Cenni di matematica e
geometria per la fisica
a+x=b
LEZIONI DI FISICA
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Equivalenze
Anche si ti sono note le equivalenze dalle elementari,
ripassiamo insieme le scale metriche decimali,
aggiungendo qualche precisazione a quello che sai già.
Una scala metrica (cioè di unità di misura) si dice
decimale se esiste un rapporto di dieci (o multipli di
dieci) fra le sue unità.
Per esempio un metro è fatto di 10 decimetri, o
di 100 centimetri.
Daremo per scontato l’idea di unità di misura (la
rivedremo più avanti).
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Equivalenze:2
Le scale di cui ci occupiamo in questa prima fase sono
quelle:
- del metro (m) per le lunghezze
- del chilogrammo (kg) per la massa
- del metro quadro (m2) per le superfici
- del metro cubo (m3) per i volumi
- del secondo ( s ) per il tempo
- del litro ( l ) per le capacità
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Equivalenze: multipli e sottomultipli
Ogni scala di unità di misura, è composta di multipli e
sottomultipli di una certa unità di misura di
riferimento.
Per esempio il km è un multiplo del m.
Una unità (il km) è un multiplo di quella fondamentale
(il m) se la contiene un certo numero intero di volte (in
questo caso 1000 volte)
Una unità (il cm) è un sottomultiplo di quella
fondamentale (il m) se vi è contenuta un certo numero
intero di volte (in questo caso 100 volte)
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Equivalenze: la scala del metro /1
Es.1: 25 km = m 25.000
1 km = 1000 m
1m
Ad ogni passo nella scala dall’alto
verso il basso (in questo caso tre
passi) aggiungo uno zero (0) a
destra (in coda!)
1dm = 0,1 m
Es.2: 2,5 hm = mm 250.000,
1cm = 0,01 m
Aggiungere uno zero
significa moltiplicare per
10, cioè spostare la virgola
di un posto ad ogni passo.
1 hm = 100 m
1 dam = 10 m
1 mm = 0,001 m
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Equivalenze: la scala del metro /2
Es.3: 3 m = cm 300
1 m = 0,001 km
1 m = 0,01 hm
1 m = 0,1 dam
1m
1 m = 10 dm
1 m = 100 cm
1 m = 1000 mm
LEZIONI DI FISICA
Es.4: 2, m = hm 0,02
Ad ogni passo nella scala dal basso
verso l’alto (in questo caso due passi)
aggiungo uno zero (0) a sinistra (davanti
al numero!) e metto la virgola dopo il
primo.
Es.2: 0,5 cm = dam 0,0005
Regola pratica: se mi sposto di 4 posti
verso l’alto nella scala, sposterò la
virgola a sinistra di 4 posti.
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Equivalenze: la scala del grammo
La scala dei grammi (g) è identica a quella dei m.
Applicheremo le stesse regole pratiche di equivalenza.
1 kg = 1000 g
1 g = 0,001 kg
1 hg = 100 hg
1 g = 0,01 hg
1 dag = 10 g
1 g = 0,1 dag
1g
1g
1 dg = 0,1 g
1 g = 10 dg
1 cg = 0,01 cg
1 g = 100 cg
1 mg = 000,1 g
1 g = 1000 mg
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Equivalenze: la scala del litro /1
La scala del litro è decimale. E’ una scala di volumi usata per i
liquidi. Molti strumenti sono tarati in litri quindi dobbiamo conoscere
la scala. E’ identica a quella dei metri e dei grammi.
1 hl = 100 hl
1 l = 0,01 hg
1 dal = 10 l
1 l = 0,1 dag
1l
1l
1 dl = 0,1 l
1 l = 10 dl
1 cl = 0,01 l
1 l = 100 cl
1 ml = 000,1 l
