Cap. 11 - Strutture a buche quantiche.
I notevoli risultati raggiunti nella messa a punto di tecnologie di crescita e di
nuove metodologie, hanno permesso la realizzazione di strutture controllate su
scala microscopica. La tecnica della epitassia da fasci molecolari (MBE, molecular
beam epitaxy) o della deposizione chimica da fase vapore di metallorganici
(MOCVD) ha fornito la possibilità di depositare un materiale controllandolo
strato per strato. Si sono potute realizzare così, eterogiunzioni ed omogiunzioni
con drogaggio calcolato, interfacce nette, purezza elevata. Depositando strati
di dimensioni di pochi nanometri o di pochi angstroms, sono stati osservati tutta
una serie di fenomeni connessi col fatto che la lunghezza d'onda di De Broglie
degli elettroni nel materiale risulta essere confrontabile con le dimensioni della
*
1/ 2
struttura, almeno in una certa direzione, ( λ = h ( 2 m E ) ); ciò dà luogo ad
effetti quantistici (quantum size effects) non osservabili nelle normali strutture
a semiconduttore. La prima struttura che ha permesso di osservare il
confinamento quantistico dei portatori in una buca di potenziale, era costituita
da una successione di strati di GaAs alternati a strati di AlGaAs (superreticolo).
Si realizza così una periodica modulazione delle bande di valenza e di conduzione
e una periodicità spaziale più piccola della lunghezza d'onda di de Broglie (25 nm
nel GaAs). La periodicità artificialmente creata nel potenziale aggiunta a quella
del potenziale cristallino dà luogo alla formazione di minibande per gli elettroni e
le buche che portano a nuove proprietà elettriche ed ottiche. I portatori
perdono un grado di libertà nella direzione di crescita e il sistema assume un
comportamento bidimensionale.
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
1
La opportuna progettazione delle eterostrutture ha reso possibile il
confinamento in due dimensioni, realizzando così strutture monodimensionali o
fili quantici (quantum wire), e in tre dimensioni, realizzando così strutture
zerodimensionali o punti quantici (quantum dot).
Se uno strato di semiconduttore di data gap è depositato tra due strati di un
semiconduttore di gap maggiore, per esempio il GaAs tra strati di GaAlAs, si
parla di buca quantica (quantum well). L'idea di esaminare il comportamento di un
superreticolo viene ad Esaki verso la fine degli anni 60 per poter osservare il
tunneling risonante attraverso una doppia barriera o barriere multiple. Una
successione di buche quantiche si chiama superreticolo (SL) o buche quantiche
multiple (multi quantum wells, MQW) a seconda che i portatori possono o no
attraversare facilmente per tunneling le barriere. In figura sono rappresentati
due tipi di superreticoli a seconda che i portatori siano confinati spazialmente
nello stesso strato (tipo I) o gli elettroni siano nel semiconduttore A e le buche
in B (tipo II).
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
2
Se la variazione periodica del potenziale è realizzata alternando materiali diversi
si parla di 'compositional superlattice'; se, invece, tale variazione è realizzata
cambiando il tipo di impurezza drogante per cui si hanno strati alternati di
materiale n e p, si parla di 'doping superlattice'.
Epitassia da fasci molecolari.
L'epitassia è il processo di crescita di strati di spessore compreso tra
10 −1 ÷ 10 5 nm su un substrato orientato. L'epitassia da fasci molecolari
permette di controllare la deposizione strato per strato. In figura è illustrato il
principio per la deposizione di semiconduttori III-V, GaAs, AlxGa1-xAs, GaxIn1xAs, AlxIn1-xAs. Il processo di crescita si basa sulla interazione di fasci atomici
o molecolari ad energia termica con un substrato monocristallino tenuto ad una
opportuna temperatura (per es., 500-600 °C). I fasci molecolari sono generati
per evaporazione degli elementi Ga, Al, In, As in piccole celle di volume 10-100
cm3; celle separate contengono atomi di Be o Si per drogare il materiale. La
condizione di ultravuoto(>10-11 torr) è necessaria per eliminare eventuali
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
3
contaminanti. Schermi mobili meccanici (shutter) consentono, in un tempo
dell'ordine di 0.1 s, di interrompere il fascio.
