Funzioni derivabili (V. Casarino)
Esercizi svolti
1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni:
a)2x − 5
b)
√
c) x + 1
x−3
x−4
d)x sin x.
2) Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico della funzione
f (x) =
x
x−2
in x = 1.
3) Applicando le regole di derivazione calcolare la derivata delle seguenti funzioni:
a(x) = 2x3 − 9x + 7 cos x
h(x) = log cos x + x tan x
b(x) = x sin x + cos x
c(x) =
d(x) =
i(x) =
x2
−4
x2 + 4
1 − tan x
1 + tan x
m(x) =
log x − 1
log x + 1
sin 3x
o(x) = x arcsin x +
p(x) = ( log 3)x .
4) Discutere la derivabilità in x = 0 delle funzioni:
b) g(x) = cos
√
5
√
x
n(x) = arctan(1 − x)
g(x) = (x2 + 1)5
a) f (x) = sin |x|
4x2 − 3
l(x) = sin log
e(x) = x2 log x + 3x
f (x) =
p
p
|x|.
1
p
1 − x2
2
Funzioni derivabili (V. Casarino)
5) Sia
f (x) =
(x − β)2 − 2
x≥0
.
α sin x
x<0
Determinare α, β ∈ R tali che f sia continua e derivabile su R.
6) Discutere la derivabilità di f (x) = |x2 − 1|.
7) Siano
f (x) = |x|x
e
2
g(x) = e−1/x .
Verificare che f e g sono prolungabili con continuità su R . Le funzioni f e g cosı̀ prolungate
risultano derivabili in x = 0?
8) Scrivere l’equazione della retta tangente nel punto di ascissa x = 2 al grafico di
f (x) =
x+2
− log(2x − 3) .
x2 − 1
9) Determinare per quali valori della x la funzione f (x) = 3x + sin x è crescente oppure decrescente.
10) Determinare massimi e minimi relativi della funzione f (x) = ex + 3e−x sul suo dominio.
11) Studiare il segno della derivata delle seguenti funzioni in un intorno del punto x0 = 0:
a)3 sin x − 3x
b)4x + 4 cos x.
12) Sia f (x) = x7 + x. Verificare che f è invertibile su R. Verificare che f −1 è derivabile su
R, determinare (f −1 )0 tramite la formula della derivata della funzione inversa e calcolare
(f −1 )0 (0) e (f −1 )0 (2).
13) Determinare gli eventuali asintoti della funzione
p
x2 − 6x + 7.
14) Trovare i punti del grafico di f (x) = 5x3 nei quali la tangente
a) è parallela alla retta y = 2x;
b) è perpendicolare alla retta y = x + 5.
Funzioni derivabili (V. Casarino)
3
15) Dimostrare che le rette tangenti ai grafici delle due funzioni f (x) = x3 e g(x) =
1
3x
sono tra
loro perpendicolari nei punti di ascissa diversa da zero.
16) Verificare che se un polinomio p(x) è divisibile per (x − a)2 , p0 (x) è divisibile per (x − a). Più
in generale, verificare che se p(x) è divisibile per (x − a) e p0 (x) è divisibile per (x − a)n−1 ,
allora p è divisibile per (x − a)n .
17) Verificare che
f (x) = log(2 + x) + 2
x+1
x+2
non ha altri zeri oltre a x0 = −1.
18) Verificare che la funzione f (x) = x3 − 2x2 soddisfa le ipotesi del Teorema di Lagrange
nell’intervallo [0, 1] e determinare un punto θ ∈ (0, 1) tale che
f 0 (θ) = f (1) − f (0) .
19) Si consideri la funzione f , definita da
(
f (x) =
2x2 + x2 sin x1
se x 6= 0
0
se x = 0.
Si dimostri che f è derivabile in [0, +∞) e che f 0 non è continua in 0.
