Teoria della relatività-1
4 dicembre 2014
Postulati della teoria
Sincronizzazione degli orologi
Relatività della simultaneità (approccio qualitativo)
Trasformazioni di Galileo e di Lorentz, trasformazioni inverse
Spazio-tempo, quadri-vettori
Fondamenti
• La teoria della relatività si fonda su due
postulati
• Il principio di relatività: le leggi della fisica
sono le stesse in tutti i sistemi inerziali
• La costanza della velocità della luce nel
vuoto: ha lo stesso valore in tutti i sistemi
inerziali, indipendentemente dalla direzione di
propagazione o dalla velocità della sorgente
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Fondamenti
• Il secondo postulato significa che esiste una
velocità limite massima per la trasmissione di
segnali
• Esso distingue la fisica classica, in cui non
esiste un limite massimo alla velocità, da
quella relativistica
• Ha come conseguenza la relatività della
simultaneità per sistemi inerziali in moto
relativo
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Sincronizzazione degli orologi
• Per poter eseguire misure di grandezze
fisiche in un sistema di riferimento
(inerziale) è indispensabile che gli
orologi di osservatori posti in luoghi
diversi del sistema siano tra loro
sincronizzati
• Bisogna quindi trovare una procedura di
sincronizzazione adeguata
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Sincronizzazione degli orologi
• Consideriamo due punti P1 e P2 del sistema S
• Per sincronizzare gli orologi si può procedere
come segue
• Si misura la distanza L tra i due punti
• Si invia un segnale luminoso, ad es. da P1 verso
P2 convenendo che al momento dell’invio da P1 il
tempo dell’orologio in P1 sia posto uguale a zero
e che al momento della ricezione in P2 il tempo
dell’orologio in P2 sia posto uguale a L
c
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Sincronizzazione degli orologi
• Supponiamo che l’osservatore (cioè lo sperimentatore) si
trovi nel punto O di un sistema inerziale S e riceva un
segnale da un punto differente P di S, distante L da O
• Se vuole conoscere quando il segnale è stato spedito
deve sottrarre al tempo segnato dal proprio orologio
nell’istante della ricezione il tempo di percorrenza
t invioP  t ricezioneO
L

c
• E quindi a parità di tempo di ricezione, il tempo di invio è
tanto più indietro nel passato, quanto più P è lontano O

6
Sincronizzazione degli orologi
• Il ritmo degli orologi è però uguale nei diversi
punti del sistema S
O
t P  t
(2)
P
t
P
(1)
P
 (2) L   (1) L 
 tO   tO   tO

c  
c 
• La sincronizzazione è indispensabile per
poter definire la simultaneità di due eventi
che avvengono in punti differenti dello spazio