La caratteristica principale della tecnica MBE è la sua bassa velocità di
deposizione (circa 0.3 nm/s); ciò permette di depositare un insieme di atomi
altamente ordinato. Il sistema consiste di una camera di ultra alto vuoto dotata
di celle di evaporazione isolate termicamente l'una dall'altra, un manipolatore
per posizionare e riscaldare il substrato, una camera per preparare e scambiare
substrati, sistemi di controllo della qualità e dei parametri della crescita. In ogni
camera, il vuoto è fatto in modo indipendente; per misurare i flussi si usa uno
spettrometro di massa e per controllare la qualità dello strato che si cresce si
usa la tecnica RHEED (reflection high energy electron diffraction). La
temperatura dei crogioli può essere di 1400 °C usando una elica di tantalio e la
temperatura è misurata con una termocoppia al W/Re. Mentre l'evaporazione di
elementi del gruppo III produce specie atomiche, quella di elementi del gruppo V
produce molecole con quattro atomi (P4, As4, ecc.).
Livelli energetici in una struttura a buca quantica.
Se in un cristallo finito vi sono due barriere infinite di potenziale, distanti L
nella direzione z, le onde di Bloch si riflettono e risultano spazialmente confinate
così come accade in una corda fissa agli estremi. I modi normali di vibrazione
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
4
sono onde stazionarie la cui lunghezza d'onda assume valori discreti dati da
λ n = 2 L / n , con n=1,2,.. Nel caso di una particella di massa m* confinata tra le
due barriere di potenziale i vettori d'onda permessi delle onde di Bloch sono dati
da:
k zn = 2π / λ n = nπ / L
(1)
e l'energia dello stato fondamentale risulta aumentata rispetto a quella dello
stato non confinato di:
h 2 k 2z1 ⎛ h 2 ⎞ ⎛ π 2 ⎞
∆E =
=⎜
⎟⎜ ⎟
2 m * ⎝ 2 m * ⎠ ⎝ L2 ⎠
(2)
∆E
è l'energia di confinamento ed è una conseguenza del principio di
indeterminazione di Heisenberg. Se la particella è confinata in L, l'incertezza
sull'impulso aumenta di una quantità dell'ordine di h / L e quindi l'energia
cinetica aumenta di ∆E . Il confinamento oltre a dar luogo alla quantizzazione dei
livelli eccitati, modifica anche la densità degli stati.
L’
multi quantum well (MQW)
L<< L’
In un superreticolo, L' è sufficientemente sottile da permettere ad un elettrone
di attraversare le barriere per effetto tunnel cosicché l'elettrone vede, oltre al
potenziale cristallino, il potenziale periodico degli strati alternati. Sia A la buca
e B la barriera e sia E gB > E gA in una singola QW. Gli spigoli di banda non sono
allineati per cui nasce una differenza tra i livelli
corrispondentemente, tra i livelli
Ec
dei due materiali e,
E v ; tale differenza è nota come "band offset"
e questa determina il confinamento nella buca.
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
5
Consideriamo una singola QW e sia la gap di A minore di quella di B (esempi sono:
GaAs/GaAlAs, GaInAsP/InP, GaInAs/AlInAs, GaSb/AlSb,..)
E' noto che una particella classica, se non ha energia sufficiente per superare
una barriera, sarà da questa riflessa. Decisamente diverso è il comportamento di
una particella quantistica: essa ha una probabilità diversa da zero di penetrare la
barriera anche se la sua energia è minore dell'altezza della barriera (effetto
tunnel).
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
6
L'energia e la funzione d'onda dell'elettrone nella QW possono essere calcolate
con l'approssimazione della massa effettiva.
