Meccanica 15
19 aprile 2011
Fluidi. Viscosita`. Pressione
Fluidostatica. Leggi di Stevino, Pascal, Archimede
Fluidodinamica. Moto stazionario. Tubo di flusso. Portata
Legge di Leonardo
Legge di Bernoulli
Fluidi
• Comprendono i liquidi e i gas
• I fluidi possono fluire o scorrere, e quindi, a differenza dei
solidi, non riescono a sostenere staticamente uno sforzo
di taglio
• I liquidi, a differenza dei gas, sono essenzialmente
incomprimibili, quindi la loro densità si può considerare
(approssimativamente) costante
• La meccanica dei fluidi si divide in
– Statica
– Dinamica
• Lo studio concerne non solo i fluidi, ma anche i corpi
immersi in essi o le pareti che li contengono
2
Fluidi
• Riguarderemo i fluidi come sistemi continui, caratterizzati
da densità r e composti di elementi di massa dm e
volume dV:
dm  rdV
• In realtà la materia di cui sono fatti i fluidi ha struttura
discreta, cioè è costituita di atomi e molecole
• Considerarli sistemi continui è un’utile approssimazione

• I fluidi possono trasmettere sforzi:
– Nei liquidi grazie alle forze intermolecolari a corto raggio
d’azione
– Nei gas grazie alle collisioni tra le molecole che li costituiscono
3
Viscosità
• In un fluido in moto lo sforzo può trasmettersi anche
perpendicolarmente alla direzione lungo cui è applicata
la sollecitazione
• Questo è possibile grazie ad una grandezza fisica propria
dei fluidi detta viscosità (e indicata con )
• Quando c’è scorrimento relativo tra due elementi di
fluido, compaiono sull’area di contatto forze tangenziali
d’attrito interno
• I due elementi esercitano l’uno sull’altro due forze uguali
e contarie (3° principio)
4
Viscosità
• In un fluido in equilibrio statico non ci sono forze
viscose, quindi le condizioni di equilibrio sono le
stesse per fluidi viscosi e non viscosi
• Non esiste il corrispondente dell’attrito statico: in
assenza di moto (v=0) non c’è attrito viscoso
• Per semplicità si considera spesso il caso ideale in cui
la viscosità sia nulla e la densità sia uniforme (fluido
ideale)
5
Pressione
• In un intorno di un punto P qualunque di una
superficie a contatto con un fluido, consideriamo una
superficie infinitesima di area dA
• Su di essa il fluido agisce con una forza dF
• Definiamo (in termini differenziali) la pressione come
forza per unità di superficie:
dF
p
dA
• La forza dF, e quindi la pressione, possono variare da
punto a punto della superficie, perciò abbiamo usato
la definizione differenziale
6
Pressione
• TH: la forza esercitata da un fluido in equilibrio
statico su una superficie è perpendicolare alla stessa,
punto per punto
• DIM: se esistesse una componente parallela, il fluido
scorrerebbe e non sarebbe in condizioni statiche
7
Pressione
• In un fluido in equilibrio statico la pressione non
dipende dalla giacitura della superficie su cui agisce
• Consideriamo un volume di fluido a forma di prisma,
le cui sezioni con i piani verticali xz siano un triangolo
rettangolo
z
y
z
y
x
x
8
Pressione
• Consideriamo la sezione contenente il CM del prisma
(per simmetria è quella mediana)
• Le risultanti delle forze di
pressione sulle facce, F1, F2,
F3, siano applicate ai punti
P1, P2 , P3
F1
• Il fluido è in equilibrio,
usiamo la 1a eq. cardinale
F1  F3 sin 
F2  F3 cos  W
F3
P3
z
P1
CM

W
x
P2
F2
9
Pressione
• In termini di pressione:
p1 A1  p3 A3 sin 
p2 A2  p3 A3 cos  rVg
F1
F3
P3
z
P1
CM

W
x
P2
F2
• Esprimendo le aree in funzione dei lati
p1zy  p3ly sin 
1
p2xy  p3ly cos   rxyzg
2

• E semplificando
p1P1  p3 P3 

1
p2 P2   p3 P3   zrg
2
10
Pressione
• Le pressioni sono calcolate nei
punti Pi
F1
• Esprimiamole come sviluppo in
serie al 1° ordine rispetto al
CM
F3
P3
z
P1
CM

