come previsto, ma l’altra non aumentava di intensità. Avrei richiamato questa
osservazione durante le lezioni successive, spiegando le resistenze in parallelo, chiamando alla
lavagna una studentessa del gruppo per farle disegnare la configurazione, cogliendo anche
l’occasione per distinguere la rappresentazione realistica del circuito con lo schema simbolico, che
non rispetta le proporzioni tra le lunghezze dei tratti di filo o la curvatura, né la disposizione
geometrica, ma solo la disposizione rispetto a una maglia o a un ramo.
Dal questionario (allegato 13) consegnato a fine azione, emerge che l’esperienza di laboratorio è
stata considerata positivamente da tutti; le risposte si dividono tra chi ha sostenuto che ha facilitato
la comprensione delle leggi coinvolte, e chi la loro memorizzazione.
Dopo l’esperienza di laboratorio ho assegnato una relazione, che avrei valutato. Non hanno avuto
bisogno di chiarimenti particolari riguardo la struttura da seguire, che ho indicato nella scheda di
laboratorio e commentato brevemente durante l’esperienza. Hanno invece chiesto chiarimenti sulle
cifre significative e le incertezza di
misura, sostenendo di non aver trattato
l’argomento in terza, e su come ricavare la
resistenza dai dati corrente-tensione. Non
avendo
loro
dimestichezza
con
V
V
la
A
propagazione degli errori, né alcuna
A
nozione, neanche intuitiva, di regressione
L
L
L
L
lineare, ho proposto loro la soluzione
semplice di calcolare la resistenza come
media dei singoli rapporti ∆V/I e di
disegno studentessa
67
mio schema
stimare l’incertezza dalla semidispersione; dovevano inoltre indicare le incertezze di misura delle
singole misure, considerando la sensibilità dello strumento usato, a seconda della scala scelta. Sono
invece apparsi molto preoccupati per l’analisi dei dati riferiti alla lampadina, che non sapevano
assolutamente come interpretare. Per lasciare spazio alla loro riflessione e non anticipare troppo,
ho dato solo qualche indicazione ricordando loro che la lampadina ha un filamento di tungsteno,
che essendo un metallo dovrebbe seguire la legge di Ohm; che viene detta a incandescenza perché
per emettere luce viene portata ad alte temperature; e che la temperatura dipende dalla differenza
di potenziale cui è sottoposta. Mi sembrava di aver evidenziato l’importanza della temperatura, e
che qualcuno avrebbe potuto collegare questa variabilità alla variabilità della resistenza,
nell’ipotesi di validità della legge di Ohm, e quindi dedurre una dipendenza tra resistenza e
temperatura.
Per la correzione della relazione, ho usato gli indicatori riportati in Tabella 4.
indicatori
generali
indicatori
specifici
laboratorio
parte
operativa
raccolta dati
descrizione
completezza
precisione
analisi dati
completezza
precisione
correttezza
originalità
descrittori
p.ti
scelta strumento, scala,
costruzione circuito
scelta numero di punti,
intervalli e spaziatura
materiale, procedimento,
dati
sintesi, linguaggio specifico,
cifre significative
proporzionalità, intercetta a
0, valore di R, lampadina
sintesi, linguaggio specifico,
conclusioni logicamente
argomentate
riferimento corretto a leggi
note, deduzione corretta di
leggi non note
lavoro pertinente ma non
richiesto
0,5
frazione della classe che ottenuto il
punteggio grezzo (%)
0
25
50
75
100
0
0
0
0
100
0,5
0
0
0
0
100
1
0
0
28
50
22
1
0
22
33
33
11
1
0
6
39
44
11
2
0
0
61
39
0
1
0
6
17
61
17
0,5
61
28
6
0
6
Tabella 4. Il punteggio per ogni indicatore è assegnato in percentuale, e pesato con il punteggio
dell’indicatore. Il punteggio finale è ottenuto dalla somma dei punteggi grezzi pesati +2.
Come prevedibile, la realizzazione dell’esperimento in laboratorio e la sua descrizione non hanno
creato difficoltà particolari, essendo l’esperimento operativamente e concettualmente semplice. In
diversi hanno tuttavia mostrato poca attenzione al linguaggio specifico, nella scelta dei termini (ad
esempio l’uso di amperaggio e voltaggio anziché corrente e differenza di potenziale, o di
variazione anziché differenza), nel rispetto delle convenzioni (ad esempio l’uso delle maiuscole e
minuscole nelle unità di misura, su cui avevo insistito durante le esercitazioni in classe), ma anche
68
a livello più sostanziale, come nel confondere potenziale e differenza di potenziale, o la verifica
con l’applicazione di una legge (in una relazione, l’obiettivo viene descritto come: “Verificare
utilizzando la prima legge di Ohm, ∆V=RI, che il rapporto tra ∆V ed I è costante.”).
Più difficoltà hanno dato l’elaborazione dei dati e ancora di più la loro interpretazione. Nel calcolo
della resistenza, qualcuno ha usato i valori troncati alle cifre significative (nonostante avessi più
volte ricordato che nei calcoli si usano tutte le cifre e avessi mostrato esempi numerici di come
l’errore aumenta accumulando approssimazioni successive), trovando incertezze sovrastimate, e
quasi tutti hanno calcolato con la media anche la resistenza della lampadina, anche quanto
nell’interpretazione dicevano chiaramente che l’andamento non è lineare e che la resistenza
cambia. Questo mostra quanto siano abituati ad eseguire procedure e non ad analizzare
criticamente dati ed osservazioni: nessuno, ad esempio, ha usato il fatto che la semidispersione
risultasse dello stesso ordine di grandezza del valore medio della resistenza per concludere che nel
caso della lampadina non si può associare un solo valore di resistenza; dati e commenti sono più
che altro elencati, senza connessione logica. Questo risulta ancora più evidente nella spiegazione
della nonlinearità della curva tensione-corrente per la lampadina: tranne due casi, il fenomeno non
è stato spiegato oppure sono stati riportati i suggerimenti dati da me, senza alcun tentativo di
metterli insieme ma separati da un “inoltre”. I voti ottenuti nelle relazioni (quasi tutti tra il 6 e il 7,
vedi Figura 5) descrivono bene come in media la classe sia diligente, ma abbia difficoltà a compiere
elaborazioni personali e originali, come appena discusso e rilevato già in fase di osservazione.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18
Figura 5. Voti assegnati alle relazioni di laboratorio, classe 5E.
La disattenzione alla coerenza logica è mostrata anche da come è stato commentato il fatto che la
retta tensione-corrente abbia intercetta nell’origine degli assi: invece di dedurlo dal grafico o per
69
estensione dalle misure per piccoli valori di ∆V e I, e ricordare l’interpretazione fisica che avevamo
visto a lezione, molti l’hanno dimostrato dicendo che senza applicare tensione non si misura
corrente, perdendo di vista che questa osservazione è quasi ovvia e non permette di ricavarne
nessun significato fisico (anche una molla senza pesi non si allunga, ma la proporzionalità non vale
per valori piccoli del peso applicato).
Mi pare che il problema sia più di non avere l’abitudine a interpretare le osservazioni cercando di
trovare collegamenti con altri fenomeni e concetti e di ricavare leggi, più che una vera carenza sul
piano logico. Durante il commento in classe della relazione, non ho rilevato particolare difficoltà
ad accettare le mie puntualizzazioni e correzioni. Durante questa fase ho anche completato la
presentazione del modello di Drude mostrando come le considerazioni qualitative suggerite dal
comportamento della lampadina, di aumento della resistenza con la temperatura, vengono
previste quantitativamente dal modello, e sottolineando i limiti di validità, per cui i risultati
quantitativi valgono solo per pochi metalli, e non viene prevista la diminuzione di resistività con la
temperatura osservata nei semiconduttori. Il modello presentato è quindi un’utile semplificazione,
che consente di fare previsioni in certi casi e di costruirci un’immagine mentale di cosa avviene su
scala microscopica, ma non descrive alcuni tratti essenziali della struttura e del funzionamento
della materia.
5.3 Verifica
Durante le ore di esercitazione di ripasso prima della verifica, ancora una buona parte della classe
non ricordava le leggi e le definizioni più semplici, oltre a mostrare lacune di matematica molto
gravi per una quinta liceo (alcuni non riuscivano a dire di che fattore deve aumentare il raggio
della sezione di un filo per raddoppiarne l’area). Qualcuno ha tuttavia dimostrato di aver
cominciato a riflettere a casa sugli argomenti svolti, ponendo domande varie, non solo sugli ultimi
argomenti.
Ho costruito la verifica (allegato 12) seguendo la struttura cui erano abituati dal DA, inserendo
domande di teoria e problemi. Le domande nelle verifiche del DA consistono in richieste di
dimostrazione, ma considerato che ai ragazzi è consentito consultare libro e appunti (abitudine che
ho rispettato), mi è sembrato più indicativo valutare la capacità di rispondere con argomentazioni
qualitative a domande di comprensione della teoria, del tipo proposto dal loro libro e assegnato
come compito a casa insieme agli esercizi.
70
In Tabella 5 sono riassunti gli obiettivi valutati, i punteggi e i risultati. Ho considerato 1 punto
come punteggio base per avvicinarmi alla valutazione del DA, che assegna un punteggio a ogni
esercizio e somma i punteggi parziali, partendo da 0, evitando però il prevalere di voti insufficienti
rispetto ai sufficienti.
Esercizio
D1
D2
D3
P1
P2
obiettivi specifici
II legge di Ohm
Leggi di Kirchhoff; enunciato
Leggi di Kirchhoff; spiegazione
interpretazione microscopica della dipendenza
ρ(T)
interpretazione microscopica del riscaldamento
di un conduttore percorso da corrente
analisi di un circuito
calcolo ∆V tra due punti di un circuito
resistenze in parallelo; potenza
competenze
coinvolte
CT
C
E
E
punti
1
0,5
0,5
1
% risp.
parz.
100
100
37
63
corrette
compl.
53
74
5
21
E
1
11
5
CT
CE
CT
2
1
2
84
74
100
37
21
42
Tabella 5. Griglia di valutazione per la verifica di fisica proposta in 5E. D-domanda; P-problema.
C-Conoscenza di definizioni e leggi; T-Applicazione immediata delle leggi, tecniche standard;
E-Elaborazione e interpretazione. Il punteggio base è 1.
Risulta chiaramente la differenza di prestazione nella risoluzione di esercizi ‘standard’,
evidentemente affrontabili discretamente anche con uno studio ridotto agli ultimi giorni prima
della verifica, rispetto al rispondere a domande più ‘fisiche’, di spiegazione di fenomeni legandoli
a principi fondamentali o a modelli specifici.
L’esercizio D1 ha rivelato che qualcuno non sa calcolare l’area di un cerchio.
Nella domanda D2 la maggioranza ha preferito enunciare la legge dei nodi, com’era prevedibile
dato che coinvolge la conservazione di qualcosa di sostanziale invece che l’energia, concetto
astratto e non facilmente visualizzabile e manipolabile dagli studenti. In pochi hanno dato una
spiegazione soddisfacente, la maggior parte si è limitata a ricondurre la legge dei nodi alla
conservazione della carica senza ulteriori spiegazioni, qualcuno ha dato spiegazioni cicliche del
tipo “la legge dei nodi è dovuta al fatto che la somma delle correnti entranti deve essere uguale a
quella delle correnti uscenti”, spiegando cioè la legge con la legge stessa.
Analoga ciclicità è emersa nella domanda D3, ad esempio nella risposta di uno studente:
“L’aumento di resistività in un conduttore con la temperatura è dato dal fatto che alcuni materiali
[…] variano la loro resistività in relazione alla temperatura, e in particolare l’aumentano”. In
pochissimi hanno dato una spiegazione corretta, come questa, semplice e non perfetta
nell’esposizione, ma che dimostra di aver compreso l’essenziale: “Se aumenta la temperatura gli
elettroni si muovono più veloci e fanno più urti, quindi l’effetto della resistenza è maggiore.”
71
Paradossalmente, questa risposta è stata data da uno studente che ha riportato complessivamente
un 4+. Qualcuno ha attribuito l’aumento di urti alla maggior velocità degli atomi anziché degli
elettroni, dimostrando di non aver presente, o di non riflettere su, la differenza di massa tra
elettroni e atomi, che rende trascurabile la mobilità degli atomi rispetto agli elettroni (fatto detto in
classe). In molti hanno direttamente tralasciato la domanda, soprattutto la seconda parte, forse per
motivi di tempo. Se da una parte è comprensibile che una domanda non di calcolo meccanico ma
di interpretazione microscopica abbia provocato tante difficoltà, è da notare che non solo la
risposta era stata data durante le spiegazioni (e durante la verifica avevano a disposizione gli
appunti), ma anche che la domanda, tale e quale, era già stata assegnata tra gli esercizi per casa
(allegato 11), e quindi avrebbero potuto chiedere chiarimenti specifici prima della verifica, se li
avessero svolti.
Il secondo problema, anche se più semplice del primo, è più interessante perché consente più
metodi di risoluzione. Il primo ammette al massimo la libertà di scegliere le due maglie cui
applicare le leggi di Kirchhoff, e si può osservare che la maggior parte ha scelto le due maglie
meglio visualizzabili, cioè le due piccole di destra e sinistra, mentre solo qualcuno ha preferito
scegliere quelle più comode per i calcoli, cioè le due contenenti una sola batteria. Il secondo è stato
risolto da quasi tutti trovando le due correnti da I=P/∆V attraverso radio e lampadina, e
sommandole per trovare la corrente erogata dalla rete elettrica e quindi la potenza. Pochi hanno
usato l’equazione P=RI2 costringendosi a più passaggi di calcolo. In un caso una studentessa ha
commentato il risultato osservando che verifica la conservazione dell’energia (la potenza trovata è
somma delle potenze assorbite da radio e lampadina), dimostrando di attivare un controllo sul
risultato che non si limita a ripercorrere i calcoli ma cercando una legge fisica indipendente.
