MAURIZIO LENZI
Direttore Tecnico, ACMAR di Ravenna
SOMMARIO
La risposta delle strutture cilindriche soggette ad
azioni orizzontali presenta caratteristiche peculiari
individuabili mediante l’analisi in serie di Fourier.
Sovrapponendo le forme modali estensionali, flessionali ed ovalizzanti che tale analisi evidenzia possono
essere studiate, con algoritmi semplici, configurazioni
di carico complesse.
SUMMARY
In the paper the structural behaviour of cylindrical
shells under lateral loadings is analysed by means of
the Fourier series. The characteristic extensional, flexural and oval modal shapes are individuated, allowing
to explain the response to complex lateral load patterns.
1. PREMESSA
STRUTTURE CILINDRICHE
SOGGETTE AD AZIONI
ORIZZONTALI:
UN APPROCCIO UNITARIO
re che permette di individuare i meccanismi resistenti
mobilitati dalle varie armoniche di carico a carattere
estensionale, flessionale ed ovalizzante e di dedurre i
valori delle azioni interne relative a configurazioni di
carico complesse in base a semplici equazioni di
equilibrio del regime di membrana.
Viene analizzata la risposta delle strutture cilindriche
dapprima all’azione del vento, che richiede l’analisi di
un più ampio spettro di armoniche. Successivamente
vengono esaminati, mediante analisi statiche equivalenti, gli effetti dell’azione sismica e delle operazioni di
svuotamento nei silos, che si presentano come casi
particolari che possono essere studiati con un numero limitato di armoniche.
2. STRUTTURE CILINDRICHE SOGGETTE
ALLE AZIONI DEL VENTO
a) L’azione del vento sulle superfici cilindriche viene in
genere schematizzata, nell’ambito normativo ed in
sede di progetto, mediante una complessa distribu-
Nella presente nota tecnica* si analizza il regime di
sforzi indotti in strutture cilindriche, quali silos e serbatoi, dall’azione del vento, del sisma e del materiale
insilato con l’obiettivo di individuare soluzioni di semplice impiego, utili nelle fase di dimensionamento e di
verifica.
La tecnica utilizzata a questo scopo, segnatamente lo
sviluppo in serie di Fourier, è ben nota e ricca di riferimenti in letteratura. Nella memoria se ne presenta
un’applicazione utilizzando un modello a sottostruttu-
(*) La nota riporta i risultati salienti di uno studio sul tema “Analysis
of cylindrical shells under lateral loadings: a unitary approach” condotto da M. Lenzi ed A. Gambi nell’ambito dei lavori di costruzione
di alcuni impianti di stoccaggio realizzati nell’area portuale di
Ravenna.
Fig. 1 - Distribuzione delle pressioni cinetiche su superfici cilindriche lisce (a) e scabre (b).
269
Fig. 2 - Scomposizione in serie di Fourier delle pressioni cinetiche.
zione di pressioni radiali che viene espressa in funzione della scabrosità della superficie e dell’angolo (θ)
formato tra la normale alla parete e la direzione di
incidenza del vento (Fig. 1).
Questa distribuzione di pressioni radiali può essere
riprodotta mediante lo sviluppo in serie di Fourier:
nel quale q = c q rappresenta l’ampiezza armonica
della componente n-esima della serie, c è il coefficiente di pressione ad essa correlativo mentre q individua la pressione cinetica del vento. Considerando
ad esempio i primi tre termini della serie, la pressione
del vento può essere descritta mediante l’equazione
seguente:
n
n
n
La scomposizione della pressione del vento nelle
componenti armoniche è riportata in fig. 2.
b) Si può constatare come alle varie componenti
armoniche del carico esterno corrispondano altrettanti meccanismi resistenti (fig. 3). Al primo termine della
serie è associata infatti una risposta di tipo estensionale essendo, per il vento, negativo il primo termine di
carico (c q) corrispondendo questo ad una depressione uniforme.
