di vista finanAnalizziamola situazionedal punto
questocasopaga
ziario, ricordando che il lotto in
conseguenza:
ll,23zvolte la puntata'Eccoallorala
del numero
sull'uscita
euro
1
volte
tg
,. gi*unat
una sola volta'
3 a GenovaYlnclamo' in media'
soltanto
,o"ndiu-o in tutto 18 euro,ma riceviamo
ù,23 euro!
AttivitA
EQUA
EVINCITA
REALE
VINCITA
di 1 euro) la
La tabella mostra (per una puntata
averein caso
dovrebbe
si
ti".io realee quellache
di gioco equo.
GIOCATS,
Ambata
€sr\'
&€&Le e{!r*€lTe
1/rtu€l?A
sQ|''e
{€}
6!Se&
{€}
18
LI,ZJ
400,5
Ambo
2s0
Terna
4250
rr748
Quaterna
80000
511 038
Cinquina
r 000000
43949268
il giocatoreha net
Per confrontare gli svantaggi che
calcola la percasi'
confronti dello Stato nei diversi
a quella con
rispetto
della vincita reale
;;;;J.
meno
scommesse
di
eioco equo' Quali sono i tipi
ii""[ri"ii
i.o*-"tt.
cht posNel gioco dellarouletteci sono^37numeri
e 18
rossi
sonJ uscire.Lo zeroverde,18 numeri
pavincita
la
n"ti S", per esempio'giochiil rosso'
gioco
un
è
-"i" a ií doppiodellaposta'La roulette
<più equo>ri!0""i rr giàio ti ptto considerare
spettoal lotto?
giochi equi
ó"r* i" Internet altreinformazioni sui
un gloco
e non equi. Inventacon i tuoi compagnl
equo.
altopdelle ,f\
Qualiinvecesi posizionano
inique?
non
Cerca nel .1eb: giochi equi' giochi
equi,Probabilità'
assiomatica
5. lJimPostazione
dellaprobabilità
Ijimpostazioneassiomaticadellaprobabilitàsistemainmodorigorosole
sviluppatenel tempo'
.orrJr."nr. e le applicazioni che ti totto
delfeuna moneta due volte' I possibili esiti
Lanciamo successivamente
chiamatospaziodei campioni:
,p.riÀ.tr" costituisconoun insieme
g : {TT,CC,TC,CTl.
proposizioni cheli esprimono:
Consideriamoi seguentieventi e le
esceuna solavolta>;
Er : <(croce
Ez: <croceescedue volte>'
) Gli assiomisonoProprietàchevengonoassunossra
te comeprxmttxYe,
altre'
da
dedotte
non sono
bensìaccettatecomevere'
non conDevonoessere
loro. In
di
fra
traddittori
una teoria assiomaticasi
utilizzanoinoltredeglientl
primitiví,ossiaenti che
nolt v"ngono definiti' Per
esempio,Perla teoriaassiomàtica-della
Probabilità, il concettodi eventoè
primitivo.
UNITÀ17. INTRODUZIONE
ALLAPROBABITITÀ
LeventoE' è verificatodagli elementi
dell,insiemeM : {CT,TC}, men_
tre l'eventoE2è verificatoda''unico elemento
de''insiemàry-: {cc }.
Possiamoquindi associarea ogni evento
un sottoinsiemedi U.
Allora tutti i possib'i eventi che_si possono
associareat,esperimento
sonole parti di U e costituisconoil.oridd.tto
,po"io irgti"rr*ri,
9 (u1: {{?r },
cc},{TT,Tc},IT.r,
199L ITC},IcT}, ITT,
'' cT},
ICC,TC|,Icc, cT j,ITC,
CT\,1rf, èc,'TCÌ:
CT|,lcc,Tc,cT\,lTT,TC,CT|,"
IT T ,CC^,
lTT,CC,TC,CT]f,O1.
U
) Datedueproposizioni
p, q, ),aloro disgiunzione
p v qè falsaquandoen_
trambesono falsee vera
negli altri casi.
Tavoladi verità:
pvq
Questo esempioci permette di punttaTizzarealcuni
concetti fondamen_
tali dell'impostazioneassiomatica:
* tutti i possibilirisurtatio campionidi
un esperimentoaleatoriosonogri
elementidi un insieme Uchiamato spazio
àei campioni;
e un evento E si identifica con
un sottoinsieme dli u ea e verificato
quando I'esito deil'esperimentocoincide
con uno a"i ,.roi erementi;
*, l'evento impossibileè l,insieme vuoto
A;
* l'evento certo coincidecon l,insieme
[.r:
e un eventoerementare
è un sottoinsiemedi ucostituito da un
sorocam_
pione;
* l'insiemedi tutti i possibili eventi
coincidecon |insieme delreparti di
Ue si dicespazio degli eventi.
considerandogli eventicome insiemi,possiamo
effettuarele usuali operazionifra insiemi,alle quali corrispondi
no operazionirogichetrare pro_
posizionichedescrivonogli eventi.
Per esempio,all'evento
Erv E2: (croce esceuna o due volte>,
V
disgiunzionedelledue proposizioni,viene
associataI'unione dei due sot_
toinsiemi corrispondenti, owero M U
N; indichiamo I'evento anchecon
Et u E2' Essorisurta.verificato
quando iirisurtato a"n,"rp"ir.*rrto
è un
elementodel sottoinsieme
{CC, óf, fCl.
Consideriamo
ora I'evento
) Datedueproposizioni
p, q, Ia loro congiunzione
p nqèveraquandoentrambesonoveree falsa
neglialtri casi.
Tavoladi verità:
ry
V
p^dr
V
E3 : <testaescela prima volta>,
al qualecorrispondeil sottoinsieme p :
{TT, TC}.
All'evento
I
,
a
,
i!
;:
i:
il
ill
E1nE3: (croce esceuna volta e testaesce
la prima volta>,
congiunzionedi due proposizioni,viene
associatal,intersezionedei due
sottoinsiemi corrispondenti, owero M
o p; indichiamo l,evento anche
con E1 ,l E.' Essorisultaverificatoquando
il risurtatodelltsperimento è
I'elementodel sottoinsieme
{TC}.