1 l = 1000 ml
LEZIONI DI FISICA
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Equivalenze: la scala del metro quadro /1
Il metro quadro è l’unità di misura delle aree.
Rispondiamo innanzitutto alla domanda: quanti decimetri
quadri stanno in un metro quadro?
In 1 m ci sono 10 dm.
1m
1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm
10 dm
D’altra parte un m2 è un quadrato di lato pari ad 1 m.
LEZIONI DI FISICA
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Stiamo rispondendo alla
domanda: quanti dm2
stanno in un m2 ?
10 dm
1 m2
1dm1dm1dm1dm1dm1dm1dm1dm1dm1dm
Equivalenze: la scala del metro quadro /2
100 dm2
1dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm2
1dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm2
1dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm2
1dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm2
1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm 1dm
1dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm2
1 m2
1dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm2
1dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm2
10 dm
1dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm2
1dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm2
1 dm x 1 dm = 1 dm2
1dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm21dm2
Risposta: In 1 m2 ci sono 100 dm2.
LEZIONI DI FISICA
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Equivalenze: la scala del metro quadro /3
Allora se in 1 m2 ci sono 100 dm2, in 1 dm2 ci saranno
100 cm2 e così via. Abbiamo scoperto che nelle
equivalenze fra multipli (e sottomultipli) del m2 per
passare da un’unità all’altra bisogna moltiplicare per 100.
1 km2 = 1.000.000 m2
1 m2 = 0,000001 km2
1 hm2 = 10.000 m2
1 m2 = 0,0001 hm2
1 dam2 = 100 m2
1 m2 = 0,01 dam2
1 m2
1 m2
1dm2 = 0,01 m2
1 m2 = 100 dm2
1c m2 = 0,0001 m2
1 m2 = 10.000 cm2
1 mm2 = 0,0000001 m2
1 m2 = 1.000.000 mm2
LEZIONI DI FISICA
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Equivalenze: la scala del metro quadro /3
1 km2 = 1.000.000 m2
1 hm2 = 10.000 m2
1 dam2 = 100 m2
1m
1dm2 = 0,01 m2
Esempi
1) 5 m2 = dm2 500 (+2 zeri)
2) 0,7 cm2 = m2 0,00007 (+4 zeri)
1c m2 = 0,0001 m2
1 mm2 = 0,0000001 m2
1 m2 = 0,000001 km2
1
m2
= 0,0001
hm2
1 m2 = 0,01 dam2
1
m2
1 m2 = 100 dm2
1 m2 = 10.000 cm2
1 m2 = 1.000.000 mm2
LEZIONI DI FISICA
3) 53 hm2 = cm2 5.300.000.000 (+8 zeri)
4) 0,03 mm2 = km2 0,00 000 000 000 003
(+12 zeri, in totale 14)
Regola pratica: se mi sposto di 4 posti verso
l’alto (o verso il basso) nella scala, sposterò la
virgola a sinistra (o a destra) di 8=4x2 posti (o
zeri).
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Equivalenze: la scala del metro cubo /1
Il metro cubo è l’unità di
misura dei volumi, dove per
volume intendiamo lo
spazio tridimensionale
occupato da un oggetto.
Il m3 è un cubo di spigolo
1m. 1 dm3 è un cubo di
spigolo 1dm.
1 dm3
10 dm
1 m3
Quanti cubetti da 1 dm3
stanno in 1m3 ?
10 dm
10 dm
10 x 10 x 10 = 1000 cubetti da 1 dm3 in ogni m3
LEZIONI DI FISICA
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Equivalenze: la scala del metro cubo /2
1000 cubetti da 1 dm3 in ogni m3
Abbiamo scoperto che nelle equivalenze fra
