CorsoCorso
di metodi
matematici
dell’economia
di Analisi
Matematica
Prof. Marina Monsurrò
Anno accademico 2008-2009
III
Successioni Numeriche
Definizione Dati due insiemi A e B, si dice applicazione da A in B una legge che associa
ad ogni elemento a di A uno ed un solo elemento b di B. Per convenzione, denotiamo
l’applicazione f nel modo seguente :
f: A ! B
a ! b
oppure scriviamo f (a) = b.
Esempi di applicazioni tra insiemi numerici sono dati dalle funzioni reali di una variabile
reale (esponenziale, logaritmo, seno, coseno etc) giá note al lettore.
Definizione Si dice successione numerica, una funzione reale di variabile intera ovvero
un’applicazione
f: N ! R
n ! an
Nel seguito utilizzeremo piú frequentemente la notazione {an }n2N = {a1 , a2 , ...} identificando la successione con il sottoinsieme di R ad essa corrispondente.
Definizione Una successione numerica si dice inferiormente limitata se
9k 2 R | 8n 2 N,
an
k;
essa si dice superiormente limitata se
9k 2 R | 8n 2 N,
an  k;
infine, una successione numerica si dice limitata, se essa è sia inferiormente che superiormente limitata.
1
Osservazione Una successione an è limitata se e soltanto se 9k 2 R | 8n 2 N, |an |  k.
Definizione Una successione numerica an si dice monotona crescente (rispettivamente
decrescente) se 8n 2 N an  an+1 (risp. an an+1 ). Parleremo di successioni strettamente
crescenti o decrescenti laddove valgano le disuguaglianze strette.
Esempi
1. an = 1/n 8n 1 ; verifichiamo che si tratta di una successione e che essa è limitata
e monotona decrescente.
2. bn = n2 ; verifichiamo che si tratta di una successione e che essa è limitata inferiormente ma non superiormente e monotona crescente.
Definizione Si dice che una successione numerica an è convergente e che essa tende ad un
certo limite l 2 R, oppure semplicemente che essa ammette un limite l 2 R se
8✏ > 0, ✏ 2 R, 9n✏ 2 N | 8n 2 N n
In simboli, scriveremo
|an
n✏
l| < ✏.
lim an = l.
n!1
Osservazione Per quanto visto sulle disuguaglianze in modulo, la disequazione |an
si traduce in
l ✏ < an < l + ✏
l| < ✏
i.e. essa ci dice che, per n sufficientemente grande, an appartiene ad un intorno piccolo a
piacere del limite l.
Esempio E’ possibile verificare che la successione an = (n + 1)/n è convergente e che
limn!1 an = 1.
Definizione Si dice che una successione numerica è positivamente (rispettivamente negativamente) divergente se
8k 2 R 9nk 2 N | 8n 2 N, n
2
nk
an > k
(risp.an < k)
In simboli scriviamo
lim an = +1
n!1
per la divergenza positiva ; analogamente, per la divergenza negativa scriviamo
lim an =
n!1
1
Esempio Si verifica molto semplicemente che la successione bn = n2 precedentemente
introdotta diverge positivamente.
Definizione Una successione numerica si dice regolare se essa converge oppure diverge.
Esempio Non tutte le successioni numeriche sono regolari ! Si consideri la successione
an = ( 1)n ; verifichiamo che essa non è regolare.
Teorema(di Unicità del limite) Data una successione convergente an , essa tende ad uno
ed un solo limite l.
Teorema(della permanenza del segno) Data una successione convergente an avente limite
l 6= 0, allora
9n̄ 2 N | 8n n̄
an
>0
l
i.e. per valori opportunamente grandi di n, i termini della successione an ed il suo limite
sono di segno concorde.
Proposizione Una successione monotona è regolare.
Teorema (del confronto 1) Date due successioni regolari an e bn tali che 9n̄ 2 N | 8n
n̄ an  bn , allora
lim an  lim bn
n!1
n!1
3
Teorema (del confronto 2 o dei due gendarmi) Date tre successioni an , bn e cn tali che
le prime due siano convergenti ad uno stesso limite l e che sia soddisfatta la relazione
seguente :
9n̄ 2 N | 8n 2 N, n n̄ an  cn  bn
Allora la successione cn converge e limn!1 cn = l.
