Le Condizioni per l’Equilibrio
• La ’’Statica’’ studia le condizioni di equilibrio dei corpi ovvero le
leggi cui azioni e reazioni devono soddisfare affinché alla struttura
sia garantita l’inamovibilità .
• Le strutture, soggette a carichi statici, devono rimanere immobili.
• Le condizioni di equilibrio devono riguardare la struttura sia nella
sua globalità, equilibrio esterno, sia nelle singole parti, equilibrio
interno.
• Nella prima parte del corso si è affrontato la statica dei corpi
rigidi e delle travi deformabili. Si sono valutate per le travi
elastiche:
– condizioni di equilibrio,
– compatibilità tra spostamenti e deformazioni,
– legame elastico tra deformazioni e sollecitazioni.
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Le Condizioni per l’Equilibrio
• Il primo obiettivo di un progettista è di determinare le condizioni di
equilibrio senza il quale la struttura non può chiamarsi tale.
• Si ricorda però che la funzionalità della struttura dipende anche
dall’entità delle deformazioni,
• Il calcolo delle reazioni vincolari e delle caratteristiche della
sollecitazioni sono state valutate nell’ipotesi che gli spostamenti e le
deformazioni della struttura siano piccolissimi rispetto alle sue
dimensioni, cioè nel caso di spostamenti infinitesimi.
• E’ di fondamentale importanza che la condizione di equilibrio sia Stabile
• La stabilità di uno o più corpi rigidi riguarda il pericolo di spostamenti
o di rotazione inammissibili dei corpi o dell’intera struttura.
2
Equilibrio instabile per vincoli mal disposti
Gli elementi sono mal disposti (inefficaci) per cui la struttura sotto particolari
condizioni di carico può risultare labile
3
Instabilità aerodinamica di strutture flessibili
Nel caso di strutture civili il pericolo di instabilità può essere legato ai carichi
eccezionali o alle caratteristiche del terreno su cui poggia
Può essere in equilibrio instabile sotto carichi eccezionali
4
Equilibrio instabile per cedimenti del terreno disuniformi
Ad esempio un edificio fondato su un terreno con resistenza non uniforme o in
forte pendenza può essere in equilibrio instabile: E’ argomento della GEOTECNICA
6
5
Stabilità di Pendii e Muri di Sostegno
È un argomento di Geotecnica
6
Stabilità di Costruzioni Murarie
È un argomento di Statica delle Costruzioni Murarie
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I requisiti delle strutture
- Stabilità : Una struttura deve essere in equilibrio stabile, cioè non deve sussistere il
pericolo di spostamenti inammissibili che ne comprometterebbero l’equilibrio.
A
B
C
C
B
A) Equilibrio Stabile ; B) Equilibrio Instabile ; C) Equilibrio Indifferente
A
Una struttura è detta in equilibrio stabile se le forze conservative su essa agenti
(gravità, elastica di richiamo) tendono a riportare la struttura nella posizione primitiva
se ad essa è applicata una forza perturbatrice che la sposti. Da un punto di vista
matematico si può affermare che una struttura soggetta a forze conservative è in
equilibrio stabile quando è minima l’energia potenziale totale.
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Principio di minimo Energia Potenziale Totale:
“Tra tutte le configurazioni cinematicamente ammissibili quella di equilibrio
stabile si ha in corrispondenza del minimo relativo dell’energia potenziale totale”
P o sizio n e eq u ilib rio in stab ile:
∂V ( x )
∂ 2V (x )
=0;
<0.
∂x
∂x 2
M assim o en erg ia p o n en ziale
E n e rg ia p o te n z ia le ≡ c o n q u e lla to ta le
V (x) ≡ Π
(x )=P
y(x)
P o sizio n e eq u ilib rio stab ile:
∂V ( x )
∂ 2V (x )
=0;
>0.
∂x
∂x 2
M in im o en erg ia p o n en ziale
P o s iz io n e e q u ilib rio in d iffe re n te :
∂V ( x )
∂ 2V (x )
=0;
=0.
∂x
∂x 2
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Stabilità di corpi rigidi con elasticità concentrate
Criterio o metodo energetico
per semplicità si
sottintende δ
1
1
2
2
2
2 1
Π ( x ) =Ψ ( x ) +V( x)= ( K x A u x A + KϕB ϕB ) +(-P u yA ) = ( K x A l + KϕB ) ϕB - PlϕB2 Π (ϕ B )
2
2
2
∂ 2 Π (ϕ B )
1
2
2
=
K
l
K
-P
l
0
P
K
l
Pcr carico critico
+
=
⇒
=
+ K ϕB ) .
(
)
(
ϕ
x
cr
x
2
A
B
A
l
∂ϕ B
Se il carico reale P<Pcr l'equilibrio è stabile, se P>Pcr l'equilibrio è instabile;
se P=Pcr l'equilibrio è indifferente.