U, n,E3 si può quindi esprimereanche
con <prima escetestae
îfT: croce).
pol
I
Farrm6rmf*
5" lJimpostazioneassiomaticadella probabilità
I
DEFINIZIONE
* Dato un eventoE, I'eventocomplementare
E di E rispettoa U è detto
evento contrario di E. Taleeventosi verifica see solo senon si
verifica E.
* Dati due eventiE1edE2,entrambisottoinsiemidi LI,I'eventoE1U E2
è detto eventounione o somma logica di El ed E2..Essosi verificaal
verificarsi di almeno uno degli eventi dati.
* Dati due eventiE yed E2, entrambisottoinsiemidi U, I'eventoE1(1 E2
è detto evento intersezione o prodotto logico di E1ed 82. Essosi verifica al verificarsi di entrambi sli eventi dati.
Avendofissatotutti cuestielementisi ha la sesuentedefinizioneassiomatica di probabilità.
I
DEFINIZIONE
Definizione assiomatica di probabilità
0a
La probabilità è una funzione che associaa ogni eventoE dello spazio
degli eventiun numero reale,in modo da soddisfarei seguentiassiomi:
1 . P @ )> o ;
a
P ( U ) :T ;
É
Ll
3. sedueeventiE1edE 2sonotali cheE1f) Ez: A, allora:
^ E
- ^
| | L7 - v
p @ t U E ) : P ( E ' )+ P @ ) .
fimpostazione assiomaticanon forniscealcun procedimentoper determinare la probabilitàdi un eyento,ma i valori di probabilitàchevengono
assegnatiagli eventidevonorispettaregli assiomi.
) Gli eventichehannola
stessa
probabilitàsi dicono
equiprobabili.
EsEMPfoLinsieme U è costituitoda tre eventielementariA, B, C, i quali
hanno le seguentiprobabilità:
- .1
- 1,
-7
o(A):
o(B\:
,
U
B
l C
Drc):
15
5
3
In particolare,
essendo:
Tàlivalorisoddisfano
gli assiomidellaprobabilità.
A U B U C : U e A l B : A a C : B OC : o ,
r: p(u).
p ( A+)p ( B+)p ( c' :) +3 . +1 +
5 +
5:
A U B U C = U
t
fliguir ,i
Dalladefinizioneassiomaticasi deduconole seguentiproprietà.
I
PROPRIETÀ
a )p ( A ) : o ;
b)o=p(E)=t;
. .=.
c ) p ( E ): l - p ( E ) ;
d) seE1 C 82, allora P @ z - E , ) : P @ ) * p ( E ) ;
e E r G E t , a l l o r ap ( 8 2 - E r ): p @ ) - p ( E t a E ) .
e ) s e E l1E 2 * A
) Et - E1è I'insiemedegli
eìementi
di E2chenon appartengonoa Et.
EèU-8.
Valgonole leggidi De
Mojqun'
Et U E2: Er I Ez;
h a E2- E1U 82.
UNITA17. INTRODUZIONE
ATTAPROBABITITÀ
6, Laprobabilitàdelfasomma
fogica
di eventi
) La somma logica o
di due eventi E1ed
:":91"
N2e.l-eventoE, U Er,
che
nsulta verifi cato quando
u , T : n o u n o d e g l ie v e n r i
si
venîlca. L'evento somma
logica si chiama anche
eyento totale.
Consideriamoi2 dischetti
numeratid,aI a I2e gli
eventi:
E, : <<eSCe
Un nUmerOpari>;
Ez : <<esce
un numero maggiore
di 7>.
Î:TffiÎ*:lfflm::f à:i,?ffi'".,r:^:'":T-,,contemporane
::I::::;;,i,;l-*";;;;;;;:"#:iliT,lllJl;:j::l';,1
;il,':ff
Consideriamoora gli eventi:
E: : <estrazione
di un multiplo di 5>;
:
E4 (estrazione
di un multiplodi 3u.
t
,
verincarsi
contemporaneamente:
'Î::::'.':""7",f,iÎ;,1Î),í:f;ion Possono
In generare'due eventi
E ed'E2,relativiato stesso
spaziodi campioni,
l;#.urri
ai
uno
eùude
contemporaneodell'altro,
il verificarsi
cioè E, à E, _ A.In
no compatibili.
si dico_
";;;r;;io
,
si diconoincom.nlfltd*1
Valeil seguenteteorema.
I
TEOREMA
Probabilità della somma
La probabiliràdella.?TTu
logica di due eventi
logicadi due,ev.enri
E, ed,E2è ugualealla
toroprob
abilità
ii_;;ilieua prob
abinaa"ri evento
,Tr1#,::T
"r"
E1nE2
p ( E r U E z ): p @ r ) +
p ( E z )- p @ t a E 2 ) .
X
,,
In particolare, segli eventi
) Segli eventisonoincompatibili,si ha
P@t ît Er): p(A) : o.
U
sonoincompatibili:
p @ t U E ) : p ( E r )+
p@r).
Nel casodi tre eventi
,la relazionedelteoremadiventa:
P @ruE 2 uh ): p( !) _*!lt,) * p( Et)_
p@I. E2)+
P@'o E) - p( Eznar S+' p6,' h' E2a
E3) .
In ogni casoè sempre
opportuno effettuarela
rappresentazionecon
i dia_
;..i.
reprobablitàda
ff ffi i3; ::r:::,.:".iJ_ """.",;, ;.;;;; dorangura,
I
Faragrafo6. La probabilitàdellasomma logicadieventi
r
EsEMPloun'urna contiene15 palline numerateda 1 a 15. calcoliamo la
probabilitàche,estraendouna pallina,essarechi:
l. un numero dispari o maggioredi l0;
2. un numero minore di 6 o maggioredi 10;
3. un numero minore di 6 o dispari o maggioredi 10.
Gli eventisono:
E1 : <<esC€
un numero dispari>;
E2 : <€sc€un numero maggioredi 10>;
E3 : <esceun numero minore di 6>.
