modulo B1
Il cemento armato:
metodo alle tensioni ammissibili
1
Unità 5 Flessione semplice retta e sforzo normale
Il centro di pressione C risulta esterno al nocciolo
—ⴕ) (grande eccentricità)
(e > GX
L’asse neutro taglia la sezione, che risulta quindi in parte compressa e in parte tesa [fig. 1].
0
fig. 1
Se la posizione del centro di sollecitazione nei pilastri soggetti a compressione eccentrica è tale che, pur
essendo esterno al nocciolo centrale d’inerzia della sezione di conglomerato interamente reagente, la forza
normale N dia luogo a una tensione di trazione σ ct minore di 1/5 della tensione σ cc al lembo compresso, la
sezione può essere verificata come interamente reagente, purché la sezione di armatura in zona tesa sia
idonea ad assorbire la risultante delle trazioni, alla tensione convenzionale di 175 N/mm2 (1800 kg/cm2),
ferme restando le limitazioni sulle percentuali minime di armatura e diametro minimo dei tondini impiegati previste per i pilastri.
Qualora invece la forza normale eccentrica N dia luogo a trazioni maggiori di 1/5 della tensione al lembo
compresso, le sezioni devono essere verificate nell’ipotesi di parzializzazione e armate di conseguenza.
1
a) Le tensioni σ ct e σ cc [fig. 1] vengono calcolate con le [2] e [3] di B1.19 del volume e se risulta σ ct < ⋅ σ cc,
5
la sezione si può considerare tutta reagente, ma lo sforzo di trazione deve essere assorbito integralmente dall’armatura metallica A⬘s, che viene verificata con la relazione:
σ ct ⋅ y ⋅ b
2 ⋅ A⬘s
≤ 175 N/mm2
[1]
La posizione dell’asse neutro è data da:
y=
σ ct ⋅ h
σ cc + σ ct
[2]
1 c
⋅ σ c si deve considerare la sezione parzializzata; il suo calcolo è piuttosto com5
plesso e deve essere svolto per tentativi, per cui si ricorre di norma a programmi di calcolo, oppure si
utilizzano tabelle riportate sui manuali specializzati.
Per una verifica approssimata del calcestruzzo, fra i vari procedimenti si può applicare il metodo di
Wuckowski (esaminato nel seguito) che permette anche il progetto, con sufficiente esattezza, delle
aree delle armature metalliche.
In entrambi i casi a) e b) la tensione media σ c,m non deve essere superiore alla tensione ammissibile per
compressione semplice, ossia:
b) Quando risulta σ ct ≥
σ c,m =
N
≤ 0,7 ⋅ σ−c
Ai
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σs =
modulo B1
Il cemento armato:
metodo alle tensioni ammissibili
2
Unità 5 Flessione semplice retta e sforzo normale
Il progetto della sezione rettangolare
soggetta a presso-flessione
Per controllare, in modo approssimato, se si è in presenza di piccola o grande eccentricità, è possibile
confrontare il valore dell’eccentricità con quello di h/5,6 (oppure b/5,6).
Piccola eccentricità
In questo caso lo sforzo normale ha un effetto predominante rispetto a quello del momento flettente, per
cui in prima approssimazione l’area della sezione può essere calcolata applicando la formula relativa ai
A
pilastri soggetti a compressione assiale, dopo aver prefissato il rapporto ρ = s , assumendo la tensione
–
–
Ac
ammissibile ridotta σc = 0,70 ⋅ σc.
Stabilita la base b, si ricava l’altezza h e si calcola l’area dell’armatura metallica As = ρ ⋅ Ac, che viene in
genere distribuita simmetricamente fra zona tesa e zona compressa.
Si determinano quindi gli estremi GX e GX⬘ del nocciolo d’inerzia per verificare la posizione del centro
di pressione C.
Grande eccentricità
d’
e
L’influenza del momento flettente è predominante rispetto allo sforzo normale. In questo caso risulta rapida e semplice l’applicazione del metodo approssimato di Wuckowski, in base al quale si suppone che,
oltre alla forza eccentrica N, agiscano in corrispondenza dell’armatura tesa due forze N1 ed N2 opposte,
uguali fra loro e alla forza N; il nuovo sistema di forze è equivalente a quello dato e la sezione risulta soggetta alla coppia N-N2 con momento M* = N ⋅ d⬙ e allo sforzo normale N1 che agisce nel baricentro dell’armatura tesa [fig. 2].
