UNIVERSITA’ DEGLI
STUDI DI TERAMO
MASTER
UNIVERSITARIO
DI I LIVELLO
ANNO ACCADEMICO
2003/2004
COMUNICAZIONE E
DIVULGAZIONE SCIENTIFICA
“DA EUCLIDEAD HILBERT”
( l’evoluzione della geometria)
a cura di
GIOSUE’ PASSACQUALE
MENU’ INIZIALE
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LA NATURA DELLA GEOMETRIA
GLI “ELEMENTI” DI EUCLIDE
LA CRISI DEI FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA
I “GRUNDLAGEN DER GEOMETRIE”
(FONDAMENTI DELLA GEOMETRIA)
DI HILBERT
SIGNIFICATO CULTURALE DELLA GEOMETRIA
BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE
RINGRAZIAMENTI
LA NATURA DELLA
GEOMETRIA

Che cos’è la geometria?

Qual è l’oggetto di studio della geometria?

Quali sono le origini della geometria?

Qual è il metodo della geometria?
“La geometria è l’arte di fare
i ragionamenti giusti
sulle figure sbagliate.”
Definizione ironica e paradossale, ma profondissima che presenta tutte le
componenti essenziali della geometria:
il ragionamento (logico) deduttivo;
i ragionamenti giusti;
l’intuizione concreta;
il riferimento alla realtà;
le figure, che non sono il vero oggetto dello studio della geometria.
“ figure “ … o … “ immagini mentali “
Le figure non sono il vero oggetto dello studio della geometria,
ma un appoggio alla formazione di quelle immagini mentali
(vero oggetto di studio della geometria) che sono le
elaborazioni fantastiche con cui la nostra mente descrive le
forme degli oggetti reali.
Le figure, cioè i segni, cioè i simboli, NON vanno letti in
modo ingenuo e superficiale, MA vanno tradotti nei significati
che noi conveniamo di attribuire loro, di cui noi vogliamo
caricarli. Tutte le figure, prese come meri segni grafici, sono
sempre sbagliate, per definizione; ma se ci serviamo
convenzionalmente di esse per rappresentare un particolare
concetto astratto, allora possono essere un utile guida per i
nostri ragionamenti logico deduttivi.
Le radici della geometria
Non vi sono dubbi che la geometria
storicamente sia partita dalla realtà (il nome
stesso letteralmente vuol dire ‘misura della
terra’), pensiamo alle esigenze di agrimensori,
astronomi, architetti, … Ma, come ogni altra
branca della matematica, dopo aver risposto ad
esigenze più o meno pratiche, sotto la
pressione della loro necessità, essa
inevitabilmente acquista valore in se stessa e
trascende i confini dell’utilità pratica.
Il metodo ipotetico deduttivo
Se l’oggetto della geometria non è, come abbiamo già detto, la
realtà fisica in sé ma le immagini mentali che ci creiamo per
descriverla, allora è altrettanto vero che il metodo d’indagine
della geometria dev’essere diverso da quello del ’fisico’,
basato sull’osservazione di un fenomeno (e sulla sua
riproducibilità in laboratorio).
La costruzione del complesso edificio della geometria è basata
sul metodo ipotetico-deduttivo:
si fissano degli enti primitivi e degli assiomi che descrivono le
proprietà di cui godono tali enti, poi, a partire da questi, si
deducono nuovi risultati: i teoremi.
Questi ultimi assumono valore di verità solo dopo essere stati
dimostrati!
Tale metodo ebbe origine in matematica ai tempi di Eudosso di
Cnido e si consolidò negli “Elementi”di Euclide.
Chi è più lungo fra T ed S? e fra i segmenti AF e BF?
D
T
C
F
S
A
E
B
E adesso che ho ripulito il disegno?
Mai fidarsi delle apparenze!
F
T
S
A
B
Qual è il “vero” quadrato?
EUCLIDE … chi?!

Considerata la fama degli
‘Elementi’ e del loro autore,
le notizie che abbiamo sulla
vita di Euclide sono
sorprendentemente scarse
(non si sa neppure dove sia
nato). Certo è che, intorno al
300 a.C., insegnò
matematica ad Alessandria
d’Egitto, nell’accademia
nota come il MUSEO. Le
leggende lo dipingono come
uomo abbastanza anziano e
di temperamento gentile.
Ma …
… GENTILE, MA … DECISO