EluE2uE3
utilizzando il diagramma di Eulero-venn, possiamocalcolarela probabilità dell'eventosomma:
r . p @ r UE ) : p ( E )+ p @ ) - p @ r t E r ) :
8
15
-r-
5
15
3 1 0
15 15
2 .p @ r UE z :) p @ r+) p ( E r ) : 3 * + :
t5
15
5
3
1 0- 2
15
3
3
1
2
4
3 . p @ r UE 2 UE r ) : _ +
+
15 15 1 5 1 5 1 5 1 5 5
Analogamente,si può generalizzarela relazioneprecedenteal caso di n
eventi;essasi riduce alla seguentequandosonotutti incompatibili.
I
TEOREMA
Teorema della probabilità totale
Dati n eventia due a due incompatibili81, 82,..., En,laprobabilitàdella
loro unione è ugualealla somma delle loro singoleprobabilita:
p @ r UE z U. . . u 8 , ) : p ( E ) + p @ ) + . . .+ p ( E , ) .
{ Ftg&*re;&
5eil diagramma
è quellodella
figura,perottenere
p(EtU E, U E3),
allasomma
di p(El,p$z)e pEzldobbiamosottrarre
pEl n E2)ep(4 fl Éz).
ururrÀ17.tNTRoDuztoNE
ALIRpRoeRartrrÀ
7, Laprobabilità
condizionat
Un'urna contiene
identichenumerate
sappiamo.rr" ro
da 1 a 12.
,i]j,llline
paao dei campioni
è
u : { 1 ,2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , g ,
9 ,I o , u , r 2 I
e I'evento
E = <estrazione
di una pallina con
U
O'
1 2 4 5 7
ha probab'i tìtp (E) :
un numero divisibile
4
= r
12 3'
per 3>
I) Consideriamo
l,evento
Et = <<estrazione
di una pallina con
per ' quarep(r,) :
un rlumero maggiore
di 7>'
*.
oru tu proOubilità
_Valutiamo
dj E quando
verificaro.
Indjchiàmo;;;;;;
p.tobabiIità cc
ffiff.?ff:j?,pi:i"
Sramo probabilità di'-qu "tt:.
rnques
tasiruazi
oneffilî*:i,T;ilL#?:i
non sonopiù
cherevenro
E1si è
"^:;,:t''t ct'ereg-
ma
-.jono
s
ar*"i"ij'ii#;Î;:;,'Iiil,:jt,ì:t"iljì:1:
verso
sièrido*o
a:
i2,
u' : Er = {g,9, ro,lr,l2I.
1 2 4 5 7
I casifavorevoli sono
i
2 elementidell'insiem,
'E '
E1: {9, 12}.
[.anr^A.r-,'r:.,.
Laprobabilità
èp(ElAr;= a, che
è un valoremaggiore
;,
linformazione
dip(A; :1
3
supplemenrqra
r.^ aumentato
^_
-^--sre rr4
'
evenri
ra
Eeda, ,i aiió,,oTZiiiíÍ,!::::::1".
di È.r due
o correlatipositivamente. probabilirà
dr
eventi E ed Elsi
dicàn
II) Consideriamo
l,evento
Ez: <<estrazione
di una pallina con
un numeropari>'
per il quarep(Ez) :-1
,Y:i::,.'.:
iA"/B
=1
1 2 2 '
ta probabiritàdi
E supponendo
Ez.rndichiamo
rap.àriJii,u""a:T',:Jjf#:,:',"";lo::î
Anche in questa
sitr
possib'i
in pir).Griesiti
ptT1r",ff3}n:";;j;:P-.xzione
d,.i"
sremeuniverso
si è.ioottou
tt 6 (figuraú), in
quantol,in_
U' : Ez: {2,4,6,
B , r o ,1 2 }
e i casifavorevoli
sonoi 2 elementi
dell,insieme
E a E2: {6, I2I.
Paragrafo7. La probabilitàcondizionata
2
La probabilitàè P(ElEr) : - :6I
r
3
, che è uguale al valore di
P@):7.
il valore delIn questocasof inform azionesupplementarenon ha mutato
stocasticamente
la probabilità dell'evento.I due eventi E ed E2 si dicono
indipendenti.
III) ConsideriamoI'evento
di una pallina con un numero minore di 8>'
Ez: <<esttazione
7
.
peril qualep(E:) :
U
l'evento E3.
valutiamo la probabilità di E supponendo che sia verificato
Indichiamola probabilitàdi E condiz\onataafuconp(ElE)'
in quanto l'insieme
Gli esiti possibili non sono piir 12 ma 7 (figura c)'
universosi è ridotto a
IJ': Et: 11,2,3,4,5,6,71
e i casifavorevolisono i 2 elementidell'insiemeE ' h:
{3' 6}'
!'
minore del valoredi p (r ) :
3
in questocaso'ha portatoa un valoremif informazionesupplementare,
negativamente.
nore della proUaUitiìa.I due eventiE ed fu sonocorrelati
La probabilitàè p (E IEr) : |,,.n"è
;::il;li'Hcondizionata
E] # a.' dice
Dati due eventiE 1ed E 2talicheE 1c tJ, E2C IJ ed E |'
.si
E3' e.si indica
probabilitàcondi"ionuíu(o subordinata)di El.rispettoa
cheE2siaverificato'
l,la probabilitachesi verifichi E1nell'ipoiesi
ifl,lt
di Ez non
Sep (Er lBr) : p (Et), cioè le conoscenzeulteriori sul verificarsi
stocasticasono
eventi
h proùabilità di El, si dice che gli
,"Jaìnà*l
mente indiPendenti.
sul verificarsidi
Seinvecepinrlnr) * p(Et),cioè le conoscenzeulteriori
stocasticasono
eventi
gli
che
si
dice
Ez modifiiano iu proúuUilità di E1,
mente dipendenti' PiÌr precisamente:
r sep(Erln)> p(E1),i dueeventisonocorrelatipositivamente;
. ,"p {r, lnr) <-p(81), i due eventisonocorrelati negativamente.
p@IlEr)
Nel valutarep (Er) si consideraI'insiemeU, mentre nel valutare
lo spaziodei campionisi riduce al sottoinsiemeEz'
di E2 e r quello
chiamiamo k il numero degli esiti favorevoli al verificarsi
si sia verificato,
Jegh esiti favorevoli al veriÀcarsidi E1 nell'ipotesi che E2
ha:
Si
n
E2'
E1
ossiail numero di elementidi
.
r
P@rlE): U'
L1
|
'
L2
uwtrA ty"
-
- l
fNrRoDuz
:IONEAITA
PROBABIUIA
l-ì,'--:
r
;;:::"no"numerarore
"-^€ eeÀ^^
urrenramo;
denominatore pern.