Poichè il potenziale di confinamento dipende solo da z, la funzione d’onda può
essere scritta come prodotto di una funzione dipendente da z e un’altra
dipendente da x e y:
C ( A o B) (x, y, z) = φ ( A o B) (x, y )ψ (A o B) (z)
L'equazione per φ ( A o B) (x, y ) è quella di una particella libera, per cui la
soluzione è un'onda piana del tipo
[
]
φ ( A o B) (x, y) ∝ exp ± i (k x x + k y y )
essendo
kx
e
k y le componenti del vettore d'onda parallele alla buca. Le
condizioni al contorno che la funzione d'onda dev'essere continua attraverso
l'interfaccia della QW richiedono che le componenti k x e k y siano le stesse
dentro e fuori la buca. Le equazioni per
ψ ( A o B) (z) portano a soluzioni che, in
generale, sono di due tipi a seconda che risulti:
{E − [h
{E − [h
2
oppure
2
}
)}< V .
/ 2m *B ](k 2x + k 2y ) > V o
(
/ 2m *B ] k 2x + k 2y
o
Nel primo caso le soluzioni sono onde piane e lo spettro energetico è continuo
essendo la particella non confinata nella buca (la particella ha energia cinetica
sufficiente da superare la barriera e quindi non è confinata); nel secondo, le
soluzioni sono della forma
ψ B (z) = α 1 e τz + α 2 e −τz
con τ reale positivo dato da:
⎡
⎤
⎛ h2 ⎞ 2
2
2
⎢E − ⎜
⎟ kx + ky − τ ⎥ = Vo
*
⎢⎣
⎥⎦
⎝ 2mB ⎠
(
)
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
7
ψ B (z)
z → ± ∞ deve aversi:
⎧⎪ α 1 e τz per z < (− L / 2)
ψ B (z) = ⎨
⎪⎩ α 2 e − τz per z > (L / 2)
La funzione d'onda φ B (x, y)ψ B (z) descrive un'onda viaggiante parallelamente
Affinchè
sia finita a
alla buca e esponenzialmente decrescente nelle barriere dalle interfacce. Tali
onde sono note come onde evanescenti. La componente z del vettore d'onda è
± iτ e quindi è immaginaria. Le soluzioni nella buca possono essere espresse
come combinazioni lineari di funzioni d'onda simmetrizzate, rispetto al piano di
simmetria per riflessione in z=0, tali come la funzione coseno (simmetrica) e
seno (antisimmetrica):
ψ A ( z) = β1 cos( k z z) o ψ A ( z) = β 2 sin( k z z) per (-L/2)<z<L/2
I coefficienti
α 1 , α 2 , β1 , β 2
si ricavano imponendo le condizioni di continuità
della funzione d'onda e della sua derivata alle due interfacce.
Se il potenziale è infinito, i valori di k z sono dati dall'espressione classica per le
k z = nπ / L e gli autovalori dell'energia sono dati da:
⎛ h 2 ⎞ ⎡⎛ nπ ⎞ 2
⎤
2
2
E n (k x , k y ) = ⎜
⎟ ⎢⎜ ⎟ + k x + k y ⎥
n=1,2,...
*
⎝ 2m A ⎠ ⎣⎝ L ⎠
⎦
onde stazionarie:
La spaziatura tra i livelli è quindi proporzionale a 1/L2.
In definitiva, l'energia dell'elettrone sarà la somma dell'energia del fondo della
banda di conduzione, Ec, dell'energia di confinamento En, e dell'energia cinetica
nel piano xy dove si può muovere come una particella libera:
E (k ) = E c + E n +
h 2 k 2xy
2m *A
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
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Se il potenziale è finito, le subbande non hanno una espressione analitica.
*
*
Inoltre, se m A ≠ m B , la condizione sulle derivate è:
1 ∂ψ A
1 ∂ψ B
=
m *A ∂z
m *B ∂z
per z= ± L/2
Calcolando il numero di stati legati nella buca, si trova che esso decresce al
diminuire di L, larghezza della buca.