Si narra che Tolomeo I, illuminato monarca che istituì ad
Alessandria l’accademia nota come il “Museo” e che chiamò
tra gli altri Euclide ad insegnarvi matematica, abbia chiesto
una facile introduzione alla geometria allo stesso Euclide, il
quale, si dice, abbia fermamente replicato che “non esiste
nessuna strada regale che porti alla geometria”
Evidentemente Euclide non dava molta importanza agli aspetti
pratici della sua disciplina: infatti si racconta che quando un
allievo gli chiese che utilità avesse lo studio della geometria,
Euclide si rivolse al suo schiavo dicendogli di dare una
monetina all’allievo ”perché ha bisogno di trarre guadagno da
ciò che impara”
STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
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DEFINIZIONI
ASSIOMI
POSTULATI
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I-VI LA GEOMETRIA PIANA ELEMENTARE
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VII-IX LA TEORIA DEI NUMERI
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X LA CLASSIFICAZIONE DEGLI INCOMMENSURABILI
XI-XIII LA GEOMETRIA SOLIDA
ED IL METODO DI ESAUSTIONE
XIV-XV ALTRI RISULTATI SUI SOLIDI
I libri da I a VI degli Elementi
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libro I : proprietà sulle figure “rettilinee”
libro II : l’algebra geometrica
libro III : la geometria dei cerchi
libro IV : figure inscritte e circoscritte a cerchi
libro V : la teoria delle proporzioni
libro VI : le figure simili
I libri da VII a IX degli Elementi
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

libro VII : proprietà dei numeri interi
libro VIII : le proporzioni continue (prog. geo.)
libro IX : teo. su numeri quadrati, cubi, piani e
solidi e altri teoremi sulle prog. geometriche
Il libro X

La classificazione degli incommensurabili
(ad es. contiene la dimostrazione
dell’irrazionalità di radice quadrata di due)
I libri da XI a XIII degli Elementi

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
libro XI : inizia a trattare la geometria solida
libro XII : teoremi sulle aree e i volumi (in
particolare di fig. curvilinee e di fig. delimitate
da superfici) e metodo di esaustione
libro XIII: proprietà dei poligoni regolari; il
problema di come inscrivere i cinque solidi
regolari in una sfera e non possono esistere più
di cinque solidi (poliedri) regolari (e convessi)
I libri XIV a XV degli Elementi
(entrambi postumi)


libro XIV : dovuto a Ipsicle (150 a.C.)
libro XV : alcune parti furono scritte
probabilmente intorno al VI secolo d.C.
I CINQUE SOLIDI PLATONICI

Mentre nel piano possiamo costruire poligoni convessi regolari
con un numero arbitrario di lati, è sorprendente che nello
spazio tridimensionale sia possibile costruire solo cinque
poliedri convessi regolari: tetraedro, cubo (o esaedro),
ottaedro, dodecaedro e icosaedro.
LE DEFINIZIONI DEGLI ELEMENTI
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
D1. Punto è ciò che non ha parti.
D2. Linea è lunghezza senza larghezza.
D3. Estremi di una linea sono i punti.
D4. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto
ai suoi punti.
D5. Superficie è ciò che ha solo lunghezza e
larghezza.
D6. Estremi di una superficie sono linee.
D7. Superficie piana è quella che giace ugualmente
rispetto alle sue rette.
ALTRE DEFINIZIONI DEGLI ELEMENTI
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
D15. Cerchio è una figura piana limitata da un’unica
linea tale che tutte le linee rette condotte su di essa da
un punto fra quelli che giacciono all’interno della
figura sono uguali fra loro.
D16. E il punto viene detto centro del cerchio.
D17. Diametro del cerchio è una retta tracciata per il
centro e limitata in entrambe le direzioni dalla
circonferenza del cerchio, e una tale retta biseca
anche il cerchio.
D23. Parallele sono quelle rette che, essendo nello
stesso piano e venendo prolungate indefinitamente in
entrambe le direzioni, non si incontrano fra loro in
nessuna di queste.
OSSERVAZIONI ALLE DEFINIZIONI
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OD1. E cosa significa precisamente?
OD2. ‘Linea’ qui significa ‘curva’. Spazio ad una dimensione.
OD3. Questa def. mette chiaramente in evidenza che per
Euclide una linea o curva ha sempre lunghezza finita.
OD4. La ‘retta’ per Euclide, in accordo con la def.3, è il nostro
‘segmento’. Alcuni studiosi sostengono che tale def. sia
stata suggerita dalla “livella del muratore”.
OD5. Spazio a due dimensioni.
OD17. Notare che la ‘circonferenza’ non è stata mai definita
esplicitamente.
OD23. In realtà la def. data riguarda due segmenti paralleli e
non due rette.
LE CINQUE NOZIONI COMUNI
( O ASSIOMI )
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A1. Cose uguali ad una medesima cosa sono
uguali anche tra loro;
A2. Se a cose uguali si aggiungono cose
uguali, le somme sono uguali;
A3. Se da cose uguali si sottraggono cose
uguali, i resti sono uguali;
A4. Le cose che coincidono fra loro sono
uguali fra loro;
A5. Il tutto è maggiore della parte.
I CINQUE POSTULATI
( O RICHIESTE )
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
P1. si possa tracciare una retta da un punto qualsiasi
ad un punto qualsiasi;
P2. si possa prolungare indefinitamente una linea
retta;
P3. si possa descrivere un cerchio con un centro
qualsiasi ed un raggio qualsiasi;
P4. tutti gli angoli retti siano uguali tra loro;
P5. se una retta che interseca due altre rette forma
dalla stessa parte angoli interni inferiori a due
angoli retti, allora le due rette, se prolungate
indefinitamente, si incontrano da quella parte
dove gli angoli sono inferiori a due retti.
Il postulato delle parallele
Differenza fra ASSIOMI e POSTULATI
secondo Aristotele