multipli (e sottomultipli) del m3 per passare da
un’unità all’altra bisogna moltiplicare per 1000.
1 km3 = 1.000.000.000 m3
1 m3 = 0,00 000 0001 km3
1 hm3 = 1000.000 m3
1 m3 = 0,000001 hm3
1 dam3 = 1000 m3
1 m3 = 0,001 dam3
1 m3
1 m3
1dm3 = 0,001 m3
1 m3 = 1000 dm3
1c m3 = 0,000001 m3
1 m3 = 1000.000 cm3
1 mm3 = 0,000000001 m3
1 m3 = 1.000.000.000 mm3
LEZIONI DI FISICA
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Equivalenze: la scala del metro cubo /2
Esempi
1 km3 = 1.000.000.000 m3
1
hm3
= 1.000.000
m3
1 dam3 = 1000 m3
1
2) 0,7 cm3 = m3 0,0000007 (+6 zeri)
m3
1dm3 = 0,001 m3
1c
m3
= 0,000001
1) 5 m3 = dm3 5000 (+3 zeri)
m3
1 mm3 = 0,000000001 m3
3) 53 hm3 = cm3 53.000.000.000.000 (+12 zeri)
4) 0,03 mm3 = km3 0,00 000 000 000 000 000 003
1 m3 = 0,00 000 0001 km3
1 m3 = 0,000001 hm3
(+18 zeri, in totale 20)
1 m3 = 0,001 dam3
1 m3
1 m3 = 1000 dm3
1 m3 = 1000.000 cm3
1 m3 = 1.000.000.000 mm3
LEZIONI DI FISICA
Regola pratica: se mi sposto di 4 posti verso
l’alto (o verso il basso) nella scala, sposterò la
virgola a sinistra (o a destra) di 12=4x3 posti (o
zeri).
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Equivalenze: la scala del litro e quella del metro cubo /1
Sia il litro che il metro cubo misurano volumi. Allora che
relazione esiste fra le due unità di misura?
1 l = 1 dm3
Di conseguenza se 1 dm3 è 0,001 m3 allora 1
l è 0,001 m3
1 hl = 100 dm3 = 0, 1 m3
1 dal = 10 dm3 = 0,01 m3
1 l = 1 dm3 = 0,001 m3
1 dl = 0,1 dm3 = 0,0001 m3
1 cl = 0,01 dm3 = 0,00001 m3
1 ml = 0,001 dm3 = 0,000001 m3 = 1cm3
1 ml è 1 cm3
1 mm3 = 0,001 cm3 = 0,001 ml
LEZIONI DI FISICA
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Equivalenze: la scala del secondo /1
La scala dei secondi non è decimale. Questa è un’importante
differenza perché per passare da un’unità della scala ad un’altra
dobbiamo moltiplicare o dividere per 60 (scala sessagesimale).
1 h = 60 min = 3600 s
Esempi
1 min = 60 s
3,5 h = min (3,5 x 60) = 210 min
1 s = 10 ds (decimi)
0,4 min = s (0,4 x 60) = 24 s
1 s = 100 cs (centesimi di secondo)
0,5 s = ms (0,5 x 1000) = 500 ms
1 s = 1000 ms (millisecondi)
6 min = h (6 : 60) = 0,1 h
0,4 ds = s (0,4 : 10) = 0,04 s
NOTA: Sotto il
secondo (s) la scala è
decimale
LEZIONI DI FISICA
0,036 s = min (0,04 : 60) = 0,0006 min
5 s = h ( 5 : 3600) = 0,00139 h
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Le formule inverse: le equazioni
LEZIONI DI FISICA
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Le formule inverse: le equazioni/1
Cos’è un’equazione?
Un’equazione è una richiesta.
Per esempio: trova quel numero (lo chiameremo x, cioè
sconosciuto, come Mister X) che sommato a 3 mi dà 5.
La risposta è 2. O meglio: x=2 è la risposta alla richiesta.
La soluzione di un’equazione è una risposta.
E’ importante osservare che possiamo esprimere la richiesta
(l’equazione) in una forma matematica:
I membro
x+3=5
II membro
Qui è semplice sapere qual è la risposta giusta, ma
LEZIONI DI FISICA
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Le formule inverse: le equazioni/2
Ma se ci domandiamo: quale numero (x) sottratto a  12 mi dà 
15
15
?
4
La risposta non è più automatica.
Per rispondere ci aiutiamo con la forma matematica dell’equazione:

