Filtri attivi • Per realizzare filtri si può evitare l’utilizzazione di induttori con schemi circuitali utilizzanti amplificatori operazionali (filtri attivi) Lezione 15 1 Realizzazione di un filtro passa banda 1/2 • In generale un filtro passa banda può realizzarsi con lo schema in figura Lezione 15 2 Realizzazione di filtro passa banda 2/2 • Funzione di trasferimento Rf Vu sReCe H (s) = =− Vi Re (1 + sReCe )(1 + sR f C f ) Lezione 15 3 Introduzione Lezione 15 4 Rappresentazione grafica di H(s) • È molto importante tracciare i diagrammi che riportano, in funzione della pulsazione o della frequenza, gli spettri di ampiezza (in dB) e di fase delle funzioni di trasferimento • Tali diagrammi si chiamano diagrammi di Bode Lezione 15 5 Scala logaritmica delle pulsazioni 1/3 • Il campo di variabilità delle pulsazioni, può essere molto ampio • Anzichè riportare le pulsazioni, sull’ascissa si riporta un segmento proporzionale a u = log10 (ω ) – riportare u anziche omega semplificherà notevolmente il disegno dei diagrammi di Bode – con la scala logaritmica non è possibile rappresentare la pulsazione nulla. Lezione 15 6 Scala logaritmica delle pulsazioni 2/3 – Sulla scala logaritmica si riportano segmenti proporzionali a u = log10 (ω ) – I numeri sulle tacche sono relative alla pulsazione ω e non ad u ottava decade ( u = log ω ) Lezione 15 7 Scala logaritmica delle pulsazioni 3/3 • La decade è l’intervallo costante tra una pulsazione e la pulsazione che risulta 10 volte più grande (1 decade= log(10p)-log(p)=log(10)=1) • L’ottava è l’intervallo costante tra una pulsazione e la pulsazione doppia • (1 ottava= log (2p)-log(p)=log(2))=0.3 decadi) ottava Lezione 15 decade ( u = log ω ) 8 Scala logaritmica delle ordinate • Nei diagrammi di Bode lo spettro di ampiezza viene riportato in unità logaritmiche (dB) – riportare i dB anzichè le unità lineari semplificherà notevolmente il disegno dei diagrammi di Bode • molte parti degli spettri di ampiezza sono approssimabili con porzioni di rette con pendenze multiple di ± 20 dB/decade Lezione 15 9 Retta con pendenza di 20 dB/decade • Calcolare l’ordinata in ω = 16 e ω =5 ∆ = (log10 16 − log10 10) × 20dB / decade ≈ 4dB ∆ = (log10 5 − log10 10) × 20dB / decade ≈ −6dB Lezione 15 1 10 Funzioni di trasferimento Lezione 15 11 Diagrammi di Bode Lezione 15 12 Generalità 1/4 • Nelle reti a parametri concentrate le funzioni di trasferimento sono funzioni razionali fratte. – la fattorizzazione dei polinomi numeratore e denominatore porta a: ( s − z1 )( s − z2 )..( s − zm ) H ( s) = K ( s − p1 )( s − p2 )..( s − pn ) – K non dipende dalla pulsazione – z1, z2,…., zm sono gli zeri di H(s) – p1, p2,…., pn sono i poli di H(s) Lezione 15 13 Generalità 2/4 – gli zeri e i poli possono essere reali o complessi (in coppie coniugate) – gli zeri e i poli possono essere semplici o multipli – nelle reti stabili i poli hanno parti reali non positive • Lo spettro di ampiezza è definito da: H ( jω ) dB = 20 log10 H ( jω ) , Lezione 15 0≤ω <∞ 14 Generalità 3/4 • Proprietà importante dei logaritmi: H ( jω ) dB = K dB + jω − z1 dB + jω − z2 dB + ... + jω − zm dB + − jω − p1 dB − jω − p2 dB − ... − jω − pn dB – Decibel relativi allo zero zi: – Decibel relativi al polo pi: Lezione 15 jω − zi jω − pi dB dB 15 Generalità 4/4 H ( jω ) dB = K