Operazioni sui limiti Date due successioni convergenti an e bn , con limn!1 an = l e
limn!1 bn = l0 . Allora :
1.
lim (an + bn ) = n!1
lim an + n!1
lim bn
n!1
2.
lim (an · bn ) = n!1
lim an · n!1
lim bn
n!1
3. Se, inoltre, bn 6= 0 8n 2 N e l0 6= 0,
lim
n!1
an
limn!1 an
=
bn
limn!1 bn
4. Se, inoltre, an > 0 8n 2 N e l > 0,
n!1 bn
lim (abnn ) = lim alim
n
n!1
n!1
Osservazione poiché è ovvio che una successione costante an = a8n 2 N è convergente
ed ha per limite il suo valore a, possiamo mettere insieme i punti 1 e 2 della proposizione
precedente ed ottenere la Linearità del limite :
lim (a · an + b · bn ) = a · n!1
lim an + b · n!1
lim bn
n!1
Operazioni sui limiti Consideriamo ora il caso di due successioni regolari (i.e. convergenti
oppure divergenti) ; nella maggior parte dei casi possiamo ancora utilizzare le operazioni
elementari sui limiti viste nella proposizione precedente. esistono però alcune situazioni
in cui ci ritroviamo confrontati con Forme indeterminate. In questi casi, il calcolo del
limite deve essere svolto utilizzando altre tecniche.
1. Se limn!1 an = +1 e limn!1 bn =
lim (an + bn ) = 1
n!1
1 (o viceversa)
1 è una forma indeterminata
4
2. Se limn!1 an = 0 e limn!1 bn = ±1 (o viceversa)
lim (an · bn ) = 0 · ±1 è una forma indeterminata
n!1
3. Se limn!1 an = ±1 e limn!1 bn = ±1
lim
n!1
an
±1
=
è una forma indeterminata
bn
±1
4. Se limn!1 an = 0 e limn!1 bn = 0
lim
n!1
an
0
= è una forma indeterminata
bn
0
5. Se limn!1 an = +1 e limn!1 bn = 0
lim (abnn ) = 10 è una forma indeterminata
n!1
6. Se limn!1 an = 0 e limn!1 bn = 0
lim (abnn ) = 00 è una forma indeterminata
n!1
7. Se limn!1 an = 1 e limn!1 bn = 1
lim (abnn ) = 11 è una forma indeterminata
n!1
Esempi
– Consideriamo le successioni numeriche di tipo polinomiale, i.e. della forma :
an = ↵k nk + ↵k 1 nk
1
+ · · · + ↵1 n + ↵0
E’ evidente, che 8k 2 N, k
1, limn!1 an = ±1, dove il segno del limite è dato
dal segno del coefficiente direttore ↵k .
– Consideriamo ora le frazioni razionali, i.e. le successioni numeriche del tipo :
bn =
↵k nk + ↵k 1 nk 1 + · · · + ↵1 n + ↵0
m
m 1 + ··· +
mn + m 1n
1n + 0
In questo caso, il valore del limite dipende dalla relazione tra gli ordini dei due
polinomi :
1. Se k > m, allora limn!1 bn = 1 ;
2. se k < m, allora limn!1 bn = 0 ;
3. se k = m, allora limn!1 bn =
↵k
k
.
5
Proposizione Una successione convergente è limitata.
Osservazione Si osserva che il viceversa non è vero i.e. una successione limitata non è in
generale convergente. La proposizione si inverte invece per le successioni monotone come
visto in precedenza.
Teorema-Definizione Definiamo il numero reale e tramite l’espressione seguente :
e := lim
n!1
✓
1+
1
n
◆n
Dimostrazione
affinché
la definizione di e sia ben posta, è necessario verificare che la
⇣
⌘n
1
successione 1 + n sia convergente. A tal fine, si dimostra che essa è monotona crescente
e superiormente limitata.
