Corso di laurea in Ingegneria elettronica e informatica - A13
Programma di “Analisi matematica 1” - A13106
Anno accademico 2014-2015
Prof. Giulio Starita
1 - Insiemi, logica, numeri
• I concetti primitivi. Parti di un insieme, insieme vuoto, insieme delle parti.
Inclusione. Intersezione, unione, complemento e loro proprietà. Le leggi di
De Morgan. Prodotto cartesiano.
• Proposizioni. Negazione di una proposizione. Congiunzione e disgiunzione
di due proposizioni. Predicati. Quantificatori.
• I numeri naturali, interi, razionali e reali. Somma, prodotto, ordinamento e
loro proprietà.
• Intervalli. Massimo e minimo di un insieme. Maggioranti e minoranti.
Estremi di un insieme. Assioma di continuità.
• Il simbolo di sommatoria e le sue proprietà. Il fattoriale, il coefficiente
binomiale e i loro significati combinatori. Il triangolo di Tartaglia.
• Il valore assoluto e le sue proprietà. Potenze, logaritmi e loro proprietà. Le
grandezze trigonometriche e le loro proprietà.
• Insiemi induttivi e principio di induzione. Somma dei primi n numeri naturali. Disuguaglianza di Bernoulli (p. 33). La formula del binomio di Newton
(p. 33).
• Numeri complessi. Somma e prodotto di numeri complessi. Unità immaginaria. Forma algebrica dei numeri complessi. Coniugato.
• Modulo e sue proprietà. Argomento. Forma trigonometrica di un numero
complesso. Formule di De Moivre. Radici n–sime di un numero complesso.
Teorema fondamentale dell’algebra.
2 - Funzioni
• Relazioni tra insiemi. Grafico di una relazione. Funzione. Dominio e codominio di una funzione. Funzioni limitate, inferiormente limitate, superiormente
limitate. Funzioni pari, dispari, periodiche. Funzioni monotòne. Restrizione e prolungamento di una funzione. Somma, prodotto, composizione di
funzioni. Operazioni sul grafico di una funzione.
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• Funzioni invertibili. Teorema di invertibilità per le funzioni strettamente
monotòne.
• Equazioni e disequazioni. Soluzione di equazioni e disequazioni relative a
funzioni strettamente monotòne.
• Le funzioni costante, identità, valore assoluto, parte intera, parte decimale,
segno, caratteristica.
• Funzione potenza di esponente naturale. La funzione radice. La funzione
potenza di esponente reale. La funzione esponenziale e la funzione logaritmo.
Le funzioni trigonometriche. Le funzioni iperboliche.
• Risoluzione di equazioni e disequazioni coinvolgenti le funzioni dei due punti
precedenti.
3 - Limiti delle successioni
• Successione di numeri. Successioni limitate, inferiormente limitate, superiormente limitate. Proprietà definitivamente soddisfatte.
• Successioni convergenti e limite di una successione. Teorema di unicità del
limite (p. 89–90). Successioni divergenti. Successioni regolari. La retta numerica ampliata. Limitatezza delle successioni convergenti e non limitatezza
di quelle divergenti (p. 90–91). Successioni irregolari.
• Successioni monotòne. Teorema di regolarità delle successioni monotòne (p.
93–94).
• La progressione geometrica; limite della progressione geometrica per i differenti valori della ragione.
• Teoremi relativi all’agebra dei limiti (con dimostrazione per la somma e il
prodotto, p. 96–97). Parziale aritmetizzazione del simbolo di infinito. Le
forme indeterminate.
• Limite delle successioni polinomiali e rapporti di polinomi. Convergenza
della successione (1 + 1/n)n (p. 101–102). Il numero di Nepèro.
• Teorema di permanenza del segno (1a e 2a forma), p. 97–98. Teoremi di
confronto (p. 99). Criterio del rapporto (p. 106–107).
• Ordine di infinito e di infinitesimo. Gerarchie di infinito e infinitesimo con
applicazione alle successioni loga n, nα , an , n!, nn (p. 105–107).
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4 - Limiti delle funzioni e continuità
• Intorno di un numero reale, di +∞, di −∞. Definizione successionale di
limite. Il Teorema di unicità del limite. Definizione topologica di limite di
una funzione e relative forme (ε, δ). Asintoti orizzontali e obliqui.
• Teorema di regolarità per confronto (p. 121–122). Teorema di permanenza del segno. Algebra dei limiti. Parziale aritmetizzazione del simbolo di
infinito. Forme indeterminate. Limite delle funzioni composte.
x
1
1 − cos x
sin x
(p. 128–129). Li, lim
1+
, lim
• Limiti notevoli: lim
x→±∞
x→0
x→0 x
x
x2
f (x)
miti notevoli lim
con f (x) data da ex −1, log(1+x), (1+x)α −1, arcsin x,
x→0 x
tan x, arctan x. Limiti negli estremi del dominio delle funzioni elementari,
dei polinomi, delle funzioni razionali (p. 126).
• Limite destro e limite sinistro. Funzioni continue. Continuità delle funzioni
elementari. Continuità della somma di funzioni continue, del prodotto di una
funzione continua per una costante, della composizione di funzioni continue.