ASSIOMA:
gli assiomi o nozioni
comuni devono essere
convincenti di per se stessi,
sono verità comuni a tutte le
scienze
(dal greco axios, degno di
credibilità)

POSTULATO:
i postulati sono meno
evidenti e non
presuppongono l’assenso
dell’allievo, poiché
riguardano soltanto la
disciplina in questione
(dal latino postulare,
richiedere)
I matematici moderni non fanno alcuna
differenza essenziale fra un assioma e un postulato

PREGI DEGLI ELEMENTI
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
Sono la maggiore e più antica opera matematica greca che ci
sia pervenuta
Sono il più autorevole manuale di matematica di tutti i tempi,
la prima fonte di conoscenza matematica
Il concetto di matematica, la nozione di dimostrazione e
l’ordinamento logico dei teoremi vennero appresi dal loro
studio
Euclide sottolinea l’importanza di dimostrare l’esistenza delle
figure prima di inserirle nella struttura logica della geometria
La scelta degli assiomi fatta da Euclide è assai sofisticata:
a partire da un piccolo gruppo di assiomi riesce a dimostrare
centinaia di teoremi alcuni dei quali molto profondi
L’assioma delle parallele è gestito con particolare intelligenza
DIFETTI DEGLI ELEMENTI
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
L’uso della sovrapposizione (manca una base logica per il
concetto di moto; spostando una figura chi ci garantisce che
essa conservi tutte le sue proprietà?)
La vaghezza di alcune definizioni (vedi libroV)
L’inutilità di alcune definizioni (punto, rette, superficie,…)
Numerose definizioni, come la D17, presuppongono un
assioma
Euclide usa fatti, evidenti dalle figure o intuitivamente veri,
senza mai dimostrarli
Vi sono anche difetti nelle dimostrazioni: alcuni teoremi
vengono enunciati in generale ma dimostrati solo in casi
particolari
I tredici libri non costituiscono un corpo unitario, ma sono
compilazioni di opere precedenti
… E INOLTRE …


Se non è rigorosa la geometria non è nulla … I metodi di
Euclide non sono, per consenso quasi universale, eccezionali
per il loro rigore. (Henry J. S. SMITH, 1873)
Quando Euclide, considerato come libro di testo, veniva
attaccato … era uso difenderlo dicendo che la sua eccellenza
logica è trascendente, e consente un invalutabile esercizio al
potere giovanile di ragionamento.
In realtà … la forza dimostrativa di una valida dimostrazione
sta nel non disegnare alcuna figura, ma molte delle
dimostrazioni di Euclide cadono se sottoposte a questa prova.
(BERTRAND RUSSELL, 1902)
C
• •
E
F
H
A

x
x
D
FALSO TEOREMA.
Ogni triangolo
è isoscele.
VALIDA DIMOSTRAZIONE?
Dato un triangolo ABC, costruiamo
la bisettrice CH dell’angolo ACB e
l’asse DH del lato AB.
Queste due rette si intersecano in
un punto H (vedi fig.), allora
tracciamo le perpendicolari ai lati
BC e AC uscenti dal punto H: siano
queste HE e HF rispettivamente.
I triangoli CFH e CEH sono uguali,
perché hanno rispettivamente:
CFH=CEH (ang. retti); CH in
comune; FCH=ECH (per ipotesi
CH bisettrice di FCE).
In particolare:
CF=CE e FH=EH
B I triangoli AHF e BHE sono uguali,
perché hanno rispettivamente:
AFH=BEH (ang. retti); FH=EH
(preced. dim.); AH=BH (per una
proprietà dell’asse di un segmento).
In particolare:
FA=EB
Ma allora i lati CA e CB sono
uguali perché somma di segmenti
uguali:
CA=CF+FA=CE+EB=CB
Pertanto il triangolo ABC è
isoscele.
C.V.D
L’ERA DELLE GEOMETRIE NON EUCLIDEE