Il numero di stati legati di una QW di spessore L risulta essere:
⎡ 2 m * V L2
o
n (L ) = 1 + Int ⎢
2 2
⎢⎣
π h
⎤
⎥
⎥⎦
Il problema della quantizzazione delle buche è più complesso: nel GaAs la
degenerazione è 4 a k=0 e corrisponde a bande la cui funzione d'onda ha un
momento angolare J=3/2. Il confinamento diminuisce la degenerazione dando
luogo a due minibande,
una associata alla buca pesante (heavy hole)
con J z = ±3 / 2 e una associata alla buca leggera (light hole) con J z = ±1 / 2 , la
denominazione essendo in relazione con la massa effettiva delle buche.
Per energie positive, lo spettro degli stati permessi è continuo, ma un elettrone
ad una interfaccia viene parzialmente riflesso e parzialmente trasmesso.
Nel caso di superreticoli, l'effetto tunnel tra barriere è importante per cui si
determina una sovrapposizione di funzioni d'onda che dà luogo alla formazione di
minibande invece che di livelli discreti allo stesso modo per cui livelli discreti di
atomi isolati determinano bande di energie quando tali atomi costituiscono un
cristallo. Ma, mentre le normali bande hanno larghezza tra 1 e 10 eV, le
minibande hanno larghezza dell'ordine dei 10 meV. Usando nell'equazione di
Schroedinger per la funzione ψ un potenziale del tipo Kronig-Penney si ottiene
la seguente relazione di dispersione che fornisce le bande permesse imponendo
che −1 ≤ cos( kd ) ≤ 1 :
cos (kd) = cos (k A L A )cos (k BL B ) −
per
E > V o,
trova
essendo
d = LA + LB
e
1⎛
⎜ξ+
2⎝
ξ = k A m *B / k B m *A ; per E < V o
*
2 2
*
k 2A
2
, si
−κ
sin( kA L A )sinh (κL B ) ;
2k A κ
2 2
*
per E > V o , V o − E = h κ / 2m A per
cos(kd) = cos(k A L A )cosh(κL B ) −
2 2
1⎞
⎟ sin( kA L A )sin (k BL B )
ξ⎠
E = h k A / 2m A , E − Vo = h k B / 2m A
E < V o . Tali equazioni risolte numericamente, danno luogo a delle minibande.
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
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Densità degli stati.
Essendo il moto lungo l'asse z quantizzato, l'elettrone ha due gradi di libertà nel
piano xy. Mentre per un semiconduttore tridimensionale la densità degli stati è
1/2
proporzionale a E , in una MQW ideale essa è data da:
ρ 2D
m*
= ∑ 2 Y (E − En )
n πh L w
essendo Y una funzione gradino che incrementa di 1 in corrispondenza delle
energie
En =
(hπ n )2
2 m * L2w
. L'andamento della densità degli stati è quindi tipo scala.
Nel caso dei superreticoli,
ρ
essendo
Γn
ρ 2D
2D
SL
è data da:
m*
=∑ 2
n πh L w
⎡π
⎛ E − En
⎢ + arctan⎜
⎢⎣ 2
⎝ Γn
⎞⎤
⎟⎥
⎠ ⎥⎦
un parametro di allargamento.
Se, tramite una ulteriore barriera di potenziale, si limita la conduzione dei
portatori in una ulteriore direzione, per esempio x, si ottiene una struttura
unidimensionale (quantum wire) in cui i livelli energetici discreti hanno una
energia:
E n,k
h2π 2
=
2m *
⎡⎛ n ⎞ 2 ⎛ k ⎞ 2 ⎤
⎢⎜
⎟ ⎥ = En + Ek
⎟ +⎜
⎢⎣⎝ L w ⎠
L
⎝ x ⎠ ⎥⎦
essendo n e k, interi. Nel caso dei fili quantici, la densità degli stati è data da:
ρ1D = ∑ [E − (E k + E n )]
−1/ 2
k ,n
m*
hL x L w
Nel caso di confinamento in tutte le direzioni (struttura zerodimensionale),
l'energia è data da:
E n,k ,l
h2π 2
=
2m *
2
⎡⎛
⎞2 ⎛ k ⎞2 ⎛ l ⎞ ⎤
n
⎢⎜
⎟ ⎥ = E n + Ek + E l
⎟ +⎜
⎟ + ⎜⎜
⎟
⎢⎝ L w ⎠
⎝ Lx ⎠
⎝ L y ⎠ ⎥⎦
⎣
con n, k, l, interi.