,, nurngle
nr,^^
dei carnpion
i di U,
,
P @ ,lE)= *=
k _a
k - -f P(fE,n p t
I
n
IE'RE[,'A
''i*lo,l1:'trfr ':'E'
iÍlJà:ff rispe"o
aun
even,o
È2,
non
rÉ?Íffcru";
P@i-''onP{E'7 * o'
*l;;+n".::n#
Anulogum"nf",
P(ErlE)= P(4n E,)
-'conP(E)
P(8,)
# O.
Ll'"*:::lr:Èì; 8. [a proba
ln:*:,.$:;H;,
"d
Ar,taii.tl
Oi.n"niibilrràdelprodoftofogico
3li"'r":;dTli;
i3'3;=,:;;;#:;
Estraiamo
una cai
í.,:::rd;,il",1J..
u
E = <esce
posto.
;::*0"'ì"";;;::#
*':":::
noerrtrarnbi
gii;;#i
è forrnato
n mazzodi
52 carre;r,evenro
""
dai due eventi:
E1 = <<esce
una carta
con semenero));
-^""""
-bssp','^ - : '
Ez = (esce
un re>.
{re di picche,
picch. -^ '.
a,
*. {ir- €cl_z
re
di -.vrrJ,
À.
fiori}, r?
"'^1',jc- w.
la probabilità
.l
de.lprodotto
logico
ifil{';nir;:F
aotto
rog,.J
r:H:p^l
"2 lOfne
faDnn'+^
,-..il numero
de_
nfiíi_i:
;;;:.:,:1
_,órr qurÌ :.*voji e quell,,
possjbilj.
P@)= p(Etn E2)=3
= -| '
26
eue^stolisulrarosipuò
^rr::^
"s':ra (ela'Zione
r un atrro
deilà
rnodo.
o;;;ff:::T condizionah
p(Et
t) Er;*"urtd
o@rlas =
p@S
otteniamo:
o.'!'o Er)=p@).p@zln).
^
App.lichiarno
questax
Abbiamo
p (8,, = ;'
-"ine
s 2- T '
ne'nostroesempio.
.!!f
Fmrmgrm#u
ffi,La probabilitàdel prodotto logicodi eventi
Perl'eventoE2 condizionatoa E,, essendouscita una carta nera, i casi
possibilisono 26, mentrei casifavorevolisono 2:
P(ErlE') 2 6
73
I
Pertanto
p (81n E) : p (E) . p @rlE r)
26
Ingenerale,
valeil seguenteteorema.
TEOREMA
) Abbiamo riottenuto il
valorecalcolatopreceden
tementein modo diretto.
Teoremadella probabilità composta
Laprobabilità dell'eventocomposto o prodotto logico degli eventiE1ed
2è ugualeal prodotto della probabilità dell'eventoE1per la probabilità
'evento
E2nell'ipotesi che E1si sia verificato:
p @ t A E r ): p ( E r ). p @ r l B r ) .
particolare,
nel casodi eventistocasticamente
indipendenti:
p@rÀE): p@).p(Er).
) Segli eventisono stocasticamente indipendenti,
p(E,IEr):p(Er).
ISEMPIO
l. Estrazionecon reimmissione
Unurna contiene5 pallinebianchee 5 nere (fig:uraa).
i - - - l
Vieneestrattauna pallina e poi una seconda,dopo chela prima è statarimessa
nell'urna (figura b). Qual è la probabilitàchein due estrazionisuccessive
venganoestrattedue palline nere?
Levento(vengono estrattedue palline nere> è composto dai due eventi
semplici:
(?:.I.::j
E1: <laprima pallina è nera>;
E2: <<laseconda pallina è nera>.
\ ed E2sono indipendenti;infatti, dopo la prima estrazione,la pallina è
rimessa
nell'urna e Ia situazioneinizialeviene ripristinata.
5
l
q
S i h ap
: ( E r ): - i - e 'p'( '8 , ) :
l 0
2
l 0
r
2
Laprobabilitàdell'eventointersezioneè:
P ( EOrE ) : p ( E r ) ' P @+r) ')+: :)
I
A
2. Estrazione senzareimmissione
ConsideriamonuovamenteI'urna con 5 palline bianchee 5 nere (figura a).
Estraiamoprima una pallina e poi, senzarimettere la prima nell'urna,
unasecondapallina. Qual è la probabilità che entrambele palline siano
nere?
i o r o r o i
a . S i t u a z i o n ei n i z i a l e
:::?:
b. Situazionedopo la
prima estrazionecon
reimmissione
FI
rEÈ.
UNITAr 7. INTRODUZIONE
AttA PROBABITITÀ
La probabilitàchela prima sianeraè:
P(Er):
l-*-*1
t!3;.3,
c. Situazionedopo la
pflma estrazionesenza
reimmissione
10
Gli.eventi,sonodipendenti:infatti, ra
probabilitàder secondoeventonon
è piir quella di prima, perché la composizione
iniziale dell,urna risulta
modificata.
La probabilitàchela secondasianera,
condizionatadarfatto chela prima
estrattasia nera,si ottienepensandoail'urna.he
contieneif"ììi*
ui""_
chee 4 nere (figura c):
4
P @ r l a t )i:.
La probabilitàcheentrambele palline siano
nereè:
4
P : P @ r ) ' p ( E r l ag
t 1-: r
tr
z'
T:E'5
Applicandoil teoremadellaprobabilità
composta,possiamocalcolarela
probabìlità degli eventi compìsti anche
quanào ,ror, è porriuit"
il calcolodiretto.