12
15
-x= 
15
4
Anche in questa forma non è semplice dare la risposta. Però la
scrittura matematica si presta ad una serie di manipolazioni, cioè una
serie di trasformazioni che, senza cambiare il senso della richiesta (la
domanda iniziale deve rimanere invariata) ci consente di dare la
soluzione. Magia?
LEZIONI DI FISICA
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Le formule inverse: le equazioni/2
Primo principio di equivalenza: in un’equazione si può
sommare o sottrarre una stessa espressione (numerica o
letterale) a sinistra e a destra dell’uguale.

12
15
x
15
4 .
Proviamo. L’equazione è
Poiché vogliamo
trovare x, è logico cercare di lasciarla da sola nel primo
membro, in modo da arrivare ad una espressione del tipo
x = un numero.
Sfruttiamo la regola sommando + 12/15 in entrambi i
membri:

LEZIONI DI FISICA
12 12
15 12
 x 
15 15
4 15
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Le formule inverse: le equazioni/3
12 12
15 12
  x 
15 15
4 15
Fatti i calcoli semplifichiamo
(solo nel I membro).
15 12

4 15
225  48
273 
 15 15  12  4




4

15
60
60


273
x
60
x
Facciamo i
calcoli
Se – x = + 273/60 allora x = - 273/60.
Abbiamo trovato la risposta:
273
x
LEZIONI DI FISICA
60
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Le formule inverse: le equazioni/4
Vogliamo convincerci che la risposta esatta alla domanda:

12
15
x
15
4
273
x
60
È:
Per saperlo sostituiamo il valore trovato nell’equazione:
12
273
15
  (
)
15
60
4
 12  4  273
15

60
4
(Semplificando la prima
frazione con 15)

12 273
15


15 60
4
 48  273
15

60
4

225
15

60
4
22515 15


60
4

15
15

4
4
4
!!! Il numero inserito verifica l’eguaglianza cioè i
due membri sono uguali !!! La risposta è esatta.
LEZIONI DI FISICA
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Le formule inverse: le equazioni/5
Esempi:
2+x=6
2  x  6  2  2  x  6  2  x  4
Primo principio di
equivalenza: in
un’equazione si può
sommare o sottrarre una
stessa espressione a
sinistra e a destra
dell’uguale.
x – 3 = 12
x  3  12  x  3  3  12  3  x  15
7- x = 4
 7  x  4  7  7  x  4  7  x  3   x  3
2·x=6 Come si fa? Bisogna applicare un’altra regola
perché alla x non è sommata o sottratta, ma moltiplicata
per 2.
LEZIONI DI FISICA
PROF. DONATI
Le formule inverse: le equazioni/6
Secondo principio di equivalenza: in un’equazione si può
moltiplicare o dividere per una stessa espressione (numerica
o letterale) a sinistra e a destra dell’uguale. Se si divide, il
divisore deve essere diverso da zero.
Proviamo. L’equazione è 2·x=6 . Poiché vogliamo trovare
x, è logico cercare di lasciarla da sola nel primo membro,
in modo da arrivare ad una espressione del tipo
x = un numero.
Sfruttiamo la regola dividendo per 2 entrambi i membri:
2 x 6

