Fisica 2
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Argomenti trattati
Le variabili angolari.
Sistema rigido di punti materiali : energia cinetica rotazionale,momento di
inerzia,definizione e collocamento del centro di massa, raggio giratorio,momento
meccanico e momento angolare. Equazioni cardinali del moto di un sistema di punti
materiali rigido.
Rotazione in due dimensioni di un corpo rigido: il centro di massa, rotazione piana,
momento angolare, conservazione del momento angolare. Centro di Massa; Momento di
Inerzia: proprietà del Centro di Massa, collocazione del Centro di Massa. Calcolo del
Momento di Inerzia. Teoremi del Momento di Inerzia. Energia cinetica Rotazionale.
Rotazione nello spazio. Il momento meccanico in tre dimensioni,le equazioni della
rotazione usando il prodotto vettoriale. Momento angolare di un corpo rigido in tre
dimensioni. Lavoro energia e potenza nel moto rotatorio. Moto oscillatorio di un corpo
rigido: il pendolo fisico il pendolo composto, il giroscopio.
Attrito e rotolamento
Equilibrio statico di un corpo rigido. Il diagramma di corpo libero. Vari esempi. Leve e c
arrucole. Cenni sui sistemi deformabili
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Il materiale didattico distribuito a lezione e reperibile sul sito web:
http://www.fe.infn.it/~ferretti
1
richiami
le variabili angolari
2
Posizione angolare:definizione di radiante
s

r
y
r

s
x
2r
360 
 2rad ;
r
0
1rad  57,3
0
polo di
rotazione
3
Le variabili angolari
 (t ) posizione
 2  1



t 2  t1
t
Velocità media

 2  1
t 2  t1


t
accelerazione
media
   2 1spostamento
 (t )  lim t 0
 d

t
dt
Velocità istantanea
 d

t
dt
 (t )  lim t 0
accelerazione
istantanea
4
altre variabili


2
La frequenza di rotazione è il
numero di giri compiuti nell’unità di tempo
frequenza
T
1


2

Il periodo del moto è l’intervallo di
tempo impiegato per compiere un giro completo
periodo
evidentemente:
2
  2 
T
5
equazioni dimensionali
 
[numero puro]
   s 1 
T   s
   s 1 
L’Hertz
   s
2

 
Hz  s 1
6
Gli spostamenti angolari finiti non sono
vettori
L’ordine delle rotazioni
cambia il risultato.
Le rotazioni “non
commutano”
È possibile dimostrare
che sono vettori gli
spostamenti angolari
infinitesimi
7
Le variabili angolari
istantanee come vettori
 come un
vettore diretto
come l’asse di
rotazione.
Per convenzione, l’asse di rotazione è orientato con verso
positivo verso l’alto
La rotazione è in verso orario,  è diretta verso il basso,
negativa
La rotazione in verso antiorario,  è diretta verso l’
alto,positiva
8
z


Moto circolare

r

v
Relazione vettoriale tra
velocità lineare e
angolare, e vettore
posizione
9
relazioni tra le variabili angolari
un caso particolare importante
t
   0    t dt
  cos t
  0  t
t0
t
  0    t dt
t0

0
posizione angolare
0
velocità angolare
0
accelerazione angolare
1 2
  00t  t
2
t0  0
all’istante iniziale
t0
10
variabili lineari e variabili angolari, accelerazione costante
  0  t
v  v0  at
1 2
x  x0  v0t  at
2
1
x  x0  v0  v t
2
v  v  2ax  x0 
2
2
0
1 2
   0   0 t  t
2
1
   0  0   t
2
   0  2    0 
2
2
11
Un esercizio
12
Dalle variabili angolari alle variabili lineari
importante: gli angoli sono in radianti
y
y
s  r
ds d
   r ;   r
dt
dt
d
d
at 
r
 r
dt