Il secondo termine (c q) dà invece origine ad una configurazione di carico non equilibrata e la risposta del
cilindro è riconducibile a quella di una struttura a
mensola verticale soggetta alle varie quote alla risultante diretta secondo il vento incidente delle pressioni radiali agenti sulla sezione trasversale. Al terzo termine (c q) corrisponde a sua volta una componente di
carico autoequilibrata che induce, a causa delle inversioni di segno del carico, una ovalizzazione nella
parete cilindrica. Le armoniche superiori (n>2) mantengono le medesime caratteristiche di carico ovalizzante autoequilibrato.
S’intuisce pertanto che il regime tensionale indotto
dal vento risulti alquanto complesso e che la sua
esatta individuazione sia possibile solo ricorrendo a
modelli agli elementi finiti. Tuttavia gli aspetti salienti
della risposta strutturale ed una affidabile valutazione
delle sollecitazioni più gravose può effettuarsi come
di seguito indicato.
o
1
2
nella quale si possono assumere per i coefficienti c i
valori approssimati riportati in Tab. I (Pozzati, [3].).
Una descrizione esaustiva della distribuzione delle
pressioni cinetiche in funzione del numero di Reynolds e della velocità del vento è riportata nell’Eurocodice 1 [09].
n
Tab. I. Coefficienti di pressione per superfici lisce e scabre.
Tipo di
Coefficienti della serie trigonometrica
Superficie
c1
c2
co
1.412
Liscia
-1.037
0.625
Scabra
-0.125
0.750
0.375
Fig. 3 - Modello di strutture cilindriche soggette ad azioni orizzontali.
270
ortogonale alla parete. Per le strutture cilindriche il
regime di sforzi principale mediante il quale vengono
fronteggiati i carichi esterni è quello di membrana
mentre, in genere, il regime flessionale interviene solo
localmente nel ripristino di condizioni di congruenza
ai bordi, con effetti che si smorzano rapidamente
allontanandosi da questi.
Le soluzioni delle equazioni differenziali di equilibrio di
un concio infinitesimo di parete cilindrica mostrano
come gli sforzi relativi al regime di membrana si possano esprimere mediante un sviluppo in serie di
Fourier a variabili separate affine a quello della distribuzione del carico esterno. Si possono quindi assumere per tali sforzi le espressioni seguenti:
essendo al solito N lo sforzo normale di meridiano, N
lo sforzo normale di parallelo ed S lo sforzo tagliante. La ricerca degli sforzi è pertanto ricondotta a quella delle loro ampiezze armoniche che si possono
determinare in base a semplici condizioni di equilibrio.
v
p
m
Fig. 4 - Scomposizione della superficie cilindrica in sottostrutture (indice dell’armonica n=2).
d) La prima armonica di carico (n=0) induce nel cilindro, in regime di membrana, per ragioni di simmetria
radiale solo sforzi di parallelo (N = -q R; N = 0; S =
0; R = raggio del cilindro).
Si prendono quindi in esame le componenti armoniche successive:
c) Il regime di sforzi in una parete cilindrica si compone, come noto, sia di sforzi in regime di membrana
che agiscono nel piano tangente alla parete, sia di
sforzi in regime flessionale che agiscono nel piano
di indice>n1. Per le ipotesi assunte, nei punti lungo la
circonferenza in cui il carico q (q) si annulla, l’unica
componente di sforzo presente è lo sforzo tagliante.
Fig. 5 - Sforzi verticali equilibranti.
Fig. 6 - Equilibrio alla traslazione di un concio di settore cilindrico.