"rr"ttuare
ESEMproDa una rilevazionestatisticaè risurtato
che, dopo 2 anni dalla
data di vendita' su g0 lavatrici 12 hanno
rilevato difetti sàro uri"^guurr-rrzioni e 5 solo al firtro deta pompa. carcoriamo
la probabilità che una ravatricemanifestiquestidue difetii, che
si presentanoindipendenti:
t f
LL
E, : <<avere
difettose le
guarnizioni>,
DlEt):
E2: <<aye.rrdifettoso il
filtro della pompa>,
P\l:z): ll:
B0
J
B0
20
ì
0,15:15o/o;
l
76
0,0625:
:6,250/o:
a / F A F \
P\t:t I I nz) :6.
) Finoraabbiamo esaminato problemi risoivibili o
con la,somma logica o con
il prodotto.
Negli esercizi troverai anche problemi che si risolvono utiiizzando congiun_
tamente la somma e il
prodotto logico.
3
I
16
:
3
,O
: 0,009375
: 0,9375o/o.
Seinvece, frale 12 lavatrici che hanno
le guarnizionidifettose,3 presentano difetti anche ar filtro deta pompa,
íon porr"*o piìr considerarei
due.eventi come indipendenti. t.r q.r"rto
caso,ra probabilità di averedifettialleguarnizionie al filrro dellapompa
è:
3 .: 3
p@,oEr):p(Er).p(ErlE,):+
80
12
i0
: 0'0375:3'750/o'
Il teoremadella probabilità composta
si può estenderea piìr eventi che si
devono verificare uno dopo I'aliro,
.orrrid"rurrdo sempre quello prece_
dentecomeverificato.
Paragrafo9. ll teorema di Bayes
casodi tre eventi,la formulazione è la seguente:
E )r ). ,
p ( E ) :p @ r o E 2 .h ) : p ( E r .)p ( E r l a r ) . p ( E r l ( E
P @ ): P @ t t E 2 . h ) : P ( E ) . P @ ) . P @ ) .
llteoremadi Bayes
I'eventodeveaccadere:
la disintegrazione
mo le due urne seguenti:
urna 1: 3 pallinebianchee2 nere;
urna2:4 pallinebianchee 5 nere.
la probabilità che, scegliendoa caso un'urna ed effettuando
estrazionedi una pallina, quest'ultima siabianca.
la sceltadell'urna ci affidiamo al lancio di un dado: se si presentaun
minore di tre, effettueremol'estrazione dalla prima urna, altrimentidalla seconda.
ieventi relativialla sceltadell'urnasono:
Er : <<faccia
del dado con numero minore di tre>;
E2: <<faccia
del dado con numero maggioreo ugualea tre>.
Questidue eventi sono incompatibili ed esaurisconotutte le possibilità
dellancio del dado.
Essihanno probabilità:
2
p(Et):T:t,
T
p(8,)
4
2
6
3 '
Colleghiamo gli eventi El ed E2 alle due urne con le palline bianche
nereconsiderandola rappresentazionedella figura 5. Allora l'evento
E : <<estrazione
di una pallina bianca>
è un sottoinsiemedi U : E, U E"
< $igura5
ed è l'unione di due eventi incompatibili:
) D'ora in poi, per brevitèr,nel parlaredi eventi
dipendentio indipendenti
tralasceremoil termine
(stocasticamente>,
-
roNE
A*ApRoBAB*rrÀ
f
Et ' E : <uscitadi una facciadel
dado con un numero minore di
tre
ed estrazionedi^unapallina bianca
dallaprima urna);
E2a E: <uscitadi una facciadel
auao .nrì"-í;",:::l
uguale
atreedestrazione
rt #;xrill""J,;T#fi:t'".T":
da urna>.
Gli eventi condizionati rerativi al|estrazione
deila pallina bianca, avendo
sceltol'urna, sono:
E lE , : <estrazione
pallina biancaavendosceltola prima
urna>;
ElE2: <estrazione
paninabiancaavendosceltola seconda
urna).
/
*
,
.
3
E s s i h a n n o p r o b a bti li i t ìp \ L l 8 ' ) : T ,
.*,
4
p ( E l n r ,: 1- .
Applicando il teoremade'a probabilità
composta,abbiamo che gli eventi
compostiEt n E ed E2O E hanno
rispettivamenteprobabilità:
p @ t oE ) : p @ ) . p ( E l E , )
l
?
J
)
p @ z ì E ) : p ( E r ) . p ( E l E_r )2
4
3
q
r
I
- ,
5
8
)
'
L /
?
Possiamoora carcolarela probab'ità
det'evento E, che è unione dei due
eventicomposti:E : (8, n g) U (EzO
E):
I EssendoEllE ed,E2lE
eventi incompatibili, la
probabilità della loro
unione è uguale alla som_
ma delle loro probabilità.
P@):p(EtoE)+p(Era1):a* 8 - 67
s
27 13s.
Sostituendole formule di p (Er l E)
ep (8, n Dofieniamo:
P (E ): p( 8,)-p ( Elr ,)+ p ( Ez).p@lE,) .
Possiamosintetizzaretuttoil procedimento
nermodo seguente(figura
> ii:iige.ace
S
6).
3
)
4
q
E2
* -;*"
o-
+.+=t
f,
T'
) I n u n d i a g r a m m aa d a l _
b.er.oi ramí sono i segmen_
tr che congiungonoi nodi.
sr1istr1,percorrendoi rami deldiagramma
ad alberoteggia_
lll:* ra successione
t
mo
deqlieventicheformanol'eiento.;;;;r;;;d
effettuiamoil prodottodelìeprobabilità.
Faragrafo9. ll teoremadi Bayes
I rami uscenti da un nodo rappresentanoeyenti incompatibili e sommando le probabilitàsegnatesu essiotteniamoil valore 1.