N
Considerando il caso abbastanza comune di
C
sezione con armatura simmetrica si procede
come segue [fig. 2]:
yo
a) si fissano a priori le dimensioni b e h della
–;
sezione e si stabilisce la tensione σ
c
a r ma t u r a c o m p r e ss a AS
b) si calcola il momento M* = N⋅ d⬙, essendo
d’’
h
− d 0;
2
n
h/2
c) si ricava il coefficiente r =
h
h/2
G
N1
N2
a rma t ura t e sa A’s
b
fig. 2
[3]
f) l’effettiva area dell’armatura tesa risulta:
N
A⬘s = A*s − −
[4]
σs
N
dove − rappresenta l’area metallica che dovrebbe sopportare lo sforzo di compressione dovuto a N.
σ
s
g) l’area dell’armatura compressa As in genere è uguale a quella dell’armatura tesa A⬘.s
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M*
A*s = −
σs ⋅ 0,9 ⋅ d
xo
d
d
;
M*
b
d) sulla tabella della flessione per semplice
armatura (tabella 1 dell’Unità 3), per un valore di r uguale o più vicino a quello calcolato
si leggono i valori di σc e del coefficiente s;
per la verifica del calcestruzzo, con approssimazione accettabile, deve essere σc ≤ σ−c;
e) l’area dell’armatura tesa che deve assorbire lo
sforzo di trazione dovuto a M* è data da:
n
X’
do
d⬙ = e +
modulo B1
Il cemento armato:
metodo alle tensioni ammissibili
ESERCIZI
S V O LT I
Progettare e verificare un pilastro in c.a. a sezione rettangolare con un lato di 300 mm, soggetto a
un carico N = 900 kN con eccentricità e = 60 mm.
Viene impiegato calcestruzzo classe C 20/25.
– 8,73
– 124,88/15
3
16
30
250
X’
C
440
N
xo
e = 60
G
30
154,80
250
X
3
16
300
146,67
95,20 95,20
154,80
yo
500
– 1,98
n
n
Tensione ammissibile del calcestruzzo:
σc = 6 +
Rck − 15
25 − 15
=6+
= 8,50 N/mm 2
4
4
−
− = 0,70 ⋅ σ
− = 0,70 × 8,50 = 5,95 N/mm2
σ
c
c
1. Progetto della sezione
L’eccentricità è limitata per cui, in prima approssimazione, per il progetto si applica la formula
A
della compressione semplice assumendo il rapporto ρ = s = 0,008:
Ac
3
N
900 × 10
Ac = −−
=
= 1350,54 × 102 mm2
σc ⋅ (1 + n ⋅ ρ) 5,95 × (1 + 15 × 0,008)
h=
Ac 1350,54 × 102
=
= 450,18 mm ≈ 500 mm
b
300
As = ρ ⋅ Ac = 0,008 × (300 × 500) = 1200 mm2
Si adotta un’armatura simmetrica di 3 + 3 ∅ 16 con As = 1206,372 mm2.
Essendo la sezione simmetrica si ha yG = y⬘G = 250 mm.
Vengono ora determinati i vertici del nocciolo d’inerzia sull’asse y0.
Momento d’inerzia baricentrico della sezione:
Ii,x0 =
2
2
1
h
1
500
⋅ b ⋅ h 3 + n ⋅ As ⋅ ⎛ − d⬘⎞ = × 300 × 5003 + 15 × 1206,372 × ⎛
− 30⎞ ≈
⎠ 12
⎠
⎝2
⎝ 2
12
≈ 4000,83 × 106 mm4
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1
3
Unità 5 Flessione semplice retta e sforzo normale
modulo B1
Il cemento armato:
metodo alle tensioni ammissibili
4
Unità 5 Flessione semplice retta e sforzo normale
Area della sezione omogeneizzata:
Ai = b ⋅ h + n ⋅ As = 300 × 500 + 15 × 1206,372 ≈ 1680,96 × 102 mm2
Estremi del nocciolo d’inerzia:
I
1 4000,83 × 106
1
GX = GX⬘ = i,x0 ⋅ =
×
≈ 95,20 mm > e = 60 mm
2
Ai yG 1680,96 × 10
250
per cui la sezione è tutta compressa.
2. Verifica della sezione
Tensioni nel calcestruzzo:
N N ⋅ e ⋅ yG
900 × 103
900 × 103 × 60 × 250
σc = −
±
=−
±
Ii,x0
Ai
4000,83 × 106
1680,96 × 102
e sviluppando si ottiene: σc ≈ − 8,73 N/mm2 e σ⬘c ≈ − 1,98 N/mm2.