r
d
d
at 
r
 r
dt
dt
P

r

at
P

ar
x
dt
2
dr

ar      r 2 
dt
r
Rotazione piana di un punto materiale a distanza r dall’asse , o
13
dal polo di rotazione
x
richiami:accelerazione e velocità
• Per produrre una curva, la forza
risultante deve formare un angolo con la
velocità.
v
Ft
• Possiamo scomporre la forza
• In tal caso, l’accelerazione che è sempre
parallela alla forza avrà due componenti:
una parallela alla velocità ed una normale
alla velocità: una tangenziale ed una
normale alla traiettoria.
• la accelerazione tangenziale causa il
cambimento del modulo della velocità,
mentre quella normale ( o radiale) cambia la
direzione
at
F
a
ar
Fr
14
richiami
moto di un punto materiale
soggetto ad una forza F
15
moto di un punto materiale soggetto alla forza F


p  mv
 
  r F

  
rp
quantità di moto, o momento lineare
momento meccanico, rispetto ad un polo distante r dal
punto
momento angolare, rispetto ad un centro di rotazione, o
polo, distante r dal punto
1 2 1
1
2
2 2
K  mv  m r   m r  energia cinetica rotazionale
2
2
2
2
momento di inerzia, rispetto ad un polo distante r dal punto
I mr
1 2
energia cinetica rotazionale, in funzione del momento di
K  I
inerzia
16
2
Energia cinetica rotazionale per una
singola particella in moto rotatorio
1
1 2 2 1 2
2
K  m  mr   I
2
2
2
L’energia cinetica di rotazione è uguale al
prodotto del momento di inerzia il quadrato
della velocità angolare, diviso due
17
richiami
il momento meccanico
18
richiami
Braccio di
leva di F
Centro di rotazione
O
Retta o linea di
azione di F

r
b
A
B
O
b

F
r
A
B



F
 
  r F

  rF sin 
  bF
definizione di momento meccanico  di un
punto materiale A, rispetto ad un polo O
19
 
  r F

il momento meccanico è un vettore
che risulta da un prodotto vettoriale
Una forza
F,giacente sul
piano xy agisce su
una particella
posizionata in A.
z
O
y

F
r
A

x
Braccio di F
z
z
 
  r F

F

O

y
O
r
r
A
A
x
x
Questa forza
esercita sulla
particella un
momento meccanico
=r F rispetto
all’origine O
r  r sin 
r

F
y


F 
F
Il vettore  è
diretto come z
e la sua
intensità è
rF=rF
Dimensioni
   m.newton
20
x
Il momento meccanico
è un vettore libero
che si ottiene come
momento polare od
assiale del vettore
forza (F,P) applicata
nel punto P
21
determinazione del momento meccanico rispetto ad un punto.
  
i j k
metodo vettoriale
   x yz
  r F
Fx Fy Fz


Fz
z

Fy
A
r
Fx
y
x
metodo scalare
  bF
  
C  A B
22
Momento netto
Il momento delle forze è un vettore ed
ubbidisce al principio di sovrapposizione
Se più momenti agiscono su un corpo, la
loro somma prende il nome di
momento risultante delle forze,
oppure momento netto .
 net
23
propietà del momento meccanico rispetto ad un punto:
il principio dei momenti
il momento di una forza rispetto
ad un polo è uguale alla somma
dei momenti delle sue
componenti rispetto a quello
stesso polo



z
 net  

 net



F2
r
y

x
 
 

F3
A
 net   1   2   3


F1
 
 
 
 
 
r  F  r  F1  r  F2  r  F3


   
 
 r  F1  F2  F3  r  Frisul
24
relazione tra il momento meccanico ed il momento di
inerzia, nel caso del moto rotatorio di un punto materiale
su un piano


