Valori medi
I valori medi
di Capuano ,Colucci e Panunzi
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Concetto di media
Media Aritmetica
Media Geometrica
Media Quadratica
Media Armonica
Moda o valore normale
Mediana
Valore centrale
Concetto di media
Si può chiamare media di una distribuzione, rispetto a una funzione
f , quella quantità m che sostituita alle x nella funzione lascia
invariato il risultato di una funzione definita a priori.
Media Aritmetica
Media Geometrica
Media Quadratica
Media Armonica
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Media Aritmetica
Si definisce media aritmetica di più numeri quel valore che,
sostituito ai dati, lascia invariata la loro somma
Indicando i dati con le x la definizione di media aritmetica
semplice che si ricava è:
x1  x2 .....  xn
M 
n
Se i valori x hanno frequenza diverse, ossia compaiono più
volte nelle osservazioni, la definizione di media aritmetica
ponderata che si ricava è:
x1 y1  x2 y2  .....  xn yn
M 
N
N   yi
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proprietà
Proprietà della Media Aritmetica
1. La somma degli scarti positivi dalla media aritmetica è
uguale, in valore assoluto, a quella degli scarti negativi, e
quindi la somma algebrica di tutti gli scarti è uguale a zero.
2. La somma dei quadrati degli scarti dei calori della
distribuzione dalla media aritmetica è minore della somma dei
quadrati degli scarti da qualsiasi numero.
3. Aggiungendo o sottraendo a tutti i valori x la stessa quantità
k, la media risulta incrementata o diminuita di tale quantità.
4. Moltiplicando o dividendo tutti i valori x per la stessa
quantità h, la media risulta moltiplicata o divisa per tale
quantità.
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Media Geometrica
Si definisce media geometrica dei valori x, quel numero G che
sostituito ai valori x lasciano invariato il loro prodotto, da cui
possiamo ricavare la formula della media geometrica semplice:
N.B:Se i valori sono tutti positivi o non nulli si può calcolare la media geometrica
G  n x1  x2  ....  xn
Nel caso di valori x con frequenze o pesi y, si ha la formula della
media geometrica ponderata:
G  x1  x2  ....  xn
N
y1
y2
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yn
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proprietà
Proprietà della Media Geometrica
1° proprietà:
Moltiplicando o dividendo tutti i valori x per una stessa quantità
h, maggiore di 0, la media geometrica risulta moltiplicata o
divisa per tale quantità.
n
x x
1
h
2
h
x
 .... 
n
h

n
1
 x1  x2  ....  xn
n
h
1 n
1

 x1  x2  ....  xn 
G
h
h
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segue
2° proprietà:
Il reciproco della media geometrica è uguale alla media geometrica
del reciproco dei valori.
G'  n

n
1 1
1

 .... 
x1 x2
xn
1
1

G
x1  x2  ....  xn
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Media Quadratica
Si definisce media quadratica dei valori x, la radice
quadrata della media aritmetica dei quadrati dei
valori dati.
Formula della media semplice:
Q
x12  x22  ...  xn2
n
Se si vuole calcolare la media ponderata bisogna moltiplicare il
risultato Q per le relative y.
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Media Armonica
La media armonica A è quel valore che sostituito ai dati mantiene
invariata la somma dei reciproci cioè:
1
1
1
1 1
1
1

 ... 
   ...   n 
x1 x2
xn
A A
A
A
da cui si ricava la formula semplice:
A
n
1
1
1

 ... 
x1 x2
xn
i n
ponderata:
A
y
i 1
i n

i 1
i
yi
xi
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Moda o valore normale
Si definisce moda di una distribuzione di frequenza la modalità o il
valore della variabile al quale corrisponde la massima frequenza
Se si ha una serie o una seriazione con valori discreti ,la moda è il
valore che ha la massima frequenza. Se i dati sono raggruppati in
classi, e l’ampiezza è costante il calcolo della moda è uguale al
metodo precedente e si parla di classe modale; se le classi hanno
ampiezza diversa si divide ogni frequenza per l’ampiezza della
rispettiva classe e la classe modale è la classe alla quale corrisponde
il rapporto maggiore.
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Mediana
La mediana è una media di posizione e rappresenta il valore
centrale della distribuzione quando i dati sono ordinati.
Siano dati x1 , x2 ,..., xn , i valori ordinati in senso non
decrescente, si dice mediana Me il valore che bipartisce la
successione, ossia il valore non inferiore a metà dei valori e
non superiore all’altra metà.
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Valore centrale
Valore uguale alla semisomma dell’osservazione più piccola e di
quella più grande.
Esempio:
{10 – 30}
il valore centrale è
10  30 40

 20
2
2
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