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Stabilità di corpi rigidi con elasticità concentrate
Criterio statico per determinare carico critico:
= K xA l sin ( δϕB )
(x)=M
(x)
M
in
st
(x) momento forze esterne
M
in
(momento instabilizzante);
(x) reazione elastica interna
M
st
(momento stabilizzante).
(x)>M
(x) l'equilibrio è stabile, se M
(x)<M
(x) l'equilibrio è instabile;
Se M
st
in
st
in
(x)=M
(x) l'equilibrio è indifferente.
se M
st
in
(x)=P δ u = ( K δ u ) l cos (δϕ ) + K δϕ =M
(x) ⇒ P = 1 ( K l 2 + K ) .
M
in
yA
xA
xA
B
ϕB
B
st
cr
xA
ϕB
l
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Equilibrio instabile di travi elastiche
•
Per materiali ad elevata resistenza a
compressione, come l’acciaio, si potrebbero
realizzare colonne molto più sottili di quelle in
calcestruzzo. La loro snellezza comporta però il
pericolo di Instabilità per carico di punta.
•
Si definisce carico critico (di punta) quel valore
del carico di compressione che anziché provocare
un accorciamento del materiale , ne provoca una
brusca inflessione laterale.
• Il fenomeno è studiato nell’ambito de:
LA STABILITA’ DELL’EQUILIBRIO
ELASTICO
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Equilibrio instabile di travi elastiche
•
(x) = P u (x);
M
in
z
(x) = κ (x) k .
M
st
ϕ
–
–
–
–
Per determinare il carico critico (di
punta) detto anche Euleriano di
travi elastiche occorre:
dare una deformata virtuale alla
trave,
valutare il momento stabilizzante
dovuto alla reazione elastica degli
infiniti vincoli interni elastici,
valutare il momento instabilizzante
indotto dal carico esterno,
determinare la condizione di
equilibrio indifferente:
(x)=M
(x)
M
st
in
( x ) = κ (x) k ;
M
st
ϕ
( x ) = P [ δ-u (x) ] .
M
in
z
d 2u z ( x )
kϕ = EI ; κ (x)=dx 2
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Equilibrio instabile di travi elastiche
Dalla condizione di equilibrio
indifferente per il primo caso:
d 2u z ( x )
P
2
2
u
x
0;
=
.
+
α
=
α
z( )
2
dx
EI
Soluzione :
C1 sin (α l ) = 0, ⇒ α l = nπ
Si ottiene dunque :
l
n 2π 2 EI
P=
l2
⎧ n 2π 2 EI ⎫
π 2 EI
Pcr = min ⎨
⎬ ⇒ Pcr = 2
2
l
⎩ l
⎭
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Equilibrio instabile di travi elastiche
x
Pcr =
π 2 EI
l
l
l
π 2EA
Pc r =
; λ=
2
λ
ρ m in
ρ m in =
I m in A .
ρ ra g g io d 'in e rz ia ;
A , λ a re a se z io n e tra s v e rsa le e s n e lle z z a .
y
2
l
Pcr =
π 2 EI mim
l
2
;
I mim ≡ I y
x
y
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Equilibrio instabile di travi elastiche
La lunghezza libera d’inflessione
rappresenta la distanza tra due
punti di flesso successivi della
deformata della trave.
l0 = 2l
l0 = l
l0 = 0.7l
l0 = 0.5l
l0 = 0.5l
l
leq =0.5l
l 0 lu n g h e z z a lib e ra d 'in fle s s io n e
F o r m u la d i E U L E R O :
Pc r =
π 2EI
l 02
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Verifica di travi elastiche a sforzo normale
σ s tensione di snervam ento del m ateriale; σ = σ s ; σ tensione ammissibile del materiale;
am
am
γ am
σ R tensione di ro ttura del m ateriale.
γ am coefficiente di sicurezza del materiale.
σ
σ
σE ≅σR
σs
l
+
N=P>0
σ am
σR
e
ε
Acciaio a basso tenore di carbonio
(materiale duttile)
σ amσ
s
"mat.fragile"
"mat.duttile"
γ am
> γ am
σR
σ am
εεRR ≅ ε E ⇒ µ ≅ε 0
Ghisa
(materiale fragile)
N
di verifica valida solo per
σ m ax =
≤ σ a m ⇒ N ≤ σ a m A Condizione
sforzo normale di trazione
A
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Verifica di travi elastiche a sforzo normale
Se la trave inflessa è sottoposta a
compressione, essendo il carico critico, e di
conseguenza la tensione critica,
inversamente proporzionale al quadrato
della snellezza del materiale bisogna
distinguere due casi:
tensione
a) pericolo di crisi per schiacciamento
l0
se la snellezza della trave λ =
≤λ
ρ min
σs
λ ≤λ
N
σ max =
≤ σ am ⇒ N ≤ σ am A;
A
b) pericolo di crisi per instabilità
l0
se la snellezza della trave λ =
>λ
λ >λ
λ2
ρ min
σ max
σ cr
Pcr
=
≤
γ am A γ am
Pcr π 2 E
σ cr = = 2
A
λ
Crisi per schiacciamento
λ2
snellezza al quadrato
Crisi per instabilità
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Verifica di travi elastiche a sforzo normale (metodo omega)
Verifica valida solo per sforzo normale di compressione.