Per quanto riguarda le cifre significative, la maggior parte della classe ha dimostrato alla fine di
averne compreso l’uso.
La distribuzione dei voti (Figura 6) mostra voti né gravemente insufficienti (sotto il 4) né eccellenti
(sopra il 9), confermando la caratteristica di questa classe di essere in media diligente, senza
particolari eccellenze. C’è stato un miglioramento rispetto alla verifica precedente, raddoppiando il
numero di sufficienze. Questo non era previsto, dato che l’atteggiamento passivo e la mancanza di
costanza, osservati prima della mia azione, si sono conservati durante l’azione, e la verifica è stata
impostata in modo un po’ differente da come erano abituati. Probabilmente la differenza deriva
dai diversi criteri di valutazione tra me e il DA. Il questionario (allegato 13) consegnato a fine
azione, mostra comunque che la diversa impostazione della verifica non è stata percepita come un
72
aumento di difficoltà: la maggioranza l’ha ritenuta difficile come le precedenti, solo una minoranza
più difficile. Ha inoltre confermato, come prevedibile e come dimostrato dai risultati della verifica,
la difficoltà nel comprendere il modello di Drude, e la maggiore comprensione per gli argomenti
più ‘tecnici’, come le leggi di Kirchhoff o le formule per le resistenze in serie o parallelo.
10
9
8
7
6
5
4
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Figura 6. Distribuzione dei voti riportati nella verifica in 5E.
5.4 Questionario
Il questionario consegnato a fine azione (allegato 13) è stato compilato da 16 studenti, e i risultati
sono riassunti in Tabella 6. Dove le risposte erano aperte (quelle relative all’argomento capito
meglio e peggio) la somma delle percentuali può superare il 100% perché alcuni hanno risposto
più argomenti.
Nei paragrafi precedenti ho già discusso della valutazione positiva nei confronti dell’esperienza di
laboratorio, e della verifica, che è stata percepita dalla maggioranza di difficoltà comparabile a
quelle del DA, e che ha mostrato punti di forza e difficoltà negli argomenti riconosciuti come tali
anche dagli studenti nel questionario.
Considerando la valutazione positiva del laboratorio e i voti, si può fare un bilancio dell’azione
complessivamente positivo, sia dal punto di vista della percezione avuta dagli studenti, sia per i
risultati, che come già discusso hanno visto un miglioramento rispetto le precedenti verifiche.
Tuttavia, non è da trascurare la valutazione relativa alla chiarezza, che è coerente con la quasi
unanimità nel ritenere il cambio di insegnante un ostacolo alla comprensione. La media quasi
sufficiente deriva da voti quasi tutti sufficienti (dodici 6 e un 6,5) e tre insufficienze (un 3, un 4 e un
5), quindi c’era accordo generale nell’attribuire all’esposizione un voto non più che sufficiente. Se
la percezione dell’impegno e della competenza dell’insegnante sono importanti perché lo studente
73
sia ben disposto a seguire le indicazioni e a svolgere l’attività proposta, ed è quindi soddisfacente
la buona valutazione ricevuta, la chiarezza è un fattore essenziale per la comprensione, e quindi
una valutazione appena sufficiente non è sicuramente soddisfacente e dovrà essere tenuta in
considerazione per migliorare la mia azione in futuro. Tuttavia, è innegabile che un voto di scarsa
chiarezza proviene da una percezione di scarsa comprensione, e questa è dovuta a fattori che
dipendono dalla classe oltre che dall’insegnante. Non a caso in 4H la valutazione della classe nei
confronti della mia chiarezza è stata migliore (vedi Tabella 8), e corrisponde a una mia valutazione
nei confronti della classe di maggiori capacità e di un migliore atteggiamento rispetto alla 5E.
DOMANDA
Seguire le lezioni tenute da un
insegnante diverso da quello a
cui sei abituato:
L’esperienza in laboratorio:
La verifica ti è sembrata:
Qual è l’argomento che ritieni
di aver capito meglio
Qual è l’argomento che ti ha
dato più difficoltà
Valuta la prof:
OPZIONI o RISPOSTE
ha reso più difficile la comprensione
è stato indifferente
mi ha stimolato a stare più attento
ha permesso di capire meglio il fenomeno studiato
non ha facilitato la comprensione ma a ricordare i
fenomeni e le leggi coinvolti
era scollegata con il resto delle lezioni, mi ha
confuso
è stata indifferente dal punto di vista della
comprensione
più difficile del solito
più facile del solito
come al solito
leggi di Ohm
serie/parallelo
leggi di Kirchhoff
legge dei nodi
effetto Joule
parallelo
modello di Drude
legge delle maglie
batterie in serie
impegno/disponibilità
chiarezza
competenza
OCCORRENZE (%)
15 (94%)
0
1 (6%)
10 (62.5%)
6 (37.5%)
0
0
5 (31%)
0
11 (69%)
8 (50%)
4 (25%)
3 (19%)
2 (12.5%)
1 (6%)
1 (6%)
14 (88%)
1 (6%)
1 (6%)
MEDIA
8.2
5.7
8.4
Tabella 6: Risposte, con relative frequenze, del questionario di gradimento finale consegnato in 5E.
In questa classe ho rilevato profonde difficoltà a costruirsi immagini mentali e riferimenti alla
realtà che dessero significato alle equazioni, che erano viste nel loro aspetto matematico e solo
occasionalmente legate ad altre e inquadrate in una teoria più ampia. Il livello di questa difficoltà,
probabilmente indotta dall’impostazione dell’insegnamento della fisica e delle scienze ricevuta
fino a quel momento [6], può essere esemplificato da un episodio avvenuto durante la mia azione:
prendendo spunto dal fatto che la classe aveva trovato divertente la richiesta di uno studente di
chiudere la finestra “perché c’è corrente”, avendo associato la corrente d’aria a quella elettrica di
74
cui stavamo parlando, ho proposto di completare l’analogia, chiedendo quali fossero, nel caso
dell’aria, gli analoghi della carica che viene trasportata e della differenza di potenziale che è causa
del trasporto. Non solo non sono stati in grado di individuare nella massa la grandezza
trasportata, ma addirittura hanno attribuito al vento la causa delle correnti d’aria, mostrando non
solo di non sapere attribuire alla differenza di pressione lo spostamento di una porzione di un
fluido, ma neanche che il vento coincide con la corrente d’aria, né che quello che avrebbero dovuto
cercare era una grandezza fisica.
E’ vero che l’azione deve essere adeguata alla classe in cui si svolge, ma è inevitabile, quando si
parla di fisica, mostrare il senso fisico delle equazioni, riferirsi alla realtà e discutere le scelte che
hanno portato a una descrizione piuttosto che a un’altra; anzi ho proprio insistito su questi aspetti
considerando la loro non abitudine a questo approccio. Se è comprensibile il senso di confusione
provocato sugli studenti, si può pensare tuttavia che un percorso più lungo avrebbe alla lunga
ottenuto risultati migliori, e che se anche pochi studenti hanno recepito il corretto approccio,
sicuramente è stato utile stimolarlo, anziché adeguarsi a un metodo apparentemente più chiaro,
ma che porta a vedere la fisica come un elenco di formule slegate tra loro e che non hanno niente a
che fare con la realtà.
6
AZIONE II TIROCINIO – MATEMATICA (IVH)
Nella classe IV H è stata presentata un’unità didattica sulle funzioni ed equazioni esponenziali e
logaritmiche.
6.1 Preparazione
Motivazioni e vincoli
L’azione si è svolta tra novembre e dicembre, durante la trattazione delle coniche in geometria
analitica. Seguendo il programma (allegato 14), avrei potuto continuare l’argomento in corso,
completando la trattazione dell’ellisse e introducendo l’iperbole, oppure scegliere un argomento
che potessi svolgere interamente nelle ore previste dall’azione, dall’inizio alla fine. Il docente
accogliente mi ha lasciato libertà di scelta, con l’unico ragionevole vincolo che, se avessi scelto di
iniziare un argomento nuovo, avremmo portato avanti entrambi contemporaneamente, non
avendo senso interrompere la geometria analitica delle coniche per quasi due mesi. Ho preferito
iniziare un argomento nuovo per avere la possibilità di impostarlo fin dall’inizio in modo
personale, e tra le funzioni esponenziali e quelle goniometriche ho scelto le prime, in quanto si
75
prestavano meglio a una trattazione compatibile con il tema del modello. Infatti ci sono molti
ambiti e situazioni, dall’economia alla fisica, che consentono di evidenziare i legami e le differenze
tra realtà e sua descrizione matematica.
Abbiamo concordato con il DA di dedicare ogni settimana una delle tre ore previste alla geometria
analitica, e due alla mia azione. Per la scelta dei contenuti specifici, ho seguito essenzialmente il
programma, includendo la definizione e le proprietà delle funzioni esponenziali e logaritmiche, la
definizione e le tecniche di risoluzione delle equazioni esponenziali e logaritmiche, aggiungendo
solo riferimenti all’applicazione di queste funzioni nella descrizione di situazioni reali.
Analisi preliminare
Le funzioni esponenziali sono interessanti come esempio di uso della matematica per modellizzare
la realtà, perché descrivono fenomeni molto diversi, che spaziano dalla fisica, alla biologia,
all’elettronica, all’economia. La proprietà caratterizzante è che la quantità rappresentata aumenta
di uno stesso fattore per incrementi uguali della grandezza da cui dipende; una funzione con
queste caratteristiche è quella che associa agli elementi x del dominio una potenza con esponente x,
essendo y + ∆y = a x + ∆x = a x ⋅ a ∆x = a ∆x ⋅ y , dove a ∆x è il fattore costante per ogni incremento ∆x. Si
può definire la funzione esponenziale come omomorfismo tra {ℝ,+} e {ℝ,⋅}, dimostrando esistenza e
unicità, e le proprietà di monotonia e positività [17]. L’approccio seguito alla secondaria superiore
è meno astratto e più graduale, definendo e studiando inizialmente le potenze con esponente
naturale, quindi estendendo le proprietà a esponenti interi e razionali, in modo che le definizioni
siano ben date e rispettino le proprietà delle operazioni coinvolte. Anche volendo rimanere a un
livello in cui ogni oggetto matematico viene collegato a qualche applicazione reale, la definizione
di potenze con esponenti irrazionali si rende necessaria per la risoluzione dei problemi, anche se
una funzione che rappresenta grandezze osservabili nella realtà può assumere solo valori
razionali. Procedendo nella trattazione graduale, nella secondaria si introducono gli irrazionali
come elemento separatore delle sezioni di Dedekind o delle classi contigue di Capelli e Cantor. Se
le sezioni di Dedekind hanno il vantaggio di usare il registro grafico, riferendosi alla
corrispondenza tra numeri reali e punti di una retta, facilitando la comprensione, le classi contigue,
costruite approssimando il numero irrazionale con sempre più cifre decimali, ha il vantaggio di
fornire un metodo operativo per approssimare il numero, e di darne una definizione costruttiva,
coinvolgendo solo l’infinito in potenza e non in atto [18]. Quest’ultimo approccio tuttavia richiede
una nozione intuitiva di convergenza di una successione.
76
Una volta definita e studiata la funzione esponenziale, il logaritmo può essere introdotto in modo
formale come funzione inversa. L’interesse dei logaritmi nel modellizzare la realtà sta nella
possibilità di rappresentare i dati con scale logaritmiche o semilogaritmiche, in modo da avere
indicazioni sulla forma funzionale (potenza dominante del polinomio, o esponenziale) della
relazione tra grandezze studiata, a partire dai dati, anche quando non si ha una teoria che permetta
di prevederla. Può essere quindi utile trattare questo aspetto, soprattutto se si ha la possibilità di
applicarlo in esperienze di laboratorio, durante le ore di fisica o scienze. Ha invece solo interesse
storico la possibilità fornita dai logaritmi di facilitare i calcoli, riducendo le moltiplicazioni ad
addizioni, gli elevamenti a potenza a moltiplicazioni. In lezioni non impostate con un approccio
storico, che evidenzi le motivazioni dell’introduzione di oggetti e strumenti matematici, questo
aspetto si ridurrebbe a poco più di un aneddoto.
Il libro di testo [19] ha un’impostazione orientata alla costruzione dei concetti prima della loro
formalizzazione, lavorando in modo informale e grafico, con riferimenti ad applicazioni e
problemi storici, prima di fornire definizioni e teoremi. Questo mi consente di usare esempi che gli
studenti ritrovano direttamente sul loro testo, senza dover fornire troppo materiale aggiuntivo, che
può risultare dispersivo. Nella parte degli esercizi il libro è tuttavia essenziale, fornisce pochi
esercizi, non differenziati per tipologia e difficoltà. Ho quindi tenuto gli esercizi del libro per il
lavoro a casa, e preso gli esercizi proposti in classe da un altro libro, in modo da fornire più
materiale per l’esercitazione, conservando però il libro come riferimento per il lavoro a casa.
Unità didattica
Prerequisiti: proprietà delle potenze a esponente razionale, equazioni algebriche, funzioni e loro
rappresentazione grafica, funzione inversa, numeri irrazionali, linearità.