7
Misure di lunghezza
• La sincronizzazione è necessaria per eseguire misure di
lunghezza di oggetti in movimento
• Infatti, affinche’ la misura sia sensata, occorre che la
posizione degli estremi sia misurata simultaneamente
v
x1
x
x2
• Poiché, come vedremo, la simultaneità dipende dal
sistema di riferimento, ne segue che misure di uno stesso
oggetto effettuate in sistemi in moto relativo, danno
risultati diversi
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Relatività della simultaneità
• È conseguenza della finitezza della velocità
limite
• Supponiamo di avere due sistemi, S e S’, in
moto relativo con velocità v
• In ciascun sistema ci sia un regolo, a riposo,
e disposto parallelamente al moto
S
S’
v
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Relatività della simultaneità
descrizione in S
• Supponiamo di essere gli osservatori del sistema S
e di trovarci in O
• Supponiamo che un fulmine colpisca il nostro regolo
(in S) nel punto A (e il regolo di S’ nel punto A’) e un
secondo fulmine colpisca il nostro regolo nel punto
B (e l’altro regolo nel punto B’)
• A e B siano equidistanti da O
A
A’
A’
O
B
B’
B’
S
S’
v
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Relatività della simultaneità
descrizione in S
• Poiché siamo equidistanti dai punti A e B, possiamo
dire che i due fulmini hanno colpito simultaneamente
se (e solo se) riceviamo la loro luce in O nello
stesso istante
• Se questo è il caso, allora possiamo concludere che
per l’osservatore O’ in S’, posto a metà tra i punti A’
e B’ i due eventi non sono simultanei
A
O
B
A’
O’
B’
S
S’
11
Relatività della simultaneità
descrizione in S
• Questo è dovuto al fatto che mentre la luce si muove da
A e B verso O’, con velocità c, O’ si muove a sinistra con
velocità v, allontanandosi da A e avvicinandosi a B
A
O
B
O’
A
O
B
S
S’
O
t1
S’
B
O’
v
S
O’
A
t0
v
t2
S
S’
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v
Relatività della simultaneità
descrizione in S
• L’osservatore in O’ riceverà quindi prima il segnale
da B’ e successivamente quello da A’
• Trovandosi a metà strada dai due punti, ne conclude
che l’evento in B’ è antecedente a quello in A’ cioè gli
eventi, simultanei in S, non lo sono in S’
• È chiaro che se la luce avesse velocità infinita, essa
raggiungerebbe sia O che O’, sia da DX che da SX,
in un tempo nullo, e quindi i due eventi sarebbero
simultanei sia in S che in S’
A
O
B
A’
O’
B’
S
S’
v
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Trasformazione di coordinate
• Per semplicità consideriamo due sistemi inerziali
S(x,y,z,t) e S’ (x’,y’,z’,t’) i cui assi siano paralleli e
il cui moto relativo con velocità v avvenga lungo
la direzione comune dell’asse x, x’
y’
y
v
x’
x
z
z’
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Trasformazioni di Galileo
• In fisica classica le
trasformazioni di coordinate
tra i due sistemi inerziali sono
quelle di Galileo
 x'  x  vt
 y'  y


z'  z
t '  t
• L’ultima eq. stabilisce il fatto che in fisica classica
il tempo è assoluto, cioè non dipende dal sistema
di riferimento
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Trasformazioni di Lorentz
• In relatività, come in fisica
classica, si postula che il tempo  x'  a11 x  a12 y  a13 z  a14t
sia omogeneo e lo spazio sia  y '  a x  a y  a z  a t

21
22
23
24
omogeneo e isotropo, il che

 z '  a31 x  a32 y  a33 z  a34t
implica che le equazioni di
t '  a41 x  a42 y  a43 z  a44t
trasformazione siano lineari
• Inoltre, aggiungendo i due
Le aij possono essere,
postulati specifici della teoria
in generale, funzioni
della relatività, si deduce
della velocità relativa v:
l’insieme di trasformazioni di
aij(v)
coordinate spazio-temporali di
Lorentz
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Determinazione di a11, a14
• Al piano x’=0, in moto con velocita` v rispetto
a S lungo l’asse x, corrisponde x=vt per ogni
y, z
• viceversa a x’=0, corrisponde x’=-vt’ per ogni
y’, z’
 x'   x  vt 
• Quindi dev’essere 
 x   ' x'vt '
• Usando il principio di relativita` si puo`
dimostrare che  '  
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Determinazione dei coefficienti
• Con considerazioni relative alla coincidenza
degli altri due piani coordinati si puo`
dimostrare che y’ dipende solo da y e z’ solo
da z:
y' a22 y
z '  a33 z
• Vediamo ora come usando il principio di
relativita` si possa dimostrare che i coefficienti
a22, a33 valgono 1: y '  y
z'  z
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Determinazione di a22
Trasformazione diretta y' a22 y
Trasformazione inversa y  a'22
• Supponiamo infatti di disporre nel sistema S un regolo
di lunghezza unitaria lungo l’asse y: u y  1
• In S’ la misura della lunghezza di questo regolo sarà
y '  a22u y  a22
• Scambiamo i ruoli dei due sistemi, se ora un regolo
unitario è posto in S’ lungo l’asse y’: u ' y  1
• in S la misura della lunghezza di questo regolo sarà
y  a'22 u ' y  a'22
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y'
Determinazione di a22
Trasformazione diretta y' a22 y
Trasformazione inversa y  a'22
• Siccome la trasformazione inversa si può anche
1
scrivere
y  a22  y '
• Avremo che y  a22 
• Confrontiamo ora le misure ottenute nei due sistemi,
occorre che sia y '  y
• altrimenti i due sistemi non soddisfarrebbero il principio
di relatività
1