W
x
P2
F2


 p 
 p 
 p 
 p 
p1 rCM    1  x1   1  z1  p3 rCM    3  x3   3  z3
 x CM
 z CM
 x CM
 z CM

 p 
 p 
p2 rCM    2  x2   2  z 2 
 x CM
 z CM


1
 p 
 p 
 p3 rCM    3  x3   3  z3  zr rCM g
2
 x CM
 z CM
11
Pressione
• Se facciamo tendere le dimensioni del prisma
a zero, mantenendo fisso il CM:
p1rCM   p3 rCM 
p2 rCM   p3 rCM 
• E quindi la pressione non dipende dalla
giacitura della superficie su cui agisce

p1  p2  p3

12
Legge di Stevino
• TH: in un fluido in equilibrio statico nel campo di
gravità la pressione aumenta linearmente con la
profondità
p(z1)
• DIM: sia dato un elemento cilindrico di
fluido di volume V, base A e altezza z2-z1
• L’equilibrio statico impone che la forza
W
risultante sia nulla
• Nel piano xy questo è dovuto alla
p(z2)
simmetria
z
13
Legge di Stevino
• Lungo z le forze di pressione e la forza peso devono
bilanciarsi
pz1A  W  pz2 A
• Detta r la densità del fluido
W
V
pz2   pz1  
 pz1  r g  pz1   rz2  z1g
A
A

• Se le quote differiscono
per un infinitesimo
pz  dz  pz  dp  rgdz
• Abbiamo cioè la versione differenziale della legge

dp
 rg
dz
14
Legge di Stevino
• Se avessimo scelto il verso opposto sull’asse
z, avremmo
pz2   r z2  z1 g  pz1 
• ovvero
W
pz2   pz1   rz2  z1g
• 
Ovviamente bisogna introdurre un segno
meno anche nella versione diferenziale

p(z2)
p(z1)
z
dp
 rg
dz
15
Legge di Pascal
• Orientiamo z verso il basso e poniamo come origine
(z=0) la superficie limite del liquido, sia p0 la
pressione esterna agente su tale superficie,
abbiamo
pz  p0  rgz
• Ogni variazione della pressione esterna comporta
un uguale cambiamento della pressione in ciascun
punto delfluido
pz  p0

16
Pressa idraulica
• E` un’applicazione della legge di Pascal
• E` formata da due contenitori idraulici a tenuta C1 e
C2 , collegati da un condotto e dotati di due pistoni
scorrevoli di area A1 e A2
• Applicando una forza F1 sul pistone 1, la pressione in
ogni punto del fluido aumenta di p  F1 A1
• Sul pistone 2 questo aumento di pressione si traduce
F2  pA2  F1 A2 A1
in una forza
F2
F1
A2
A1
C2
C1
17
Vasi comunicanti
• L’altezza raggiunta da un liquido in vasi comunicanti
e` uguale in tutti i vasi: h1=h2
• Il principio si dimostra con la legge di Stevino: la
pressione sulla superficie libera è uguale per i
diversi vasi, così come quella alla base
• Ne segue che la differenza di pressione è uguale
per i diversi vasi, il che si traduce in un’uguale
altezza delle colonne di fluido
p1  rgh1  p2  rgh2
h1
h2
18
Paradosso idrostatico
• La pressione dipende solo dall’altezza del fluido
sovrastante e non dalla sua massa
• Quindi nei tre contenitori in figura, la pressione sul
fondo e` la stessa, nonostante la massa del fluido sia
diversa nei tre casi
• Ciò è dovuto al fatto che le pareti contribuiscono con
una forza che si compone col peso del fluido
Pressione all’interno
del contenitore
19
Barometro di Torricelli
• E` costituito da un tubo di vetro aperto ad un’estremita` e
riempito di mercurio e da una vaschetta contenente mercurio
in cui capovolgere il tubo
• Esso servì a dimostrare per la prima volta che l’atmosfera ha
un peso ed è usato ancor oggi per misurare la pressione
atmosferica (barometro di Fortin)
• La pressione esercitata dalla colonna di
mercurio di altezza h e` bilanciata dalla
pressione atmosferica agente sulla
h
p
superficie libera del mercurio nella
vaschetta
rgh  p
20
Manometro a liquido
• E` costituito da un tubo a ”U”
riempito da un liquido di densita`
nota r
• Serve per misurare una differenza di
pressione (o pressione differenziale)
p  p0  rgh
21
Superfici isobariche
pz  p0  rgz
• Dalla legge di Stevino
• Vediamo che per z=costante la pressione è
costante