2
2
LEZIONI DI FISICA
x
6
2
x3
PROF. DONATI
Le formule inverse: le equazioni/7
Verifichiamo. L’equazione è 2·x=6 .
Sostituiamo x=3:
Secondo principio di
equivalenza: in un’equazione si
può moltiplicare o dividere per
una stessa espressione a sinistra e
a destra dell’uguale. Se si divide,
il divisore deve essere diverso da
zero.
2  (3)  6
Dato che i due membri sono
66
uguali la risposta trovata è giusta.
Esempi
x
 2  5
5
4
x 7
5
x
 2  5  x  10 Qui abbiamo moltiplicato
5
5 4
5
35 Qui abbiamo moltiplicato per la
  x  7  x 
4 5
4
4 frazione inversa.
4
4
3 x 4
4 Qui abbiamo moltiplicato
 3  x   3 x  4  3 x  3 x  4 
 x
x
x
3
3
3 per la x per portarla a
numeratore.
LEZIONI DI FISICA
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Le formule inverse: le equazioni/8
Consideriamo l’equazione:
5·x +2 = 3
Regola pratica: E’ sempre opportuno
isolare il termine contenente
l’incognita (nell’esempio 5·x) prima
di procedere ad isolare l’incognita (x).
5·x  2 – 2  3 – 2  5 · x  1 
x
5 ·x 1

5
5
Primo principio di
equivalenza: in
un’equazione si può
sommare o sottrarre una
stessa espressione a
sinistra e a destra
dell’uguale.
Secondo principio di
equivalenza: in
un’equazione si può
moltiplicare o dividere per
una stessa espressione a
sinistra e a destra
dell’uguale. Se si divide, il
divisore deve essere
diverso da zero.
1
5
LEZIONI DI FISICA
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Le formule inverse: le equazioni/9
Esempi
3x – 7  2
8  x/2  4
5
2 4
x
2
4  3x 
3
(5  x)  4  3
LEZIONI DI FISICA
Primo principio di
equivalenza: in
un’equazione si può
sommare o sottrarre una
stessa espressione a
sinistra e a destra
dell’uguale.
Secondo principio di
equivalenza: in
un’equazione si può
moltiplicare o dividere per
una stessa espressione a
sinistra e a destra
dell’uguale. Se si divide, il
divisore deve essere
diverso da zero.
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Le formule inverse: le equazioni letterali/8
Consideriamo ora le equazioni letterali. In fisica sono queste le
equazioni che incontreremo. L’unica differenza è che al posto dei
numeri abbiamo delle lettere che rappresentano quantità che non
conosciamo.
Per esempio:
x+U=Q
è la stessa cosa di
x + 3 = +5
Risolviamo come abbiamo fatto in precedenza:
x+U-U=Q–U
x =Q–U
x + 3 - 3 = +5 - 3
x = 5 - 3 = +2
Ci fermiamo qui, perché la risposta non può essere un numero ma
un’espressione letterale.
Se decidessimo di imporre U=+3 e Q=+5 le due equazioni
diventano identiche.
LEZIONI DI FISICA
PROF. DONATI
Le formule inverse: le equazioni letterali/9
Ma se Q e U hanno valori diversi, ugualmente la risposta
x =Q–U
Continua ad essere la risposta giusta.
Infine potremmo chiamare la nostra incognita x con un’altra
lettera, per esempio E: non cambierebbe nulla.
L’equazione di partenza x + U = Q
La soluzione è:
diventa
E+U=Q
E =Q–U
Di volta in volta dovremo dire fra le varie lettere quale è
l’incognita, cioè la lettera di cui cerchiamo l’espressione.
LEZIONI DI FISICA
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Le formule inverse: le equazioni letterali/10
Esempi
F=m·a
con incognita a
F  ma 
F ma
F
F

 aa
m
m
m
m
V = a ·t
con incognita t
V  a t 
V a t
V
V

 tt 
a
a
a
a
con incognita V
m
m
V d m
 V  d  V  V  d  m 

V
V
d
d
m
V
d
d = m/V
S = c + v ·t
con incognita v
LEZIONI DI FISICA
d
S  c  v ·t  S - c  c  v ·t - c  S - c   v ·t
S - c  v ·t S - c
S-c


vv
t
t
t
t
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Elementi di geometria
LEZIONI DI FISICA
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Elementi di geometria
Vediamo alcuni concetti fondamentali di
geometria piana e alcune formule di geometria
solida che ci serviranno parlando di fisica.
Concetti generali che non dimostreremo.
LEZIONI DI FISICA
PROF. DONATI
Elementi di geometria: rette/2
Rette incidenti: due rette si dicono incidenti se si intersecano
in un solo punto.
Proprietà delle incidenti:
Gli angoli opposti al
vertice di due rette che si
intersecano sono uguali fra
loro
LEZIONI DI FISICA