F  ma
y

Ft

F


 F
m r
  rFt
r
o

  

  r  F  r  ma
   
 
  r  Ft  Fr  r  Ft
x
polo di
rotazione

Ft  mat
  rmat  rmr   mr 2
Angoli in radianti
  I
Dimostrazione della II legge di Newton per il moto
rotatorio di un punto materiale
25
richiami: momento angolare di un punto materiale
z
O
y

p
r
mA

x
z
  
rp

p
O

y
r
A
x
Un punto materiale di massa m si trova
nel punto A e si muove sul piano xy con
un momento (o quantità di moto) p.
Rispetto all’origine O, esso ha un
momento angolare ( o della quantità
di moto):
  
rp
26
richiami: momento angolare di un punto materiale

 
  r  p 
z
O
r
  rp sin 
  kg  m

p
A

p
x
  r p  rp
  mr sin 
2
r
y
s
1
  J  s
Dimensioni
nel sistema
SI
27
il momento angolare di un punto
materiale in moto circolare uniforme
• Nel caso del moto circolare uniforme la
velocità del punto materiale,costante ed
r, distanza dal centro di rotazione, sono
sempre perpendicolari e giacciono
entrambi sul piano dell’orbita circolare
del punto
• La direzione del momento angolare,
rispetto al centro dell’orbita, è
perpendicolare al piano dell’orbita. Il
verso si calcola come per il prodotto
vettoriale.
• Nel moto circolare uniforme, il momento
angolare è costante se il centro di
rotazione è posto nell’origine, ( o polo)
ma non se l’origine è posta altrove.

 
  mr 
  mr

2
  mr 
• In tal caso il momento angolare si
conserva.
28
il momento angolare di un punto
materiale in moto circolare uniforme
una relazione importante
  mr   I
2
Questa relazione è importante, perchè collega il modulo del
momento angolare con la quantità I=mr2, che è il
momento di inerzia del punto materiale.
Nel caso del punto materiale I non ha un grande interesse.
Vedremo che nel caso dei sistemi estesi rigidi, invece, I è la
quantità che descrive la distribuzione della massa del
sistema in questione, necessaria per determinarne la
29
dinamica
Momento angolare e velocità angolare
In genere il momento angolare di un punto materiale varia in direzione istante per
istante.
Nel caso particolare in cui il punto materiale si muove su un piano, che contiene il
centro di rotazione O,che considereremo l’origine delle coordinate, allora r e v sono
coplanari ed l è sempre perpendicolare al piano.
Per il caso di moto circolare se il momento angolare è calcolato rispetto ad al centro del
cerchio si ha :

 
  mr  
  mr

2 
  mr 
il modulo della velocità lineare è
r
Nel caso del moto circolare possiamo
convenzionalmente definire la velocità
angolare
come un vettore diretto
come il momento angolare.

30
OSSERVAZIONE
• Nel caso del moto circolare uniforme il momento
angolare rispetto al centro della traiettoria è
costante: r,m,v sono costanti.
• Quando il punto materiale si muove attorno ad un
centro di forza, verso cui punta la forza che lo fa
girare allora il momento angolare è costante.
• Una forza che punta verso un polo si chiama
forza centrale
• Il momento angolare si conserva se il punto
materiale si muove sotto l’azione di una forza
centrale
31
relazione tra momento angolare e momento meccanico
per un punto materiale in moto rotatorio, attorno ad un
centro O


2
  mr   I



d
2 d
 mr
 I
dt
dt

 
d
 I  
dt
Seconda legge
di Newton, in
forma angolare
le equazioni cardinali del moto
di un punto materiale soggetto
ad una forza

 
dp
 ma  F
dt

 
d
 I  
dt
33
Seconda legge di Newton in forma angolare per un punto materiale.


dp
Fnet 
dt

 net

d

dt
La somma vettoriale di tutte le forze che
agiscono su una particella è uguale alla derivata
rispetto al tempo del momento lineare della
particella
La somma vettoriale di tutti i momenti delle
forze che agiscono su una particella è uguale alla
derivata rispetto al tempo del momento angolare
della particella
34
Leggi di conservazione


dp
Fnet 
dt

dp 
0
; p  cos t
dt


d
 net 
 dt
d 
0
;   cos t
dt
se il punto materiale non è
soggetto a forze esterne , la sua
quantità di moto si conserva
se il punto materiale non è
soggetto a momenti meccanici
esterni , il suo momento angolare
si conserva
35