5
Analisi e Progetto
di Travi Inflesse
Sommario
Introduzione
Diagrammi del taglio e del momento flettente
Esercizio svolto 5.1
Esercizio svolto 5.2
Relazioni fra il carico, il taglio ed il momento flettente
Esercizio svolto 5.3
Esercizio svolto 5.5
Progetto di travi prismatiche a flessione
Esercizio svolto 5.8
5- 2
Introduzione
• Obiettivo – Analisi e progetto di travi
• Travi – elementi strutturali soggetti a carichi
agenti in vari punti lungo l’asse.
• I carichi trasversali delle travi sono classificati
come carichi concentrati o distribuiti
• I carichi applicati danno luogo a forze interne
consistenti in un taglio (derivante dalle tensioni
tangenziali) ed un momento flettente (dalla
distribuzione di tensioni normali).
• Le tensioni normali sono spesso il criterio
critico per il progetto
σx = −
T
My
I
σm =
Mc M
=
I
S
E’ necessaria la determinazione della posizione e
del valore del momento flettente massimo.
5- 3
Introduzione
Classificazione dei vincoli delle travi
5- 4
Diagrammi del taglio e del momento flettente
• La determinazione delle tensioni normali e
tangenziali massime richiede che vengano
trovati il taglio e il momento flettente
massimi.
• Il taglio ed il momento flettente in un punto si
determinano dividendo la trave in due parti in
corrispondenza della sezione ed applicando
un’analisi di equilibrio su una delle due
porzioni di trave.
T
• Convenzioni di segno per il taglio T , il
momento flettente M e il carico assiale N
T’
5- 5
Esercizio svolto 5.1
SOLUZIONE:
• Considerando l’intera trave come un
corpo libero, determinare le reazioni
•Per la trave in legno e il carico
mostrato, disegnare i diagrammi del
taglio e del momento flettente e
determinare la massima tensione
normale dovuta alla flessione.
• Si sezioni la trave in punti prossimi
ai vincoli ed ai punti di applicazione
dei carichi. Si effettuino analisi di
equilibrio sui corpi liberi risultanti
per determinare il taglio ed il
momento flettente.
• Si identifichino il taglio ed il
momento flettente massimo dai
relativi diagrammi.
• Si applichino le formule della flessione
elastica per determinare la tensione
normale massima corrispondente.
5- 6
Esercizio svolto 5.1
SOLUZIONE:
• Considerando l’intera trave come un corpo libero,
determinare le reazioni
da
∑ Fy = 0 = ∑ M B :
RB = 46 kN RD = 14 kN
• Si sezioni la trave e si effettuino analisi di
equilibrio sui corpi liberi risultanti
∑ Fy = 0
− 20 kN − V1 = 0
V1 = −20 kN
∑ M1 = 0
(20 kN )(0 m ) + M1 = 0
M1 = 0
∑ Fy = 0
− 20 kN − V2 = 0
V2 = −20 kN
∑ M2 = 0
(20 kN )(2.5 m ) + M 2 = 0
M 2 = −50 kN ⋅ m
V3 = +26 kN
M 3 = −50 kN ⋅ m
V4 = +26 kN M 4 = +28 kN ⋅ m
V5 = −14 kN
M 5 = +28 kN ⋅ m
V6 = −14 kN M 6 = 0
5- 7
Esercizio svolto 5.1
• Si identifichino il taglio ed il momento
flettente massimo dai relativi diagrammi.
Vm = 26 kN M m = M B = 50 kN ⋅ m
• Si applichino le formule della flessione
elastica per determinare la tensione
normale massima corrispondente.
S = 16 b h 2 = 16 (0.080 m )(0.250 m )2
= 833.33 × 10− 6 m3
MB
50 × 103 N ⋅ m
σm =
=
S
833.33 ×10− 6 m3
σ m = 60.0 ×106 Pa
5- 8
Esercizio svolto 5.2
SOLUZIONE:
• Sostituire il carico di 45 kN con un
sistema forza-coppia equivalente
applicato in D. Trovare le reazioni in
B considerando la trave come un
corpo rigido.
• Sezionare la trave in punti prossimi
ai vincoli ed ai punti di applicazione
dei carichi. Effettuare analisi di
equilibrio sui corpi liberi risultanti
per determinare i tagli ed i momenti
flettenti.
•La struttura mostrata consiste di una
trave profilata in acciaio W250 × 167.