Sebbene fossero state mosse critiche alla struttura logica degli
Elementi di Euclide fin dal momento in cui vennero scritti, i
difetti erano considerati di scarsa importanza. Fu il lavoro sulle
“Geometrie Non Euclidee”(G.N.E.) a rendere consapevoli i
matematici della reale importanza delle deficienze della
struttura di Euclide, perché nel portare a termine le
dimostrazioni dovevano essere particolarmente critici su ciò
che stavano accetttando: nelle G.N.E. veniva a mancare quella
verità intuitiva (ma a volte fuorviante) dovuta al ricorso al
disegno (ad es. il falso teorema sul triangolo).
Tutto ciò obbligò i matematici a dedicarsi alla ‘costruzione dei
fondamenti’ della geometria euclidea e di altre ‘geometrie’ che
potessero godere della stessa dignità di quella euclidea. Tale
attività si sviluppò intensamente negli ultimi trent’anni del
XIX secolo.
Cenni sulle ‘geometrie non euclidee’

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


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Il pensiero di Kant sulla geometria euclidea
Le ricerche sull’assioma delle parallele
Lettera di Gauss a Bessel
Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (il Copernico
della geometria)
Janos Bolyai
Georg Bernhard Riemann
Il pensiero di Kant

Kant, nella ‘Critica alla ragion pura’ (1781),
sosteneva che le nostre menti sono obbligate a
vedere il mondo esterno in un unico modo,
quindi certi principi relativi allo spazio sono
anteriori all’esperienza. Tali principi e le loro
conseguenze che Kant chiamava giudizi
sintetici a priori sono quelli della geometria
euclidea.
L’assioma delle parallele

Fra la fine del Settecento e l’inizio
dell’Ottocento, cominciò a svilupparsi la
critica ai fondamenti della geometria euclidea,
con particolare riferimento al V postulato o
delle parallele. Importanti risultati furono
raggiunti da Girolamo Saccheri (1667-1733),
il quale convinto di aver dedotto tale postulato,
pubblicò l’ Euclides ab Omni Naevo
Vindicatus.
Lettera di Gauss a Bessel

All’inizio del XIX secolo,intorno al 1813,
Karl Friedrich Gauss (1777-1855) cominciò a
costruire una geometria che non ritenesse
valido il V postulato di Euclide e in realtà si
convinse che era logicamente coerente, ma non
pubblicò mai un’esposizione completamente
deduttiva delle sue ricerche perché, come
scrisse in una lettera a Bessel del 27 gennaio
1829, temeva “le strida dei beoti”
Nicolaj Ivanovic Lobacevskij
(il Copernico della geometria)

Lobacevskij (1793-1856), russo, fu il primo
matematico a fare il passo rivoluzionario di
pubblicare, nel 1829, sulla Gazzetta di Kazan, il
saggio “Sui principi della Geometria”, in cui espone
una nuova geometria, costruita specificamente su
un’ipotesi in diretta contraddizione con il postulato
delle parallele: (geometria iperbolica)
per un punto P esterno ad una retta r si può tracciare
nello stesso piano più di una retta parallela ad r.
Janos Bolyai

Bolyai (1802-1860) era un ufficiale ungherese e figlio di un
insegnante di matematica in una città di provincia, tale
Wolfgang Bolyai, tra l’altro amico di Gauss, che aveva
dedicato tutta la sua vita ai tentativi di dimostrare il postulato
delle parallele. Il lavoro di Bolyai sulla geometria non euclidea
(La scienza dello spazio assoluto) fu pubblicato solo nel 1832
in appendice ad un libro del padre, benchè rechi una licenza di
stampa datata 1829, lo stesso anno in cui Lobacevskij pubblicò
il suo. L’ipotesi di Bolyai era leggermente differente da quella
del collega russo: (ma sempre geometria iperbolica)
nello stesso piano, per un punto P esterno ad una retta r
esistono infinite rette parallele ad r.
Georg Bernahrd Riemann

Riemann (1826-1866) nonostante origini molto modeste riuscì
ad ottenere un’educazione di ottimo livello, prima a Berlino e
poi a Gottinga. Le geometrie di Riemann sono non euclidee in
un senso molto più vasto di quelle di Lobacevskij e Bolyai.
Secondo Riemann la geometria dovrebbe parlare solo di
ennuple ordinate che vengono raggruppate secondo certe
regole; l’uso attuale del nome di Riemann, limitatamente alla
geometria non euclidea ellittica, non dà pieno riconoscimento
al radicale mutamento introdotto nel pensiero geometrico dalla
sua lezione, Habilitationsvortrag, per il conseguimento del
titolo di Privatdozent tenuta nel 1854 alla facoltà di Gottinga
e successivamente pubblicata nel 1868 con il titolo “Sulle
ipotesi che stanno alla base della geometria”.
Gauss, Lobacevskij, Bolyai e Riemann
PRINCIPALI PROTAGONISTI
DELLA RIFONDAZIONE




Moritz PASCH (1843-1930) ‘Lezioni sulla
nuova geometria’, 1882.
Giuseppe PEANO (1858-1932) ‘Principii di
geometria’, 1889
Giuseppe VERONESE (1854-1917)
‘Fondamenti di geometria’, 1891
David HILBERT (1862-1943) ‘Grundlagen der
geometrie’, 1899
MORITZ PASCH