Ostacoli: epistemologici (funzione inversa, continuità, prevalenza del pensiero lineare); didattici
(introdurre le potenze come moltiplicazioni ripetute induce a ricondurre le potenze a esponente
negativo e razionale a potenze con esponente intero attraverso reciproci e radicali, creando
difficoltà a dare significato all’esponente irrazionale; un’eccessiva attenzione al piano sintattico
porta a perdita di senso e quindi di controllo)
Obiettivi specifici: saper confrontare potenze con esponente reale; saper disegnare grafici
deducendoli dal grafico della funzione esponenziale o logaritmica, mediante trasformazioni del
piano; calcolare logaritmi; operare cambiamenti di base di logaritmi; semplificare espressioni
logaritmiche; risolvere equazioni esponenziali e logaritmiche (dal programma del DA).
Riconoscere una situazione reale che può essere rappresentata con una funzione esponenziale;
77
comprendere la necessità di definire e usare oggetti matematici che non rappresentano
direttamente grandezze osservabili (ad esempio i numeri irrazionali).
Obiettivi generali: comprendere il significato e l’uso del modello.
Percorso didattico
Il percorso riportato è quello effettivamente svolto, e corrisponde a quello predisposto, a parte la
scansione temporale, nella preparazione solo stimata e poi adeguata alla reazione della classe, e
alla rinuncia a trattare le equazioni logaritmiche, come spiegato nel paragrafo 6.2.
TEMPO
1h
LEZIONE
crescita
esponenziale
CONTENUTI
Situazione problema: scelta tra interesse
semplice e composto;
necessità di definire potenze a esponente
irrazionale
classi contigue;
applicazione esponenziale al decadimento
radioattivo
1h
richiami sugli
irrazionali
1h
funzione
esponenziale
1h
equazioni
esponenziali
1h
esercizi in classe
esercizi in classe su grafici ed equazioni
esponenziali
1h
equazioni
esponenziali
1h
logaritmo
1h
proprietà
logaritmi
.5h
numero e
.5h
esercizi in classe
equazioni riconducibili alla forma a^x=b e
introduzione logaritmo;
equazioni risolvibili per sostituzione
logaritmo come operazione inversa
dell’esponenziale;
funzione logaritmo: dominio, codominio,
basi, monotonia, grafici
proprietà logaritmi cercate dagli studenti a
partire da quelle delle potenze, con la
guida dell’insegnante
numero e, valore approssimato, cenni
sulle proprietà, notazione ln(x) e log(x)
esercizi su proprietà logaritmi
.5
ordinamento log
ordinamento di logaritmi sfruttando
proprietà o per via grafica, senza calcolarli
1.5
2h
esercizi in classe
verifica
1h
correzione
verifica
esercizi sui log e grafici
verifica per metà su esponenziali e
logaritmi, metà su ellisse e iperbole
questionario anonimo su azione
tirocinante; correzione verifica
istituzionalizzazione; dominio, codominio,
limiti sulla base, monotonia, grafici
elementari
ripresa grafici;
equazioni riconducibili alla forma
a^f(x) = a^g(x)
78
OBIETTIVI
modellizzare una situazione reale
con una funzione; distinguere tra
modello continuo/valori reali
razionali
comprendere la definizione di
numero irrazionale e di potenza
con esponente irrazionale;
sapere costruire due classi
contigue per definire un numero
uso della proprietà di monotonia
per risolvere equazioni
esponenziali
lavoro in gruppo o secondo i
propri tempi per chiarire meglio i
concetti
scoprire e dimostrare le
proprietà dei logaritmi a partire
da quelle delle potenze
risolvere equazioni elementari e
semplificare espressioni
applicando le proprietà dei
logaritmi
confrontare base e argomento
per sapere a che intervallo
appartiene un log
6.2 Lezioni
Prima di cominciare il mio argomento, ho svolto una lezione di esercitazione sull’ellisse, in modo
da farmi un’idea della loro partecipazione e del loro approccio ai problemi. Ho in parte proposto
esercizi guidati da me, in parte svolti alla lavagna da uno studente mentre passavo tra i banchi per
vedere come lavoravano quelli al posto. In generale erano tutti attenti ed eseguivano gli esercizi
assegnati in classe, anche quelli con più difficoltà hanno mostrato interesse a capire, chiedendo
chiarimenti, mentre solo in pochissimi partecipavano più attivamente facendo osservazioni o
rispondendo alle mie sollecitazioni.
Funzioni esponenziali
Considerato l’atteggiamento della classe, mi è stato possibile introdurre l’argomento con un
problema, che ho lasciato affrontare all’inizio autonomamente, individualmente o a gruppi, ma ho
subito cominciato a guidare per sfruttare gli interventi dei pochi che davano contributi originali.
Ho presentato il problema di scegliere tra un investimento che prevede un interesse semplice al 5%
e uno con un interesse composto al 4%, esplicitando l’obiettivo di ricercare una funzione che
descriva la dipendenza capitale-tempo, per poi studiarne le proprietà e arrivare a generalizzare la
definizione. Questo perché il percorso che proponevo era inverso a quello cui la classe era abituata,
vicino all’impostazione assiomatica definizione – esempi – applicazioni.
Un buon numero è arrivato a scrivere autonomamente le due funzioni nella forma
MS(t) = C0(1+5/100*t) e MC(t) = C0(1+4/100)t, con MS e MC il montante nel caso di interesse semplice e
composto, rispettivamente. Essendo evidente a tutti che le due funzioni sono crescenti, restava da
capire quale cresceva più velocemente. Dopo qualche calcolo numerico per valori interi del tempo
(espresso in anni) si sono accorti che inizialmente era più conveniente l’interesse semplice, ma a un
certo punto doveva esserci un ‘sorpasso’. Non sapendo risolvere l’equazione necessaria per
determinarlo, qualcuno ha proposto di risolvere graficamente, scartando subito la proposta, visto
che non sapevano disegnare il grafico di MC(t). Ho suggerito di costruire il grafico per punti, in
modo che vedessero chiaramente che l’istante cercato non è un numero intero, imponendo di
definire la funzione su un insieme più ampio dei naturali. Qualcuno ha proposto automaticamente
di definirla sui reali. Questo mi ha permesso di far notare che qualsiasi misura effettuata nella
realtà può fornire solo valori interi o razionali, ma che per rappresentare le grandezze è necessario
usare funzioni a valori reali e definite sui reali, per poter eseguire i calcoli e risolvere equazioni. Ho
giustificato questa affermazione dimostrando, sulla falsariga della dimostrazione dell’irrazionalità
di √2, che ad esempio l’istante in cui il capitale si raddoppia è un numero irrazionale, e
79
distinguendo quindi il modello dalla realtà che rappresenta. Questo ragionamento non è stato
accettato subito da tutti, ma è risultato più naturale quando ho fatto loro un esempio con concetti
più elementari e da loro ben acquisiti: se disegnano un quadrato di lato l e vogliono tagliare una
striscia di carta in modo che possa essere sovrapposta alla diagonale, devono usare concetti
astratti, eseguire un’operazione che fornisce un valore irrazionale (l√2), cioè ‘muoversi’ nei reali,
anche se alla fine il risultato viene approssimato a un numero razionale per effettuare l’operazione
pratica di misura e taglio della striscia. Durante la discussione è emerso che non avevano mai
definito rigorosamente i numeri irrazionali, né dimostrato l’irrazionalità di alcun numero. Prima di
proseguire con la definizione di potenza con esponente irrazionale, ho dedicato una lezione alla
definizione di irrazionale come elemento separatore di classi contigue, e alla dimostrazione
dell’irrazionalità di numeri del tipo √n, con n naturale. Ho fatto riferimento ai primi capitoli del
loro libro, che proponevano questo argomento come ripasso, quindi non c’è stato bisogno di
fornire materiale aggiuntivo. Ho però dovuto limitare il numero di esempi di situazioni reali
modellizzabili con funzioni esponenziali.
Durante la correzione del problema sul decadimento radioattivo (allegato 15), lo studente alla
lavagna ha risposto alle domande usando una funzione con una base (1+x) anziché ½, per analogia
con l’esempio del capitale. La soluzione era corretta, ma non permetteva di generalizzare
direttamente l’espressione della funzione cui volevo arrivare, cioè ax. Questo suggerisce che
l’esempio dell’investimento, scelto perché suggerito anche dal loro libro e semplice perché non
coinvolge fenomeni fisici a loro ignoti e inizialmente solo esponenti naturali, ha una forma
particolare che ostacola l’individuazione delle caratteristiche essenziali della situazione in esame,
cioè una grandezza che varia dello stesso fattore in uguali intervalli di tempo, e che quindi può
essere espressa con una potenza. Sarebbe stato più opportuno forse presentare come primo
esempio la crescita di una popolazione di batteri, che ha un semplice fattore di crescita. Non ha
invece creato difficoltà il fatto che l’esempio del capitale si limitasse a esponenti positivi, perché
nessuno ha avuto dubbi nell’usare un esponente negativo per calcolare la quantità di radon a un
istante precedente di quello attuale. Nella dimostrazione dell’irrazionalità di (1/2)15/1620, molti
hanno mostrato difficoltà a seguire i passaggi che coinvolgevano le proprietà delle potenze, e ho
quindi suggerito di fare qualche esercizio in proposito autonomamente per richiamarle alla
memoria. Ho invece dedicato diverso tempo a proporre esercizi in classe di costruzione di classi di
minoranti e maggioranti di alcuni numeri irrazionali del tipo √n, determinandone gli elementi
come numeri razionali il cui quadrato è minore o maggiore di n, rispettivamente, e che aggiungono
80
al precedente una cifra decimale. Formalmente, la classe dei minoranti(maggioranti) è quindi
immagine della successione m: ℕ → ℚ; i ֏ mi = mi-1 + k 10-i, con k naturale compreso tra 0 e 9, tale
che mi è il massimo(minimo) numero al variare di k il cui quadrato è minore(maggiore) di n. In
classe si è usato solo implicitamente il concetto di successione, mentre esplicitamente si è parlato
solo di trovare gli elementi di due insiemi, costruendo schemi del tipo:
1
√2
2
1,4
1,41
1,414
…
1,5
1,42
1,415
…
Con queste attività ho dato il tempo di assimilare il concetto, di comprendere come si può
operativamente approssimare un numero, e di estendere in modo naturale la costruzione di
numeri del tipo √n a quella di a
n
. Quest’ultimo passaggio richiede di accettare intuitivamente che
le due classi che convergono a √n permettono di definire due classi che convergono ad a
n
,
semplicemente elevando la base a ai valori degli elementi delle classi precedenti. Assegnando la
costruzione delle classi che definiscono (−2)
7
, ho lasciato che scoprissero da soli perché la base
della funzione esponenziale debba essere positiva, e ho quindi ricordato che anche con esponenti
razionali bisogna imporre la stessa condizione, a causa dell’ambiguità nell’identificare i radicali
con potenze a esponente frazionario nel caso di basi negative, ad esempio (−2)
negativo se visto come
3
−2 , ma positivo se, da 1/3 = 2/6, si scrivesse come
6
1/ 3
risulterebbe
( −2)2 . [18]
A questo punto ho potuto istituzionalizzare la definizione di funzione esponenziale facendo
suggerire da loro dominio, codominio, condizione sulla base, e presentando il grafico completando
per continuità quello che avevamo costruito per punti, distinguendo tra base compresa tra 0 e 1 o
maggiore di 1. Ho anche fatto dire da loro la definizione di crescenza e decrescenza, che non
avevano mai formalizzato. Come già osservato, pochi intervenivano in questi casi, mentre gli altri
stavano attenti e al massimo chiedevano chiarimenti; tuttavia, chi interveniva dimostrava sia una
buona intuizione sia una padronanza del linguaggio specifico, ad esempio nella definizione di
crescenza hanno correttamente usato i quantificatori e connettori logici. Talvolta dovevo
riprendere un gruppetto in fondo all’aula che si distraeva, ma rimanevano episodi saltuari, e
quando proponevo lavori di gruppo partecipavano tutti.
Equazioni esponenziali
Le equazioni esponenziali sono state trattate dal punto di vista puramente matematico, senza
riferimenti a situazioni reali descrivibili da esse. La decisione è stata presa considerando il tempo a
81
disposizione e le richieste del DA, che ha voluto che le equazioni venissero presentate secondo la
seguente schematizzazione, volta a facilitare il riconoscimento della tecnica di risoluzione:
− Stessa base, senza addizioni, o riconducibili. Es 4 x −1 =
1
2
x − x2
− Basi diverse, senza addizioni. Es 3 x + 4 = 2 x −16
− Stessa base, con addizioni. Es 2 x + 2 x −1 + 2 x − 2 = 7
− Risolvibile per sostituzione. Es 32 x + 3 x − 6 = 0
Per introdurre le equazioni, ho proposto un esempio subito dopo l’istituzionalizzazione della
definizione e proprietà della funzione esponenziale, in modo che le avessero ben presenti. Prima di
chiedere come si poteva risolvere, secondo loro, l’equazione 3 x + 1 = 3− x , ho chiesto quante soluzioni
ha. Chi è intervenuto ha correttamente risposto che la soluzione è una, ma nel motivare ha
mostrato di considerare solo il grado dei polinomi presenti a esponente, e non l’iniettività della
funzione esponenziale. Ho quindi proposto esempi in cui gli esponenti contenessero polinomi di
grado superiore o espressioni frazionarie, per evidenziare che la monotonia della funzione
esponenziale, implicando l’iniettività, permette di dire che i due esponenziali sono uguali solo se
sono uguali gli esponenti, rendendo equivalenti l’equazione tra esponenziali e quella tra esponenti,
fornendo una tecnica risolutiva. A questo punto ho dato la definizione di equazione esponenziale
(avendo loro già visto esempi cui riferire la definizione), distinguendole da quelle trascendenti,
riprendendo l’esempio iniziale del problema della scelta dell’investimento, in modo da non
relegarlo a spunto iniziale, disgiunto dalla trattazione successiva.