(a) Disegnare i diagrammi del taglio e
del momento flettente per la trave e i
carichi dati. (b) Determinare la tensione
normale nelle sezioni immediatamente a • Applicare le formule della flessione
elastica per determinare la tensione
destra e a sinistra del punto D.
normale massima a sinistra e a destra
del punto D.
5- 9
Esercizio svolto 5.2
SOLUZIONE:
• Sostituire il carico di 45 kN con un sistema
forza-coppia applicato in D. Trovare le
reazioni in B.
• Sezionare la trave ed effettuare analisi di
equilibrio sui copri liberi risultanti.
Da A a C :
∑ F = 0 − 45 x − V = 0
∑ M = 0 (45 x )( x ) + M = 0
y
1
2
1
V = −45 x kN
M = −22.5 x 2 kN ⋅ m
Da C a D :
∑ F2 = 0
∑ M2 = 0
− 108 − V = 0
V = −108 kN
108(x − 1.2 ) + M = 0 M = (129.6 − 108 x ) kN ⋅ m
Da D a B :
V = −153 kN
M = (305 − 153 x ) kN ⋅ m
5- 10
Esercizio svolto 5.2
• Applicare le formule della flessione
elastica per determinare la tensione
normale massima alla sinistra e alla
destra del punto D.
Dall’ Appendice C per un profilato
laminato a caldo W250x167 rispetto
all’asse X-X, S = 20803 mm3.
Alla sinistra di D :
σm =
M
σm =
M
=
226.8 kN ⋅ m
σ m = 109 MPa
2080 × 103 mm3
Alla destra di D :
S
S
=
199.8 kN ⋅ m
σ m = 96 MPa
2080 × 103 mm3
5- 11
Relazioni fra il carico, il taglio ed il momento flettente
• Relazione fra il carico ed il taglio:
∑ Fy = 0 : V − (V + ΔV ) − w Δx = 0
ΔV = − w Δx
dV
= −w
dx
xD
VD − VC = − ∫ w dx
xC
• Relazione fra il taglio ed il momento
flettente:
∑ M C′ = 0 :
(M + ΔM ) − M − V Δx + wΔx Δx = 0
ΔM = V Δx − 12 w (Δx )
2
2
dM
=V
dx
M D − MC =
xD
∫ V dx
xC
5- 12
Esercizio svolto 5.3
SOLUZIONE:
• Considerando l’intera trave come un
corpo libero, determinare le reazioni
in A e D.
• Applicare la relazione fra il carico ed il
taglio per costruire il diagramma del taglio.
Disegnare il diagramma del
taglio e del momento flettente
per la trave mostrata.
• Applicare la relazione fra il taglio ed il
momento flettente per costruire il diagramma
del momento flettente.
5- 13
Esercizio svolto 5.3
SOLUZIONE:
• Considerando l’intera trave come un corpo libero,
determinare le reazioni in A e D.
∑MA = 0
0 = D(7.2 m ) − (90 kN )(1.8 m ) − (54 kN )(4.2 m ) − (54 kN )(8.4 m )
D = 117 kN
∑ Fy = 0
0 = Ay − 90 kN − 54 kN + 117 kN − 54 kN
Ay = 81 kN
• Applicare la relazione fra il carico ed il taglio per
costruire il diagramma del taglio.
dV
= −w
dx
dV = − w dx
- Pendenza nulla fra i carichi concentrati.
- Variazione lineare sui tratti con carico costante.
5- 14
Esercizio svolto 5.3
• Applicare la relazione fra il taglio ed il
momento flettente per costruire il diagramma
del momento flettente.
dM
=V
dx
dM = V dx
- Il momento flettente è zero in A e E
- La variazione del momento flettente fra
A, B, C e D è lineare
- La variazione del momento flettente fra
D e E è quadratica
- La differenza del momento flettente è uguale
all’area sotto il diagramma del taglio
- La variazione totale del momento flettente
lungo tutta la trave dovrebbe essere zero.
5- 15
Esercizio svolto 5.5
SOLUZIONE:
• Considerando l’intera trave come un
corpo libero determinare le reazioni in C.
• Applicare la relazione fra il carico ed il
taglio per costruire il diagramma del taglio.
Disegnare il diagramma del taglio e • Applicare la relazione fra il taglio ed il
momento flettente per costruire il
del momento flettente per la trave
diagramma del momento flettente.
mostrata.
5- 16
Esercizio svolto 5.5
SOLUZIONE:
• Considerando l’intera trave come un corpo
libero determinare le reazioni in C.