Tensione media nel calcestruzzo:
σc,media =
−
− 8,73 − 1,98
= − 5,355 N/mm2 < σ−c = − 5,95 N/mm2
2
Posizione dell’asse neutro:
y=
σ⬘c ⋅ h
1,98 × 500
=
≈ 146,67 mm
σc − σ⬘c 8,73 − 1,98
Tensione massima nell’armatura compressa:
d⬘ ⎞
30
⎞ ≈ − 124,88 N/mm2
σs,max = − n ⋅ σc ⋅ ⎛ 1 −
= − 15 × 8,73 × ⎛ 1 −
⎝
⎠
⎝
y+h
146,67 + 500 ⎠
Un pilastro, con sezione rettangolare di 300 × 600 mm2, è soggetto al carico verticale N = 165 kN
applicato con un’eccentricità e = 650 mm; verrà impiegato calcestruzzo classe C 25/30. Calcolare l’armatura metallica e la tensione massima nel calcestruzzo.
N
C
14
570
n
870
300
e = 600
3
n
xo
30
300
G
3
300
14
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yo
600
2
modulo B1
Il cemento armato:
metodo alle tensioni ammissibili
5
Unità 5 Flessione semplice retta e sforzo normale
Calcolo del momento M * rispetto al baricentro delle armature tese:
d⬙ = e +
h
− d0 = 600 + 300 − 30 = 870 mm
2
M* = N ⋅ d⬙ = 165 × 0,87 = 143,55 kN m
In funzione di M* viene calcolato il coefficiente r:
r=
τmax =r =
d
M*
b
=
570
143,55 × 10
300
≈ 0,8240
6
Dalla tabella 1 dell’Unità 3 si ricava che il valore ottenuto è relativo a una tensione 9,5 N/mm2 <
< σc < 9,75 N/mm2 (σc ≈ 9,72 N/mm2) e quindi può essere accettato in relazione alla classe del calcestruzzo.
L’armatura metallica destinata ad assorbire gli sforzi di trazione dovuti a M* risulta:
M*
143,55 × 106
A*s = −
=
≈ 995,82 mm2
σc ⋅ 0,9 ⋅ d 281 × 0,9 × 570
Mentre l’armatura sulla quale agisce solo lo sforzo normale di compressione è:
N
165 × 103
Acs = − − = −
≈ − 587,19 mm2
σs
281
L’area effettiva dell’armatura metallica tesa, sovrapponendo gli effetti, risulta:
A⬘s = A*s − Acs = 995,82 − 587,19 = 408,63 mm2
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e viene realizzata con 3 ∅ 14 = 461,814 mm2.
L’armatura compressa si assume uguale a quella tesa.
modulo B1
Il cemento armato:
metodo alle tensioni ammissibili
6
Unità 5 Flessione semplice retta e sforzo normale
VERIFICA
La sezione di un pilastro ha le dimensioni di
300 × 500 mm2 ed è sollecitata da uno sforzo
di compressione N = 100 kN applicato con
eccentricità e = 650 mm sull’asse y0.
Si richiede il calcolo delle aree metalliche
tesa e compressa (copriferro 30 mm).
N
C
2
La sezione di 300 × 400 mm2 rappresentata
in figura presenta un’armatura metallica disimmetrica formata da 3 ∅ 14 e da 3 ∅ 16,
ed è sollecitata da uno sforzo normale di
compressione N = 600 kN, applicato sull’asse y 0 con eccentricità e = 60 mm; verrà
impiegato calcestruzzo classe C 20/25.
Si richiede la verifica della sezione.
yo
N
C
e = 60
yo
14
e = 650
3
xo
400
G
xo
G
30
500
3
300
[d ⬙ = 870 mm; M* = 87 kN m;
A*s ≈ 731,94 mm2; area metallica tesa e
compressa: As = A⬘s = 376,07 mm2
con 4 ∅ 12 = 452,389 mm2]
16
[yG ≈ 197,35 mm;
Ii,x0 ≈ 2060,722 × 106 mm4;
e < GX = 76,79 mm;
σc ≈ − 7,953 N/mm2;
σ⬘c ≈ − 0,965 N/mm2;
σc,media = − 4,459 N/mm2]
U. Alasia - M. Pugno, Corso di Costruzioni 4 © SEI, 2010
1