Moritz PASCH (1843-1930)
fu il primo a dare contributi
fondamentali alla
fondazione della geometria;
famoso un suo assioma.
Nelle sue Vorlesungen dice:
”Se la geometria deve
diventare una scienza
genuinamente deduttiva, è
essenziale che il modo in cui
sono fatte le inferenze sia
del tutto indipendente dal
significato dei concetti
geometrici, e anche dai
disegni.”
GIUSEPPE PEANO

Giuseppe PEANO (18581932) nei suoi ‘Principii di
geometria’ (1889), propose
un insieme di assiomi per la
geometria euclidea.
Anch’egli mise in evidenza
che gli elementi
fondamentali non sono
definiti ed enunciò il
principio secondo il quale ci
devono essere meno concetti
indefiniti possibili. Egli usò:
punti, segmenti e moti.
GIUSEPPE VERONESE

Giuseppe VERONESE
(1854-1917)
‘Fondamenti di
geometria’ (1891), egli
usò come elementi
indefiniti rette, segmenti
e congruenze di
segmenti. Inoltre fu
autore di diverse
geometrie non
archimedee.
HILBERT … chi?!





David Hilbert (1862-1943),
matematico tedesco nato a
Konigsberg, molti lo
considerano il più grande
matematico del suo tempo
soprattutto per l’importanza
da lui data all’idea di
struttura.
I pregi dei Grundlagen
La “curva di Hilbert”
I 23 problemi di Hilbert
Grundlagen der Geometrie
I SETTE PONTI DI KONIGSBERG


Esiste una “passeggiata” che
permetta di attraversare tutti
i 7 ponti di Konigsberg
passando su ognuno di essi
UNA ED UNA SOLA
volta? (soluzione)
Si può partire da una delle 4
zone ( nord, sud, isola A,
isola B) ma non stando già
su uno dei ponti. Nella fig.
a fianco è descritto un
percorso che parte dall’isola
B e termina nella zona sud.
Soluzione problema dei “7 ponti”

Definiamo “zona di passaggio” una zona toccata da un numero pari di ponti
e “zona non di passaggio” una zona toccata da un numero dispari di ponti.
Se vogliamo realizzare una passeggiata che attraversi ogni ponte una ed
una sola volta possono esserci al più due zone “non di passaggio”: una di
partenza e una di arrivo.
Contiamo quanti ponti toccano ogni zona: 5 l’isola A e 3 tutte le altre zone.
Quindi abbiamo 4 zone “non di passaggio”: TROPPE!!!
Altri problemi simili ai “7 ponti”




Sapete trovare un modo
per disegnare la casetta
qui a fianco senza mai
staccare la matita dal
foglio?
E la busta chiusa qui a
fianco?
E se la apriamo?
SOLUZIONI
SOLUZIONI



Ci sono esattamente due
zone “non di passaggio”: A
(da cui escono 3 linee) e B
(da cui ne escono 5)
Anche qui 2 zone “non di
passaggio” (i 2 vertici in
alto del rettangolo)
Nella busta aperta tutti i
punti sono zone “di
passaggio”, quindi anche in
questo caso esiste una
soluzione
Hilbert fu preferito ad altri perché:





Rappresenta il sistema di assiomi per la geometria (proiettiva) più semplice
per i suoi concetti e per i suoi enunciati, ed è più vicino di altri a quello di
Euclide
A partire dai suoi assiomi Hilbert dimostrò alcuni teoremi fondamentali
della geometria euclidea (altri mostrarono che tutta la geom. Euclidea
discende dagli assiomi)
Hilbert dimostrò che tutti gli assiomi di un certo gruppo non possono essere
dedotti dagli assiomi degli altri quattro gruppi (problema
dell’indipendenza)
Una delle caratteristiche più belle degli assiomi di Hilbert è che gli assiomi
per la geometria non euclidea iperbolica si ottengono immediatamente
sostituendo l’assioma euclideo delle parallele con l’assioma di
Lobatchevsky-Bolyai, tutti gli altri assiomi del sistema di Hilbert restano
invariati.
Per ottenere gli assiomi per la geometria non euclidea ellittica, oltre ad
abbandonare l’assioma euclideo delle parallele in favore dell’assioma di
Riemann, si devono cambiare anche altri assiomi.
LA “CURVA DI HILBERT"

Il nome di Hilbert è legato a una
semplice curva che riempie lo
spazio. Essa viene generata
continuando all’infinito il
seguente processo: suddividiamo
un quadrato unitario in 4 quadrati
uguali e congiungiamo i loro
punti centrali con una linea
spezzata aperta formata da 3
segmenti; ora dividiamo ogni
quadratino in altri 4 quadrati
uguali e congiungiamo i centri dei
16 quadrati così ottenuti con una
nuova linea spezzata; e così via
all’infinito. La curva di Hilbert è
il limite delle successive curve
poligonali costruite ad ogni passo.
La costruzione della “curva di Hilbert” 1
La costruzione della “curva di Hilbert” 2
con un segmento ‘ ti copro ’ un quadrato