• Ma z=costante rappresenta
un piano orizzontale
• Superfici di questo tipo per cui la pressione è
costante si dicono isobare
22
Forza di Archimede
• Sia dato un corpo di peso W e densità r immerso in un fluido
di densità rf
• Esiste una forza, detta di Archimede, che agisce sul corpo,
uguale al peso del volume di fluido occupato dal corpo e
diretta in direzione opposta al suo peso
• Il corpo sia delimitato da una
superficie S
• Immaginiamo un secondo corpo,
fluido, delimitato dalla stessa
superficie S e costituito dello stesso
fluido in cui è immerso
S
23
Forza di Archimede
• Poiché il fluido è in equilibrio, il corpo fluido è pure in
equilibrio, questo significa che il suo peso Wf è bilanciato
dalla forza risultante A dovuta all’azione della pressione
del fluido esterno sulla superficie S, quindi
A  W f  M f g  Vr f g
• Ove V è il volume comune dei due
corpi e Mf è la massa del corpo fluido
• Ma 
la forza A dipende solo dalla
superficie S e non da quello che essa
contiene
• Ne segue che A agisce anche sul
primo corpo
A
W2
A
W1
24
Forza di Archimede
• La forza risultante è infine
W  A  Mg  M f g  V r  r f g
• E ha verso uguale al peso (il corpo tenderà a
scendere nel fluido) o opposto (tenderà a salire)
a seconda
del segno della differenza delle

densità
25
Forza di Archimede
• Abbiamo visto che la forza di Archimede, bilanciando il
peso del corpo fluido, è applicata nel suo CM
• Se soltanto una parte del corpo è immersa, la forza di
Archimede è relativa a questa parte soltanto
• Poiché il primo corpo può avere il CM in un punto diverso
dal corpo fluido (corpo non omogeneo, ad esempio una
barca), avremo in generale anche un momento risultante
A
A
W
Situazione di
non equilibrio
W
26
Galleggiamento
• Iceberg in equilibrio statico W  A
A
G
B
W
• Ovvero
riVi g  r aVa g
• Da cui troviamo il
volume immerso
Va r i

Vi r a
27
Galleggiamento di una barca
•
•
•
•
G: centro di gravita` della barca
B: centro di spinta di Archimede
M: metacentro
f: angolo di inclinazione
f
28
Misura di densita` di un liquido:
Densimetro
• Sia m la massa del densimetro, A sia la
sezione dello stelo su cui e` incisa una
scala che permette di leggere la
lunghezza immersa h dello stelo
• Sia V0 il volume del bulbo
WA
• All’equilibrio
mg  rVim g  r V0  Ah g
• Da cui la densita` del liquido
m
r
V0  Ah
29
Misura di densita` di un corpo
sommerso
• Mediante un dinamometro si eseguono due misure,
la prima con il corpo in aria e la seconda con il corpo
immerso in un liquido di densita` nota rL
T  W  rVg
T
T  W  A  T  r LVg
T’
'
T T
V
rL g
'
T
T
r

rL
'
Vg T  T
A
W
W
30
Moto di un fluido
• La descrizione del moto di un fluido è, in
generale, molto complessa
• Adotteremo la descrizione euleriana del moto:
fissiamo l’attenzione su di un punto P(x,y,z) dello
spazio e sulla velocità v(x,y,z,t) di un elemento
fluido che passa per tale punto
• Scopo della dinamica dei fluidi è determinare la
funzione v, in base ai principi della meccanica,
per tutti i punti in cui si trova il fluido, e per tutti i
valori di t
31
Moto stazionario
• Per semplicità studieremo solo fluidi ideali e il moto in
regime stazionario, caratterizzato dal fatto che v dipenda
solo dalle coordinate spaziali, ma sia costante nel tempo:
v=v(x,y,z)
• Linee di corrente o di flusso: sono linee (traiettorie)
percorse da ciascun elemento ideale di volume
• In ogni punto hanno la direzione e il verso della velocità v,
ne segue che due linee di flusso non possono intersecarsi
• Sperimentalmente si possono visualizzare, almeno
approssimativamente, iniettando nel fluido polveri
particolari che vengano trasportate dalla corrente del
fluido
32
Tubo di flusso
• Tutte le linee di corrente che passano attraverso una generica
superficie attraversata dal fluido, individuano un tubo di
flusso
• Un condotto chiuso, se riempito completamente di fluido, è
un esempio di tubo di flusso, in cui la superficie in questione è
una generica sezione del condotto
• Per un tubo finito, possiamo definire una superficie laterale e
due superfici di base
• In situazione stazionaria le
linee di flusso non
possono intersecare la
superficie laterale
33
Portata
• Consideriamo un tubo di flusso di sezione dS (e area
dA) perpendicolare alle linee di corrente
• Il volume di fluido che attraversa dS nel tempo dt è
pari al volume del solido di base dS e altezza vdt
dV  dAvdt