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
10
E' da notare che al diminuire delle dimensioni spaziali dell'eterostruttura i livelli
energetici si spostano verso le energie più alte (blue shift). La densità degli
stati, nel caso di punti quantici, è costituita da una serie di stati discreti forniti
dalla relazione:
ρ 0D = ∑ δ [E − (E k + E n + E l )]
n,k ,l
1
L xLwL y
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
11
Proprietà ottiche.
In figura è schematicamente mostrato il meccanismo di creazione di una coppia a
causa dell'assorbimento di un fotone e la ricombinazione radiativa della stessa.
Poichè gli stati di conduzione ad energia più bassa, sono localizzati nel pozzo, gli
elettroni in eccesso tenderanno a rilassare negli stati ad energia più bassa.
Poichè questo processo di rilassamento è più rapido del processo di
ricombinazione radiativa, questa coinvolge elettroni e buche che occupano i livelli
o le minibande più basse in energia e una misura di luminescenza permette di
risalire alla distanza energetica tra la minibanda n=1 degli elettroni e quella n=1
delle buche pesanti a meno dell'energia di legame dell'eccitone, ovvero:
( h ω ) PL = E g + E 1e + E 1hh − E ex
Per misurare l'energia delle minibande più alte si ricorre a misure di
assorbimento o di spettroscopia di eccitazione.
In figura sono riportati due spettri di assorbimento del superreticolo
GaInAs/AlInAs a 4 K e 300 K.
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
12
Come si può vedere a bassa temperatura, l'andamento ricalca quello della densità
degli stati di un sistema 2D e distinti picchi eccitonici compaiono. E' importante
notare che i sistemi a ridotta dimensionalità mostrano nuove regole di selezione;
per esempio, le transizioni ottiche interbanda sono tali che ∆ n = 0 , ovvero esse
avvengono tra stati aventi lo stesso numero quantico di banda. Per le misure di
assorbimento è necessario che il substrato sia trasparente nel range investigato,
altrimenti è necessario asportarlo con attacco chimico, ma questa operazione non
è esente da rischi. La tecnica della fotoluminescenza di eccitazione consiste
nell'eccitare il campione con radiazione di energia variabile con continuità
nell'intervallo d'interesse e misurando la luminescenza a quella energia. Si
ottiene così uno spettro simile a quello di assorbimento potendo usare substrati
non trasparenti. Un'altra caratteristica importante che si manifesta nei sistemi
a dimensionalità ridotta riguarda l'aumento dell'energia di legame dell'eccitone.
Nei cristalli 3D, l'energia di legame dell'eccitone è di circa 5 meV per cui esso
può essere osservato solo a temperature molto basse. Essendo, nei sistemi a più
bassa dimensionalità, l'energia di legame dell'eccitone inversamente
proporzionale al quadrato della larghezza della barriera di potenziale, stati
eccitonici sono osservabili anche a temperatura ambiente.
L'aumento dell'energia di legame deriva dall'aumentata interazione tra elettrone
e buca a causa del confinamento dell'eccitone in un pozzo quantico di larghezza
confrontabile con il raggio di Bohr dell'eccitone.
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
13
Proprietà elettriche.