b
b

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Elementi di geometria: rette/1
Rette perpendicolari: due rette incidenti si dicono
perpendicolari (oppure ortogonali o normali) se si intersecano in
un punto formando quattro angoli retti.
Anche queste sono
perpendicolari!
LEZIONI DI FISICA
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Elementi di geometria: rette/3
Rette parallele: due rette si dicono parallele se si non si
intersecano in nessun punto. La “distanza” fra due rette parallele
è sempre uguale.
LEZIONI DI FISICA
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Elementi di geometria: angoli notevoli/1
Angolo retto (90°)
Angolo piatto (180°)
Angolo giro (360°)
LEZIONI DI FISICA
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Elementi di geometria: angoli notevoli/1
Proprietà delle parallele tagliate da
una trasversale: gli angoli dello stesso
colore in figura sono uguali fra loro.
LEZIONI DI FISICA
PROF. DONATI
Elementi di geometria: Quadrato
Quadrato: un poligono regolare avente
quattro lati tutti uguali e paralleli a
coppie.
Area = LxL
Perimetro=4·L
LEZIONI DI FISICA
PROF. DONATI
Elementi di geometria: Triangoli/proprietà1
C
g
Proprietà degli angoli: La somma degli angoli
interni è sempre pari a 180°.

b
B
A
LEZIONI DI FISICA
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Elementi di geometria: Triangoli/proprietà1
C
g
Proprietà di uguaglianza: Due triangoli sono
congruenti (“uguali”) se sono sovrapponibili. Per
esserlo devono avere tre elementi uguali:
b

B
A
-Due lati e un angolo
C’
- Tre lati
-Due angoli e il lato compreso
A’
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Elementi di geometria: Triangoli/proprietà1
C
g
Proprietà di similitudine: Due triangoli sono
simili se hanno gli angoli uguali e i lati in
proporzione. Cioè:
AB:A’B’ = AC : A’C’ = BC : B’C’
Potremmo dire che sono in scala fra loro. Per
dire che due triangoli sono simili è sufficiente
mostrare che:
b

B
A
C’
- Hanno due angoli ordinatamente uguali
- Tre lati in proporzione
-Due lati in proporzione e
l’angolo compreso
uguale
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Elementi di geometria: Triangoli
Triangoli: qualunque poligono
regolare avente tre lati.
Area = (base x altezza):2
Perimetro= somma dei tre lati
altezza
base
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Elementi di geometria: Triangoli rettangoli
Triangoli rettangoli : ogni triangolo contenente un
angolo retto (90°). Il lato opposto a quello retto si
chiama ipotenusa. Gli altri lati sono i cateti
Teorema di Pitagora: in un
triangolo rettangolo la
somma dei quadrati costruiti
sui cateti è pari al quadrato
costruito sull’ipotenusa.
a2 = b2 + c2
Formule
derivate:
a  b2  c2
a2
c2
b2
c2  a2  b2
c  a2  b2
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Elementi di geometria: figure piane e solidi
Figura
Calcolo perimetro
Calcolo dell’area
rettangolo
2 ·(latoA+latoB)
latoA · latoB
trapezio
Somma dei lati
(BaseM + basem)x(h/2)
cerchio
2·p ·raggio
p ·(raggio)2
Solidi
Calcolo superficie
Calcolo volume
cubo
6 · latoA
(latoA)3
parallelepipedo
2 ·(latoA+latoB+latoC)
latoA·latoB·latoC
cilindro
(2·p ·raggio) ·h + 2 · p
·(raggio)2
p ·(raggio)2·h
sfera
4 · p ·(raggio)2
(4/3) · p ·(raggio)3
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