dB + jω − z1 dB + jω − z2 dB + ... + jω − zm dB + − jω − p1 dB − jω − p2 dB − ... − jω − pn dB • A meno della costante KdB lo spettro di ampiezza di una funzione di trasferimento è dato dalla somma dei decibel degli zeri diminuiti dalla somma dei decibel dei poli Lezione 15 16 Punti critici 1/2 • Zeri e/o poli reali • Per ogni zero o polo reale a, sull’ascissa delle pulsazioni viene introdotto un punto critico definito da ω =| a | • Determinare i punti critici della funzione di trasferimento: s −3 s −3 H (s) = • I punti critici sono: Lezione 15 s + 3s + 2 2 = ( s + 1)( s + 2) ω1 = 1, ω2 = 2, punti critici di polo ω3 = 3, punto critico di zero 17 Punti critici 2/2 • Zeri o poli complessi • Gli zeri o i poli complessi coniugati semplici implicano la presenza nella funzione di trasferimento del trinomio: s 2 + 2ξ ωo s + ω02 ⇒ s1,2 = −σ ± jω σ = ξ ωo ω = 1 − ξ 2 ωo dove il fattore di smorzamento ξ | ξ |< 1 • Il punto critico per la coppia di zeri o poli Lezione 15 complessi è dato dalla pulsazione ωo 18 Assunzioni • Anche se è possibile tracciare i diagrammi di Bode per zeri o poli con parti reali positive, per semplicità saranno considerate solo reti strettamente stabili a fase minima: – Lezione 15 Zeri e Poli hanno parti reali negative 19 Maschera degli spettri di ampiezza • Usare i dB per le ordinate e la scala logaritmica per le ascisse, consentirà di approssimare gli spettri di ampiezza con delle spezzate. • La maschera di un diagramma di Bode è costitituita dalla spezzata che l’approssima • La maschera si traccia molto velocemente e si possono stimare i valori massimi degli errori che si commettono nell’approssimazione • In pratica la maschera fornisce tutte le informazioni che bisogna conoscere su una funzione di trasferimento. Lezione 15 20 Decibel di uno zero reale semplice 1/5 • Maschera di s − zi dB = jω − zi dB • Punto critico a=-zi • Caso a=0. Zero nell’origine. Risulta: jω dB = 20 log10 ω = 20 u • La maschera coincide con il diagramma esatto ed è costituita da una retta con pendenza 20 dB/decade Lezione 15 21 Decibel di uno zero reale semplice 2/5 • Maschera di s − zi dB = jω − zi dB • Punto critico a=-zi • Caso a non nullo. Risulta: | jω + a |dB = 20 log | jω + a |= 10 log(ω 2 + a 2 ) • Per valori della pulsazione piccoli: | jω + a |dB = 20 log( a ) = adB • Per valori della pulsazione grandi: Lezione 15 | jω + a |dB = 20 log(ω ) = 20u 22 Decibel di uno zero reale semplice 3/5 • Maschera di s − zi dB = jω − zi dB • Punto critico a=-zi Lezione 15 23 Decibel di uno zero reale semplice 4/5 • Diagramma esatto di s − zi dB = jω − zi dB • Punto critico a=-zi Lezione 15 24 Decibel di uno zero reale semplice 5/5 • Maschera e diagramma esatto di s − zi dB = jω − zi dB • Punto critico a=-zi • Errore massimo nel punto critico ω=a jω + a dB − adB = 20 log10 ja + a − adB = 10 log10 2 = 3dB Lezione 15 25 Decibel di un polo reale semplice 1/5 • Maschera di 1/( s − pi ) dB = 1/( jω − pi ) dB • Punto critico a=-pi • Caso a=0. Polo nell’origine. Risulta: 1/ jω dB = −20 log10 ω = −20 u • La maschera coincide con il diagramma esatto ed è costituita da una retta con pendenza -20 dB/decade Lezione 15 26 Decibel di un polo reale semplice 2/5 • Maschera di 1/( s − pi ) dB = 1/( jω − pi ) dB • Punto critico a=-pi • Caso a non nullo. Risulta: |1/( jω + a ) |dB = −20 log | jω + a |= −10 log(ω 2 + a 2 ) • Per valori della pulsazione piccoli: |1/( jω + a ) |dB = −20 log(a ) = − adB • Per valori della pulsazione grandi: |1/( jω + a) |dB = −20 log(ω ) = −20u Lezione 15 27 Decibel di un polo reale semplice 3/5 • Maschera di 1/( s − pi ) dB = 1/( jω − pi ) dB • Punto critico a=-pi Lezione 15 28 Decibel di uno polo reale semplice 4/5 • Diagramma esatto di 1/( s − pi ) dB = 1/( jω − pi ) dB • Punto critico a=-pi Lezione 15 29 Decibel di uno polo reale semplice 5/5 • Maschera e diagramma esatto di 1/( s − pi ) dB = 1/( jω − pi ) dB • Punto critico a=-pi • Errore massimo nel punto critico: ω = a Lezione 15 a /( jω + a) dB = −10 log10 2 = −3dB 30 Diagrammi di Bode Lezione 15 31 Funzione di trasferimento da considerare • Tracciare il diagramma di Bode (solo spettro di ampiezza) della funzione di trasferimento: s+2 jω + 2 H ( s ) = 27 = 27 s+9 jω + 9 • Punti critici: ω 1= 2 punto critico di zero Lezione 15 ω 2 = 9 punto critico di polo 32 Punti critici 1/2 s+2 jω + 2 = 27 H ( s ) = 27 s+9 jω + 9 • Punti critici: ω 1= 2 punto critico di zero ω 2 = 9 punto critico di polo Lezione 15 33 Punti critici 2/2 • La maschera si ottiene combinando la maschera relativa al punto critico 2 (punto critico di zero) e quella relativa al punto critico 9 (punto critico di polo) • Per costruire la maschera totale si parte dalla maschera relativa al primo punto critico 2 e si aggiungono le maschere relative agli altri punti critici man mano che essi si presentano al crescere della pulsazione Lezione 15 34 Maschera a sinistra del secondo punto critico • Risulta: Lezione 15 35 Maschera a destra del secondo punto critico • A sinistra del secondo punto critico 9 la pendenza della maschera è +20dB/dec – a destra di 9, per la presenza di un punto critico di polo, la pendenza della maschera deve diminuire di 20 dB/dec e pertanto è orizzontale – risulta: Lezione 15 36 Quotatura della maschera 1/4 • Per quotare la maschera si considera il valore che si ha su di essa per valori di pulsazione omega molto piccoli: s+2 H m ( s ) = 27 = 6 ⇒ 3 × 2 ≈ 16dB s + 9 s ≈0 ( valore esatto 15.56 dB) Lezione 15 37 Quotatura della maschera 2/4 • Questo valore quota la retta orizzontale per omega minore di 2. Per quotare la retta orizzontale per omega maggiore di 9, bisogna calcolare la quantità ∆ Lezione 15 38 Quotatura della maschera 3/4 • Tenendo conto che la retta tra il punto critico 2 e il punto critico 9 ha pendenza di + 20 dB per decade si ha: ∆ = 20(u9 − u2 ) = 20(log10 9 − log10 2) = 9dB − 2dB = = 3dB + 3dB − 2dB = 10 + 10 − 6 = 14dB Lezione 15 39 Quotatura della maschera 4/4 • La retta orizzontale per valori di omega maggiori del secondo punto critico 9 ha la quota di +16+14=+30 dB Lezione 15 40 Spettro di ampiezza • L’andamento esatto dello spettro di ampiezza è indicato con tratto in nero H m ( jω ) dB H ( jω ) dB H ( jω ) dB H m ( jω ) dB Lezione 15 41 Stima errore massimo maschera 1/2 • Il punto critico 2 è relativo ad uno zero. L’errore si stima in 3dB: H ( j 2) ≈ H m ( j 2) + 3dB = 16 + 3 = 19dB (valore esatto 18.364 dB) Lezione 15 42 Stima errore massimo maschera 2/2 • Il punto critico 9 è relativo ad uno polo. L’errore si stima in -3dB: H ( j 9) ≈ H m ( j 9) − 3dB = 30 − 3 = 27dB ( valore esatto 25.826 dB) Lezione 15 43