ITIS G. CARDANO
Ruote dentate coniche a denti diritti
Permettono la trasmissione del moto rotatorio continuo fra assi concorrenti. La
differenza fra le ruote coniche e quelle cilindriche è rappresentata dai denti, che, in queste
ultime, hanno sezione costante, mentre nelle ruote coniche le loro dimensioni decrescono
con continuità verso la parte più piccola della ruota. Per la determinazione degli elementi di
un ingranaggio conico si devono definire gli angoli di apertura dei coni primitivi,
corrispondenti ai coni di frizione in grado di realizzare lo stesso rapporto di trasmissione.
Il problema si pone in questi termini: dato il rapporto di trasmissione (τ) e l’angolo (α)
compreso fra gli assi di rotazione delle due ruote, determinare il valore dei semiangoli dei
due coni primitivi d1 e d2.
.
Si verificano tre casi:
a. gli assi delle due ruote coniche formano tra loro un angolo retto (α = 90°):
τ = senα2 / senα1 = cos α1 / senα1 = ctg α1
b. gli assi delle due ruote coniche formano tra loro un angolo acuto (α < 90°):
τ = senα ctg α1- cosα
ctg α1 = (τ + cos α ) / sen α
c. gli assi delle due ruote coniche formano tra loro un angolo ottuso (α > 90°):
ctg α1 = [τ - cos (180° - α)] / sen (180° - α)
CONI PRIMITIVI E CONI COMPLEMENTARI DI UNA COPPIA DI RUOTE DENTATE CONICHE
Rapporto di trasmissione
τ = n1 / n2 = d2 / d1 = z2 / z1 = senα2 / senα1
Elementi delle ruote coniche a denti diritti
Tutte le grandezze delle ruote coniche sono riferite alla base maggiore del tronco di
cono primitivo.
Il modulo (m) è il rapporto tra il diametro primitivo e il numero di denti:
m=d/z
Con riferimento alla FIGURA A si hanno le relazioni:
diametro primitivo
d =mz
passo
p =πm
addendum
a =m
dedendum
a’ = (7/6) m
altezza del dente
h = a + a’ = (13/6) m
diametro di testa o esterno de = d + 2m cos α1
diametro di base o interno di = d – 2(7/6)m cos α1
lunghezza del dente
b = 6 ÷ 15 m
With the support of the Lifelong Learning Programme of the European
Union. This project has been funded with support from the European
Commission.
1
ITIS G. CARDANO
Altri elementi caratteristici sono i seguenti:
- generatrice del cono primitivo :
OA = r / sen α1 = d / 2 sen α1
- angolo di addendum (formato dalla generatrice del cono esterno con la generatrice del
cono primitivo):
tg φ = a / OA = m / OA = 2 senα1 / z1
- angolo di dedendum (formato dalla generatrice del cono primitivo con la generatrice del
cono interno):
tg ψ = a’ / OA = (7/6)•(m / OA) = (14/6)•(senα1/z1)
- semiangolo del cono interno: α1’ = α1 – ψ
- semiangolo del cono esterno: α1’’ = α1 + φ
N.B. - Gli elementi: p, a, a', h, b, φ, ψ e la generatrice OA sono uguali nelle due ruote.
Le ruote coniche coniugate hanno uguali fra loro gli angoli di addendum e di dedendum.
Contrariamente a quanto avviene nelle ruote dentate cilindriche, non è possibile far
ingranare un rocchetto conico con una qualsiasi ruota conica dello stesso modulo. Le ruote
coniche vanno considerare a coppie; per cambiare il rapporto di trasmissione si devono
cambiare entrambe le ruote.
Minimo numero di denti
L’espressione per il calcolo del minimo numero di denti delle ruote dentate coniche,
nell’ipotesi che tutto il profilo del dente sia coniugato con quello della ruota compagna
(dentatura normalizzata), differisce da quella per le ruote dentate cilindriche solo per il
termine cosα1 :
zmin = {14 / [6 • (1 – cos θ)]}• cosα1
2
2
zmin =(2/{√[(z2/z1) +(1+ 2z2/z1)sen θ] – [z2/z1]}) • cosα1
Qualora si intenda rinunciare all’ultimo tratto di profilo coniugato sostituendolo con un
segmento radiale (dentatura corretta), si può utilizzare la formula:
2
2
zmin = 2 cosα1/{√ [(z2/z1) +(1 + 2z2/z1) sen θ] – [z2/z1]}
che fornisce un numero di denti minore.
FIGURA A - ELEMENTI DI UNA RUOTA DENTATA CONICA A DENTI DIRITTI
With the support of the Lifelong Learning Programme of the European
Union. This project has been funded with support from the European
Commission.
2
ITIS G. CARDANO
Proporzionamento della dentatura
Per il proporzionamento delle ruote dentate coniche sono note la potenza da
trasmettere e il numero di giri.
