Reddito
Anni di istr
20,5
12
31,5
16
47,7
18
26,2
16
44
12
8,28
12
30,8
16
17,2
12
19,9
10
9,96
12
55,8
16
25,2
20
29
12
85,5
16
15,1
10
28,5
18
21,4
16
17,7
20
6,42
12
84,9
16
Distribuzione esponenziale:
f ( y )  e y
E ( y)  1 / 
V ( y)  1 /  2
Ipotizziamo un modello semplice:
yi    xi   i
 E ( yi / xi )    xi
1
 
  xi
1
f ( yi ) 
e  yi /(  xi )
  xi
Log-verosimiglianza:
n
n
yi
Ln( )   ln(  xi )  
i 1
i 1   xi
Log-veromiglianza
-88,3
9
10
11
12
13
14
15
16
17
-88,4
-88,5
Max =15.6
LogVer
-88,6
-88,7
-88,8
-88,9
-89
alfa
18
19
20
21
22
23
24
Test per stime MLE
Confronto tra un modello “generale” (con logveros. L)
e uno “vincolato” o “ridotto” (con logveros. Lv)
I modelli devono essere, quindi, “annidati” (nested)
Se i vincoli sono appropriati si avrà Lv  L
Likelihood Ratio test
Misura la riduzione di L connessa alla introduzione del vincolo, se il vincolo è
valido, si dovrebbe perdere poca informazione:
L 
LR  2 ln  v    2 (n.vincoli )
L
 Lv 
 Lv 
   1  2 ln    0
L
L
14
Valore del test LR
12
LR
10
8
6
4
2
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
L/Lv
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Test di Wald
Misura il valore del vincolo in corrispondenza del parametro di max MLE,
se il vincolo è appropriato, il valore dovrebbe essere 0, cioè verifica
se la stima max MLE rispetta i vincoli: (Si stima del modello
generale)


W  C ˆ  q  Var C ˆ  q  C ˆ  q 
H 0 : C ˆ  q  H 0 : C ˆ  q  0
1
'
dove
 
  Var ˆC ˆ
ˆ


C

Var C ˆ  q  
ˆ
 
'

ˆ
  
 2 (n.vincoli )
Test dei moltiplicatori di Lagrange
Misura il valore dei moltiplicatori di Lagrange, se il vincolo è appropriato, il
valore dovrebbe essere 0, cioè verifica se la stima max MLE rispetta i
vincoli: (Si stima del modello ristretto)



L * ˆ  Max L  vinc. C ˆ  LnL   C ˆ
soluzione :

L *  ln( L)  C ˆ 


  0
ˆ
ˆ
ˆ


  

L *
 C ˆ  0

Se i  sono “vicini” a 0 il vincolo non ha effetti sulla stima, allora si
calcolano le derivate di L nel punto di massimo vincolato, se sono
prossime a 0 la perdita di informazioni non è significativa
    
'
  ln L ˆv  ˆ
LM  
 I v
ˆ
  v 
1
 
  ln L ˆv 
  2 (n.vincoli )


ˆ
  v 
Derivata L
verosimiglianza
Vincolo su 
Riprendiamo il modello iniziale:
1
f ( yi ) 
e  yi /(  xi )
  xi
È una forma ristretta di un Gamma generalizzata con
Parametro =1

  xi  
f ( yi ) 
 
yi 1e  yi /(  xi )
Il vincolo è =1, se non vi è perdita di informazione allora
tra tutte le distribuzioni generate da una Gamma, quella
esponenziale è la più adatta
Utilizziamo i tre test per verificare:
H0 :   1
contro
H1 :   1
LIKELIHOOD RATIO:
Dalla stima MLE dei DUE modelli otteniamo:
Ln(L) non vincolato (Gamma) = -82.916
Ln(L) vincolato (esponenziale) = -88.436
LR=-2[-88.436-(-82.916)]=11.04  ²(1)
Il valore test è 3.842, quindi si rigetta H0
TEST DI WALD
 

 C ˆ
ˆ
W  Var C   q  
ˆ
 
'




 C ˆ 
ˆ
 Var   ˆ 

  
Dalla stima MLE del solo modello non vincolato:
ˆ  3.151
e Var ( ˆ )  0.6625
i vincoli :
c   q  0  cˆ   ˆ  1  0
cˆ 
1
ˆ
Var cˆ   q   Var ( ˆ )  0.6625
W  3.151  10.6625 3.151  1  6.984
1
  2 (1)
Il valore test è ancora 3.842, quindi si rigetta H0
TEST DEI MOLTIPLIPICATORI DI LAGRANGE:
    
'
  ln L ˆv  ˆ
LM  
I v

ˆ
  v 
1
 
  ln L ˆv 
  2 (n.vincoli )


ˆ
  v 
Dalla stima MLE del solo modello non vincolato:
l
l
 0.000 e
 0.02166
2


l
l
 7.914 e
 32.894
2


l
 0.6689

1
0.02166 0.6689 0.000
LM 0.000 7.914
 5.120



 0.6689 32.894 7.914
Il valore test è ancora 3.842, quindi si rigetta H0
  2 (1)