20) Determinare i valori di α ∈ R tali che la funzione f (x) =
x4 +3
x2 −α
soddisfi le ipotesi del Teorema
di Lagrange sull’intervallo [0, 1].
21) Stabilire per quali a ∈ R la funzione
f (x) = x2 + a cos x
è convessa in R.
22) Dimostrare che se α ≥ 1, allora
(1 + x)α ≥ 1 + αx
per ogni x > −1. (Tale disuguaglianza prende il nome di disuguaglianza di Bernoulli. )
4
Funzioni derivabili (V. Casarino)
23) Dimostrare che
sin x ≥ x −
x3
6
per ogni x ≥ 0.
24) Determinare il numero di soluzioni reali delle equazioni:
a) x3 + 3x2 + 5x + 3 = 0 ;
b) x4 + 4x + 12 = 0 ;
c) 3x5 − 5x3 + 1 = 0.
25) Dimostrare o smentire la seguente affermazione:
Per ogni λ ∈ R l’equazione x5 + x = λ ha esattamente una soluzione.
26) Determinare il numero di soluzioni dell’equazione
x ln x = λ ,
λ ∈ R.
27) Determinare il numero di soluzioni dell’equazione
x · ex = λ ,
λ ∈ R.
28) Dimostrare che per ogni a ∈ R l’equazione
x2 arctan x = a
ha esattamente una soluzione.
Funzioni derivabili (V. Casarino)
5
SOLUZIONI
2x − 5 − (−5)
1
=2
b) − 16
x
√
1+x−1
1
1+x−1
=
c) Si ha: lim
= lim √
x→0
x→0
x
2
x( 1 + x + 1)
1) a) Si ha: lim
x→0
d)0.
2) a) Ricordiamo che l’equazione della retta tangente alla curva in x = 1 è y = f (1)+f 0 (1)(x−1).
2
Occorre quindi calcolare la derivata della funzione f in x0 = 1. Si ha f 0 (x) = − (x−2)
2 e, in
particolare, f 0 (1) = −2.
L’equazione richiesta è allora y(x) = −1 − 2(x − 1).
3)
a)6x2 − 9 − 7 sin x
d) −
2
(sin x + cos x)2
g)10x(x2 + 1)4
l)
√
1
cos log x
2x
o) arcsin x
b)x cos x
c)
e)2x log x + x + 3
16x
(x2 + 4)2
f)
2
x(log x + 1)2
4x
x
i) √
cos2 x
4x2 − 3
3 cos 3x
1
m) √
n) − 2
5
4
x − 2x + 2
5 sin 3x
x
p) log(log 3)( log 3) .
h)
4) a) x = 0 è un punto angoloso per f .
Calcoliamo, infatti, le derivate laterali di f in x = 0. Si ha
lim x → x+
sin x − 0
=1
x
e
lim x → x−
sin(−x) − 0
= −1.
x
b) La derivata destra di g in 0 vale − 12 , quella sinistra 12 , quindi g non è derivabile in x = 0.
5) Imponiamo innanzitutto che la funzione f sia continua sul suo dominio. È sufficiente imporre
√
che f sia continua nel punto di raccordo x = 0, ottenendo β = ± 2.
La funzione è poi derivabile ovunque tranne, al più, in x = 0. Per discutere la derivabilità in
x = 0, calcoliamo la derivata f 0 . Si ottiene f 0 (x) = 2(x − β) se x > 0 e f 0 (x) = α cos x se
√
x < 0. Sia β = ± 2, in modo che f sia continua in x = 0. Calcoliamo ora il limite di f 0 (x)
per x → 0. Per un noto teorema, se tale limite esiste e vale ` ∈ R, allora f è derivabile in
x = 0 e vale f 0 (0) = `. Risulta lim f 0 (x) = −2β e lim f 0 (x) = α, quindi f è derivabile se
x→0+ √
√
√ x→0−
√
α = −2 2 e β = 2 oppure se α = 2 2 e β = − 2.
6
Funzioni derivabili (V. Casarino)
6) f è derivabile in R \ {−1, 1}.
In x = −1 f non è derivabile ( la derivata destra vale 2, quella sinistra −2); in x = 1 f non