vdt
v
dA
34
Portata
• Il volume di fluido passato nell’unità di tempo prende
il nome di portata
dV
dq 
dt
 vdA
• Se la sezione è finita, la portata relativa è data
dall’integrale esteso a tutta la sezione
dV
q  
dt
• La portata ha dimensioni
• E l’unità dimisura è il m3/s

 vdA
S
q  L3T1
35
Portata, flusso, corrente
• Il concetto di portata in idrodinamica e` analogo al
concetto di flusso e di corrente in altri ambiti
• Portata volumica
dV
Supposta la velocita`
q
dt
 vA
uniforme sulla superficie
• Flusso di massa
dm
dV

 rm
 r m vA  J m A
dt
dt
• Corrente elettrica
dQ d r eV 
dV
i

 re
 r e vA  J e A
dt
dt
dt
• Ove J  rv e` la densita` di corrente
36
Equazione di continuita`
• Supponiamo che il tubo di flusso cambi sezione
• Siano dS1 e dS2 le sezioni diverse del tubo e consideriamo il
volume di fluido contenuto nel tubo tra queste sezioni
• In condizioni stazionarie il fluido può soltanto entrare da dS1 e
uscire da dS2 ma non dalla superficie laterale del tubo di flusso
• La massa entrante da dS1 e quella uscente da dS2 sono
dm1  r1dV1  r1v1dA1dt
dm2  r2 dV2  r2v2 dA2 dt
dS1
v1dt
dA1
v1
dS2
v2dt
dA2
v2
37
Equazione di continuita`
• Poiche’ la massa si conserva, esse devono essere uguali
dm1  dm2
r1v1dA1  r2v2 dA2
• ovvero
dV
• Stesse considerazioni per  dm 

r
vdA

r
 const.
 
dt
 dt  dS
• Per una superficie finita S dovremo integrare i contributi
infinitesimi su tutta la superficie
dm 
dV

 const.
    rvdA   r
S r1v1dA1  S r 2 v2 dA2
dt
S
 dt  S S
• La costanza del flusso di massa prende il nome di equazione di
continuita`
1
2
38
Conservazione della portata
• Se la densita` e` uniforme, la si puo` eliminare dalle
eqq., ottenendo
q1   v1dA1   v2 dA2  q2
S1
S2
dV
 dV 
qS  
 const.
   vdA  
S dt
 dt  S S
• Cioe`, se il fluido è incompressibile, in un dato
intervallo di tempo, tanto volume entra da S1 quanto
ne esce da S2, in quanto non è possibile che il volume
tra le due sezioni vari riducendosi o espandendosi
• Ne segue che la portata attraverso le due sezioni è
uguale
39
Legge di Leonardo
• Usando il valore medio della velocità sulla
sezione, la portata può scriversi
q   vdA  v A
S
• E su sezioni di area diversa, il teorema
precedente diviene
v1 A1  v2 A2
• Ovvero area e velocità sono inversamente
proporzionali
40
Densita` delle linee di flusso
• Siano N le linee di flusso contenute in un tubo di
flusso, la loro densita` superficiale sulle due basi e`
n1  N A1
n2  N A2
• Tali densita` sono quindi inversamente proporzionali
all’area della sezione attraversata e, per la legge di
Leonardo, direttamente proporzionali alla velocita`
del fluido nelle sezioni
v1
n1 A2


n2 A1
v2
41
Legge di Bernoulli
• Consideriamo un tubo di flusso e due sezioni
perpendicolari S1, S2
• Supponiamo che la velocità del fluido su
ciascuna sezione abbia un valore uniforme v1, v2
• Nell’intervallo dt la sezione S1 si
trasformerà nella sezione S’1 e la
S1
S’1
sezione S2 nella sezione S’2 e la
massa di fluido che al tempo t si
ds1=v1dt
trova tra S1 e S2, al tempo t+dt si
troverà tra S’1 e S’2
ds2=v2dt
z1
S2
z2
S’2
42
Legge di Bernoulli
• Il volume di fluido contenuto tra le sezioni S1 e
S’1 e quello contenuto tra S2 e S’2 è
dV  A1ds1  A1v1dt
dV  A2ds2  A2v 2dt
S1
S’1
ds1=v1dt
• Per la legge di Leonardo, i volumi sono
uguali; le corrispondenti masse sono
 pure uguali
dm1  dm  rdV  rA1v1dt
dm2  dm  rdV  rA2v 2 dt
ds2=v2dt
z1
S2
z2