La curva di Hilbert fornì un
altro esempio di applicazione continua di un segmento
in un quadrato: infatti,
poiché sia i sottoquadrati
che le parti del segmento
unitario si contraggono ad
un punto al procedere della
suddivisione, possiamo
vedere intuitivamente che
ad ogni punto del segmento
unitario corrisponde un
punto del quadrato.
Altre curve “fastidiose”

La curva di Giuseppe
Peano (1858-1932)

Il fiocco di neve di
HelgeVon Koch (18701924)
La curva di Peano
La curva di Von Koch
I 23 PROBLEMI DI HILBERT

Hilbert viaggiò molto, specialmente per partecipare ai
congressi internazionali di matematica, che sono
diventati caratteristici nel XX secolo. Il primo
congresso ufficiale di matematica fu tenuto a Zurigo
nel 1893, il secondo a Parigi nel 1900, e da allora in
poi si sono ripetuti più o meno regolarmente ogni 4
anni. A quello di Parigi, Hilbert, che era già un
professore famoso a Gottinga, presentò una relazione
in cui proponeva 23 problemi che a suo giudizio
sarebbero stati o avrebbero dovuto essere quelli che
maggiormente avrebbero impegnato l’attenzione dei
matematici del XX secolo.
La matematica è una scienza viva!



“Se vogliamo farci un’idea del probabile sviluppo della
conoscenza matematica nell’immediato futuro, dobbiamo
passare in rassegna davanti alla nostra mente le questioni
irrisolte e guardare ai problemi che la scienza moderna ha di
fronte e la cui soluzione ci aspettiamo dal futuro.”
I problemi proposti da Hilbert interessavano la topologia, le
equazioni differenziali, il calcolo delle variazioni, la struttura
del continuo dei numeri reali, gli assiomi dell’aritmetica e altre
branche della matematica. Circa metà di essi sono rimasti
irrisolti, anche perché la matematica si è sviluppata in
parecchie direzioni che non erano state minimamente
anticipate nel 1900.
“Fin tanto che una disciplina scientifica presenta una grande
quantità di problemi, essa continua ad essere viva.”
STRUTTURA DEI GRUNDLAGEN

SISTEMA DI ASSIOMI DI HILBERT

8 ASSIOMI DI CONNESSIONE
4 ASSIOMI DI ORDINAMENTO


5 ASSIOMI DI CONGRUENZA
ASSIOMA DELLE PARALLELE


2 ASSIOMI DI CONTINUITA’
I GRUNDLAGEN IN SINTESI



Hilbert apre i ‘Grundlagen’ con la seguente frase di Kant:
“Ogni conoscenza umana parte da intuizioni, procede
attraverso concetti e culmina in idee”;
subito dopo elenca i concetti indefiniti:
punto, retta, piano, giacere su, stare fra, congruenza di coppie
di punti e congruenza di angoli;
poi presenta il suo sistema di assiomi che riunisce in un solo
insieme la geometria euclidea piana e solida.
Gli assiomi sono suddivisi in 5 gruppi:
assiomi di connessione, assiomi di ordinamento, assiomi di
congruenza, assioma delle parallele e assiomi di continuità.
… tavoli, sedie e boccali di birra …