è derivabile (la derivata destra vale 2, quella sinistra −2).
Per x 6= ±1, f è uguale al polinomio x2 −1 oppure al polinomio 1−x2 , ed è pertanto derivabile,
con derivata data, rispettivamente, da 2x e da −2x.
7) f è prolungabile per continuità in x = 0. Più precisamente, dal fatto che |x|x := ex ln |x| segue
che
lim |x|x = lim ex ln |x| = 1.
x→0
x→0
Poniamo ora
f˜(x) :=
|x|x
1
se x 6= 0
se x = 0
e calcoliamo
|x|x − 1
ex ln |x| − 1
f˜(x) − f˜(0)
= lim
= lim
ln |x| = −∞.
lim
x→0
x→0
x→0
x−0
x
x ln |x|
!
Il prolungamento di f non è quindi derivabile in 0.
La funzione g è prolungabile per continuità in x = 0. Vale infatti
1
lim e− x2 = 0.
x→0
Poniamo allora
g̃(x) :=
e calcoliamo
1
e− x2
0
se x 6= 0
se x = 0
1
g̃(x) − g̃(0)
e − x2 − 0
2
lim
= lim
= lim t · e−t = 0.
t→∞
x→0
x→0
x−0
x
Il prolungamento di g è quindi derivabile in 0, con g̃ 0 (0) = 0 .
8) Osserviamo innanzitutto che f è derivabile in x = 2 e che
f 0 (x) =
x2
1
2x(x + 2)
2
− 2
−
2
−1
(x − 1)
2x − 3
4
per x > 32 . In particolare, f 0 (2) = − 31
9 . Poich è f (2) = 3 , la retta tangente ha equazione
y = − 31
9 x+
74
9 .
Funzioni derivabili (V. Casarino)
7
9) Calcoliamo la derivata di f e imponiamo che sia maggiore o uguale a zero. Si ottiene
f 0 (x) = 3 + cos x .
Poichè f 0 è maggiore di zero su R, f risulta crescente per ogni valore della x.
10) Osserviamo innanzitutto che f è definita su tutto R ed è ivi derivabile.
Calcoliamo poi la derivata di f . Risulta
f 0 (x) = ex − 3e−x .
Quindi f 0 (x) > 0 se e2x > 3, cioè se x >
in x =
1
2
1
2
ln 3 e f 0 (x) < 0 se x <
1
2
ln 3. Allora f ha minimo
ln 3.
11) a) Vale f 0 (x) = 3 cos x − 3, quindi f 0 (0) = 0 e f 0 (x) < 0 per ogni x appartenente a un intorno
bucato dell’origine. Allora il punto x0 = 0 è un punto di flesso discendente.
b) Il punto x0 = 0 è un punto di flesso ascendente.
12) La funzione f è continua e strettamente crescente su R, quindi invertibile su R. La sua
derivata, inoltre, non si annulla mai in R, cosı̀ che la funzione inversa f −1 è derivabile su R
e per ogni x ∈ dom( f −1 ) = R si ha che (f −1 )0 (x) =
1
f 0 (f −1 (x))
=
1
.
7(f −1 (x))6 +1
Poichè f (0) = 0 , si ha che f −1 (0) = 0 , quindi (f −1 )0 (0) = 1.
Poichè f (1) = 2 , si ha che f −1 (2) = 1 , quindi (f −1 )0 (2) = 18 .
13) Osserviamo innanzitutto che ha senso cercare un asintoto obliquo sia a +∞ sia a −∞.
Calcoliamo ora
f (x)
|x|
lim
= lim
x→±∞ x
x→±∞ x
r
1−
6
7
+ 2 = ±1 .
x x
Calcoliamo poi
lim (f (x) − 1 · x) = lim √
x→+∞
x→+∞
x2
−6x + 7
= −3
− 6x + 7 + x
e
−6x + 7
= 3.
x→−∞
x→−∞
x2 − 6x + 7 − x
Allora f ha un asintoto obliquo destro dato da y(x) = x − 3 e un asintoto obliquo sinistro
lim (f (x) + 1 · x) = lim √
dato da y(x) = −x + 3.
8
Funzioni derivabili (V. Casarino)
14) a) Imponendo la condizione x2 =
2
15 ,
q
si determina x = ±
2
15 .
b) La condizione da imporre è in questo caso 15x2 = −1, cosı̀ che non esistono punti soddisfacenti la condizione richiesta.