∑ Fy = 0 = − 12 w0 a + RC
a⎞
⎛
∑ M C = 0 = 12 w0 a⎜ L − ⎟ + M C
3⎠
⎝
RC = 12 w0 a
a⎞
⎛
M C = − 12 w0 a⎜ L − ⎟
3⎠
⎝
I risultati dell’integrazione del carico e la legge
del taglio devono essere equivalenti.
• Applicare la relazione fra il carico ed il taglio
per costruire il diagramma del taglio.
a
2 ⎞⎤
⎡ ⎛
x
⎛ x⎞
VB − V A = − ∫ w0 ⎜1 − ⎟ dx = − ⎢ w0 ⎜ x − ⎟⎥
⎜
2a ⎟⎠⎥⎦
⎝ a⎠
⎢⎣ ⎝
0
0
a
VB = − 12 w0 a = − ( area sotto il diagramma del carico )
- Nessuna variazione del taglio fra B e C.
- Compatibile con l’analisi di corpo libero
5- 17
Esercizio svolto 5.5
• Applicare la relazione fra il taglio ed il momento
flettente per costruire il diagramma del momento
flettente.
a
⎡
⎛ x 2 x 3 ⎞⎤
⎛
x 2 ⎞⎟ ⎞⎟
⎜
⎜
M B − M A = ∫ − w0 x −
dx = ⎢− w0 ⎜ − ⎟⎥
⎜ 2 6a ⎟
⎜
⎜
2a ⎟⎠ ⎟⎠
⎢⎣
0⎝
⎠⎥⎦ 0
⎝
⎝
a⎛
M B = − 13 w0 a 2
L
(
)
M B − M C = ∫ − 12 w0 a dx = − 12 w0 a(L − a )
a
a w0 ⎛
a⎞
M C = − 16 w0 a(3L − a ) =
⎜L− ⎟
2 ⎝
3⎠
I risultati in C sono compatibile con l’analisi
di corpo libero.
5- 18
Progetto di travi prismatiche a flessione
• La tensione normale più grande si trova sulla superficie della
sezione dove è presente il massimo momento flettente.
M max c M max
σm =
=
I
S
• Un progetto sicuro richiede che la tensione normale massima sia
inferiore alla tensione ammissibile per il materiale utilizzato. Questo
criterio porta alla determinazione del valore minimo ammissibile del
modulo di resistenza della sezione.
σ m ≤ σ all
S min =
M max
σ all
• Fra le possibili sezioni che hanno un modulo accettabile,
quella che presenta il minor peso per unità di lunghezza p o
la minore area della sezione trasversale sarà la scelta
migliore e meno costosa.
5- 19
Esercizio svolto 5.8
SOLUZIONE:
• Considerando l’intera trave come un
corpo libero determinare le reazioni in
A e D.
•Una trave semplicemente appoggiata
deve portare i carichi distribuiti e
concentrati mostrati. Sapendo che la
tensione normale ammissibile per il
tipo di acciaio da utilizzare è 160
MPa, scegliete la sezione ad ali larghe
che deve essere utilizzata.
• Costruire il diagramma del taglio e del
momento per la trave. Dal diagramma,
determinare il momento flettente
massimo.
• Determinare il minimo modulo di
resistenza della sezione ammissibile.
Scegliere la migliore sezione standard
che soddisfa questo requisito.
5- 20
Esercizio svolto 5.8
• Considerando l’intera trave come un corpo
libero determinare le reazioni in A e D.
∑ M A = 0 = D(5 m ) − (60 kN )(1.5 m ) − (50 kN )(4 m )
D = 58.0 kN
∑ Fy = 0 = Ay + 58.0 kN − 60 kN − 50 kN
Ay = 52.0 kN
• Costruire il diagramma del taglio e
determinare il momento flettente massimo.
V A = Ay = 52.0 kN
VB − V A = −(area sotto la curva del carico ) = −60 kN
VB = −8 kN
• Il momento flettente massimo si ha dove
V = 0 o x = 2.6 m.
M
max
= (area sotto il diagramma del taglio, da A a E )
= 67.6 kN
5- 21
Esercizio svolto 5.8
• Determinare il modulo di resistenza della
sezione minimo ammissibiile.
S min =
M max 67.6 kN ⋅ m
=
160 MPa
σ all
= 422.5 ×10− 6 m3 = 422.5 ×103 mm3
Shape
S × 103 mm3
W410 × 38.8
637
W360 × 32.9
474
W310 × 38.7
549
W250 × 44.8
W200 × 46.1
• Scegliere la sezione standard migliore che
soddisfa questo requisito.
W 360× 32.9
535
448
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