S’2
43
Legge di Bernoulli
• Applichiamo la conservazione dell’energia
meccanica alla massa di fluido che al tempo t
si trova tra S1 e S2 e al tempo t+dt si trova tra
S’1 e S’2
S1
S’1
ds1=v1dt
• Poiché siamo in regime stazionario,
il fluido compreso tra le sezioni S’1 e
S2 non cambia il suo stato di moto
• Un cambiamento avviene per le
masse contenute tra le sezioni S1,
S’1 e S2, S’2
ds2=v2dt
z1
S2
z2
S’2
44
Legge di Bernoulli
• Basterà quindi applicare la conservazione
dell’energia alle due masse dm1, dm2
• Il lavoro delle forze di pressione e di gravità
dev’essere uguale alla variazione di energia
cinetica
• Lavoro della forze di gravità
p1 S1
dWg  dmgz1  z2 
S’1
ds1=v1dt
• Le forze di pressione agiscono
sulle sezioni S1, S2, e sulle
pareti laterali del tubo
ds2=v2dt
z1
S2
z2
S’2
p2
45
Legge di Bernoulli
• Queste ultime compiono lavoro nullo, in quanto
in assenza di viscosità la forza è perpendicolare
alla superficie laterale e quindi al moto del fluido
• Il lavoro delle forze agenti sulle sezioni è
p1
dW p  p1dV1  p2dV2  p1  p2 dV
S1
S’1
ds1=v1dt
• La variazione di energia cinetica è
1
1
1
2
2
dK  dm2v 2  dm1v1  dmv 22  v12 
2
2
2

ds2=v2dt
z1

S2
z2
S’2
p2
46
Legge di Bernoulli
• Abbiamo dunque dW g  dW p  dK
1
dmgz1  z2   p1  p2 dV  dmv 22  v12 
2
• E dividendoper il volume
1
rgz1  z2   p1  p2   rv 22  v12 
2
S1

S’1
• Ovvero, vista l’arbitrarietà delle
sezioni
1 2
1 2
rgz1  rv1  p1  rgz2  rv 2  p2  const.
ds1=v1dt

2
2
ds2=v2dt
z1

S2
z2
S’2
47
Legge di Bernoulli
• I risultati calcolati con questa legge sono casi
limite, poiché in un fluido reale bisogna
sempre spendere lavoro contro gli attriti
• Quindi c.p. la variazione di velocità del fluido
sarà minore di quanto calcolato
48
Tubo di Venturi
2
1
• Serve per misurare la
velocita` e la portata
di un fluido in un
condotto
M
• E` dotato di un manometro differenziale M per la
misura della pressione
• Applichiamo la legge di Bernoulli alle sezioni 1 e 2,
entrambe alla stessa quota media z
1 2
1 2
rv1  p1  rv2  p2
2
2
2
2
2
v2  v1   p1  p2 
r
Tubo di Venturi
2
1
M
• Usando l’eq. di continuita`, possiamo esprimere la
velocita` in 2 in termini della velocita` in 1
A1v1  A2 v2
• Per la velocita` otteniamo
A1
v2  v1
A2
A22
 p1  p2  2 2
v1 
r
A1  A2
2
50
Tubo di Pitot
1
2
• Serve per misurare la velocita` di un fluido, anch’esso
e` dotato di un manometro differenziale
• Applichiamo la legge di Bernoulli, notando che la
velocita `del fluido nel punto 1 e` nulla
p1 e` anche detta pressione
1 2
1 2
totale e p2 pressione statica,
rv1  p1  rv2  p2
mentre il termine 1/2rv2 e`
2
2
detto pressione dinamica
• Ne segue
v2 
2
r
p
1
 p2 
51
Legge di Torricelli
• Descrive la velocita` di efflusso di un bacino
• Applichiamo Bernoulli notando che la pressione nei
punti 1 e 2 e` uguale a quella atmosferica
1 2
1 2
rgz1  rv1  p1  rgz 2  rv2  p2
2
2
• Quindi
1 2
1 2
gz1  v1  gz 2  v2
2
2
1
2
• Applichiamo la conservazione della portata alle
sezioni 1 e 2
A1v1  A2 v2
52
Legge di Torricelli
• Se A1>> A2 , la velocita` v1 e` trascurabile e otteniamo
v2  v1  2 g z1  z2   2 g z1  z2 
2
• Che e` uguale alla velocita` di caduta libera dalla
medesima altezza
53