Per determinare il carico di sicurezza dinamico alla flessione si procede come nel caso
delle ruote dentate cilindriche.
Per la determinazione del modulo (m) si calcola il modulo medio (mm), misurato a metà
della lunghezza del dente con le formule già viste per le ruote cilindriche. Dato che nelle
ruote coniche le dimensioni variano lungo la generatrice, e la ripartizione del carico non è
quindi uniforme, si deve moltiplicare il numeratore del secondo membro della relazione per
un coefficiente ( c ), il cui valore varia da 1,4 per ingranaggi comuni a 1,25 per ingranaggi
precisi:
- con il metodo di Reuleaux:
mm = ³√(10,5 c Mt / λ K’ z)
- con il metodo di Lewis:
mm = ³√( 2 c Mt / λ K’f y z ) .
Il coefficiente (λ) rappresenta il rapporto fra la lunghezza ( b ) del dente e il modulo medio:
è compreso tra 6 e 15.
Noto il modulo medio, si può risalire al modulo (m);
m = { [(mm  z1) / sen α1] + λ  mm } / (z1 / sen α1)
in base al modulo ( m ) calcolato, ed eventualmente arrotondato al valore immediatamente
superiore nella serie dei moduli unificati, si determinano le altre dimensioni, con le formule
già viste per le ruote dentate cilindriche.
Per l’angolo di addendum:
tg φ = 2 sen α1/ z
Per l’angolo di dedendum:
tg ψ = (7/6) (2 sen α1/ z)
Per le ruote dentate coniche veloci, con velocità periferica superiore a 10 ÷ 12 m/s, è
opportuno effettuare la verifica all’usura, con gli stessi criteri già visti per le ruote cilindriche.
La pressione di contatto fra i denti in presa ( p con) non deve superare la pressione massima
ammissibile:
pcon = C √{[2 c Mt (1 + e) cos α1] / ( b dm2)}
pmax = 2,5 HB / 6√(n h)
dove:
 HB = durezza Brinell del materiale;
 dm = diametro medio della ruota minore;
 b = lunghezza del dente = (6 ÷ 15) • m
 α1 = angolo di semiapertura del cono primitivo;
 c = coefficiente già visto per il calcolo del modulo medio;
 n = numero di giri al minuto della ruota minore;
 h = ore di funzionamento previste.
With the support of the Lifelong Learning Programme of the European
Union. This project has been funded with support from the European
Commission.
3
ITIS G. CARDANO
Spinte assiali e radiali
Nelle ruote dentate coniche con dentatura ad evolvente la linea d’azione della spinta
effettiva trasmessa fra i denti risulta inclinata dell’angolo di pressione, perpendicolare alla
generatrice di contatto. Questa spinta può essere scomposta nelle due componenti F e F s.
La componente F corrisponde alla forza tangenziale utile trasmessa e si ricava dalla
formula della potenza.
La componente Fs è uguale a (F tgθ) e può essere scomposta nelle due componenti F r e
Fa.
La componente Fr, nella direzione del raggio primitivo medio rm, rappresenta la spinta
radiale esercitata dal rocchetto sulla ruota; si trasmette ai supporti dell’albero,
perpendicolarmente all’asse di rotazione:
Fr = Fs cos α1= F • tg θ • cos α1
La componente Fa , nella direzione dell’asse di rotazione della ruota, rappresenta la spinta
assiale esercitata dal rocchetto sulla ruota:
Fa = Fs • sen α1= F • tgθ • sen α1
La spinta radiale Fr e la forza tangenziale F risultano perpendicolari fra loro e perpendicolari
all’asse di rotazione della ruota, dando luogo alla spinta radiale risultante seguente:
FR = √(F2 + Fr2) = F √(1 + tg2θ cosα1)
Questa risultante determina il momento torcente:
Mt = FR rm = F rm√(1 + tg2θ cos2α1)
La spinta assiale Fa dà luogo invece ad un momento flettente:
Mf = Fa rm = F rm tgθ senα1
Per le azioni della ruota sul rocchetto valgono le stese formule, sostituendo ovviamente α 2
con α1.
Rendimento delle ruote dentate coniche
Indicando con z1 e z2 i numeri di denti delle due ruote, con (f) il coefficiente d’attrito radente
e con (α) l’angolo fra gli assi, per le coppie di ruote dentate coniche il rendimento si può
calcolare con la formula:
η = 1 - f π √[(1 / z12)+ (1 / z22) + (2 cos α / (z1 z2)]
Il valore di (f) varia normalmente da 0,15 a 0,25.
In genere il rendimento degli ingranaggi è elevato; può essere migliorato con un’efficace
lubrificazione fra i denti in presa.
With the support of the Lifelong Learning Programme of the European
Union. This project has been funded with support from the European
Commission.
4