EQUAZIONI E
SISTEMI
D’EQUAZIONI
DIFFERENZIALI
LINEARI A
COEFFICIENTI
COSTANTI
Argomenti della lezione
 Termini noti di tipo
particolare
 Oscillazioni forzate
 Accenno ai sistemi
con coefficienti costanti
TERMINI NOTI
DI TIPO
PARTICOLARE
Se l’equazione ha coefficienti
costanti e il termine noto è dei
seguenti tipi
a)
b(x) = P(x), grado P(x) = p
Allora una soluzione è del tipo
polinomio xk Q(x), con grado Q(x)
= p, se an =…= an-k+1 = 0
Esempio
–2y’” + 2y” = x+1
Soluzione particolare
x2 (a x + b) = a x3 + b x2
Si trova
a = 1/12, b =1/2
b) b(x) = eax P(x), grado P(x) = p
e a numero reale, radice dell’
equazione caratteristica di
molteplicità r (r=0 se a non è
radice).
Allora y(x) = eax xr Q(x), con
grado Q(x) = p = grado P(x)
Esempio
y”–2y’ + y = ex(x+1)
z = 1 è radice doppia
dell’equazione caratteristica; ex
e xex sono le soluzioni l.i.
dell’omogenea. Una soluzione
particolare ha la forma
u(x) = x2ex (ax+b)
a e b  R da determinare
Si trova
a = 1/6, b = 1/2.
Una soluzione particolare della
completa è
u(x) = x2ex (x/6+1/2)
c) b(x) = eax [P1(x) cos(bx) +
P2(x) sen(bx)]
È il caso più generale del quale
ci occuperemo. Ha come casi
particolari i due casi precedenti.
Se p = max(grado P1(x),
grado P2(x) )e a + i b è radice
di molteplicità r dell’equazione
caratteristica, una soluzione
particolare ha la forma
u(x) = eax xr [Q1(x) cos(b x) +
+ Q2(x) sen(b x)], grado Q1(x) =
grado Q2(x) = p
Si noti che la combinazione
Q1(x) cos(b x) +
+ Q2(x) sen(b x) deve sempre
comparire anche se può mancare
in b(x).
Esempio
y”–2y’ + y = (x+1) sen x
z = i non è radice dell’equazione
caratteristica: r = 0. Le soluzioni
sono da ricercare nella forma
u(x) = (a x + b) sen x +
(c x + d) cos x, con a, b, c, d da
determinare. Si trova
a = -1/3, b = -17/9,
c = 2/3, d = 19/9.
u(x) = (- x/3 - 17/9) sen x +
(2 x/3 + 19/9) cos x
Se b(t) è somma di funzioni dei
tipi precedenti, si considererà la
somma delle corrispondenti
soluzioni particolari.
OSCILLAZIONI
FORZATE
Se un punto materiale è soggetto
ad una forza di tipo elastico ed il
suo moto è frenato da una forza
d’attrito proporzionale alla velocità,
situazione che spesso si può
ipotizzare in problemi di tipo
meccanico, l’equazione del moto,
supposto un solo grado di libertà, è
m y” = - k y - h y’
Cioè
y” + (h/m) y’ + (k/m) y = 0
O anche
y” + 2  y’ + 2 y = 0
Qui
h
 =
2m
e
 =
k
m
Se  = 0, si ottengono oscillazioni
dette “libere” descritte dalla
soluzione generale
y(t) = c1cos( t) + c2sen( t)
o anche, equivalentemente,
y(t) = A sen( t+a)
dove A è l’ampiezza dell’
oscillazione e a la fase.
L’andamento della soluzione è di
tipo oscillatorio, detto moto
armonico. La frequenza  è
detta la frequenza caratteristica
dell’oscillatore
4
2
-2
0
0
-2
-4
2
4
t
6
8
10
Se  ≠ 0, l’equazione caratteristica
ha soluzioni
2
2
2
2
l1 = -  -  - 
l2 = -  +  - 
Se  >  si ha un moto smorzato.
La soluzione è combinazione
lineare di due esponenziali
decrescenti a 0 per t  .
Se  =  , l = l e la soluzione non è
oscillatoria; si ha
y(t) = (c + c2 t) e-  t
Anche in questo caso y(t) tende a 0
per t  .
Infine, se  <  si ha
l1 = - - i n
l2 = - + i n
dove
2
n =  -
2
La soluzione si può scrivere nella
forma
y(t) = A e-  t sen(n t+a)
Si trovano infinite oscillazioni
dette “smorzate”, di frequenza n
e di ampiezza A e-  t
4
3
2
1
0
-1
-2
0
2
4
t
6
8
10
Supponiamo ora che una forza
esterna sia impressa al punto
materiale. L’equazione diviene
allora
y” + 2  y’ + 2 y = f(t)
Ci interessa in particolare il caso
che f(t) = B cos( t)
Al moto armonico libero
di frequenza  si sovrappone
un’oscillazione forzata di frequenza
 se  ≠ ; se  =  si assiste al
fenomeno della “risonanza” .
L’ampiezza dell’oscillazione forzata
cresce nel tempo come B t/(2 ).
L’ampiezza tende a  per t  .
Se  = 0, la soluzione è del tipo
y(t) = z(t) + u(t)
con z(t) = A sen( t+a),
soluzione dell’omogenea; una
soluzione particolare della
completa è data da
u(t) =
B
2
 -
cos(
t)

2
se  ≠ .
Se invece  = , si trova
B
u(t) =
t sen(t )
2
Oscillazioni forzate
6
4
2
0
0
2
4
t
6
8
10
-2
-4
-6
y(t) = 5 sen(t+/10)+4 cos(3 t)
Risonanza
150
100
50
0
0
2
4
t
6
8
10
-50
-100
-150
y(t) = 5 sen(t+/10)- 16 t cos(4 t)
Se  ≠ 0, una soluzione particolare
della completa si trova con semplici
calcoli
B
sen( t +a)
u(t) =
( 2 -  2 )2 + 4 2 2
dove
sen a =
2
2
 -
( 2 -  2 )2 + 4 2 
2
2

cos a =
( 2 -  2 )2 + 4 2 2
L’ampiezza dell’oscillazione
forzata è
B
( 2 -  2 )2 + 4 2 2
Se  < /
 l’ampiezza ha un
massimo per  = (2 -2  2)1/2
Anche in questo caso c’è
risonanza
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
2
t
3
4
Andamento dell’ampiezza, per
 = 2,  = 1/2
Gli effetti della risonanza
possono essere catastrofici
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Il crollo del ponte di Tacoma
(Wa - USA) 7 novembre 1940
ACCENNO AI SISTEMI
CON COEFFICIE NTI
COSTANTI
Un sistema completo con
coefficienti costanti si scrive
Y’ = A Y + B(x)
Il sistema omogeneo è
Y’ = A Y
A è una matrice con coefficienti
reali (o complessi)
Ricordando che lo sviluppo in
serie per l’esponenziale è
convergente per ogni x reale
ex = 1 + x + x2/2! + .. + xn/n! +..
Si può definire
eA = 1 + A + A2/2! + .. + An/n! +..
La matrice eA si può pensare
definita componente per
componente a partire dalla formula
precedente
Una matrice fondamentale che
risolve il sistema omogeneo è
U(x) = exA
Che sia fondamentale segue dal
fatto che U(0) = I
In generale U(x) è lunga da
calcolare, ma in alcuni casi speciali
i calcoli si semplificano.
Tuttavia ci fermiamo qui..