Avendo ridotto le equazioni esponenziali a equazioni algebriche, ho dato un po’ di esercizi da
svolgere autonomamente in classe, non essendo necessarie ulteriori spiegazioni. I ragazzi hanno
reagito con commenti di soddisfazione, dimostrando di voler lavorare attivamente piuttosto che
ascoltare passivamente delle spiegazioni, stimolati probabilmente dai risultati dell’ultima verifica e
dalla lettera a casa. In questo modo ognuno poteva seguire i propri tempi, e io potevo osservarli
individualmente e intervenire sulle difficoltà di ciascuno. Ho constatato grandi disparità tra chi
risolveva senza difficoltà equazioni anche complesse, anticipando tecniche di soluzione non ancora
spiegate, e qualcuno con gravi lacune sui prerequisiti algebrici. Ad esempio una studentessa ha
scritto ( 7 − x ) = 7 2 x “perché un quadrato è sempre positivo”, un altro 2 x + 2 x −1 = 2 2 x −1 . Ho ribadito la
2
necessità di avere ben presenti le proprietà delle potenze per risolvere le equazioni esponenziali,
quindi di esercitarsi sulle prime prima di affrontare le seconde. Durante le attività di esercitazione,
quando ne è emersa la necessità ho definito il logaritmo, come soluzione di un’equazione del tipo
82
ax=b, in attesa della definizione come funzione inversa dell’esponenziale. Questa definizione
provvisoria non crea confusione perché la soluzione dell’equazione usata per definire il logaritmo
è unica, consente di cominciare a familiarizzare con il simbolo, e mostra il legame tra logaritmo e
potenza, che sarà utile nel ricercare e dimostrare le proprietà.
Funzioni logaritmiche
Per definire il logaritmo, introdotto provvisoriamente come numero, ho detto che si vuole definirlo
come funzione, e ricordato loro la definizione provvisoria di soluzione dell’equazione ax=b. Hanno
osservato da soli che è la funzione inversa dell’esponenziale, e che non servono restrizioni sul
dominio grazie alla monotonia della funzione esponenziale. Ho quindi chiesto loro di proporre
dominio, codominio e condizioni sulla base. Dopo aver scritto log: ℝ+ → ℝ, x ֏ logax, a∈ℝ\{1}, su
suggerimento di qualcuno, sono emerse delle difficoltà da parte di altri. Il fatto di scrivere
l’immagine come logax non ha convinto subito, qualcuno proponeva logab rifacendosi
all’equazione, dimostrando che la definizione provvisoria fornita può indurre in confusione
quando gli stessi simboli vengono usati con significato diverso in scritture correlate ma
indipendenti. Per chiarire è comunque stato sufficiente esplicitare una lettera per l’immagine, x ֏
y=logax e legarla all’equazione ay=x. Inoltre, non tutti hanno capito subito perché le limitazioni sulla
base imposte per l’esponenziale dovessero venire estese anche al logaritmo. Questi interventi
mostrano che, anche se solo in pochi erano in grado di dare contributi attivi alla spiegazione, la
maggior parte degli altri avevano comunque il corretto atteggiamento di seguire e riflettere su
quanto ascoltato, chiedendo subito chiarimenti. Solo un piccolo gruppo si limitava a prendere
appunti.
Per presentare le identità che consentono di semplificare le espressioni logaritmiche, ho proposto
loro di completare le uguaglianze che scrivevo alla lavagna (ad esempio loga(b⋅c) = logab …)
rifacendosi alla definizione di logaritmo e alle proprietà delle potenze. In questo modo, oltre a
stimolare l’attenzione, la scoperta dell’identità avrebbe fornito automaticamente la dimostrazione.
Qualche identità e dimostrazione è stata trovata da loro, con qualche rilancio da parte mia, altre le
ho lasciate per casa e poi le ho riprese in classe.
Per le stesse motivazioni espresse per le equazioni esponenziali, non ho presentato situazioni reali
di cui le funzione logaritmiche possano essere modello. Sarebbe stato utile, inoltre, presentare l’uso
della scala logaritmica, non solo per presentare i dati, ma anche per avere informazioni sulla forma
funzionale della legge ricavabile dai dati. Questo è tuttavia possibile riprenderlo nelle ore fisica,
83
quando sono stati forniti loro gli strumenti matematici. Considerato il tempo a disposizione prima
della verifica, ho preferito dedicare più tempo a esercizi su quanto già trattato piuttosto che
introdurre le equazioni logaritmiche. Il DA è stato d’accordo che rallentare il ritmo avrebbe
permesso a più studenti di migliorare rispetto all’ultima verifica, con effetti positivi sulla
motivazione e sull’impegno successivo.
Ho quindi proposto esercizi in classe di semplificazione di espressioni logaritmiche e di disegno di
grafici, anche sfruttando le trasformazioni del piano. A proposito dell’atteggiamento della classe, è
significativa la richiesta di chiarimenti di una studentessa che non capiva perché, dovendo
disegnare il grafico di ln(4-x), si debba ‘spostare in avanti’, il grafico di ln(-x) (Figura 7a), non
accontentandosi di sostituire qualche valore e ‘vedere’ che il grafico disegnato corrispondeva alla
funzione, né di ricondurre il grafico di ln(4-x) alla simmetrizzazione di ln(x-4) rispetto alla retta
x=4, dopo aver operato la traslazione di ln(x) (Figura 7b). Nelle domande della studentessa era
evidente la distinzione tra l’accettazione razionale di una dimostrazione che si riconosce come
corretta, e il convincimento che coinvolge maggiormente intuizione e immagini mentali, e dà una
comprensione più profonda del solo piano formale. Una spiegazione che è stata ritenuta
convincente è stata di considerare il grafico di ln(4-x) come il grafico di ln(4+x) fatto su un
riferimento cartesiano con l’asse delle ascisse orientato verso sinistra: in questo riferimento la
traslazione ‘all’indietro’ della curva, corrisponde alla traslazione ‘in avanti’ in un riferimento
standard.
2
2
y=ln(4-x)
y=ln(4-x)
(2)
1
1
(1)
(2)
(1)
-2
2
4
2
6
8
-1
-1
y=ln(-x)
4
y=ln(x)
-2
a
y=ln(x)
y=ln(x-4)
b
Figura 7. Disegno del grafico di y=ln(4-x) a partire dal grafico di y=ln(x), applicando (a) una simmetria
rispetto all’asse y (1) e una una traslazione verso destra di 4 unità (2); applicando (b) una traslazione verso
destra di 4 unità (1) e una simmetria rispetto a x=4 (2).
84
In definitiva, anche durante la fase di azione ho avuto conferma dell’idea avuta durante
l’osservazione, ed espressa dal consiglio di classe, di una classe con buone capacità, con un
atteggiamento più attivo, e interessata alla comprensione più che a limitarsi ad eseguire quanto
assegnato, tendenza rilevata nella classe 5E.
6.3 Verifica
La verifica (allegato 16) comprendeva sia gli argomenti trattati da me sia quelli del DA, quindi ho
predisposto problemi da svolgere in circa un’ora, e ho mantenuto la struttura del DA per
omogeneità. Non ho quindi inserito problemi di descrizione di situazioni reali con funzioni
esponenziali, sia per seguire l’abitudine del DA a proporre esercizi decontestualizzati, sia
considerando che l’azione si era sviluppata in modo che l’uso di funzioni esponenziali come
modello era stato trattato solo nelle prime lezioni e non più ripreso.
Oltre a esercizi standard di calcolo (il 2 e il 3), ho inserito problemi che prevedessero l’uso del
registro grafico e la capacità di fare considerazioni qualitative, tenendo conto delle proprietà
caratterizzanti come la monotonia, il segno, la relazione tra base e argomento (il 4).
In Tabella 7 sono riassunti gli obiettivi valutati, i punteggi e i risultati.
Esercizio
1
2a
2b
3a
3b
4
obiettivi specifici
grafico con trasformazioni del piano
indicazione esplicita di intersezione con assi e
asintoti
equazione esponenziale per sostituzione;
proprietà potenze
equazione esponenziale uguagliando gli
esponenti
proprietà logaritmi; proprietà potenze
proprietà logaritmi; proprietà potenze
ordinamento logaritmi
discussione
competenze
coinvolte
CE
CT
punti
1
0,5
% risp. corrette
parz.
compl.
74
32
21
5
CT
2
79
42
T
2
100
63
CT
CT
CE
L
1
1
0,5
1
100
95
47
26
79
84
47
16
Tabella 7. Griglia di valutazione per la verifica di matematica proposta in 4H. C-Conoscenza di
definizioni e teoremi; T-Applicazione di tecniche standard, E-Elaborazione di procedure; LArgomentazione, uso del linguaggio specifico. Il punteggio base è 1.
I risultati mostrano chiaramente una preferenza nei confronti degli esercizi di calcolo, che
coinvolgono l’applicazione di tecniche standard, rispetto alla rappresentazione grafica delle
funzioni e la discussione dei risultati. Questa tendenza diventa applicazione acritica di tecniche
mnemoniche in certi casi, come mostra ad esempio il passaggio:
3 x + 32 x = 3x +1 ⋅ (1 − 3x )
x + 2 x = x + 1 + (1 − x)
85
in cui si uguagliano gli esponenti, procedendo per analogia visiva con gli esempi visti a lezione,
senza aver compreso perché, e quindi in quali casi, si possa fare.
Le proprietà delle potenze sono state recuperate dalla maggior parte della classe, anche se in
qualche caso si trovano errori del tipo: 3 x = 1/ 2 → 6 x = 1 .
Interessante è l’analisi dell’esercizio 4, in cui tre numeri espressi attraverso logaritmi devono essere
ordinati, facendo considerazioni sulla crescenza e decrescenza delle funzioni logaritmiche a
seconda della base, e deducendo segno e modulo maggiore o minore di 1 dal confronto tra
argomento e base, aiutandosi eventualmente con un grafico (esercizi di questo tipo erano stati
svolti in classe e assegnati a casa). Oltre ad essere stati tralasciati da un buon numero di studenti
(forse per mancanza di tempo), in diversi casi sono stati risolti in modo incoerente, con errori che
nel contesto degli altri esercizi non sono stati commessi. Ad esempio, uno studente che ha risolto
correttamente le equazioni, nel 4 ha scritto:
logπ 4 → π x = 2 2 → x = 2
positivo
Un altro, dopo aver correttamente disegnato i grafici di lnx, logπx e log1/2x, e indicato per quali
valori assumono i valori 1 e -1, invece di individuare sull’asse delle ascisse il numero
dell’argomento per determinare graficamente l’intervallo cui appartenesse il logaritmo, ha scritto:
0<e<1 → valore positivo | 0<π<1 → valore positivo | valore negativo
sotto ogni grafico, per concludere log1/2e < logπ4 = ln2. Questo mostra di nuovo una perdita di senso
di quello che si sta facendo, cercando di riprodurre acriticamente quanto visto, senza alcun
controllo.
L’esercizio 3 non ha dato particolari problemi, ma è interessante osservare che i 2/3 delle soluzioni
non applicano le proprietà dei logaritmi (come mostrato da me in classe), ma si riconducono a
un’equazione esponenziale e applicano le proprietà delle potenze. Ad esempio:
x
1
log 1/ 3 81 →   = 81 = 3−4 → x = −4
3
Questo mostra che, a parte la minoranza che opera meccanicamente discussa prima, in generale in
questa classe sono in grado di operare scelte di fronte a un problema, optando per la soluzione
considerata più comoda. In effetti, non avendo ancora dovuto risolvere equazioni logaritmiche
complesse, non era necessario imparare le proprietà dei logaritmi, visto che ci si poteva ricondurre
a quelle delle potenze. Si vede anche come la definizione provvisoria di logaritmo sia stata ben
assimilata.
86
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Figura 8. Distribuzione dei voti riportati nella verifica in 4H. • parte su esponenziali e logaritmi; voto
complessivo.
In Figura 8 sono mostrati i voti. Per determinare il voto complessivo della prova, il DA ha
sommato le due votazioni riferite alla sua parte e alla mia, tradotte in quinti, e ha aggiunto 0,25
punti per compensare le approssimazioni nella conversione.
La distribuzione dei voti mostra un generale miglioramento rispetto ai risultati della verifica
precedente, e conferma la grande variabilità osservata durante la fase di azione; i voti rispecchiano
il diverso grado di partecipazione in classe e di impegno a casa.
Il questionario (allegato 17) consegnato a fine azione, mostra la consapevolezza da parte dei
ragazzi delle loro forze/debolezze, in quanto hanno confermato la migliore comprensione, in
media, della funzione esponenziale rispetto al logaritmo e delle equazioni rispetto alla
rappresentazione grafica o all’ordinamento. Invece, contrariamente alle intenzioni mie e del DA e a
quanto dimostrano i risultati ottenuti, hanno ritenuto che la verifica fosse della stessa difficoltà
delle precedenti, quasi all’unanimità (due l’hanno ritenuta più facile).
6.4 Questionario
Il questionario consegnato a fine azione (allegato 17) è stato compilato da 15 studenti, e i risultati
sono riassunti in Tabella 8. Dove le risposte erano aperte (quelle relative all’argomento capito
meglio e peggio) la somma delle percentuali può superare il 100% perché alcuni hanno indicato
più argomenti.
87
Nel paragrafo precedente ho già discusso della verifica, che è stata percepita di difficoltà
comparabile a quelle del DA, e da cui sono emersi punti di forza e difficoltà negli argomenti
riconosciuti come tali anche dagli studenti nel questionario.