p,0
o
V,0
m,0
n
271
Tab. II - Sforzi di membrana - carico uniforme q n(z)=qn cos(n )
Armonica
Sforzi di membrana
Nv,n(z)
nr
N p,n(z)
S m,n(z)
n-esima
n2qnz2/2R
- q nR
nq n z
Tab. III - Sforzi di membrana - carico lineare q n(z)=qnz/H cos(n )
Armonica
Sforzi di membrana
nr
Np,n(z)
S m,n(z)
Nv,n(z)
- q nR
nq n z/2
n
n2qnz3/6R
Isolando con due sezioni verticali un settore di parete
cilindrica di estensione angolare 2α = π/n compreso
tra due punti di zero consecutivi e di altezza z misurata a partire dalla sommità libera del cilindro, gli sforzi di membrana in equilibrio con la risultante del carico esterno q (z)cos(nθ) risultano essere gli sforzi normali, N (z ) cos(nθ), che agiscono alla base del tronco
di cilindro e la risultante degli sforzi taglianti, S (z),
che agiscono lungo le due sezioni verticali dove sono
stati operati i tagli (fig. 4).
Notato che la risultante delle pressioni del vento
agenti su una striscia di settore cilindrico è diretta
lungo la bisettrice dell’angolo 2α, il momento esterno
agente alla quota z vale:
n
v,n
o
ricava il valore dell’ampiezza armonica dello sforzo di
meridiano alla quota z ottenendo, a conti fatti:
relazione che mostra come gli sforzi di meridiano varino in altezza con legge affine al momento esterno. La
risultante di tali sforzi vale poi a sua volta:
Per determinare l’entità dello sforzo tagliante S (z) si
opera alla Jourasky isolando un concio di settore
cilindrico di altezza dz sulle cui sezioni orizzontali agiscono in direzioni opposte le risultanti degli sforzi di
meridiano V e V +dV (Fig. 6). Dall’equazione di equilibrio alla traslazione verticale:
m,n
n
n
n
m,n
si ricava poi l’ampiezza armonica dello sforzo tagliante alla quota z, ottenendo la relazione:
che mostra un andamento con l’altezza affine a quello del taglio esterno, t (z)= q (z ) dz , agente alla base
di una striscia meridiana di larghezza unitaria e di
altezza z.
Per quanto concerne infine lo sforzo di parallelo, questo si ricava dalla equazione di equilibrio in direzione
della normale alla superficie di un concio infinitesimo
di cilindro in regime di membrana ottenendo:
e
essendo m (z) = q (z )(z-z )dz il momento agente alla
base di una striscia meridiana di larghezza unitaria e
di altezza z, soggetta al carico q (z ). Il momento
esterno complessivo viene equilibrato dalla coppia
formata dalla risultante, V , degli sforzi di meridiano
agenti alla base e dalla risultante degli sforzi taglianti
verticali agenti lungo le due generatrici sezionate dai
tagli verticali (fig. 5).
Il momento di questa coppia di forze coincide con il
momento degli sforzi verticali di meridiano computato rispetto alla corda passante per i due punti di zero:
e
n
o
o
o
n
o
n
o
o
n
Eguagliando il momento esterno a quello interno si
Il quadro degli sforzi di membrana valutato alla base
di cilindro di altezza z nel caso di carico costante in
altezza è riepilogato in Tab. II.
Per un carico idrostatico, q(z,θ) = q z/H cos(nθ) si
ricava invece come indicato in Tab III.
La condizione di carico crescente con l’altezza da un
valore nullo alla base ad un valore massimo in sommità si deduce dalla combinazione dei due casi elementari precedenti.
o
Fig. 7 - Modello proposto da
Greneir [8].
272
Fig. 8 - Componenti dello sforzo di meridiano: azione del vento (H=20 m; R=20 m; q=1 Kpa).
Fig .9a - Forze inerziali - Distribuzione delle pressioni radiali.
Esempio nr. 1
Quale esempio illustrativo si riporta il caso, tratto da
[8], di un serbatoio metallico di 40 m di diametro
(R=20 m) e di 20 m altezza (H=20 m) soggetto ad una
pressione cinetica del vento di valore unitario
(q=1KPa).
La distribuzione radiale delle pressioni viene in questo
caso descritta utilizzando 5 armoniche mediante l’equazione approssimata:
Il diagramma degli sforzi di meridiano per la sezione
di anomalia θ=0 è riportato in fig. 8 mentre in Tab. IV
è riportato il contributo fornito dalle varie armoniche
allo sforzo di meridiano, valori che si desumono applicando la formula ricorrente:
Fig. 9b - Silo di stoccaggio di clinker (H=32. m-, R =17 m).