Nel calcolo di verifica è assegnata
la struttura; sono dunque noti:
-la forma geometrica;
-la disposizione dei vincoli;
-il materiale di cui è costituita;
-il sistema di carichi cui è soggetta.
Nel caso di materiale a
comportamento elastico indefinito
si adotta il “metodo ω ”.
Si deve verificare, nei punti
maggiormente sollecitati delle
sezioni più sollecitate, che è
soddisfatta la seguente relazione:
σ max =
ω (λ ) P
A
≤ σ am ; λ =
ESEMPIO : acciaio Fe360, σ am = 160 N / mm 2 ; l = 4.40m;
P = -200kN, profilo HEA 140; λ =
σ max =2.20
l
ρ min
=
440
=125,
3.52
200000
= 140,13 N / mm 2 < σ am = 160 N / mm 2 .
3140
l
l0
ρ min
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Progetto di travi elastiche a sforzo normale
Condizione di progetto valida per sforzo normale di trazione (o di
compressione se λ ≤ λ )
Nel calcolo di progetto è nota la ESEMPIO: acciaio Fe 360; P =800kN, σ am =160 N 2
mm
funzione statica che la struttura
800000
deve assolvere per cui sono
A≥
= 5000mm2 ⇒ profilo metallico HEA 200, A = 53.8cm2
160
dati del problema:
-i carichi cui essa è destinata;
-la forma della struttura;
-il materiale con cui si vuole
realizzarla.
HE A
Obiettivo:
determinare le dimensioni delle
sezioni trasversali dei vari
elementi strutturali.
σ m ax =
N
N
≤ σ am ⇒ A ≤
σ am
A
20
Il ruolo dell’equilibrio e della deformazione
Esempio.
Si consideri un pilastro di altezza h=15 m, composta da un nucleo interno in
conglomerato ed un rivestimento in marmo.
Il problema, pur in forma
drasticamente semplificata, è
rappresentativo di quello dei piloni
del Duomo di Milano, restaurati
negli anni ’80.
21
Il ruolo dell’equilibrio e della deformazione
Si vuole inizialmente valutare lo stato di tensione nel pilastro ed il suo
accorciamento per un carico assiale di compressione N=40000 kN.
Il nucleo in conglomerato (c) ed il rivestimento in marmo (m) sono elementi elastici
in parallelo, per cui sono uguali le deformazioni: εc=εm.
σc
σm
Em
ε
=
ε
⇒
=
⇒
σ
=
σc
Utilizzando il legame elastico lineare: c
m
m
Ec
Em
Ec
Per l’equilibrio la somma delle azioni assiali eguaglia il carico applicato:
σc Ac + σm Am = N
Da cui: σc Ac +
Em
σc Am = N
Ec
⇒ σc =
N
E
Ac + m Am
Ec
Si trovano i seguenti valori per le tensioni nei due materiali:
40000 kN
11
σc =
= 11.55 MPa ; σm = × 11.55 MPa = 42.35 MPa
11
⎛
⎞
3
⎜⎜1.131 + × 0.636⎟⎟ m 2
⎝
⎠
3
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Il ruolo dell’equilibrio e della deformazione
Per la congruenza, le deformazioni assiali sono uguali:
εc =
11.55 MPa
42.35 MPa
= 0.00077 =
= εm
15000 MPa
55000 MPa
L’accorciamento risulta: ∆h = εc h = 1.16 cm.
Gli sforzi normali sono: Nc = Ac σc = 13070 kN ; Nm = Am σm = 26930 kN.
Malgrado l’area del conglomerato sia circa doppia rispetto a quella del marmo,
l’elevata rigidezza di quest’ultimo fa sì che il rivestimento assorba circa i 2/3 del
carico applicato, svolgendo una primaria azione portante.
Si vuole adesso vedere come si modifica lo stato
tensionale facendo variare il modulo di elasticità del
conglomerato Ec da zero (pilastro cavo) ad Em
(pilastro omogeneo) .
Dalla figura si evince che la tensione nel
conglomerato σc aumenta, mentre la tensione nel
marmo σm contemporaneamente diminuisce.
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