15) Le rette tangenti a f e g hanno coefficiente angolare rispettivamente uguale a m(x) = 3x2 su
R e n(x) = − 3x12 su R \ {0}. Poichè per ogni x 6= 0 risulta m(x) · n(x) = −1, le rette tangenti
a f e g sono ortogonali.
16) Sia p(x) = (x − a)2 · q(x), per qualche polinomio q.
Allora p0 (x) = 2(x − a) · q(x) + (x − a)2 · q 0 (x) = (x − a) · [2q(x) + (x − a) · q 0 (x)].
La dimostrazione nel caso generale si fa per induzione su n.
17) Si ha che dom((f )) = (−2, +∞) e lim f (x) = ±∞ . Inoltre f è strettamente crescente su
x→±∞
dom((f )) . Quindi f non ha altri zeri oltre x0 = −1 .
18) La funzione f è continua in [0, 1] e derivabile in (0, 1), soddisfa quindi le ipotesi del Teorema
di Lagrange. Risulta inoltre θ = 31 .
19) Per x 6= 0 la funzione è derivabile come somma e composizione di funzioni derivabili. In x = 0
calcoliamo il limite del rapporto incrementale:
2x2 + x2 sin x1
1
= lim (2x + x sin ) = 0,
x→0
x→0
x
x
lim
quindi f è derivabile in tutto R.
Risulta inoltre f 0 (x) = 4x + 2 sin x1 − cos x1 per x 6= 0 e f 0 (0) = 0. Poichè limx→0 f 0 (x) non
esiste, la funzione derivata f 0 non è continua in R
20) Bisogna imporre che f sia continua in [0, 1] e derivabile in (0, 1). La funzione f soddisfa
queste due ipotesi se x2 6= α per ogni x ∈ [0, 1].
Se α < 0, questa condizione è sempre verificata.
Se α = 0, non è verificata perchè in x = 0 il denominatore si annulla.
√
√
Se α > 0, bisogna imporre x 6= ± α per ogni x ∈ [0, 1], cioè x 6= α per ogni x ∈ [0, 1].
√
Questo equivale a richiedere che α non assuma valori compresi fra 0 e 1, cioè α non deve
appartenere a [0, 1].
Funzioni derivabili (V. Casarino)
9
In conclusione, le ipotesi del teorema di Lagrange sono soddisfatte per α < 0 e α > 1, non
sono soddisfatte per α ∈ [0, 1].
21) f è convessa se |a| ≤ 2.
Infatti, se a = 0 f è ovviamente convessa. Più in generale, la derivata seconda di f , f 00 (x) =
2 − a cos x, è positiva se a cos x ≤ 2.
Se a > 0, questa disequazione è banalmente verificata da tutte le x tali che cos x < 0. Se
invece cos x ≥ 0, allora si ha 0 ≤ a cos x ≤ a ≤ 2, quindi la condizione è 0 ≤ a ≤ 2.
Se a < 0, la disequazione a cos x ≤ 2 è verificata per ogni a se cos x > 0. Se cos x ≤ 0, allora
essa si può scrivere come |a cos x| ≤ 2, che, come nel caso precedente, conduce a |a| ≤ 2.
Si conclude che f è convessa su tutto R se |a| ≤ 2.
22) Sia f (x) := (1 + x)α , x > −1. Derivando otteniamo f 0 (x) = α(1 + x)α−1 e f 00 (x) = α(α −
1)(1 + x)α−2 . Poich è f 00 è positiva, f è convessa, quindi vale
f (x) ≥ f (0) + f 0 (0)(x − 0) = 1 + αx .
23) Sia f (x) := sin x − x +
x3
6 ,
x ≥ 0. Si ha f 0 (x) = cos x − 1 +
x2
2
e f 00 (x) = − sin x + x. È noto
che sin x ≤ x per ogni x ≥ 0, per cui f 00 (x) ≥ 0 per ogni x ≥ 0 e f è convessa. Vale quindi la