DOMANDA
Seguire le lezioni tenute da un
insegnante diverso da quello a cui
sei abituato:
La verifica ti è sembrata:
Qual è l’argomento che ritieni di
aver capito meglio
Qual è l’argomento che ti ha dato
più difficoltà
Valuta la prof:
OPZIONI o RISPOSTE
ha reso più difficile la comprensione
è stato indifferente
mi ha stimolato a stare più attento
più difficile del solito
più facile del solito
come al solito
esponenziali
equazioni esponenziali
logaritmi
equazioni logaritmiche
grafici
grafici di logaritmi
logaritmi
ordinamento logaritmi
grafici esponenziali
impegno/disponibilità
chiarezza
competenza
OCCORRENZE (%)
2(14%)
9 (64%)
3 (22%)
1 (7%)
2 (13%)
12 (80%)
8 (53%)
5 (33%)
1 (7%)
1 (7%)
4 (30%)
3 (21%)
3 (21%)
3 (21%)
1 (7%)
MEDIA
8.6
7.1
8.1
Tabella 8: Risposte, con relative frequenze, del questionario di gradimento finale consegnato in 4H.
E’ interessante confrontare le risposte alla prima domanda con il voto relativo alla chiarezza. La
maggior parte non ha ritenuto una difficoltà il cambio di insegnante, e questo è coerente con la
percezione di una discreta chiarezza nell’esposizione. In effetti, da parte mia non ho cambiato
significativamente il metodo del DA, a parte nell’introduzione, e la classe ha confermato, durante
la mia azione, il parere espresso dal consiglio di classe, di una classe con buone potenzialità. Questi
fattori hanno contribuito alla buona riuscita dell’azione, anche da parte di un insegnante diverso
dal solito che ha lavorato con la classe per un breve periodo.
CONCLUSIONI
L’azione di tirocinio è stata impostata, svolta e analizzata attorno all’idea di modello, inteso come
strumento fondamentale di rappresentazione e indagine della realtà, come contenuto specifico
degli argomenti trattati, come componente di una didattica centrata sulla costruzione attiva dei
concetti da parte del discente.
Gli argomenti trattati nelle diverse classi, tutte di liceo scientifico, e i relativi modelli specifici
presentati possono essere così riassunti:
− in prima: fluidostatica. Modello di fluido ideale, incomprimibile e privo di sforzi di taglio.
88
− in seconda: probabilità e calcolo combinatorio. Modello di dado ideale, con facce
perfettamente equiprobabili, a cui ricondurre il calcolo della probabilità di situazioni reali,
astraendo i concetti di lancio, numero di dadi, esito; modello ‘a cassetti’ cui ricondurre il
calcolo di disposizioni e combinazioni, astraendo i concetti di oggetti da disporre e cassetti in
cui disporli.
− in quarta: esponenziali e logaritmi. Funzione esponenziale come modello di quantità che
variano di un fattore costante per incrementi costanti della variabile indipendente; funzione
definita sui reali e a valori reali per descrivere quantità che assumono valori solo razionali.
− in quinta: correnti elettriche continue. Modello continuo (fluido) o discreto (flusso di
particelle cariche) della corrente; modello di Drude per la conduzione nei solidi.
In situazioni diverse la presentazione dei modelli ha seguito metodologie e finalità diverse.
In prima e in seconda non si è parlato esplicitamente di modello, ma si è costruito il modello
necessario a studiare l’argomento in esame, mostrando l’utilità di astrarre e semplificare per poter
portare avanti uno studio quantitativo che consenta la previsione, e avere uno schema generale cui
ricondurre diverse situazioni reali; l’obiettivo era più stimolare un’abitudine a un metodo che una
riflessione esplicita al ruolo del modello e al metodo scientifico, perché per poter condurre e
comprendere una discussione su di essi bisogna averli sperimentati in situazioni specifiche e aver
costruito una base di idee implicite in proposito. A seconda della difficoltà dello specifico modello
e dell’atteggiamento della classe, la presentazione è stata più o meno orientata verso l’esposizione
o la costruzione attiva da parte della classe. In prima, considerata la generale passività e
immaturità, il processo di costruzione del modello di fluido ideale, di individuazione delle
grandezze caratteristiche per la sua descrizione e delle leggi che legano queste grandezze, è
avvenuto in modo molto guidato, sia durante le lezioni introduttive sia durante l’esperienza di
laboratorio. In seconda, classe decisamente più motivata e partecipativa, i concetti e i teoremi sono
emersi quasi naturalmente dalle discussioni in gran parte spontanee che coinvolgevano la quasi
totalità della classe, stimolate solo da uno spunto iniziale o da pochi suggerimenti da parte mia;
questo è avvenuto soprattutto per gli argomenti di probabilità, mentre la difficoltà del calcolo
combinatorio per ragazzi di quest’età ha portato a una presentazione più guidata.
Nelle classi del triennio la presentazione è stata più esplicita, discutendo non solo in maggiore
dettaglio l’utilità dei modelli presentati per descrivere e studiare gli argomenti specifici in esame, e
i loro limiti di applicabilità, ma anche la loro natura di strumento generale per la descrizione della
realtà, individuando le caratteristiche ricorrenti di ogni modello. In quarta la presentazione è stata
89
limitata dai vincoli di tempo e di contenuti imposti dal DA, e si è ridotta a qualche esempio iniziale
di situazioni reali (prese dall’economia o dalla fisica) modellizzabili con la funzione esponenziale,
che è stata successivamente trattata, insieme alle equazioni e ai logaritmi, dal punto di vista
formale e delle tecniche di calcolo. Nonostante il tempo ridotto dedicato all’aspetto di
modellizzazione, si è tuttavia potuto usare il modello come motivazione all’introduzione di un
nuovo oggetto matematico, come riferimento alla realtà che facilita la comprensione perché dà
significato a concetti astratti (come suggerisce la teoria dei campi concettuali), come spunto per
una situazione-problema che favorisse la costruzione attiva dei concetti, e si è discussa la relazione
tra realtà e suo modello matematico, riflettendo sulla necessità di definire la funzione esponenziale
sui numeri reali per descrivere quantità che assumono solo valori razionali, anche in linea di
principio e non solo come effetto di una misurazione (ad esempio la frazione di nuclei decaduti).
In quinta la presentazione è stata più completa. Si è presentato un modello specifico, il modello di
Drude, che ha una complessità sufficiente per riflettere in modo maturo sugli aspetti già
evidenziati: le caratteristiche di astrazione e semplificazione, i limiti di validità, la distinzione con
la realtà rappresentata, e l’utilità nel consentire previsioni; soprattutto il fatto che alcuni oggetti
siano considerati, in questo modello, in modo diverso da come gli studenti sapevano da altre
materie o altri argomenti, ad esempio gli ioni e i portatori di carica sono considerati come palline
rigide, senza struttura interna, ha consentito di evidenziare che un modello non è un tentativo di
adesione alla realtà, limitato solo da carenza di conoscenze o di capacità di calcolo, ma opera delle
scelte per individuare quali sono le proprietà caratterizzanti il fenomeno. Si è anche stimolata una
riflessione sul metodo scientifico e sui criteri di scelta di modelli e di teorie, mostrando diversi
modelli per descrivere lo stesso sistema e lo stesso fenomeno, ugualmente corretti per rendere
conto delle osservazioni sperimentali. Si è potuto evidenziare che il riferimento alla realtà, dato
dall’esperimento, non impone una descrizione univoca, sempre più aderente alla realtà
all’aumentare degli esperimenti fatti e al raffinarsi della loro elaborazione, ma può solo imporre di
escludere una teoria (è una falsificazione e non una verifica), mentre la scelta di due teorie
equivalenti avviene secondo il criterio di semplicità, che è un criterio di funzionalità e di
preferenza intellettuale, ma non è necessariamente contenuto nella realtà esterna.
La valutazione della comprensione dei modelli specifici presentati e del ruolo del modello in
generale come strumento di descrizione e indagine, è avvenuta in modo indiretto attraverso
l’osservazione degli interventi della classe durante l’azione (o, dove previsto, del comportamento
in laboratorio), e la valutazione, nella verifica sommativa, di domande di comprensione della
90
teoria o di problemi che richiedessero l’applicazione delle leggi e dei concetti contenuti nei modelli
presentati; solo in quarta la verifica ha proposto esercizi standard, senza alcun riferimento a
situazioni reali. La comprensione del ruolo del modello nelle scienze e il suo uso sono obiettivi
generali legati alla comprensione del metodo scientifico e all’acquisizione di una visione critica e
analitica della realtà, ed è quindi la sua applicazione in contesti specifici che è interessante
valutare, piuttosto che la capacità di rispondere a domande esplicite, che possono essere la
ripetizione di frasi ascoltate a lezione, ma non necessariamente accompagnate da una
comprensione significativa. Per questo motivo questo obiettivo è stato valutato indirettamente
attraverso la valutazione dei contenuti e obiettivi specifici dell’unità didattica, fatto che ha anche
reso possibile adeguare forma e contenuti delle verifiche a quelle dei DA.
I risultati complessivi dell’azione, dal punto di vista dei contenuti e degli obiettivi specifici,
ottenuti nelle diverse classi sono stati discussi nei rispettivi paragrafi relativi alle verifiche e ai
questionari. Qui si vuole analizzare i risultati ottenuti nell’insegnamento del modello, nei suoi
aspetti scientifici e didattici.
Si è detto nel capitolo di teoria che il modello è un componente essenziale del metodo scientifico,
in cui si scelgono le proprietà essenziali di un sistema o di un fenomeno, si definiscono le
grandezze descrittive, e si determinano le relazioni tra esse. Anche se con approcci diversi, a causa
dei vincoli già richiamati, in tutte le classi si è presentato un processo di questo tipo anziché dare la
formulazione matematica finale di definizioni, leggi o teoremi, con l’intento di facilitare la
comprensione, di abituare a motivare ogni affermazione o procedimento risolutivo, e di dare una
visione delle scienze come strumento efficace di descrizione della realtà e non come insieme di
formule slegate e astratte. La risposta delle classi è stata diversa a seconda principalmente dell’età
e dell’atteggiamento di partenza. Nelle classi del biennio ho osservato una maggiore facilità a
cambiare approccio: in prima, in laboratorio ho osservato, anche se in numero limitato di studenti,
un miglioramento nella capacità di individuare gli elementi essenziali alla descrizione del
fenomeno e ad escludere quelli ininfluenti; in entrambe le classi, nella motivazione delle soluzioni
degli esercizi sono aumentati quelli che ricostruivano il ragionamento, riferendosi a schemi astratti
o ragionando per analogia; il numero di studenti coinvolti in questo cambiamento è stato maggiore
in seconda, classe più attiva. E’ prevedibile che gli studenti più giovani siano più flessibili, mentre
nelle classi terminali l’impostazione ricevuta si sia ormai stabilizzata. La classe quinta, in larga
maggioranza, ha mostrato difficoltà profonde nel riferire le leggi matematiche a situazioni reali,
nel legare eventi e concetti con relazioni di causa ed effetto, nell’affrontare problemi o domande
91
che non richiedessero l’applicazione meccanica di tecniche risolutive. Queste difficoltà erano più
marcate di quelle della classe prima, e lo si può evidenziare con un esempio: se in prima un buon
numero di ragazzi è stato in grado di trovare un’osservazione semplice e quotidiana (l’olio
galleggia sull’acqua) per concludere che l’olio è meno denso dell’acqua, in quinta nessuno è stato
in grado di concludere che i fanali delle auto sono collegati in parallelo pensando alle auto con un
solo fanale funzionante. Questo conferma da una parte il fatto che l’insegnamento tradizionale
induce queste difficoltà [6], dall’altra che un approccio fondato sulla memorizzazione e sul
formalismo anziché sul significato, anche se meno funzionale, può stabilizzarsi e impedire
l’acquisizione di un approccio più corretto.
Un confronto tra la classe quinta e quarta mostra anche che ogni classe ha delle sue peculiarità,
indipendentemente dall’impostazione ricevuta. In quarta ho osservato una partecipazione
maggiore, una buona intuizione da parte di diversi studenti nel “costruire” la funzione
esponenziale come modello delle situazioni reali proposte, e un discreto numero di studenti ha
mostrato di aver recepito lo stimolo a “pensare per modelli”, cioè a costruirsi immagini mentali e
schemi che diano significato ai concetti studiati, come evidenziato soprattutto nelle discussioni sui
grafici delle funzioni esponenziali e logaritmiche (ad esempio per il grafico di ln(4-x), dettagliato
nel paragrafo 6.2). Sicuramente, se l’impostazione data dall’insegnante è importante, non si può
dire che l’approccio meccanico sia totalmente indotto dall’insegnamento tradizionale come che un
approccio più critico sia dovuto esclusivamente a un approccio che parte dal fenomeno reale e
procede verso l’astrazione attraverso la costruzione di modelli.
Dal punto di vista della costruzione dei modelli come stimolo all’interesse e all’apprendimento
attivo, è stato positivo osservare che in tutte le classi la partecipazione è aumentata durante il
procedere dell’azione, e che nelle classi del triennio si è registrato un miglioramento medio dei
risultati nella verifica rispetto alle precedenti.
In definitiva, l’esperienza di tirocinio ha confermato le idee espresse nel capitolo iniziale, che
indicavano nel modello non solo un contenuto centrale per la formazione scientifica degli studenti,
ma uno strumento concettuale generale e uno strumento didattico per stimolare motivazione e un
apprendimento significativo.