Secondo Hilbert, non è
necessario assegnare alcun
significato esplicito ai
concetti indefiniti. Questi
elementi, punto, retta, piano
ed altri, potrebbero essere
sostituiti, come disse Hilbert
stesso, “da TAVOLI,
SEDIE, BOCCALI DI
BIRRA” e da altri oggetti.
Gli assiomi non sono verità
evidenti in sé, ma devono
essere considerati arbitrari,
anche se, di fatto, sono
suggeriti dall’esperienza”
GLI 8 ASSIOMI DI CONNESSIONE (o
di incidenza)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Per ogni coppia di punti A e B, esiste una retta a che giace su A e B
Per ogni coppia di punti A e B, esiste al più una retta a che giace su A e B
Su ogni retta ci sono almeno due punti. Esistono almeno tre punti che non
giacciono su una retta
Per ogni terna di punti A, B, C che non giacciono su una retta, esiste un
piano α che giace su questi tre punti. Su ogni piano c’è almeno un punto
Per ogni terna di punti non allineati A, B, C esiste non più di un piano che
li contiene
Se due punti di una retta a giacciono su un piano α, allora ogni punto sulla
retta giace su α
Se due piani α e β hanno un punto A in comune, allora hanno almeno un
altro punto B in comune
Esistono almeno quattro punti che non giacciono sullo stesso piano
I 4 ASSIOMI DI ORDINAMENTO
1.
2.
3.
Se un punto B giace fra i punti A e C, allora A, B, C sono tre punti
diversi su una retta e inoltre B giace anche fra C e A
Per ogni coppia di punti A e C esiste almeno un punto B sulla retta AC
tale che C giace fra A e B
Fra tre punti qualsiasi su una retta non più di uno giace fra gli altri due
DEF. Siano A e B due punti su una retta a, la coppia di punti A, B oppure
B, A è detta SEGMENTO AB. I punti fra A e B sono detti punti del
segmento AB o interni al segmento AB. A e B sono detti estremi del
segmento. Si dice che sono esterni al segmento tutti gli altri punti della
retta a.
4.
(Assioma di Pasch) Siano A, B, C tre punti che non giacciono su una
retta e sia a una retta qualsiasi nel piano di A, B, C che non passa per A,
B e C. Se a passa per un punto del segmento AB, allora deve passare
anche per un punto del segmento AC o per un punto del segmento BC
I 5 ASSIOMI DI CONGRUENZA
1.
2.
3.
4.
5.
Se A, B sono due punti di una retta a e A’ è un punto di a o di un’altra retta a’,
allora su un lato fissato (definito in precedenza) di A’ sulla retta a’ si può trovare
un punto B’ tale che il segmento AB sia congruente al segmento A’B’.
In simboli AB ≡ A’B’
Se A’B’ e A”B” sono congruenti ad AB, allora A’B’ ≡ A”B”
Siano AB e BC due segmenti su una retta a privi di punti interni comuni, e siano
A’B’ e B’C’ segmenti su una retta a’ privi di punti interni comuni.
Se AB ≡ A’B’ e BC ≡ B’C’, allora AC ≡ A’C’
Supponiamo che l’angolo <(h,k) giaccia su un piano α e che la retta a’ giaccia su
un piano α’. Sia fissato un lato di a’ su α’. Sia h’ un raggio di a’ che emana da
un punto O’. Allora in α’ esiste uno ed un solo raggio k’ tale che l’angolo <(h,k) è
congruente all’angolo <(h’ ,k’) e tale che tutti i punti interni di <(h’,k’) giacciano
su un lato fissato di a’: in simboli <(h,k) ≡ <(h’,k’).
Inoltre ogni
angolo è congruente a se stesso.
Se per due triangoli ABC e A’B’C’ si ha che AB ≡ A’B’, AC ≡ A’C’ e gli angoli
<BAC ≡ <B’A’C’ allora anche gli angoli <ABC ≡ <A’B’C’
L’ASSIOMA DELLE PARALLELE
Sia a una retta e A un punto non di a.
Allora nel piano di a e A esiste al più una
retta per A che non incontra a.
OSS. L’esistenza di almeno una retta per A che
non interseca a può essere dimostrata e
quindi non è necessaria in questo assioma
I 2 ASSIOMI DI CONTINUITA’
1.
2.
(Assioma di Archimede)
Se AB e CD sono due segmenti qualsiasi, allora esiste sulla
retta AB una famiglia di punti A1, A2, … An tali che i
segmenti
AA1, A1A2, … An-1An sono congruenti a CD
e tali che B giace fra A e An .
(Assioma di completezza lineare)
I punti di una retta formano una collezione di punti che,
soddisfacendo gli assiomi di connessione, di ordinamento, di
congruenza e di Archimede, non possono essere estesi ad
una collezione più grande che continui a soddisfare gli stessi
assiomi.
A
B
C
A
C
B

Primo assioma di
ordinamento

Secondo assioma di
ordinamento

Assioma di Pasch
C
a
A
B
A
B
C
a
A’
B’
C’

Terzo assioma di
congruenza

Assioma delle parallele

Assioma di Archimede
a’
A
a
A
A1
C
D
A2
An-1 B An
Il significato ‘culturale’ della geometria
“La geometria è stata al centro di momenti cruciali per lo
sviluppo della scienza, anzi della civiltà occidentale:
di più essa ne è stata spesso il motore.” Francesco Speranza
Purtroppo la divisione delle due culture (scientifica e umanistica)
è stata particolarmente nociva per la matematica e per la
filosofia che costituivano fino all’inizio dell’Ottocento una
cerniera fra le due visioni del mondo. La matematica è stata
percepita dall’opinione pubblica principalmente (se non
esclusivamente) come strumento di calcolo, perdendo così
gran parte del suo fascino.
Non è raro trovare in qualche popolare talk-show televisivo
importanti ed affermati personaggi del mondo della politica,
della medicina o dello spettacolo che si vantano di aver
raggiunto la loro posizione sociale senza aver mai capito
nulla di matematica.
Ma allora la tesi di Speranza ricordata poco sopra è falsa? E se
invece è vera, dove possiamo trovare argomenti che la
sostengano?
GEOMETRIA E CULTURA
(solo alcuni esempi)



Geometria e filosofia
Geometria ed epistemologia
Geometria ed arte
Rapporto geometria-filosofia

La crisi delle grandezze
incommensurabli, viene
liquidata come un problema
tecnico: l’inadeguatezza
della matematica greca, e ci
si addentra in un mare di
calcoli prevalentemente
senza interesse culturale
(i radicali).