Come si può notare l’armonica di carico non equilibrata rappresentata dal 2° termine della serie (n=1)
corrispondente al comportamento a mensola, fornisce sollecitazioni secondarie rispetto a quelle ben più
Tab. IV - Sforzi di meridiano (KN/m) - Serbatoio
Armonica
n=0
n=1
Coefficiente cn
-0.55 +0.25
0
+2.5
Sforzo di meridiano (θ=0)
0
-2.5
Sforzo di meridiano (θ=π)
H=20 m H R=20 m (da [8])
n=2
n=3
n=4 Totale
+1.0 +0.45 -0.15
1.00
+40.0 +40.5 -24.0 +59.0
+40.0 -40.5 -24.0 -27.0
gravose indotte dalle condizioni di carico autoequilibrate che producono ovalizzazione (>n2).
Ciò risulta conseguenza sia del maggior valore del
coefficiente di pressione ma anche del fatto che per le
armoniche ovalizzanti il comportamento della struttura può essere interpretato fisicamente come conseguente ad una scomposizione della superficie cilindrica in 2n settori (sottostrutture) le cui risorse statiche
risultano ridotte, essendo minore il braccio della coppia resistente di ogni sottostruttura.
273
Fig. 10 - Modello agli elementi finiti - Sforzi di meridiano e di parallelo in condizioni sismiche.
to è spesso necessario adottare semplificazioni radicali.
A questo riguardo gli Eurocodici di settore ed in particolare la UNI ENV 1998 – Parte 4 (EC8-4) adottano come
modello di riferimento l’analisi statica equivalente.
Indicata pertanto con a l’accelerazione sismica di progetto e con γ il peso specifico del materiale stoccato, la
forza d’inerzia agente su un strato di altezza unitaria di
materiale insilato risulta valere:
g
Le pressioni radiali indotte dal sisma si assumono distribuite lungo la circonferenza del cilindro con legge
seguente che utilizza la simbologia dell’EC8-4 (fig. 9a):
La pressione massima, p, si ricava imponendo l’equivalenza tra la forza d’inerzia P e la risultante, H=pπR, delle
componenti pcos (θ) delle pressioni radiali in direzione
del sisma, ottenendo:
2
Fig. 11 - Sezione trasversale con scarico al centro (Rev. Acmar).
In base alle ipotesi assunte dall’EC8 la condizione di
carico sismica coincide con l’armonica di carico di
indice n=1. Lo sforzo di meridiano e lo sforzo tagliante
sono in questo caso massimi alla base in due sezione
disposte tra loro in quadratura, mentre gli sforzi di
parallelo, per un cilindro open top, sono massimi in
sommità. Il regime di sforzi di membrana risulta essere
quindi:
3. SILOS CILINDRICI SOGGETTI AD AZIONI
SISMICHE
La risposta alle azioni sismiche di strutture cilindriche
contenenti materiale insilato è alquanto complessa e per
potere effettuare valutazioni sul regime di sforzi indot274
Il regime di sforzi flessionale è in genere trascurabile e
presenta valori apprezzabili solo in prossimità dell’incastro. Per la stima dei momenti di meridiano e dei
Fig. 12 - Scomposizione in armoniche della pressione del clinker nella configurazione di svuotamento al centro da bocchette diametrali.
momenti torcenti alla base e dei momenti di parallelo in
parete si può far uso delle seguenti equazioni:
Fig. 13 - Anello di irrigidimento in sommità.
La soluzione ricavata presenta il pregio della semplicità
e consente di effettuare rapide verifiche sugli ordini di
grandezza delle sollecitazioni.
accordo con quelli analitici a conferma, come intuibile,
che la risposta strutturale dipende principalmente dal
regime di membrana tranne ovviamente che nei pressi
della base del cilindro ove si concentrano gli sforzi flessionali.