L’approccio presentato non ha interesse di pura sperimentazione didattica, possibile solo in un
breve periodo come quello di un tirocinio, ma può essere utilizzato in un contesto reale di
insegnamento, perché adattabile alle esigenze di tempo, di programma, e delle peculiarità della
classe. L’idea centrale è, sia in fisica sia in matematica, partire da situazioni reali e stimolare un
92
processo di astrazione, passando da un piano informale a una successiva formalizzazione,
stimolando l’intuizione, il “fare significato“, e l’acquisizione degli strumenti concettuali propri
delle scienze, quindi utili all’indagine dei fenomeni naturali, ma anche applicabili in generale
all’analisi critica delle situazioni quotidiane. Se è vero che un apprendimento di questo tipo è
facilitato da attività di laboratorio e da situazioni a-didattiche, non è necessario usare questa
metodologia per ogni argomento, ma sfruttare l’impostazione indotta da queste esperienze in
presentazioni più espositive, necessarie per rispondere ai vincoli di tempo e di contenuti, ma
ugualmente efficaci se fanno riferimento a quanto costruito attivamente nelle esperienze
laboratoriali, che non devono quindi essere episodiche ma distribuite strategicamente nella
programmazione. Questo è possibile in un contesto in cui si ha la possibilità di seguire le stesse
classi per lunghi periodi, ma è proponibile anche in situazioni più brevi, come supplenze o dove
c’è un ricambio annuale degli insegnanti, come suggeriscono i risultati di questa esperienza di
tirocinio (solo la classe quinta sembra aver mantenuto in maggioranza un atteggiamento
decontestualizzato e algoritmico nell’affrontare problemi, per le motivazioni già discusse).
L’esperienza di tirocinio è stata anche un’occasione unica per svolgere un’analisi dettagliata della
preparazione e della realizzazione delle lezioni, individuando punti di forza e debolezza, che
saranno utili per il mio lavoro futuro. A parte le osservazioni specifiche discusse nel testo, relative
alla scelta di esempi, di modalità espositive, di esercizi per la verifica, o di criteri di valutazione,
due conclusioni generali emergono da un bilancio complessivo. La prima è che è risultata evidente
l’importanza di riflettere sulla propria azione, comparando aspettative e svolgimento reale, non
solo per avere indicazioni per la presentazione degli stessi argomenti in altre classi, ma anche per
adeguare strada facendo l’azione alla classe. Le modifiche maggiori all’unità didattica sono state
nelle classi più partecipative, che mi hanno consentito di rispondere meglio alle loro esigenze, e
questo ha avuto effetti positivi sia sui risultati, sia sulla percezione da parte degli studenti della
mia azione. La seconda è che la valutazione è risultato l’aspetto più difficile dell’attività di
insegnamento, soprattutto la valutazione qualitativa fatta in itinere. Un errore ricorrente che ho
compiuto, soprattutto nei due tirocini del primo anno, è stato quello di generalizzare in modo
troppo ottimistico i miglioramenti mostrati da interventi di alcuni studenti, ricavandone
un’impressione generale della classe, non a pieno confermata dalla verifica sommativa finale.
Questo mi suggerisce di prendere in considerazione, per le esperienze future, l’uso delle verifiche
formative, strumento che ho trascurato ma che dovrebbe consentire un monitoraggio più oggettivo
dei progressi raggiunti dalla classe, e quindi un migliore adeguamento della programmazione.
93
BIBLIOGRAFIA
[1] C. Fazio et al. “Una trattazione unitaria di fenomeni diversi: il caso del modello esponenziale”,
La Fisica nella Scuola, XXXVII, 1, 1-12 (2004)
[2] A. B. Arons “Guida all’insegnamento della fisica”, Zanichelli (1992)
[3] G. Arrigo “La costruzione del concetto in Matematica: immagini mentali, modelli e
misconcezioni”, Atti del Terzo Convegno Nazionale di Didattica della Matematica: La
matematica è difficile?, Adria - Rovigo (2004).
[4] E. Agazzi “Lo statuto epistemologico delle scienze sperimentali”, Nuova Secondaria, 6 (1989)
[5] D. Hestenes “Toward a modelling theory of physics instruction”, Am. J. Phys. 55, 440-454
(1987)
[6] C. Wieman, K. Perkins “Transforming physics education”, Phys. Today, November, 36-41
(2005)
[7] E. Persico “Che cosa c’è che non va?”, Il Giornale di Fisica, 1, 64-67 (1956)
[8] R. J. Genseberger “Sviluppo del concetto di modello in alunni di 15-16 anni”, La Fisica nella
Scuola, XXXIII, 2, 149-155 (2000)
[9] A. Salvadori, P. Brandi “La modellizzazione del quotidiano come motore di innovazione
didattica”, in http://matematica.unibocconi.it/brandi/modelli.htm
[10] R. Titone “Metodologia didattica”, Las (1975)
[11] M. Palladino Bosia “La materia e le sue proprietà - Corso di fisica e chimica integrate”, Paravia
[12] R. di Fiore “I colori della Fisica”, libro verde, La Nuova Scuola
[13] C. Marchini, Lezioni di Matematiche Complementari, cap. 8 (2005-2006)
[14] C. Boyer “Storia della Matematica”, Mondatori
[15] M. Fraschini, G. Grazzi “Statistica e Probabilità”, Atlas
[16] J. S. Walker “Fisica”, vol. 3, Zanichelli
[17] G. Prodi “Istituzioni di Matematica”, McGrawHill, Milano (1994)
[18] C. Marchini, Appunti di Didattica della Matematica II/1, Il Problema didattico dei numeri reali
[19] M. Andreini, R. Manara, F. Prestipino “Matematica controluce – per i programmi
sperimentali”, vol. 2 tomo 1, ETAS
94
ALLEGATI classe IscB
1. Programma di Fisica
MISURA: grandezze fisiche e sistemi di misura (SI), metodi di misurazione (diretto, indiretto,
mediante strumenti tarati). L’incertezze delle misure: errore assoluto, relativo, percentuale. I tipi di
errori: sistematici, casuali. Propagazione degli errori nelle misure indirette. La scrittura corretta per
le misure e i relativi errori. ESPERIENZE DI LABORATORIO: misura dei lati, dello spessore e della
diagonale di un foglio di quaderno, misura del periodo di un pendolo semplice.
LEGGI FISICHE E LORO RAPPRESENTAZIONI: raccolta dati e formulazione di ipotesi mediante
il linguaggio della matematica, notazione esponenziale, rappresentazione dei dati mediante
tabelle. Dai dati alle leggi matematiche: proporzionalità diretta e inversa alla prima e seconda
potenza, rappresentazione grafica delle leggi. ESPERIENZE DI LABORATORIO: studio delle leggi
che descrivono la dipendenza del periodo di un pendolo dalla lunghezza. Isocronismo delle
piccole oscillazioni.
PROPRIETÀ DELLA MATERIA: definizione operativa di forza, unità di misura dell’intensità della
forza, forza come grandezza vettoriale, somma e differenza di vettori. L’elasticità, la legge di
Hooke. La materia origine delle forza: forza di attrazione gravitazionale, peso e massa di un corpo;
lo stato di elettrizzazione, la forza di interazione elettrica, corpi isolanti e conduttori,
elettrizzazione per strofinio, induzione; intensità dello stato di elettrizzazione e la carica elettrica.
ESPERIENZE DI LABORATORIO: legge sperimentale degli allungamenti elastici, esperienze di
elettrostatica.
IL MOVIMENTO: descrizione del moto: posizione, spostamento, traiettoria rispetto a un sistema
di riferimento. Il moto rettilineo uniforme: velocità, equazione oraria. Esempi di moti non
uniformi. ESPERIENZE DI LABORATORIO: esperimento di Galileo sulla caduta di un grave lungo
un piano inclinato.
2. Scheda consegnata dopo l’esperimento 1
DOMANDE SULL’ESPERIMENTO
1.
Se invece di olio e acqua ci fosse acqua sia nel tubo a U sia nella bottiglia, cosa cambierebbe? Si
avrebbe ancora il dislivello nel tratto a U? Sarebbe uguale, maggiore o minore che nel caso dell’olio?
E sarebbe uguale, maggiore o minore del dislivello nella bottiglia?
2.
Cambierebbero i dislivelli se invece dell’aria ci fosse un gas diverso?
95
3.
Cambierebbe il dislivello dell’olio per ogni valore del dislivello dell’acqua, se la bottiglia fosse più
larga, ma riempita allo stesso livello?
ESERCIZI
1.
da [11], pag 133 n°24. Un elevatore idraulico solleva una macchina da 1000 kg a un’altezza di 10 cm.
Se la sezione piccola ha un raggio di 4 cm e quella grande di 20 cm, che spostamento ha compiuto il
pistone piccolo?
2.
Nella situazione dell’esercizio precedente, dire la forza da esercitare sul pistone piccolo per sollevare
la macchina.
3.
Esercizi n° 50,51 a pag. 174 del libro
3. Altri esercizi assegnati
1) Caricando una nave si aumenta la sua parte immersa di 6000 m3. Quanto pesa il carico?
2) Modifica del n°22 pag 192 di [11], da qualitativo a quantitativo. Supponendo che il blocchetto sia di
quercia (dquercia = 0,8 g/cm3), calcolare l’altezza immersa, la pressione sulla faccia inferiore, la
massa di un oggetto appoggiato necessario a fare affondare completamente il blocchetto.
Ripetere i calcoli nel caso il blocchetto sia di cedro (dcedro = 0,4 g/cm3)
3) Sapendo che il ghiaccio ha densità 0,9 g/cm3, qual è la frazione emersa di un ghiaccio
galleggiante in acqua? Dopo che il ghiaccio è completamente fuso, il livello di acqua nel
recipiente si è alzato, abbassato o rimasto invariato?
4. Verifica di fisica
CLASSE I sc B
VERIFICA DI FISICA
22 maggio 2007
1) L’unità di misura nel Sistema Internazionale della pressione è
a. il newton.
b. il millibar.
c. il kg.
d. il pascal.
2) La pressione è definita come:
a. il rapporto tra forza perpendicolare a una superficie e area della superficie.
b. il rapporto tra forza parallela a una superficie e area della superficie.
c. il rapporto tra forza agente su una superficie e area della superficie.
d. il prodotto di forza perpendicolare a una superficie e area della superficie.
3) Se la superficie sulla quale agisce una data forza perpendicolare raddoppia, cosa accade alla pressione?
a. Diventa un quarto.
b. Diventa la metà.
c. Diventa il doppio.
d. Diventa il quadruplo.
96
4) Tre recipienti cilindrici, di diverso diametro, sono collegati alla base da un tubo. Se si versa del liquido in
uno dei tre recipienti, quale livello raggiungerà il liquido negli altri due recipienti?
a. Raggiungerà il livello più basso nel recipiente più piccolo.
b. Raggiungerà il livello più alto nel recipiente più piccolo.
c. Dipende da qual è il recipiente in cui si versa il liquido.
d. Raggiungerà lo stesso livello in tutti e tre i recipienti.
5) Cosa puoi dire della pressione sul fondo dei tre recipienti del disegno?
a.
b.
È minore dove l’area del fondo è maggiore.
È maggiore sul fondo del recipiente
cilindrico.
c. È la stessa per tutti e tre i recipienti.
d. È maggiore dove l’area del fondo è
maggiore.
6) Due recipienti cilindrici contenenti un liquido sono collegati alla base da un tubo. In ogni recipiente un
galleggiante misura il livello raggiunto dal liquido. Versiamo acqua nel primo recipiente, e ci accorgiamo
che i due galleggianti ora indicano livelli diversi. Come è possibile?
a. Inizialmente, i due recipienti erano vuoti.
b. Inizialmente, i due recipienti contenevano un liquido diverso dall’acqua.
c. Inizialmente, i due recipienti contenevano già dell’acqua.
d. I due recipienti hanno diametro diverso.
7) All’interno di un recipiente contenente un liquido, la pressione su una superficie qualunque è:
a. maggiore verso il fondo, e diretta verso il basso.
b. la stessa in ogni punto, e diretta verso il basso.
c. maggiore verso il fondo, e perpendicolare alla superficie.
d. la stessa in ogni punto, e perpendicolare alla superficie.
8) Se nel dispositivo del disegno si esercita sulla faccia A una certa pressione, quale sarà il valore della
pressione sulla faccia B?
a.
b.
c.
d.
La metà.
Uguale.
Un terzo.
Doppio
9) Secondo la legge di Archimede, la spinta idrostatica su un oggetto immerso in un liquido è
proporzionale:
a. al volume emergente dell’oggetto.
b. all’intero volume dell’oggetto.
c. al volume immerso dell’oggetto.
d. al volume del liquido in cui il corpo è immerso.
10) Se un oggetto a forma di parallelepipedo è totalmente immerso in un liquido, su ciascuna delle sue facce
agisce una forza dovuta alla pressione del liquido. La risultante di tutte queste forze
a. è sempre uguale e opposta al peso dell’oggetto.
b. è sempre rivolta verso il basso.
c. è sempre nulla.
97
d. è sempre rivolta verso l’alto
11) Nell’esperimento sulla densità dell’olio, supponi
di aver riempito il tubo a U di mercurio (densità
dm=13.6 g/cm3) anziché di olio. Per due valori
del dislivello dell’acqua che hai misurato
durante l’esperimento, calcola i dislivelli di
mercurio che avresti trovato.
12) Nell’esperimento sulla spinta di Archimede,
trova la massa di sabbia necessaria a fare
affondare l’ovetto della metà del suo volume,
sapendo che l’ovetto ha un volume di 28 cm3 e
quando è vuoto ha una massa di 6 g.
Immagina di riempire l’ovetto con la quantità di
sabbia trovata prima, e di osservare che l’ovetto
appeso all’elastico risulta affondare di ¼ del
volume anziché la metà. Trova la forza
esercitata dall’elastico.
13) In figura è illustrato un aneddoto secondo cui
Blaise Pascal, per stupire gli amici, sfasciò una
botte piena di vino aggiungendo solo pochi
bicchieri, usando un tubo lunghissimo.
Supponendo che Pascal abbia usato un tubo
lungo 10 m e vino di densità dv=995 kg/m3,
calcolare la lunghezza del tubo necessaria a
rompere la botte usando birra di densità db=1020
kg/m3.