Definizione Siano an e bn due successioni numeriche. Si dice che bn è una sottosuccessione
(o successione estratta) di an se esiste una successione numerica strettamente crescente a
valori naturali f : N ! N tale che bn = af (n) 8n 2 N. Nel seguito, utilizzeremo per le
sottosuccessioni la simbologia ank dove nk = f (k) è la successione crescente che le definisce.
Esempi Consideriamo la successione an = n2 . Le successioni bn = 4n2 = (2n)2 , cn = n4 =
(n2 )2 e dn = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 sono chiaramente sottosuccessioni della successione an .
Teorema Data una successione an che ammette un limite l (finito od infinito), allora, ogni
sottosuccessione sua ank tende allo stesso limite l.
Osservazione Il teorema precedente è spesso utilizzato per dimostare che una successione
NON ammette limite. Prendiamo come esempio la successione ( 1)n ; da tale successione
possiamo estrarre la sottosuccessione data dai valori pari di n (costante uguale ad 1) e la
sottosuccessione data dai valori dispari di n (costante ed uguale a 1) ; abbiamo quindi una
successione avente due sottosuccessioni convergenti a limiti diversi dunque non regolare.
Teorema (di Bolzano-Weierstrass) Da una successione limitata è sempre possibile estrarre
una sottosuccessione convergente. (Senza dimostrazione)
6
Definizione Si dice che una successione an verifica la condizione di Cauchy se
8✏ > 0 9m | 8n0 , n00
m
|an0
an00 | < ✏
Teorema (Criterio di Cauchy) La condizione di Cauchy è condizione necessaria e sufficiente
affinché una successione converga. Detto in altri termini, una successione converge se e
soltanto se essa è di Cauchy.
Proposizione Data una successione numerica an 6= 0 tale che
lim
n!1
an+1
= +1
an
allora essa diverge.
Proposizione Data una successione numerica an tale che
q
lim n |an | = ⇢ < 1
n!1
allora limn!1 an = 0. (Senza dimostrazione)
Esempio Un esempio interessante è quello delle successioni definite per Ricorrenza, ovvero non tramite espressione analitica. In questo caso, sono esplicitamente definiti i valori
di an per n piccolo, mentre l’n-esimo termine della successione è definito in funzione dei precedenti. In questo caso non possiamo procedere direttamente e, per determinare il carattere
della successione, dobbiamo utilizzare i teoremi del corso. Vediamo come.
1. Dimostrare che la successione seguente è convergente e calcolarne il limite
an+1 =
an + 4
4
a0 = 0
Come prima cosa, calcoliamo i primi valori di an : a1 = 1, a2 = 54 , a3 = 21
. Ap16
pare dunque un andamento crescente ; dimostriamo quindi per induzione che an è
crescente. Abbiamo già verificato che a1 > a0 ; supponiamo ora che sia an an 1 , e
verifichiamo la tesi per an+1 ;
an+1 =
an + 4
4
an
1
4
+4
= an .
Per dimostrare che la successione è convergente, dobbiamo ora verificare che essa è
limitata superiormente. Supponiamo che sia an < 2 e verifichiamolo per induzione ;
7
la proposizione è ovviamente verificata per a0 ; supponiamo che sia vera per an e
verifichiamola per an+1 ;
an+1 =
an + 4
2+4
6

= < 2.
4
4
4
Sappiamo ora che la successione an converge e, quindi, ogni sua sottosuccessione
deve convergere allo stesso limite ; applichiamo l’operazione limite alla formula che
definisce an ed otteniamo
lim an+1 =
n!1
limn!1 (an ) + 4
4
l+4
) 4l = l + 4 )
4
2. Dimostrare che la successione seguente non converge :
l=
)
l=
4
3
an+1 = an 2 + 1
Si procede in modo analogo, dimostrando per induzione che la successione è crescente
e poi che non è limitata, oppure direttamente dimostrando per assurdo che essa non
puó convergere.
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