Esempio nr. 2
Quale esempio illustrativo si considera un silos lo stoccaggio di clinker (fig. 9b) di 34 m di diametro, di 32 m di
altezza e pareti di 35 cm di spessore (R=17 m ; H=32 m;
s=0.35 m). Il peso specifico del materiale insilato é di 16
KN/m . Il sito ricade in zona 3 (a =0.15 g) mentre la categoria stratigrafica del terreno comporta un coefficiente
di amplificazione di 1.35 (Cat. D). L’accelerazione di progetto risulta pari a circa 0.2g.
La pressione radiale associata all’azione sismica vale
pertanto:
3
g
Ne consegue che gli sforzi di meridiano e gli sforzi
tagliante indotti alla base della parete e gli sforzi di
parallelo in sommità assumono i valori:
4. SILOS CILINDRICI SOGGETTI A SVUOTAMENTO
DEL MATERIALE INSILATO
La tecnica indicata di scomposizione del carico in componenti armoniche si presta allo studio delle più svariate configurazioni di carico. Tra queste si ritiene di interesse analizzare il caso relativo alla configurazione di
carico conseguente ad uno svuotamento del materiale
insilato effettuato da una serie di bocchette allineate al
centro del silos lungo un diametro. La configurazione di
carico è quella indicata in fig. 11 e può essere descritta
da una legge di distribuzione del tipo:
nella quale λ è il coefficiente di spinta del materiale insilato relativa alla configurazione successiva allo svuotamento e γ il suo peso specifico.
La condizione di carico in esame può essere scomposta in due configurazione elementari di cui una corrispondente ad una pressione radiale uniforme (fig.
12):
Le azioni flessionali di meridiano, torcenti e di parallelo
assumono a loro volta i valori massimi seguenti:
ed una variabile con legge:
In fig. 10 si riporta il diagramma degli sforzi di meridiano e di parallelo dedotti mediante utilizzo di un modello
agli elementi finiti che fornisce risultati in sostanziale
Il primo termine della serie è analogo alla configurazione
di spinta a silo pieno e si studia con le soluzioni a questa relativa mentre la presenza della seconda componente induce, come già visto per il caso dell’azione del
vento, l’ovalizzazione della sezione. Operando con il
275
medesimo criterio adottato per il carico uniforme e
posto:
per gli sforzi di membrana si ricavano i seguenti valori
alla base del cilindro:
Esempio nr. 3
Si considera lo stesso silos dell’esempio precedente
soggetto allo scarico al centro. Si adotta un peso specifico di 16 KN/m3 ed un coefficiente di spinta λ = 0.25
relativo alla configurazione di scarico (v. fig. 11).
Saggiando la soluzione per via numerica si può constatare che la condizioni di carico di esercizio relativa allo
svuotamento diametrale induce, nel caso di battente
massimo, sollecitazioni paragonabili a quelle associate
all’azione sismica alo SLU, come si evince dal confronto riportato in Tab. V. Tale circostanza nasce dalla ridotta capacità per la componente armonica ovalizzate (n=2)
di fronteggiare l’azione ribaltante esterna con bracci
limitati della coppia interna.
S’intuisce pertanto l’importanza di introdurre, come
avviene di consuetudine, anelli di irrigidimento in sommità (fig. 13) (e per sili snelli quali quelli in acciaio anche
in parete) che contrastando l’ovalizzazione della sezione
cilindrica ne riducono marcatamente l’impegno statico.
5. CONCLUSIONI
Nelle strutture cilindriche le azioni ambientali, quali il
vento ed il sisma, e le azioni conseguenti allo stoccaggio
ed alla movimentazione del materiale insilato sono caratterizzate da variazioni, anche repentine, di carattere asimmetrico del campo di pressioni. Questa circostanza si
riflette marcatamente sul regime di sforzi interni al punto
di rendere non immediatamente comprensibile il comportamento strutturale.