98
ALLEGATI classe IIscA/IIclB
5. Programma di Matematica
GEOMETRIA DEL PIANO: Circonferenza e cerchio. Poligoni equiscomponibili; teorema di
Pitagora; I e II teorema di Euclide; Teorema di Talete. Le trasformazioni geometriche nel piano:
omotetie e similitudini; rapporti tra lati e angoli nei triangoli rettangoli; elementi di geometria
euclidea nello spazio. Teoria della misura.
IL PIANO CARTESIANO: Punti e rette nel piano cartesiano. Risoluzione grafica di equazioni e
sistemi di I grado, di disequazioni di II grado. Funzioni: y=ax+b, y=ax2+bx+c, y=a/x e loro grafici.
Equazioni di alcune simmetrie (rispetto asse x, asse y, origine).
ELEMENTI DI ALGEBRA: Introduzione ai numeri reali. Radicali. Equazioni, disequazioni e
sistemi di II grado e superiore al II. Equazioni e disequazioni di grado superiore al I con valore
assoluto. Problemi di II grado e superiore al II
ELEMENTI DI INFORMATICA: Programmazione in Turbo-Pascal. Uso di pacchetti applicativi
(CABRI, EXCEL)
ELEMENTI DI PROBABILITÀ E STATISTICA: Definizione elementare di probabilità e frequenza.
Elementi di statistica descrittiva.
6. Problemi usati per introdurre concetti e teoremi
Passaggio dal pensiero deterministico, sul passato, a probabilistico, sul futuro.
Meré1
Due giocatori, A e B, interrompono un gioco sul 4-3; avrebbe vinto chi sarebbe arrivato a 5.
Come ripartire la posta iniziale di 60€?
Probabilità per confronto, senza calcolo. I seguenti problemi sono volti ad abituare a ragionamenti
qualitativi e a mostrare la controintuitività di alcuni risultati probabilistici, facendo emergere
l’esigenza di una teoria formale che fornisca le tecniche di calcolo.
Compleanni 1
Mettere in ordine dal più al meno probabile questi fatti:
a) una persona compie gli anni il 13 aprile
b) due persone compiono gli anni il 13 aprile
c) due persone compiono gli anni lo stesso giorno
Lanci
Mettere in ordine dal più al meno probabile questi fatti:
a) ottenere due 6 lanciando 5 dadi
b) ottenere due volte 6 lanciando 5 volte un solo dado
c) ottenere due volte 6 di seguito lanciando 5 volte un dado
d) ottenere 6 alla seconda e alla terza volta lanciando 5 volte un dado
Gare e Promessi Sposi
E’ più facile indovinare l’ordine di arrivo di una gara a cui partecipano 4 atleti, o la 3° lettera
della 254° pagina dei Promessi Sposi?
99
Nel problema precedente si assume che le lettere in un testo siano equiprobabili, fornendo un
primo spunto per differenziare la situazione reale dal modello usato per rappresentarla.
Compleanni 2
Su una classe di 24 alunni, la probabilità che due compiano gli anni lo stesso giorno è più o
meno del 10%?
Impareremo che questa probabilità è 27/50, cioè maggiore del 50%. Cosa significa?
Analogamente, cosa significa che lanciando una moneta ho il 50% di probabilità che esca testa
e 50% che esca croce?
Le ultime domande del problema precedente servono a far riflettere sul significato della
probabilità come previsione della frequenza di un evento su un gran numero di prove e quindi di
introdurre la legge empirica del caso.
Probabilità totale. Problema introduttivo:
Libri (modificato da n° 21 pag 114)
Su uno scaffale ci sono 3 libri di saggistica, 7 di narrativa e 4 romanzi gialli. Se si prende un
libro a caso, calcolare la probabilità che si verifichi il seguente evento:
a) il libro è di saggistica o di narrativa
b) sapendo che la metà sono in italiano e la metà in lingua straniera, il libro estratto è un
giallo in italiano
c) il libro estratto è un giallo oppure è in italiano
Meré2
E’ più probabile fare 6 lanciando un dado 4 volte o 12 lanciando 24 volte due dadi?
L’ultimo problema permette di introdurre il calcolo combinatorio come metodo risolutivo diverso
rispetto a quello già visto della composizione di eventi.
Diagonali di un poligono
Quante sono le diagonali di un poligono di n lati?
(le diagonali sono coppie di vertici non adiacenti, n(n-3)/2; oppure si contano tutte le coppie di
vertici e si sottraggono i lati: n(n-1)/2 – n)
Questo problema offre un esempio di applicazione del calcolo combinatorio alla geometria e di
come un problema si può risolvere in più modi a seconda del punto di vista, cioè non esiste una
tecnica da associare a ogni esercizio.
Probabilità condizionata. Teorema di Bayes. Problemi da proporre per introdurre l’argomento:
Palline e urne
Ho due scatole, contenenti una due palline nere e una due bianche. Estraggo una prima pallina
e la metto in tasca senza guardarla. Estraggo una seconda pallina, e vedo che è bianca. Qual è
la probabilità che la prima pallina sia nera?
Gioco a premi
In un gioco a premi ci sono tre porte, dietro a una sola delle quali c’è il premio. Il concorrente
sceglie la porta A. Il conduttore apre una delle porte senza premio, tra B e C. Al concorrente
conviene cambiare scelta?
Problema dei 3 condannati
A, B e C sono condannati a morte. Il governatore decide di graziarne uno. A chiede alla guardia
di rivelargli chi è il graziato, ma la guardia si rifiuta. Allora A dice di dirgli almeno uno dei
condannati: se il graziato è B gli dirà C, se è C gli dirà B, se è A stesso tirerà una moneta e dirà
uno dei due tra B e C.
La guardia dice che uno dei condannati è B. Come è cambiata la probabilità per A di essere
graziato?
100
Gli ultimi due problemi permettono di precisare il significato della probabilità come misura di
un’incertezza: l’incertezza non è intrinseca nella situazione, ma dipende dalle informazioni che si
hanno.
7. Ripasso su probabilità e calcolo combinatorio
1) lanciando 3 dadi, si può fare 10 o 9 con lo stesso numero di combinazioni:
10: 1+3+6, 1+4+5, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4, 3+3+4
9: 1+2+6, 1+3+5, 1+4+4, 2+2+5, 2+3+4, 3+3+3
Perché il 10 esce più spesso del 9?
2) Lanciando due dadi, qual è la probabilità di ottenere come somma un numero primo?
3) In sette lanci di una moneta è uscito quattro volte testa. Qual è la probabilità che le quattro teste
siano uscite consecutivamente?
4) Una ditta produce scarpe che risultano con la tomaia difettosa nel 5% dei casi e con la suola
difettosa nell’8% dei casi. Qual è la probabilità che una scarpa abbia sia la tomaia sia la suola
difettose?
5) In un test a risposta multipla bisogna rispondere a 10 quesiti, ciascuno con 4 risposte, di cui una
sola esatta. Rispondendo a caso, qual è la probabilità di rispondere esattamente a tutti i quesiti?
Qual è la probabilità di rispondere esattamente ad almeno un quesito?
6) Le targhe automobilistiche italiane sono composte da 2 lettere seguite da 3 cifre seguite da 2
lettere. Sapendo che le lettere sono scelte dall’alfabeto anglosassone di 26 lettere, quante targhe è
possibile comporre?
7) In una stanza pavimentata con mattonelle di 40 cm di lato si lancia un disco circolare di raggio
di 10 cm. Qual è la probabilità che il disco rimanga dentro i bordi di una mattonella?
8) Una carta di credito è identificata da un numero di 16 cifre. Quante carte di credito diverse si
possono avere?
9) Quanti numeri telefonici si possono avere in una città dove i numeri sono di 6 cifre, e la prima
cifra non può essere lo 0?
10) Calcola le probabilità di fare un estratto singolo, un ambo, un terno, una quaterna o una
cinquina al gioco del lotto (si estraggono 5 numeri compresi tra 1 e 90, senza reinserirli nell’urna,
cioè non possono esserci ripetizioni)
soluzioni: [1] P(10)=(6∙3+3∙3) ∙ (1/6)3=0.125, P(9)=(6∙3+3∙2+1) ∙ (1/6)3=0.116 [2] 15/36 [3] 4/35 [4] 1/250
[5] (1/4)10, 1-(3/4)10 [6] 264∙103 [7] ¼ [8] 1016 [9] 9∙105 [10] P(sing)=1/18, P(ambo)=1/400,
P(terno)=1/11748, P(quat)=1/511038, P(cinq)=1/43949268
101
8. Verifica di Matematica
CLASSE IIscA/IIclB
VERIFICA DI MATEMATICA
22 maggio 2007
1) Scegliendo a caso un numero intero compreso tra 1 e 20, qual è la probabilità che sia:
a. un numero primo
[9/20]
b. divisibile per 4
[1/4]
c. divisibile per 4 o maggiore di 15
[2/5]
2) In una scuola di 300 studenti un’inchiesta rivela che:
− 200 studenti amano la fisica
− 180 studenti amano la matematica
− 60 studenti non amano né la fisica né la matematica
a. Disegna lo spazio campionario indicando quanti studenti amano solo la fisica, quanti solo
la matematica, quanti entrambi e quanti nessuna.
Se si interroga uno studente a caso nella scuola:
b. qual è la probabilità che ami solo la fisica?
[60]
c. qual è la probabilità che ami la fisica o la matematica?
[240]
d. Considerato che i risultati dell’inchiesta sembrano alquanto inverosimili ☺, si può dire
che l’evento “l’inchiesta dà i risultati riportati sopra” è impossibile? Motiva la risposta.
3) Quante volte bisogna lanciare un dado perché la probabilità di ottenere almeno un 6 sia
superiore al 50%?
[4]
4) Quanti sono i numeri di 6 cifre di cui le prime 3 sono dispari e le restanti pari?
[56=15625]
5) Su un piano ci sono 10 rette, in modo che non vi siano coppie di rette parallele. Quanti sono i
punti di intersezione tra tali rette?
[10*9/2]
6) La città di New York è stata divisa in due distretti telefonici con prefissi diversi, perché si
erano esauriti i numeri possibili di 6 cifre. Sapendo che la prima cifra non può essere né 0 né 1,
quanti abbonati ha superato il distretto di New York?
[8 milioni]
7) Quanti sono gli anagrammi, anche privi di significato, della parola COMBINATORIA? Quanti
quelli che iniziano per A?
[12!/(23)= 59875200; 11!/(22)= 9979200]
8) Spiega perché, per sorteggiare qualcuno per un’interrogazione, aprire un libro a caso e
sommare le cifre del numero di pagina non dà la stessa possibilità per ogni studente di essere
estratto.
102
ALLEGATI classe VE
9. Programma di Fisica
CARICHE E CAMPI: applicare la legge di Coulomb e la legge di Gauss nell’analisi di sistemi fisici
con varie distribuzioni di cariche; riconoscere le caratteristiche distintive dei corpi conduttori e
isolanti; analizzare e interpretare la rappresentazione di un campo elettrico ottenuta con il metodo
delle linee di campo; calcolare il campo elettrico generato da distribuzioni di cariche discrete e
continue (lineari, superficiali, di volume).
POTENZIALE E CAPACITÀ: calcolare il potenziale elettrico dovuto a distribuzioni di carica
discrete e continue; interpretare e tracciare rappresentazioni grafiche di linee di campo elettrico e
di superfici equipotenziali prodotte da distribuzioni di cariche;calcolare la capacità elettrica e
l’energia immagazzinata in vari tipi di condensatore, anche in presenza di un dielettrico;
analizzare un sistema con più condensatori connessi fra loro e determinare la capacità equivalente.
CORRENTI E CIRCUITI: riconoscere le caratteristiche elettriche dei conduttori; applicare le leggi
di Ohm; calcolare la corrente che circola in un circuito elementare e in un circuito a più maglie;
analizzare circuiti con più resistori collegati in serie e parallelo e determinare la resistenza
equivalente.
MAGNETISMO: calcolare i campi magnetici prodotti dalle correnti; determinare le forze agenti su
cariche in moto in campi magnetici o in fili percorsi da correnti immersi in un campo magnetico;
applicare le leggi di Faraday e Lenz nell’interpretazione di fenomeni induttivi; analizzare circuiti
contenenti induttanze.
CAMPO ELETTRO-MAGNETICO: distinguere e interpretare le proprietà magnetiche della
materia; riconoscere le analogie tra oscillazioni meccaniche ed elettriche; analizzare situazioni
fisiche con campi elettrici e magnetici variabili mediante le equazioni di Maxwell; applicare le
principali proprietà delle onde elettromagnetiche.
RELATIVITÀ: distinguere la lunghezza propria di un oggetto e il tempo proprio tra eventi e
calcolare gli effetti della dilatazione del tempo e della contrazione delle lunghezze; utilizzare le
trasformazioni di Lorentz per mettere in relazione le coordinate spazio-temporali di un evento
misurate in differenti sistemi di riferimento inerziali; calcolare le grandezze meccaniche quantità di
moto ed energia cinetica nella dinamica relativistica.
FISICA MODERNA.
103
10. Dispensina sul modello di Drude
La conduzione elettrica nei metalli: le leggi di Ohm
Gli esperimenti condotti da Ohm negli anni ’20 del XIX secolo hanno portato a formulare le
seguenti leggi che descrivono la conduzione elettrica nei solidi metallici:
∆V = RI
(1)
l
R=ρ
(2)
S
dove ∆V è la differenza di potenziale agli estremi di un tratto di filo di sezione S e lunghezza l, ρ è
la resistività e I è la corrente che scorre nel filo.