Addizionandole probabilitàdegli eventiprodotto dei percorsiotteniamo
la probabilitàdell'eventoconsiderato
:
1
8
6
7
:_
nltr):_ t_
27
5
I35
In generale,un eventoE si può esprimerecomeunione di eventicomposti a due a due incompatibilinel seguentemodo:
) Questoprocedimentoè
detto <di disintegrazione>.
E : ( E tn E ) U ( E 2 a E )U . . . U ( E , , a E )
doveE1, E2, ..., E, costituiscono
unapartizionedellospaziodei campioni U, cioè sono /1eventichegodono delleseguentiproprietà:
s non sonoimpossibili:
E; * A peri : 1.,2,3,.. ", n)
s sonoincompatibilia due a due:Ei ît Ei: A per i,j : I,2, 3, ..., n e
s sonotali chela loro unioneErU E2U ... U E, è un eventocerto.
Applicandoil teoremadellaprobabilitàtotale,si ha
P@)= P@n E) + p(Eì E) + ... + p(Efi E")
e applicando il teoremadel prodotto logico di eventi si ha la formula
p@)= p(8,). p(ElE,)+ p@) . p@l&,)+ ... + p(8"). p(ElE"),
Ia cui applicazionerisulta facilitata utilizzando i diagrammi ad albero.
U
F
Z
F
-1
E
F
r F66*r;*? Unapartizione
dellospazio
deicampioni
U
e dell'evento
E-
) Questaformula è anche
detta formula di disintegrazione.
5el'eventoè accaduto:ilteoremadi Bayes
ConsideriamoancoraI'esperimentorelativoall'estrazionedi una pallina
biancada due urne, la cui sceltaè stabilitadal lancio di un dado.
SupponiamocheI'evento
E : <estrazionedi una pallinabianca>
sísia verificafo.Proviamoa risponderealla seguentedomanda:
<qualè la probabilità chela pallina estrattaproyengadallaprima urna?>.
Siamoin una situazionecompletamentediversada quellaprecedente.
Infatti abbiamo semprecalcolatola probabilità di un eventoche potrebbe
accadereconoscendole causechestannoallabasedel suoverificarsi.
Ora siamo di fronte a un evento che si è verificato e vogliamo conoscere
la probabilitàda assegnare
alla causachepuò averloprodotto.
Tiascriviamole seguentinotazionigià adottate:
Er: <<faccia
del dado con un numero minore di tre>;
Et I E : <uscitadi una facciadel dado con un numero minore di tre
ed estrazionedi una pallina biancadallaprima urna>;
ElEr:
<estrazione
di una pallinabiancaessendouscitauna facciadel
dado con un numero minore di tre>.
) Nel problemaesaminat o I ' u r n a I c o n t i e n e3 p a l l i ne bianche e 2 nere, Ì'urna
2 ne contiene 4 bianche e 5
nere; se la faccia del dado
ha un numero minore di 3,
I'estrazione awiene dalla
prima urna, altrimenti dalla seconda.
UNITÀ17. INTRODUZIONE
AIIA PROBABITITÀ
I valori de'a probab'ità
cheabbiamocarcolato
precedentemente
sono:
p @ ,o E ) : p ( E , ). p ( Ej a , ;: 1
e D(E\: "'
6 /
I
Dalla relazjonedellaprobabilità
a F
'
rJJ
composta
P @n E ) : p @ ) . p ( E l E ) ,
rrcavramop(EtlE)
d:p: avernotato chep(E
a Er) : p(Er f_lE), so_
",
strtulamoi valori calcolati
pr"."a""i"r."n
otteniamo
scontrato l,uscita di ur;;;lí;;:::'^"1*.;
che, avendo ri_
na pallina bianca'la probabilit;;";;;;:""*"
dallaprima urna è:
frlFfì
D \
p ( E , l E \_ p \ L r I t t ) _ _p _( E t O E )
p(L)
p(E)
t
5
o,/
:-
)a
o/
135
Quindi, Ia probabilitàdella causa
dell,
tffi.:";;".:',1'il""1::i":
3:nil;i:'.'",".:ril*il;ji',1#;fi
verificatala causa,e Ia
probabilità totale dell,evenro.
G eneralizzjamo il problema.
sia u uno spaziodi campioni
ed E C u.un eventoche
supponiamosia
il;;iÀ
;::',Tffi.,:,",il,,:eriamo
ediuin neventi
E,:È,,...,8,.
E : ( E O E ,u) ( Ea E r ) U . . .
u ( Ea E , ) ,
e la probabitnà
E;
sia statola causadi E
*.l."unto
si ottiene
portofralaprobabitit
r,,nuif p-U"bilitàde,,ever,"ì;?#.
conducealla seguentei !:
?l;
formula, nota"càme teorema
) Thomas Bayes(1702_
1761),reverendoe mate_
matíco inglese,[u membrt.r
della Royal Society.
I
di Bayes.
TEOREMA
Teoremadi Bayes
La pro.babilitàche,essendosi
verificato ur
suaoriginesiarevento
E;, con i : 7,2,..:,TTa
E, la causachestaaila
P ( E I E ) -P ( E ) ' P ( E I E' )
p(E)
dovep (E) è la probabilità
dell,eventototale:
p ( E ) : p ( E ) . p ( E . l E+;p) @ r ). p ( E I l , ) +
+ P ( E i ) ' p @ 1 n , 1.++ ' p @ , ) . p (. .E.+I E ) .
ilj:ff"#J#ff:fi11:*
appticazioni
nelcampo
detconrrolo
delaqua_
tarel<peso"dì;;;]jil:.jîilHil:Tffi
ff;1;,J#.1,io.,,àru_
Faragrafo3. La concezionestatisticadella probabilità
''
Si lancia un dado a sei facce.Calcola la probabilità che esca:
a) il numero 3;
b) un numero multiPlo di 3;
c) un numero divisibile Per 4;
d) un numero multiPlo di 8;
e) un numero inferiore a 5.