stima f (x) ≥ f (0) + f 0 (0)(x − 0) = 0 su tutto il semiasse positivo.
24) a) La funzione f (x) = x3 + 3x2 + 5x + 3 tende a +∞ per x → +∞, a −∞ per x → +∞ ed è
strettamente crescente: l’equazione ammette quindi una sola soluzione reale.
b) La funzione f (x) = x4 + 4x + 12 tende a +∞ per x → ±∞; f ha minimo in x = −1, ove
assume il valore 9. L’equazione f (x) = 0 non ha quindi soluzioni reali.
c) La funzione f (x) = 3x5 − 5x3 + 1 tende a +∞ per x → +∞ e a −∞ per x → −∞.
Consideriamo ora la derivata di f , f 0 (x) = 15x2 (x2 − 1). f è strettamente crescente per
x < −1 e x > 1, decrescente in (−1, 1); x = 0 rappresenta un punto di flesso discendente.
Dal momento che f (−1) = 3 e f (1) = −1, l’equazione f (x) = 0 ha tre soluzioni reali ( una
minore di −1, una compresa fra −1 e 1, una maggiore di 1).
10
Funzioni derivabili (V. Casarino)
25) L’affermazione è vera.
Infatti, posto f (x) = x5 + x si ha limx→+∞ = +∞ e limx→−∞ = −∞. Quindi l’equazione ha
almeno una soluzione. Il fatto che tale soluzione sia unica segue dal fatto che f è strettamente
crescente.
26) Studiamo la funzione f (x) = x ln x, definita per x > 0. Risulta limx→o+ = 0 e lim = +∞.
x→+∞
Inoltre,
f 0 (x)
= ln x + 1, quindi f è crescente per x >
1
e.
f ha quindi minimo in 1e , ove assume
il valore − 1e . Si ossono allora concludere i seguenti fatti.
Se λ < − 1e non vi sono soluzioni.
Se λ = − 1e esiste una soluzione.
Se − 1e < λ < 0 vi sono due soluzioni.
Se λ ≥ 0 esiste una soluzione.
27) Studiamo la funzione f (x) = xex , definita per x ∈ R. Risulta limx→−∞ = 0 e lim = +∞.
x→+∞
Inoltre,
f 0 (x)
=
ex (x
+ 1), quindi f è crescente per x > −1. f ha quindi minimo in x = −1,
ove assume il valore − 1e . Si ossono allora concludere i seguenti fatti.
Se λ < − 1e non vi sono soluzioni.
Se λ = − 1e esiste una soluzione.
Se − 1e < λ < 0 vi sono due soluzioni.
Se λ ≥ 0 esiste una soluzione.
28) Studiamo la funzione f (x) = x2 arctan x, definita per x ∈ R. Risulta lim = −∞ e lim =
x→−∞
x→+∞
+∞.
Inoltre, f (0) = 0 e f 0 (x) = 2x arctan x + 1 −
1
.
1+x2
Osservando che x arctan x è sempre
maggiore o uguale a zero ( e si annulla solo in zero) e che
a uno ( e vale uno solo in zero), si conclude che
f 0 (x)
1
x2 +1
è sempre minore o uguale
> 0 per ogni x ∈ R , x 6= 0. quindi
f è strettamente crescente. In particolare, l’equazione proposta ammette sempre un’unica
soluzione.
Funzioni derivabili (V. Casarino)
11
Esercizi proposti
1) Calcolare le derivate delle seguenti funzioni:
7
a(x) = 4x3 − x2 + 4x + 5
2
x2 − 3x + 1
x+1
√
c(x) = 3 1 + x
b(x) =
t(x) = arctan x + arctan
u(x) = x arctan x −
1
log (1 + x2 )
2
e(x) = x sin x
x
2x + 1
√
1− x
√
w(x) = arcsin
1+ x
f (x) = log x2
y(x) = log |1 − e−2x | +
v(x) = x − log
d(x) = sin x − cos x
g(x) = tan 2x
z(x) = x
3
h(x) = x 2 − 6e5x
1
x
4
1
e−2x
+1
2 log x − 3
log x − 2
α(x) = 2 log |1 − x| + 3 log2 |1 − x|
i(x) =