1. Natura della legge
Queste leggi sono fenomenologiche, cioè si ricavano sperimentalmente ma non possono essere
dedotte matematicamente da leggi fondamentali. Si distinguono quindi, ad esempio, dalla legge di
Gauss che si può dimostrare dalla legge di Coulomb. La prima è analoga alla legge di Hooke nel
senso che è un’approssimazione lineare, valida in certo range di valori.
2. Interpretazione macroscopica
La misura di una corrente costante in presenza di un campo elettrico costante, suggerisce la
presenza di un effetto frenante analogo all’attrito, in modo che la carica si muova a velocità
costante e non sia accelerata. Questo effetto frenante viene descritto dalla seconda legge di Ohm,
facilmente prevedibile a livello macroscopico per analogia del passaggio di carica nel filo con il
passaggio di un liquido in un condotto, o con il passaggio di calore in un solido.
La prima legge di Ohm è una legge di proporzionalità tra ∆V e I, valida per valori arbitrariamente
piccoli delle due grandezze. Differisce quindi dalla legge di Hooke nel senso che non esiste un
valore minimo di ∆V da applicare per “attivare” il fenomeno, ma descrive un passaggio di corrente
anche per valori piccolissimi di ∆V, e quindi del campo elettrico. Questo suggerisce che la carica
che contribuisce al trasporto è libera di muoversi nel conduttore.
3. Interpretazione microscopica
Nel 1900 Drude propone un modello per la conduzione nei metalli che concilia la libertà dei
portatori di carica con la presenza di un effetto frenante, descrivendo la conduzione come il
passaggio di elettroni liberi accelerati dal campo elettrico, ma rallentati nel loro percorso da
continui urti con gli atomi del reticolo metallico. Se fossero completamente liberi, gli elettroni
percorrerebbero un tratto L di filo, in cui c’è un campo E, di moto uniformemente accelerato con
104
accelerazione eE/m, cioè in un tempo ∆t = (2 Lm/eE) . A causa degli urti, che allungano il percorso
e fanno perdere velocità agli elettroni, impiegheranno in generale un tempo molto più lungo, a una
velocità media vd = L/∆t , che viene detta velocità di deriva, per indicare che è la velocità netta che
viene osservata e che contribuisce allo spostamento dell’elettrone. Se nel suo percorso l’elettrone
subisce N urti, possiamo trovare il tempo medio tra un urto e l’altro da τ=∆t/N e la distanza media
tra un urto e l’altro (detta libero cammino medio) da ℓ = L/N, cioè possiamo esprimere la velocità di
deriva come vd = ℓ/τ.
Per spiegare microscopicamente le leggi di Ohm dobbiamo mostrare che la velocità di deriva è
proporzionale al campo elettrico. Infatti, definendo la densità di corrente J = I/S, dalle leggi di Ohm
(1) e (2) si ha:
I 1 ∆V ∆V 1
=
=
= E =σE → J =σE
(3)
S S R
ρL ρ
dove abbiamo definito σ = 1/ρ la conducibilità del materiale. D’altra parte, la corrente elettrica è la
J=
carica che attraversa la sezione S in un intervallo di tempo ∆t, cioè la carica che si trova entro una
distanza vd∆t dalla sezione. Quindi la densità di corrente si può scrivere anche:
I ∆Q nevd ∆t ⋅ S
=
=
= nevd → J = nevd
(4)
S S∆t
S∆t
dove n è il numero di elettroni per unità di volume ed e la carica dell’elettrone. Allora le leggi di
J=
Ohm scritte nella forma (3) equivalgono a dimostrare che la velocità di deriva è proporzionale al
campo E.
Calcoliamo la velocità vd in queste ipotesi:
1. Gli elettroni si muovono in un reticolo di atomi fermi (cioè la loro agitazione termica è
trascurabile).
2. Gli elettroni sono liberi, quindi equivalgono a un gas perfetto di atomi a temperatura T. La
loro velocità per agitazione termica è quindi (dalla termodinamica) vterm = (3KT /m) ≃ 10 5 m/s .
3.
In media, gli urti sono casuali quindi la media delle velocità dopo ogni urto è nulla.
La vd può essere quindi calcolata come velocità media di un moto uniformemente accelerato lungo
ℓ e di durata τ, con partenza da fermo, per la terza ipotesi e perché l’agitazione termica non
contribuisce al moto di deriva. Si trova quindi:
vd =
eE
τ
m
Inserendo la (5) nella (4) si trova
J=
ne 2τ
E
m
105
(5)
cioè proprio le leggi di Ohm nella forma (3), ammesso di poter definire la conducibilità come
σ = ne2τ/m. Questo è possibile perché tutte le grandezze che compaiono sono costanti, cioè
indipendenti dal campo E: n è una proprietà del materiale, e e m sono costanti universali, τ è in
buona approssimazione indipendente da E perché dipende dalla velocità degli elettroni, ma il
contributo alla velocità dipendente da E è solo la vd, che è trascurabile1 rispetto alla vterm.
________________
1
Si può stimare l’ordine di grandezza di vd nel caso di un filo di sezione 1 mm 2 percorso da una
corrente di 10 mA: vd = I /(S ⋅ e ⋅ n) = 10 −2 A/(10 −6 m 2 1.6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 8.5 ⋅ 10 28 m −3 ) ≃ 1μm/s . Il numero n di
elettroni liberi per unità di volume si ottiene moltiplicando il numero di atomi per unità di volume
per gli elettroni più esterni, cioè per la valenza. Per il rame, monovalente, la densità è
δ = 8.96 ⋅ 10 3 kg/m 3 e il peso atomico A = 63.54, quindi n = δ/A ⋅ N A = 8.5 ⋅ 10 28 elettroni/m 3 .
11. Esercizi sui modelli di conduzione elettrica
MODELLI PER LA CONDUZIONE ELETTRICA NEI METALLI
DOMANDE
Trasporto di carica
1.
Le grandezze (Q, I, ∆V, E, P,…) e le leggi (conservazione della carica, dell’energia, leggi di Ohm,
effetto Joule) che descrivono il trasporto di carica elettrica, implicano che la carica sia trasportata da
particelle discrete?
2.
Le due leggi di Ohm sono compatibili con un’interpretazione macroscopica della carica come fluido
continuo?
3.
Lo studio dei fenomeni elettrostatici suggerisce l’esistenza di due tipi di carica. Viene usata questa
informazione nelle leggi che descrivono la conduzione elettrica nei metalli?
4.
Spiega come si può interpretare il fatto che la I legge di Ohm valga anche per piccoli valori della
corrente e della differenza di potenziale.
Modello di Drude
1.
Il modello di Drude dà una descrizione microscopica o macroscopica del trasporto di carica?
2.
Su quali ipotesi si basa il modello di Drude.
3.
Spiega, nelle ipotesi del modello di Drude, come si può interpretare, qualitativamente, l’aumento di
resistività con la temperatura e l’aumento di temperatura del conduttore al passaggio di corrente
106
ESERCIZI
1. Interpretazione microscopica della conduzione
1.
Calcolare la velocità di deriva vd degli elettroni in un filo metallico di sezione S=2 mm2, lunghezza
L=15 cm, percorso da una corrente di 25mA, e avente una densità di elettroni liberi di 1029
elettroni/m3
2.
Calcolare la densità di elettroni liberi in un filo metallico di sezione .5 mm2, percorso da una corrente
di 100 mA, sapendo che gli elettroni hanno una velocità di deriva di 1 mm/s.
2. Modello di Drude
1.
Sapendo che l’oro (Au) ha numero atomico Z=79, valenza 1, densità 19,32 g/cm3, peso atomico
A=196,97, resistività ρ=2,44 10-8 Ωm , calcolare il tempo medio τ tra due urti successivi degli elettroni
di conduzione secondo il modello di Drude.
2.
Calcolare, con i dati e il risultato dell’esercizio 1.2, la resistività del materiale, supponendo un tempo
medio tra due urti successivi τ=5 10-14 s.
3.
Dimostra che la relazione J=σE tra densità di corrente J e campo elettrico nel conduttore E è
equivalente alle due leggi di Ohm.
12. Verifica di Fisica
15/12/07
VERIFICA DI FISICA
classe 5E
DOMANDE
1. Due fili di rame hanno il primo lunghezza doppia e raggio della sezione doppio rispetto al
secondo. Trova il rapporto tra le resistenze dei due fili.
2. Dopo aver enunciato una delle due leggi di Kirchhoff a tua scelta, indica da quale legge
fisica fondamentale deriva, motivando brevemente la risposta.
3. Spiega, nelle ipotesi del modello di Drude, come si può interpretare qualitativamente
l’aumento di resistività di un conduttore con la temperatura e l’aumento di temperatura del
conduttore al passaggio di corrente.
PROBLEMI
1. Nel circuito in figura, indica tutte le correnti presenti e scrivi le leggi di Kirchhoff necessarie
a determinarle (impostare il sistema sostituendo i valori, ma senza risolverlo). Sapendo che
la corrente che attraversa la resistenza da 5 Ω è 0,46 A verso il basso, determinare la
differenza di potenziale tra i punti A e B.
2. Una radio da 4,0W e una lampadina da 60W sono collegate alla rete domestica, che fornisce
una differenza di potenziale di 220V. Sono collegate ognuna a una presa, quindi sono in
107
parallelo. Dopo aver schematizzato il circuito descritto, calcola la potenza e la corrente
erogate dalla rete per alimentare i due dispositivi.
A
B
13. Questionario conclusivo
QUESTIONARIO CONCLUSIVO
CLASSE 5E
Seguire le lezioni tenute da un insegnante diverso da quello a cui sei abituato:
ha reso più difficile la comprensione
è stato indifferente
mi ha stimolato a stare più attento
L’esperienza in laboratorio:
ha permesso di capire meglio il fenomeno studiato
non ha facilitato la comprensione ma a ricordare i fenomeni e le leggi coinvolti
era scollegata con il resto delle lezioni, mi ha confuso
è stata indifferente dal punto di vista della comprensione
La verifica ti è sembrata:
più difficile del solito
più facile del solito
come al solito
Qual è l’argomento che ritieni di aver capito meglio
__________________________________________________________________________________
Qual è l’argomento che ti ha dato più difficoltà
__________________________________________________________________________________
Valuta la prof (voto da 1 a 10)
impegno/disponibilità
chiarezza
competenza
108
ALLEGATI classe IVH
14. Programma di Matematica
FUNZIONI TRASCENDENTI:
Funzioni goniometriche: definizione e proprietà delle funzioni goniometriche; relazioni tre le
funzioni goniometriche; funzioni goniometriche di alcuni angoli notevoli; funzioni goniometriche
inverse. Funzione esponenziale:
potenza con esponente reale; definizione, proprietà e grafico.
Funzione logaritmica: definizione, proprietà e grafico; definizione di logaritmo; proprietà dei
logaritmi.
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE, ESPONENZIALI E LOGARITMICHE:
Formule goniometriche; procedure di risoluzione di equazioni e disequazioni goniometriche;
procedure di risoluzione di equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche.
TRIGONOMETRIA:
Relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo; teorema dei seni; teorema delle
proiezioni; teorema del coseno; teorema della corda.
NUMERI COMPLESSI:
Definizione di numero complesso; operazioni tra numeri complessi; rappresentazione nel piano di
Gauss.
GEOMETRIA DELLO SPAZIO:
Rette e piani nello spazio; Enunciato del teorema delle tre perpendicolari; definizioni e proprietà
delle figure solide; equivalenza; superfici e volumi.
15. Esercizio per casa
UN MODELLO PER IL DECADIMENTO RADIOATTIVO
Supponi di avere un campione di 10 g di radon, (numero atomico Z=86, peso atomico A=222). Il
radon è radioattivo, cioè i suoi atomi hanno una certa probabilità di emettere particelle dal nucleo,
trasformandosi in un altro elemento. Il tempo di dimezzamento per il radon, cioè il tempo dopo il
quale metà degli atomi si sono trasformati e quindi la quantità di radon si è dimezzata, è τ=1620
anni.
Con questi dati: (1) Scrivi una funzione che rappresenti il numero di nuclei di radon al variare del
tempo; (2) trova la massa di radon rimasta dopo 15 anni; (3) dimostra che il valore trovato è
irrazionale: che significato ha una massa, e quindi un numero di atomi, irrazionale? (4) trova la
massa di radon presente nello stesso campione 1000 anni fa.
109
16. Verifica di Matematica
CLASSE 4H
VERIFICA DI MATEMATICA
12 dicembre 2007
1. Disegnare il grafico della curva di equazione
y = 2 −( x + 3)
2. Risolvere le seguenti equazioni in ℝ:
a.
3 x + 9 x = 3 x +1 ⋅ ( 1 − 3 x )
1+ x
b. 9 x − 2 =
1
27
3. Calcolare i seguenti logaritmi (usando le proprietà dei logaritmi, non la calcolatrice):
a.
log 1/ 3 81
b. log 5 6 25 5
4. Mettere in ordine crescente i seguenti numeri, dopo aver indicato se sono negativi, positivi,
e in valore assoluto maggiori o minori di 1 (usando le proprietà dei logaritmi, non la
calcolatrice):
ln 2
logπ 4
log 1/ 2 e
17. Questionario conclusivo
QUESTIONARIO CONCLUSIVO
CLASSE 4H
Seguire le lezioni tenute da un insegnante diverso da quello a cui sei abituato:
ha reso più difficile la comprensione
è stato indifferente
mi ha stimolato a stare più attento
La verifica ti è sembrata:
più difficile del solito
più facile del solito
come al solito
Qual è l’argomento che ritieni di aver capito meglio
__________________________________________________________________________________
Qual è l’argomento che ti ha dato più difficoltà
__________________________________________________________________________________
Valuta la prof (voto da 1 a 10)
impegno/disponibilità
chiarezza
competenza
110