Una chiave di lettura dei meccanismi resistenti che vengono attivati a fronte di tali carichi è fornita i dallo sviluppo in serie di Fourier delle pressioni radiali. La scomposizione in armoniche si traduce infatti in configurazioni di
carico elementari caratterizzate da distribuzioni con legge
trigonometrica sia delle pressioni che degli sforzi interni,
ad una ognuna delle quali si associa un ben determinato
meccanismo resistente.
A questo riguardo si ritiene originale la lettura proposta
che identifica la risposta della struttura cilindrica in quelTab. V - Sollecitazioni nel silos indotte dal sisma, dallo svuotamento e dal vento[KN/m]
Condizione di carico
Sforzo alla
base
Svuotamento
Vento
Azione sismica
del cilindro
(q=1.5 KPa)
(ag=0.230g)
(γ=16 KN/m3; λ=0.25)
Sforzo di meridiano
1659
2570
72
Sforzo di taglio
1763
2048
166
26
Sforzo di parallelo
936
2176
276
la di sottostrutture, di ampiezza angolare via via ridotta al
crescere dell’indice dell’armonica, ciascuna delle quali
fronteggia con risorse proprie il campo di pressioni su di
essa direttamente applicato.
In tal modo si fornisce una interpretazione diretta del
complesso meccanismo che sottende la risposta ai carichi ambientali. In particolare risulta chiaro il ruolo delle
configurazioni di carico autoequilibrate ovalizzanti che
possano indurre un regime di tensione ben più gravoso di
quello prodotto dal comportamento d’insieme a mensola
verticale del cilindro, in virtù del fatto che al ridursi delle
dimensioni della sottostruttura si riducono anche le risorse statiche disponibili.
Ravenna 8/11/2005.
RINGRAZIAMENTI
Un interessante applicazione del metodo illustrato nel
presente articolo è contenuta nella Tesi di Laurea
dell’Ing. Federico Caimmi dal titolo “Strutture cilindriche
soggette ad azioni orizzontali”, Relatore il Prof. Giovanni
Pascale, Correlatrice l’Ing. Barbara Bonfiglioli, che si ringraziano per la consueta disponibilità e cortesia.
Da ultimo, ma non per importanza, un sincero ringraziamento all’amico Andrea Gambi per il suo inestimabile
contributo di idee.
BIBLIOGRAFIA
[01] Belluzzi,O. Scienza delle Costruzioni , Vol. III , Cap.
XVII , Zanichelli, Bologna, 1955.
[02] Timoshenko, S.P., Woinowsky Krieger, S. Theory of
plates and shells, Cap . 15,
Mc Graw Hill International, London, 1959.
[03] Pozzati, P., Teoria e Tecnica delle Strutture . Vol. I,
Cap. II, Ed. UTET Torino 1977
[04] Pozzati, P., Teoria e Tecnica delle Strutture . Vol. II,
Cap. X, Ed. UTET Torino 1977
[05] Baikov, V.N., Reinforced Concrete Structures . Cap.
2, MIR Publishers, Mosca, 1978
[06] Rekac V.G., Static theory of thin wall space structure
Cap. 3, MIR Publishers, 1978
[07] Balatroni, I., Sili e Serbatoi – Relazione su invito,
Giornate AICAP , Pescara, 1995
[08] Greiner, R. Cylindrical shell: wind loading in Brown,
C.J,, Nielsen J., Editors Silos Fundamentals of Theory, Behaviour and Design. Cap. 17,
E&FN Spon, London, 1997
[09] UNI ENV 1991-2-4 Eurocodice 1 : Basi di calcolo ed
azioni sulle strutture.
Parte 2-4: Azioni sulle strutture – Azioni del vento, Milano,
Marzo 1997
[10] UNI ENV 1998 – 4 Eurocodice 8 : Indicazioni progettuali per la resistenza sismica delle
strutture – Parte 4 : Silos , serbatoi e tubazioni , Milano,
Settembre 2000.
[11] Lenzi,M., Gambi, A. Analysis of cylindrical shells
under lateral loadings: a unitary approach, ACMAR,
Report, Ravenna, 2005, in corso di stampa.