p
j(x) = e
1 + x2
β(x) = log
tan x3
q
e−x + 3ex
4
1 + log (2 − x2 )
k(x) = x arctan x
γ(x) =
l(x) = log (log x)
δ(x) = log
1
1
−
1 + cos x
r 1 + cos x
1 2
2
−x
ε(x) = − x + e
6
m(x) = 2sin x
n(x) = xx
η(x) = arctan2 x · log (arccos x)
o(x) = xsin x
ϑ(x) = [1 + log (x − sin x)] e2 sin x
p(x) = xlog (sin x)
s
2x
q(x) = arctan 1 + e
r(x) = log (1 + arctan2 x)
s(x) = log (x +
p
1 + x2 )
λ(x) =
sin x − cos x
x
ϕ(x) = (x2 − 9)e−|x|
ψ(x) =
xe2x
.
|x| − 2
2) Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di ciascuna delle seguenti funzioni nel punto
12
Funzioni derivabili (V. Casarino)
x0 indicato a fianco:
a)f (x) = 4x3 (x0 = −1)
c)f (x) = x2 − 2x (x0 = 1)
b)f (x) = x2 +
1
(x0 = 1)
x
d)f (x) = e−x (x0 = 0).
3) Discutere la derivabilità di f (x) = |x3 − x2 |.
4) Determinare per quali valori della x le seguenti funzioni sono crescenti oppure decrescenti:
a)3x2 − 5x − 7
b)x(x − 1)2
c)2ex − 1
e)ex − x.
√
d) x −
.
x
2
5) Determinare massimi e minimi relativi delle seguenti funzioni sul loro dominio:
a)f (x) = x3 − 12x + 7
c)f (x) =
2
x−3
b)f (x) = −x2 + 2x + 3
√
d)f (x) = x x + 1
1
− log x .
x
√
6) Determinare massimi e minimi relativi di f (x) = sin x sull’intervallo [0, π].
e)f (x) = 2 −
7) Determinare i punti di massimo e di minimo relativi ed assoluti della funzione f (x) = x2 −
3|x − 1| + 2 su [−2, 3].
8) Determinare il numero di radici reali della equazione
x45 + 7x + 5 = 0.
2
9) Sia f (x) = (x − 1)ex + arctan(log x) + 2. Dimostrare che f è invertibile sul suo dominio e
determinare Im(f ).
10) Calcolare f 0 e f 00 per le seguenti funzioni:
x
(a) f (x) = √
2 − x2
1
(b) f (x) =
arctan x
(c) f (x) = cos(sin x)
1 x
(d) f (x) = 1 +
x
1
1
(e) f (x) = + sin
x
√x
(f ) f (x) = arcsin 1 − x2 .
Funzioni derivabili (V. Casarino)
13
11) Determinare gli eventuali asintoti delle funzioni:
a)
√
b) 3 x − 1
3x + 1
x−1
d)
ex
ex − 1
c)
x2 − 25
x+1
4
e)x 3 − 3.
12) Determinare l’asintoto destro della funzione
f (x) =
x3 |x − 2| + sin x
.
x3 − 3
13) Calcolare i seguenti limiti applicando la regola di de l’Hopital:
(x + 1)4 − 1
x→0
x
b) lim
tan x
x→0 1 − cos x
e) lim
a) lim
d) lim
g) lim
x→0
ex
e−x
−
sin x
sin 3x + sin3 x
x→0
sin x
x4 − 6x2 + 8x − 3
x→1
x2 − 3x + 2
c) lim
sin2 x
x→0 (1 − cos x) cos x
h) limπ
x→ 2
f ) limπ
x→ 2
1 − sin x + cos x
sin 2x − cos x
(1 − sin x)2
cos x
sin x
x→0 x2 + sin2 x
i) lim
etan x − ex
.
x→0
x2
l) lim
14) Determinare i valori del parametro α ∈ R per cui la funzione
x2 + αx − 2
f (x) = arcsin
x2 + 2
!
è definita su tutto R.
15) Data la funzione
f (x) =
( 3
x + 3x2 + 2x
se x < 0
ln (x2 + 2x + 1) + k se x ≥ 0,
a) determinare i valori di k tali che f sia continua su R;
b) determinare fino a quale ordine f è derivabile su R.
16) Stabilire quali fra le sequenti funzioni soddisfano le ipotesi del Teorema di Rolle nell’intervallo
[−1, 2]:
a)f (x) = x2
c)f (x) =
 2
x