Basterebbe sottolineare che
questa crisi sconvolse l’idea
del mondo per i platonici
(insieme finito di puntiatomi) e soprattutto,
mettendo in crisi quello che
i sensi sembravano asserire
in modo incontrovertibile,
portò i pensatori greci
all’idea che solo la ragione
può condurre alla vera
conoscenza: nascita
dell’idealismo.
Rapporto tra geom. non euclidee
e nuovo razionalismo



L’idea di introdurre elementi di geom. non euclidea nei programmi della
scuola superiore è ottima, ma c’è il rischio che , invece di sviluppare le idee
più profonde scaturite dalla rivoluzione non euclidea, ci si limiti a
dimostrare qualche ulteriore teorema magari accompagnato da alcune
sparse notizie storiche.
I principali aspetti epistemologici da mettere in risalto dovrebbero essere: il
superamento della vecchia concezione della geometria; la possibilità di
pensare per modelli; la doppia natura della geometria: scienza empirica e
scienza astratta (descrittrice della realtà e ideatrice di strutture astratte)
“il nuovo razionalismo non può svilupparsi se non in stretta interazione con
il pensiero scientifico e poiché il pensiero scientifico si trasforma, anche il
nuovo razionalismo non può pretendere in alcun momento di aver trovato
la soluzione definitiva ai problemi epistemologici.”(Gonseth, 1937)
Modelli di Geometrie Non Euclidee

Modello di Poincarè, geom iperbolica

Modello di geometria ellittica

Modello di
geometria
iperbolica
Modello di Poincaré


È un modello per la geometria
iperbolica piana:
il piano è un cerchio;
le rette sono archi di cerchio (interni al
cerchio fissato, che lo tagliano
ortogonalmente) e le rette per il suo
centro.
Data una retta r ed un punto P che non
le appartiene, esistono infinite rette
passanti per P e parallele ad r.
Le rotte aeree sono archi di cerchi massimi


È un modello per la
geometria ellittica:
il piano è la superficie di
una sfera;
le rette sono cerchi massimi
sulla sfera ( ad esempio
l’equatore e i meridiani
terrestri)
Data una retta r ed un punto
P che non le appartiene, non
esiste alcuna retta passante
per P e parallela ad r.
Rapporto geometria-arte


LeonBattista Alberti (1435)
e Piero della Francesca
(1478) Albrecht Durer
(1525) anticipano di circa
200 anni la geometria
proiettiva e con l’invenzione
della prospettiva e del punto
di fuga sconfiggono l’horror
infiniti dei greci
A lato: “Flagellazionedi Cristo”, di
Piero della Francesca(Galleria
Nazionale delle Marche, Urbino) e
“Creazione meccanica dell’immagine
prospettica”, di Albrecht Durer
geometria e arte:
MAURITS CORNELIS ESCHER
Gruppi di trasformazioni in
MAURITS CORNELIS ESCHER
Gruppi di trasformazioni
nell’ARTE ARABA
BIBLIOGRAFIA ESSENZIALE

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



Carl B. BOYER, Storia della matematica, Arnoldo Mondadori Editore
Morris KLINE, Storia del pensiero matematico, Biblioteca Einaudi
Francesco SPERANZA, Scritti di epistemologia della matematica, Pitagora
Editrice Bologna
R. COURANT e H. ROBBINS, Che cos’è la matematica?, Serie
Scientifica, Bollati Boringhieri
A.D. ALEKSANDROV, A.N. KOLMOGOROV, M.A. LAVRENT’EV, Le
matematiche, Serie Scientifica, Bollati Boringhieri
Nikolaj LOBACEVSKIJ, Nuovi principi della geometria (con una teoria
completa delle parallele), Serie Scientifica, Bollati Boringhieri
Bernhard RIEMANN, Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria,
Serie Scientifica, Bollati Boringhieri
Emma CASTELNUOVO, Pentole, ombre, formiche (in viaggio con la
matematica), La Nuova Italia
M.C. ESCHER, Grafica e disegni, Taschen
RINGRAZIO:
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

Anna, Giorgia e Riccardo per la loro pazienza nei
miei confronti e per l’amore che sempre mi donano;
Laura per avermi trasmesso la passione per la ricerca
e il desiderio di capire;
Il Prof. Eugeni e la Prof.ssa Ghiraldini per avermi
dato l’occasione di realizzare questo lavoro.