Molto interessante è il caso in cui si voglia studiare il trasporto perpendicolare
agli strati. Le
r equazioni semiclassiche del moto degli elettroni in una banda di
E ( k ) , come già visto in precedrenza, sonor:
r
r
1 ∂E( k )
dk
v( k ) =
= eF
; h
dt
rh ∂k
Se il campo elettrico applicator, F , non
r varia nelr tempo,
k ( t) = k (0 ) − eFt / h
r
r
E
(
k
) che
varia
linearmente
nel
tempo
e
quindi
varieranno
nel
tempo
sia
cioè,
k
r
v( k ). Una volta che k ha raggiunto il valore k ZB , al bordo della zona di Brillouin,
ci sarà la riflessione di Bragg, cioè l'elettrone prenderà il valore - k ZB . Il tempo
energia
necessario perchè k assuma i valori compresi nella zona di Brillouin è T=
(2 π / d )(eF / h ) −1 essendo d la periodicità del reticolo.
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
14
Nello spazio reale il moto sarà oscillatorio (oscillazioni di Bloch), ma esso non
sarà osservabile nei cristalli 3D in quando il periodo è più lungo del tempo di
collisione; ma, nei superreticoli, la costante reticolare può essere anche 50 volte
maggiore e l'esistenza delle oscillazioni di Bloch potrebbe essere evidenziata.
L'incremento di velocità nel tempo dt è:
eF ∂ 2 E
dv z = 2 2 dt ;
h ∂k z
detto
τ
il tempo
medio tra collisioni, la velocità di drift media sarà:
∞
∞
eF ∂ 2 E
dt
v d = ∫ e dv z = ∫ e
2
2
∂
k
h
0
0
z
Assumendo che la dipendenza di E da k sia E = E o + 2E 1 cos kd , si ha:
ς2
πh
vd =
m SL d 1 + π 2 ς 2
− t/ τ
−t / τ
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
15
dove
ς = eFτd / π h
e
1 / m SL = (1 / h 2 )( ∂ 2 E / ∂ k 2 ) ; la velocità ha un
comportamento oscillatorio sebbene il campo elettrico sia statico. Poichè, a
causa della riflessione, gli elettroni vanno in una regione di massa negativa, una
conducibilità negativa è stata osservata, ma essa non è attribuibile alle
oscillazioni di Bloch quanto, piuttosto, ad un fenomeno di tunneling risonante di
elettroni tra quantum wells adiacenti.
Nel caso di una doppia barriera, gli elettroni possono attraversare la barriera
quando, con un opportuno potenziale esterno, il livello di Fermi del lato di sinistra
coincide con l'energia del primo livello E 1e . La trasmissione risonante dà luogo ad
un massimo nella caratteristica corrente-tensione alla tensione esterna di
2E 1 / e (su ciascuna barriera si ha la stessa caduta di tensione).
Successivamente si ha il tratto con conducibilità differenziale negativa perchè
aumentando la tensione applicata si va fuori risonanza.
Trasporto quantistico.
Consideriamo un gas elettronico bidimensionale in un intenso campo magnetico
lungo z e un debole campo elettrico statico (regime di risposta lineare), F, nel
piano perpendicolare a z. La densità di corrente può scriversi come:
J x = σ xx F x + σ xy F y
In materiali aventi
J y = σ yx F x + σ yy F y
struttura cubica σ xx = σ yy e σ xy = − σ yx ;
tensore resistività possiamo scrivere:
ρ xx = ρ yy
σ
= 2 xx 2
σ xx + σ xy
,
ρ yx = − ρ xy =
d
⎛
⎛ a b ⎞ ⎜ ad − bc
1 La matrice inversa di
⎜
⎟ è⎜
⎝ c d ⎠ ⎜⎜ − c
⎝ ad − bc
σ xy
σ xx2 + σ xy2
in termini di
1
b ⎞
ad − bc ⎟⎟
a
⎟⎟
ad − bc ⎠
−
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
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Consideriamo un campione dotato di sei contatti come in figura.
Nella configurazione adottata,
J y =0, per cui: F x = ρ xx Jx
e
F y = ρ yx Jx ;
assumiamo che la corrente che misuriamo sia uniforme nella direzione x. Le altre
quantità che misuriamo sono le differenze di potenziale tra A e B, V L , e tra A e
C,
V H.