0



(x − 1)2
1
b)f (x) = |x − |
2
se x ∈ [−1, 0]
se x ∈ (0, 1]
se x ∈ (1, 2]
d)f (x) =

−x






se x ∈ [−1, 0]
0
se x ∈ (0, 1]
x−1
se x ∈ (1, 2]
14
Funzioni derivabili (V. Casarino)
e) f (x) =


1




se x ∈ [−1, 12 ]
0
se x =
1
se x ∈
1
2
( 12 , 2].
17) Determinare l’immagine della funzione
f (x) = arctan x + arctan
1
,
x
x 6= 0 .
18) Utilizzando il Teorema di Rolle si dimostri che la derivata della funzione f definita da
(
f (x) =
x sin πx
se x > 0
0
se x = 0
si annulla in infiniti punti dell’intervallo (0, 1).
19) Determinare il numero di soluzioni dell’equazione
arctan(ax) = x
al variare di a > 0.
20) Data la funzione
f (x) = 2x + cos x
a) verificare che f è invertibile;
b) detta g l’inversa di f , calcolare g 0 (1).
21) Dimostrare la disuguaglianza
1−
per ogni x ∈ R.
x2
≤ cos x
2
Funzioni derivabili (V. Casarino)
15
Soluzioni degli esercizi proposti
1) a) Si ha:
4)
a0 (x) = 12x2 − 7x + 4
b0 (x) =
x2 + 2x − 4
(x + 1)2
1
c0 (x) = p
3
3 (1 + x)2
r0 (x) =
2 arctan x
(1 + x2 )(1 + arctan2 x)
u0 (x) = arctan x
2
x
g 0 (x) = 2 1 + tan2 2x =
2
cos2 2x
v 0 (x) = 1 −
1
x(2x + 1)
w0 (x) = −
1
√
2(1 +
3 1
4
h0 (x) = x 2 − 120x3 e5x
2
i0 (x) = √
j 0 (x)
x
1 + x2
2 tan x3
= 3x e
k 0 (x) = arctan x +
l0 (x) =
2
1 + tan x
3
x
1 + x2
1
x log x
m0 (x) = 2sin x cos x log 2
o0 (x) = xsin x
sin x
cos x log x +
x
2e−2x
2e−2x
+
1 − e−2x (e−2x + 1)2
z 0 (x) =
2 log2 x − 7 log x + 5
(log x − 2)2
α0 (x) =
6 log |1 − x| + 2
x−1
β 0 (x) =
−e−x + 3ex
e−x + 3ex
γ 0 (x) = −
δ 0 (x) =
3
x) x 4
y 0 (x) =
n0 (x) = xx (log x + 1)
1
1 + x2
t0 (x) = 0
e0 (x) = sin x + x cos x
2e2x
1 + (1 + e2x )2
s0 (x) = √
d0 (x) = cos x + sin x
f 0 (x) =
q 0 (x) =
(2 −
x2 )
p
x
1 + log (2 − x2 )
sin x cos x
(1 + cos x)2
2
p0 (x) = xlog sin x
η 0 (x) = arctan x
cos x
log sin x
log x +
sin x
x
− 1 x − 2xe−x
ε0 (x) = q3
2 − 16 x2 + e−x2
2 log (arccos x)
arctan x
√
−
2
1+x
arccos x 1 − x2
16
Funzioni derivabili (V. Casarino)
2 sin x
ϑ0 (x)
=e
λ0 (x)
1
=
2
ϕ0 (x)
ψ 0 (x)
=
=
r
1 − cos x
+ 2 cos x (1 + log (x − sin x))
x − sin x
(x + 1) cos x + (x − 1) sin x
x
sin x − cos x
x2
( −x
e (−x2 + 2x + 9)
se x > 0
ex (x2 + 2x − 9)
se x < 0
x2 − 2x − 1
x2 − 4x + 4



 2e2x


!