?I
,
I
lai;rb);;c);;a)ol
; ti l
|t " il*), u ); ; c )7 : d )o e
Il sacchetto della tombola contiene 90 numeri'
Viene estratto un numero. Calcola la probabilità
che esca:
a) un numero maggiore di 50;
b) un numero con due cifre uguali;
c) un numero con due cifre diverse;
d) un numero multiPlo di 9;
e) un numero Primo inferiore a 20'
4 l
7 3 . .I
|
4
4
rd)
n ; t ) 4 5I
l a t n : b ,* ; . ) q 0
Abbiamo ùn mazzo di 52 catte' Viene estratta
una carta. Calcola la probabilità che esca:
a) una carta di cuori;
b ) u n a c a r t a m i n o r e d i 4[ .; f
3
,1-l
t'tîl
c) unacartarossa.
l
3
1",?;D)
28
Si getta consecutivamente un dado due volte'
Doóo ave. scritto lo spazio dei campioni, calcola
la probabilità che le due facce:
a) abbiano la somma dei punteggi uguale a 9;b) abbiano la somma dei Punteggi maggiore di 9;
c) abbiano due numeri che sono divisori Ut U'
oI
I a ) - ; b )-6; . ) ; el l
l-'e'
29 Un'urna contiene 10 biglie bianche e 30 nere'
Calcola la probabilità che, estraendone una a
nonescaunabigliabianca'
caso,
i+l
l4,l
30. Un'urnacontiene8 palline bianche,5 palline
nere e 7 palline rosse. Si estrae una pallina' Calcola la probabilità che:
a) escauna Pallina nera;
b) non escauna Pallina nera;
c) non escauna Pallina tofu. .,
3
I3 |
Un urna contiene 21 gettoni, su ciascuno dei quali
è riportata una diversa lettera dell'alfabeto italiano. Calcola la probabilità che, estraendoneuno:
a) escauna vocale;
b) escauna consonante;
.j ,tot esca una delle lettere della parola <proba-
bilità).
Un'urna contiene cinque palline numerate da I a
5. Si estraeuna pallina' Calcolala probabilità che:
a) esca5;
b) escaun numero disPari;
c) escaun numero Primo Pari;
d) escaun numero maggiore di 5.
I . - ^ l
[ . t . , 3
l"T;b):'');l
i",*;b)*'.,*]
statisticadellaprobabilità
3. Laconcezione
{
Teoria a pag"l412
it{ri'
rnfffnmÈULLn]TÉOA|A,'';r.1r.v;r,.ii':,ii.i.
La probabilitàcheuna personacolpiscail bersaglió in un poligono di tiro è un valorecalcolatoa
posteriori.Perché?
La frequenzarelativaf(E) di un eventodeveesserecaicolataeffettuandon esperimentitutti nelcondizioni.Perché?
le stesse
33 Ancheper la frequenzadi un evento,comePerla
valela condizione0 </(E ) < 1,
orobabilitàclassica,
ma il significatodeivalori 0 ed 1 è diverso'Perché?
34 Si affermacheil valoredellafrequenzaf(E) díun
eventosottoPostoa n pÍove, tutte nelle stesse
condizioni,téndeal valoredellaprobabilitàp(E)'
Perché?
Paragrafo7. La probabilitàcondizionata
In una saccasportivaci sono 10 maglienumerate
à"ff r to. Càlcolala probabilitàche' estraendo
parr
"f
a casouna maglia,questaabbiaun numero
di7.
ominore
f+l
l ) l
la
Urlurna contienei 90 numeri del lotto' Calcola
numero:
orobabilitàcheestraendoun
4;
u; .r.u un numerodispario multiplodi
b) er.u un numero dispari o multiplo
trt , . , f
f)a'o)tl
I a 20'
Un'urna contiene20 palline numerateda
pallina:
òut.olu lu ptobabilitàihe estraendouna
a) essarechiun numerodisPari; bj essurechiun numerominore di 7;
di 7'
.j .rru rechi un numerodispari o minore
I
r
i
i3l
- ')-l _o ; c ) - |
Ia ) - ; b
2 0|
l*'z'
'sî mazzodi 52 carte' Cal99 Si estraeuna carta da
colala ProbabilitàcheIa carta:
a) siaun re o un sette;
b) siaun re o una figura dicuori;
c) siaun urro o o"u turta di piccheo una figura'-
u \) 3
E .' .- )' , 2 5I
[ ^ , 2 .' o
1 " ,, ,
5 2I
sono 10 libri
'-- Sullo scaffaledi una bibliotecavi
100
Calfantascienza'
di
;t"ilt, 20 romanzie 30 libri
liun
caso
a
scelto
:"ú i" probabilitàche venga
bro giailo o un libro di fantascienza'
I-3-]
L3l
sono12e i semi
101 fnun mazzodi 40 cartele figure
spade'
e
Qual è la
denari
tono +, coppe'bastoni'
o una
llgura
una
caso
probabilità di estrarrea
iarta di bastoni?
tl:l
L40J
{
TeoriaaPag.1422
. Laprobabilitàcondizionata
La probabilità di un evento Er condizionata
effetall,eventoE2si può *f.ofur. aiteitamente
eventt
tuando il rappoito fra la numerositàdegli
eventi
elementaridirr n E2elanumerositàdegli
p (Er | .gr)ri può applicarela formuf 03 per carcorare
0. Perché?
nN4?,conp(Ez)*
plBz)
elementari di 82. Perché?
vrnooFALso?
io+
t
verificano(Et E2)è 5 e il numero
a) Seil numerodegli eventielementariche
Î
1ft) :
allorap(Ez
8'
è
Er
verificano
che
T'
degli eventielementari
b) Sep (Er I n) :*
6
positivamente'
. p tf ,l : I, allorai dueeventisonocorrelati
e chep(E) :
;'non
siamoin grado
distabilireseidueeventisonoindipendentiodipendenti.
allorap (Er I nr) : p @zlE)'
d) SedueeventiE1e E2soro indipendenti,
!-"Pfn):t
t05 rnsr SeP(ErfiEr):
(
M E
t ,
:
c) Sesappiamochep (Er ) Ez) I
t A l
Mtr
2
IE;
trtr
Etr
valot\ di p(E) rendei due eventiindipendenti?