a

a
• Questo significa che 22
e di conseguenza
22
1
a22  1
20
y'
Determinazione di a41, a44
• Dalle relazioni
x'   x  vt 
x   x'vt '
• Possiamo ricavare le trasformazioni per il
tempo
 x
1 
 x' 

1

t '    t  1  2  
t    t ' 1  2  
 v   
 v   
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Determinazione del coefficiente 
• Usando il postulato della costanza della
velocita` della luce possiamo determinare
l’ultima incognita 
• Immaginiamo un’onda luminosa sferica che si
propaga dall’origine delle coordinate
• Nel sistema S, al tempo t, la superficie sferica
2
2
2
2 2
avra` raggio x  y  z  c t
• Similmente nel sistema S’ avremo
2
2
2
2 2
x'  y '  z '  c t '
22
Determinazione del coefficiente 
• Sottraendo membro a membro e riordinando,
otteniamo x'2 c 2t '2  x 2  c 2t 2
• Sostituendo le espressioni di x’, t’ in funzione
di x, t, otteniamo
2
2
2



c
1
c
1  2 2 2





2 2
x  1    1  2    2 xt  v  1  2   t  c  v 2   x 2  c 2t 2
v   
  v     

• Da questa identità, segue che i coefficienti
dei termini corrispondenti devono essere
uguali
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Determinazione del coefficiente 
• In particolare il coefficiente del termine misto
dev’essere nullo
c 
1
v
• Da cui segue
•
Posto
v

c

2
1  2   0
v  
1
v
1  
c
gamma si puo` riscrivere
2
1

1  2
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Trasformazioni di Lorentz
• Le trasformazioni di Lorentz (TdL) sono dunque
 x'    x  vt 
 y'  y

z'  z

v

t '    t  2 x 

 c 
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Trasformazioni di Lorentz
• Le trasformazioni inverse per
passare dal sistema S’ al sistema
S si possono ottenere invertendo
il sistema lineare precedente
• Si possono anche ottenere più
semplicemente usando il
principio di relativita` e
osservando che S si muove con
velocità -v rispetto a S’
 x    x'vt '
 y  y'

z  z'

t    t ' v2 x' 

 c 
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Trasformazioni di Lorentz
• Queste eqq. diventano più
simmetriche se si
introduce la variabile
x0=ct, nel qual caso, dette
x1=x, x2=y, x3=z, abbiamo
 x0 '    x0   x1 
 x '     x  x 
 1
0
1


x
'

x
2
2

 x3 '  x3
• E in forma matriciale
x 0 '  

  
x1 '   
x 2 '  0
0
  
0
x 3 '  0
0
0
1
0
0x 0  x 0 
   
0x1  x1 
L
0x 2  x 2 
   
1x 3  x 3 
• Ove L è la matrice
associata alla TdL
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Spazio-tempo
• Possiamo introdurre uno spazio astratto a quattro
dimensioni (lo spazio-tempo) e considerare la
quaterna (x0, x1, x2, x3) come un vettore in tale
spazio, ovvero un quadri-vettore (o 4-vettore)
• Le TdL trasformano le componenti di questo
vettore tra loro, in particolare ‘mescolano’ lo spazio
e il tempo
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