• Funzioni non continue: discontinuità eliminabili, di prima specie, di seconda
specie.
• Teorema degli zeri (p. 136–137). Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori
intermedi (p. 140). Esistenza della radice n–sima. Proprietà delle funzioni
monotòne in un intervallo.
5 - Calcolo differenziale e sue applicazioni
• Rapporto incrementale e suo significato geometrico. Derivata di una funzione e suo significato geometrico. Retta tangente al grafico di una funzione.
Continuità di una funzione derivabile (p. 159–160).
• Funzioni non derivabili: punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.
• Derivata della somma, del prodotto, del rapporto (p. 161–162). Derivata
della funzione composta. Derivata della funzione inversa.
• Derivata delle funzioni costante, identità e quadrato; derivata della potenza
di esponente naturale; derivate delle funzioni trigonometriche; derivata dell’esponenziale e del logaritmo; derivata della potenza di esponente reale (p.
154–155).
• Estremi globali e locali di una funzione. Teorema di Fermat (p. 173). Punti
stazionari. Teorema di Lagrange del valore medio (p. 174–175). Teorema di
Rolle. Teorema di de l’Hôpital (p. 187–188).
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• Relazione tra le proprietà di monotònia di una funzione e il segno della sua
derivata (p. 176–177). Caratterizzazione delle funzioni con derivata nulle in
un intervallo (p. 177).
• Funzioni convesse e concave. Relazione tra le proprietà di concavità di una
funzione e il segno della sua derivata seconda.
• Differenziale di una funzione. Teorema del differenziale. Approssimazione
lineare di una funzione. La notazione “o piccolo”. Polinomio di Taylor.
Resto del polinomio di Taylor nella forma di Peano e nella forma di Lagrange.
6 - Serie numeriche
• Somme parziali di una successione numerica. Serie numerica. Carattere di
una serie. Somma di una serie. La serie geometrica (p. 231). Una condizione
necessaria per la convergenza di una serie (p. 232). Serie armonica e serie
armonica generalizzata.
• Serie a termini positivi. Criterio di confronto (p. 233, 237). Criterio di
confronto asintotico. Criterio della radice (p. 236, 237). Criterio del rapporto (p. 236, 238). Serie assolutamente convergenti e criterio dell’assoluta
convergenza.
• Serie a termini alterni. Criterio di Leibniz (p. 240–241).
• Funzioni sviluppabili in serie di Taylor. Serie di Taylor dell’esponenziale, del
seno, del coseno.
7 - Calcolo integrale
• Somme di Cauchy–Riemann. Integrale di una funzione limitata in un intervallo chiuso. Interpretazione geometrica dell’integrale. Classi di funzioni
integrabili.
• Linearità dell’integrale rispetto alla funzione integranda. Additività dell’integrale rispetto all’intervallo di integrazione.
• Primitiva di una funzione. Integrale indefinito. Teorema della media integrale (p. 265). Teorema fondamentale del calcolo integrale (p. 267–268).
• Integrazione per decomposizione in somma. Integrazione per sostituzione
(prima e seconda forma). Integrazione per parti. Integrali immediati. Integrali delle funzioni elementari. Integrazione delle funzioni razionali per decomposizione in fratti semplici. Sostituzioni razionalizzanti per l’integrazione
di alcune classi di funzioni irrazionali (cenni).
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• Integrali impropri: integrale di una funzione non limitata e integrale su un
intervallo non limitato. Integrabilità delle funzioni x−α . Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico. Determinazione del carattere della
serie armonica generalizzata.
8 - Equazioni differenziali
• Equazioni differenziali del primo ordine. Equazioni del primo ordine in forma
normale. Il problema di Cauchy. Teorema di esistenza e unicità.
• Equazioni del primo ordine a variabili separabili. Equazioni del primo ordine
lineari. Equazioni del tipo di Bernoulli
• Equazioni differenziale di ordine superiore. Equazioni lineari: forma dell’integrale generale. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.
9 - Serie di potenze
• Successioni di funzioni. Convergenza puntuale. Convergenza in distanza e
convergenza uniforme. Proprietà delle successioni di funzioni uniformemente
convergenti.
• Serie di funzioni. Convergenzaa puntuale e convergenza uniforme delle serie di funzioni. Convergenza totale di una serie di funzioni. Derivabilità e integrabilità termine a termine di una serie di funzioni totalmente
convergente.
• Serie di potenze. Raggio di convergenza. Criterio del rapporto per le serie
di potenze. Proprietà delle serie di potenze.
• Serie di Taylor di una funzione. Serie di Taylor dell’esponenziale, del seno e
del coseno.
Testi di riferimento
M. Bramanti, C. Pagani e S. Salsa: Analisi matematica 1, Zanichelli (punti da 1
a 7).
M. Bramanti, C. Pagani e S. Salsa: Analisi matematica 2, Zanichelli (punti da 8
e 9).
Note
Per gli argomenti riportati in carattere inclinato è richiesta la conoscenza delle
relative dimostrazioni.
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