, qualedei seguenti
16
q
_
7
t s l
tjj
t c35 t / t r 1 0
35
----lUNITÀ17. INTRODUZIONE
ALLAPROBABITITÀ
106 Un urna contiene40 palline, numerate daI a40. Consideriamo i seguentieventi:
.A : <esceun numero divisibileper 5>;
B:
<esceun numero maggioredi20>>.
Calcoliamo la probabilità condizionata di A rispetto a B.
Abbiamo:
p(A):
8
1
4 0 5
)4:0: +2 ', p 6. B )
, p(B+
I
,
p(AlB):
fn 'r-A t . B )
P(B)
l0
I
I
s'
ì due eventiA e B sono rto.uli.u-.nte
I
4
40
I
10
indipendenti.
ESERCIZIOGUIDA
107 Tre persone A, B e Csono candidate a una carica.A ha la probabilità del 40o/o
diessereeletto, B del35o/oe
infine C del 25o/o.C rittrala propria candidatura.
Calcoliamo le nuove probabilità di vittoria di,4 e B (chiamando con A, B, C anche gli eventi
relativi all,elezione delle persone).
Levento che si è verificato è la mancata elezione (per ritiro della candidatura) di C. Esso
ha probabilità
PG): I - 025:0,75.
LeventoA fì C èancoral'eventoA,eanalogamentel'eventoBn C èsemprel'eyentoB(glieventiA,Be
Csono incompatibili).
Le due probabilità condizionate, ossia quelle cercate,sono:
o(n
^ _;.
p ( A l c t: - fD(Aa c) : # o,4o
: 0
:
>\( -A" ) , rp\(-Br -l C' :)r y ; = n c) : # 0,35
' , 5 3rp
0 , 4 6p>( B ) .
P\Cl
0,75
p(C)
0,75
Gli eventi sono stocasticamentedipendenti e sono correlati positivamente.
108 Calcolala probabilità che, estraendouna carta da
un mazzo di 40, essa sia un re, sapendo che è
uscitauna figuradi coppe.
ft rr l l
110 Calcola la probabilità che lanciando due dadi la
somma delle facce sia 5, sapendo che le facce
portano numeri diversi.
I Z l
L;l
lL " 3 I l
f09
Si hanno due mazzi di carte da 40. Si estrae da
ciascun mazzo una carta. Calcola la probabilità
che essesiano due re, sapendo che ùno uscite
due figure, e la probabilità che siano due figure,
sapendoche sono usciti due re.
I r I
L;"I
11î
Una macchina produce pezzi meccanicie su una
produzione di 400 pezzi 20 hanno difettoso il
peso, 30 lalunghezza e 360 sono perfetti. Calcola
la probabilità che prendendo a caio unpezzoi
a) abbia entrambi i difetti;
b) sia difettoso nel peso, sapendo che anche la
lunghezza è difettosa.
1
ll
t
l u )- ; b ) ; l
L ' 4 0
3 l
Paragrafo8. La probabilitàdel prodotto logicodi eventi
ESERCTZI
I
I- Una massaiaè indecisa sull'acquisto di un detersivo.La probabilità che compri il detersivo marca A è del
12o/o,
del tipo B è del l5o/oe del tipo C del73o/o.Essendoentrata in un supermercatoe avendoaccertatoche il
detersivo C non era in vendita, qual è la probabilità che abbia acquistato il detersivo A?
| + I
l e l
t
*
,
I s o . r o a s s e g n a t i g l i e v e n t i A e B i n u n i n s i e m e Uc. hSepa (pAe)n: +
d lo
l
c a l c opt\al i l , p @ l A ) . p ( e n s t , p t À l B t .
ll
lt
l l . r . o .' ,j lI
l s ' z ' ì t
, Laprobabilitàdel prodotto
Iogicodi eventi
i:.RIFLETTISULLATÉORIA
p' ' @ ) : * " p f e U B ) : + ,
{
Teoria apag.1424
,.]
:
i Il prodottologicodi due eventiE1 ed.E2siindica
per mezzo della loro intersezioneEt a 82.
Perché?
La probabilità dell'evento E1 lì E2 si determina
utilizzando la relazione della probabilità condizionata. Perché?
Il valore di P (Er lì Er) si può determinare direttamente soltanto quando si conosconoil numero
degli elementi di Er f) E2 e il numero degli elementi del prodotto cartesianoEt X 82.Perché?
117 Quando due eventi sono stocasticamenteindipendenti, la probabilità dell'evento composto è
data dalla formula p(Erl Er) : p(E,). p @z).
Perché?
1î8
Levento E : uesceun numero pari divisibile per
3>, relativo al lancio di un dado, è il prodotto logico di due eventi. Perché?
119 Un urna contiene3 palline gialle e 2 rosse.La probabilità di estrarre consecutivamente 3 palline
gialle senza rimettere quella estratta nell'urna si
3 2
.a. perchel
determinacalcolando .
5 4 3
v$Kt* * p&Ls43:i
a) Si estraggonoconsecutivamentedue carte daun mazzo di 40 carte senzarimettere la carta
estrattanelmazzo. Levento E : <estrazioneprima di un 7 e poi di un 3> è un eventocomposto.
tr
tr
b) Sesi effettuano estrazioni consecutiveda un urna contenentepalline di colore diverso,
rimettendo ogni volta la pallina estrattanell'urna, si hanno eventi dipendenti.
tr
tr
c ) S e s a p p i a m o c h e p (*E"10) : @ r l E r ) : Z , a | r o r a p ( E t . E ) : +
ru
J
15
&l tr
d) Un'urna contiene 3 palline nere, numerate da I a3, e 5 palline gialle, numerate da I a 5.
Levento E : <estrazionedi una pallina con un numero pari> è un eventocomposto.
E
tr
T*$Y Da un sacchetto del lotto si estraggono consecutivamente4 numeri, rimettendo ogni volta quello
estratto neli'urna. La probabilità che Ie prime 3 volte escaun numero divisibile per 5 e I'ultima volta un numero disoari è:
l,ql
t7
4895
ts
1
250
{l
t27
2s0
3
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.
10
tr
3
250