x+1 2

2x

 −2e
x+2
se x ≥ 0 , x 6= 2
.
se x < 0 , x 6= −2
2) a) Occorre innanzitutto calcolare la derivata della funzione f in x0 = −1: si ha f 0 (−1) = 12.
y = 12x + 8.
b)y = x + 1
c)y = −1 ( si osservi che nel punto x0 = 1 la retta tangente è orizzontale)
d)y = 1 − x ( si osservi che nel punto x0 = 0 la retta tangente è inclinata verso il basso).
3) Dal momento che risulta f (x) = x2 |x − 1|, f è derivabile in R \ {1}.
4) a) Crescente per x > 56 , decrescente per x < 56 .
b) Crescente per x <
1
3
e x > 1, decrescente per
1
3
< x < 1.
c) Crescente per ogni valore della x.
d) Crescente per 0 < x < 1, decrescente per x > 1.
e) Crescente per x > 0, decrescente per x < 0.
5) a) f ha massimo in x = −2 e minimo in x = 2.
b) f ha massimo in x = 1.
c) f non ha nè massimi nè minimi.
d) f ha minimo in x = − 23 .
e) f ha massimo in x = 1.
6) f ha massimo in x =
π
2
e ha minimo in x = 0, π.
Funzioni derivabili (V. Casarino)
17
7) f ha un punto di minimo assoluto in x = − 32 , con f − 32 = − 13
4 .
f ha un punto di massimo assoluto in x = 3, con f (3) = 5.
x = 1 e x = −2 sono punti di massimo relativo (si ha, rispettivamente, f (1) = 3 e f (−2) = −3
).
Infine, f ha un punto di minimo relativo in x = 23 , con f
3
2
=
11
4 .
8) L’equazione ammette un’unica soluzione reale.
9) La funzione f è strettamente crescente su (0, +∞) (infatti f 0 (x) > 0), quindi invertibile su
R.
Inoltre Im(f ) = (1 − π2 , +∞).
10)
(a) f 0 (x) =
(b) f 0 (x) = −
2
(2 − x2 )
1
f (x) = 1 +
x
(f ) f (x) =
1
x
x (
f 00 (x) =
x 2x arctan x + 2
;
(1 + x2 )2 arctan3 x
00
,
se x > 0
√ 1
se x < 0
1
x
1
−
1+x
1
,
1+x
−
2
1
−
x(1 + x)2
2
1
f (x) = 3 1 + cos
x
x

1
 − √1−x2
1−x2
log 1 +
1
log 1 +
x
1
1
(e) f (x) = − 2 1 + cos
x
x
0
,
;
5
(2 − x2 ) 2
f 00 (x) = − cos (sin x) cos2 x + sin (sin x) sin x ;
(d) f 0 (x) = 1 +
0
f 00 (x) =
1
(1 +
6x
,
x2 ) arctan2 x
(c) f 0 (x) = − sin (sin x) cos x ,
00
3
2
,

x

 (1−x2 ) 32
f 00 (x) =
x

−
3
(1−x2 ) 2
−
)
;
1
1
sin ;
4
x
x
se x > 0
se x < 0
.
18
Funzioni derivabili (V. Casarino)
11) a) x = 1 è asintoto verticale, y = 3 orizzontale.
b) La funzione non ha asintoti verticali o orizzontali; non ha senso, inoltre, cercare asintoti
obliqui dal momento che la funzione rappresenta un infinito di ordine inferiore a 1.
c) x = −1 è asintoto verticale, y = x asintoto obliquo.
d) x = 0 è asintoto verticale, y = 0 è asintoto orizzontale sinistro, y = 1 è asintoto destro.
e) La funzione non ha asintoti verticali o orizzontali; non ha senso, inoltre, cercare asintoti
obliqui dal momento che la funzione rappresenta un infinito di ordine superiore a 1.
12) y = x − 2.
13)
a)4
b)0
c)3
d)∞
e)2f )0
g)
h)1
i)∞
l)0
14) La funzione è definita su tutto R per α = 0 .
15) 1) f è continua se k = 0.
2) f 0 esiste su tutto R e vale f (x) = 3x2 + 6x + 2 se x < 0 e f (x) = ln
0. Calcolando i limiti del rapporto incrementale di f 0 per x → 0+
2
se x ≥
(x+1)
−
e x → 0 , si ottiene
(D2 f )+ (0) = −2 e (D2 f )− (0) = 6, quindi f è derivabile fino al primo ordine su R.
16) a) No (f (−1) 6= f (2))
b) No (f non è derivabile)
c) Sı̀
d) No (f non è derivabile)
e) No (f non è continua).
17) Risulta Im f = {− π2 , π2 }.
19) Se 0 < a < 1 vi è una sola soluzione. Se a ≥ 1 ci sono tre soluzioni.
20) a) Poichè f 0 (x) = 2 − sin x per ogni x ∈ R, f è strettamente crescente e quindi invertibile.
b) Cerchiamo x0 tale che f (x0 = 1. Si trova x0 = 0, da cui g 0 (1) = 12 .