Essendo il moto dei portatori in un piano, la densità di corrente potrà
scriversi
Jx = I / W
(W è la larghezza del campione) e le tensioni, longitudinale
V L = F x L e V H = F y W . Possiamo quindi scrivere:
ρ
= xx LI = R xx I , V H = ρ yx I = R yx I
W
e Hall, rispettivamente,
VL
dove
R xx
e
R yx sono le resistenze espresse in ohm. Dalle precedenti relazioni si
ottiene:
R xx =
σ xx
L
W σ xx2 + σ xy2
,
R yx =
σ xy
σ xx2 + σ xy2
Come si può osservare, mentre la resistenza longitudinale dipende dalle
dimensioni del campione, la resistenza Hall ne è indipendente e per questo essa
diventa interessante da un punto di vista metrologico per la definizione
dell'unità di misura della resistenza elettrica.
In figura è riportato l'inverso della resistenza Hall normalizzata in funzione
della densità degli stati normalizzata. Come si può vedere, invece di un
andamento rettilineo (infatti la resistività Hall nei cristalli tridimensionali è
ρ=
Bz
,
N V ec
essendo
NV
la densità volumetrica di elettroni), si trova un
andamento a gradini e dove la resistenza Hall è piatta, la resistenza longitudinale
è praticamente nulla, mentre è finita tra i gradini.
Si può dimostrare che la resistenza di Hall, R yx = R H = V H / I , è data da:
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
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RH =
Bz
h
= 2
N s ec ne
(*)
essendo n il numero intero di livelli (di Landau) totalmente occupati dagli
elettroni.
Pertanto, la resistenza Hall risulta non dipendere dai parametri del cristallo, ma
solo da costanti fondamentali. In corrispondenza della condizione (*), si verifica
una seconda conseguenza, frutto del fatto che siamo nel limite quantistico
(kT<< h ω c ), e cioè che, poichè non ci possono essere collisioni che fanno passare
un elettrone da un livello all'altro, la resistività nella direzione del moto risulta
essere nulla: ρ xx = 0 e quindi V L = 0 . Ma a ρ xx = 0 non corrisponde una
conducibilità infinita nella direzione del moto delle cariche, ma anche questa è
nulla perchè l'assenza di meccanismi di scattering implica assenza di
dissipazione.
Nel 1985, Klaus von Klitzing ricevette il premio Nobel per aver osservato
l'effetto Hall quantistico utilizzando una struttura MOSFET (metal-oxidesemiconductor field effect transistor) del tipo in figura. La tensione V g
applicata al metallo (Al, gate) incurva le bande del silicio p vicino la superficie
dell'ossido (SiO2) in modo tale che la banda di conduzione vada sotto al livello di
Fermi e si crei uno strato sottile popolato da elettroni (inversion layer).
Il substrato, p-Si, l'ossido, SiO2, e l'elettrodo metallico di Al, costituiscono un
condensatore la cui carica è proporzionale alla tensione di gate e quindi la
densità areale di carica può variare con Vg.
L'applicazione del campo magnetico lungo z e di una corrente costante lungo x
permise l'osservazione dell'effetto Hall misurando una tensione longitudinale,
Vxx, lungo x e una trasversa, Vxy, proporzionale al coefficiente Hall, lungo y. La
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
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misura fu effettuata alla temperatura di 1.5 K, un campo di 18 T e una corrente
costante lungo x di 1 µA . Ciò che si notava era che Vxx si annullava regolarmente
per certi valori della Vg. Inoltre, in corrispondenza dei valori nulli di Vxx, Vxy
risultava essere costante. La resistenza Hall misurata in corrispondenza di
questi plateau risultava essere uguale a 25813 Ω diviso un numero intero n
relativo al livello di Landau occupato. Il 'quanto di resistenza' è definito come
h/e2 ed è oggi usato come standard in metrologia.
V.Augelli- Fisica degli Stati Condensati – Cap. 11 - Strutture a buche quantiche
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Una importante implicazione della scoperta dell'effetto Hall quantistico è che
esso permette una misura più accurata della costante di struttura fine
α = e 2 / hc (incertezza sperimentale di 10 −8 ).
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