Università “Tor Vergata” – Corso di Laboratorio di Astrofisica – Prof. Buonanno
Principi di Interferometria – I
Dr. Simone Antoniucci, INAF - OAR
VLA
Perché
Principi di Interferometria - I
Imaging con un telescopio singolo

O(, )
Sorgente in cielo con
distribuzione di luminosità O

P(, )
PSF dello strumento
I(, )  P(, )  O(, )
Risposta dello strumento
Principi di Interferometria - I
Imaging con un telescopio singolo
• Sorgente puntiforme all’infinito  diffrazione di Fraunhofer
• Apertura circolare  figura di Airy

2J1 D /  
I() 
D /  
 : Lambda di osservazione
D : Diametro dell’apertura
J1 : Funzione di Bessel di 1° tipo
• Risoluzione angolare
(criterio di Rayleigh)
 
  1.22 
D D
Principi di Interferometria - I
Imaging con un telescopio singolo
I(, )  P(, )  O(, )
Risposta del telescopio
• Analizziamo la risposta in termini di frequenze (spaziali)
 Trasformata di Fourier
~
~
~
~
I (u, v)  P(u, v)  O(u, v)  OTF(u, v)  O(u, v)
OTF
~
OTF  P
Optical Transfer Function
Power Spectrum of the PSF
D/
f
Principi di Interferometria - I
Imaging con un telescopio singolo
• Esiste una frequenza di taglio D/: il singolo
telescopio funziona come un filtro passa-basso
OTF
• Le basse frequenze sono “pesate” maggiormente
nella OTF
Come funziona il campionamento delle frequenze da
parte del telescopio?
D/
fmax= D/
f

 = /D
risoluzione telescopio  massima frequenza campionata
alte frequenze spaziali  piccole scale spaziali
più piccole scale spaziali campionate dai punti esterni dello
specchio del telescopio (a distanza reciproca D)
Specchio primario
(pupilla del telescopio)
Un singolo telescopio campiona TUTTE le frequenze spaziali tra 0 e D/
Principi di Interferometria - I
Imaging con un telescopio singolo
OTF
D/
spatial frequency
OTF
D/
spatial frequency
OTF
D/
spatial frequency
Principi di Interferometria - I
Due telescopi: un semplice interferometro
Vogliamo incrementare la risoluzione angolare del nostro strumento
1) Aumentare il diametro D del telescopio
Risoluzione angolare sarà data da
 = /D
B
D
Oppure, basandoci su quanto detto prima:
B
2) posizionare 2 telescopi a distanza reciproca B (baseline)
Risoluzione angolare sarà data da
 = /B
Un interferometro campiona “UNA” frequenza spaziale (B/) alla volta (B>>D)
Principi di Interferometria - I
Esperimento di Young: interferenza
• sorgente  schermo con 2 fori  osserviamo figura risultante
• sul piano focale si osservano frange di interferenza
B
S1
S2
I
I  I1  I2  2 I1I2 μ12 cos
P
Φ = differenza di fase
 = fattore di coerenza spaziale
 = /B
Principi di Interferometria - I
Esperimento di Young con due telescopi :-)
• Sorgente puntiforme all’infinito
• Due telescopi con aperture circolari di diametro D, a distanza B
 osservo frange di interferenza modulate dalla figura di Airy del singolo
telescopio
• Le frange hanno ampiezza  = /B


B
Principi di Interferometria - I
Due telescopi: un semplice interferometro
• Analizziamo la risposta in termini di frequenze (spaziali)
 Trasformata di Fourier
Optical Transfer Function
OTF
B1 B
B2
D/
f
B/
Con la tecnica interferometrica campioniamo alte frequenze spaziali 
accesso a alte risoluzioni angolari  θ ~ λ/B
Più baselines  più frequenze  più informazioni
Principi di Interferometria - I
Ricapitolando…
Diametro D
Baseline B
Singola apertura
2 Aperture
1.22 /D
/B
Piano focale
Piano focale
OTF
OTF
B/
D/
spatial frequency
D/
spatial frequency
Principi di Interferometria - I
Ricapitolando…
• Un singolo telescopio campiona TUTTE le frequenze spaziali tra 0 e D/
 = /D
OTF
B1 B B2
D/
f
B/
• Un interferometro campiona “UNA” frequenza spaziale (B/) alla volta
 = /B
B>>D
Più baseline  più frequenze campionate  più informazioni
Un singolo telescopio è un interferometro “perfetto” che osserva su tutte le baseline di
lunghezza compresa tra 0 e D
Un interferometro è uno strumento per misurare le componenti di Fourier dell’immagine di una
sorgente
Principi di Interferometria - I
Come
(radio)
Principi di Interferometria - I
Principi di osservazione
• 2 radiotelescopi fissi a distanza B (baseline)
• sorgente emette onda radio monocromatica, fronti d’onda piani
Caso I
Caso II
• Sorgente allo zenit
• Sorgente si sposta di un angolo =/2B
• Onde arrivano in fase
• Onde arrivano in controfase
• Onde combinate interferiscono
costruttivamente
• Onde combinate interferiscono
distruttivamente  output nullo
~ B
θ
Interferenza
distruttiva
Interferenza
costruttiva
θ
   / 2B
B
B
Segnale in uscita
Segnale in uscita
Principi di Interferometria - I
Principi di osservazione
• Al variare di  riavrò interferenze costruttive per:
   / B, 2 / B, 3 / B, 
• A seguito della rotazione terrestre il segnale in uscita mostrerà
ciclicamente una modulazione forte e debole (nulla).
• La separazione angolare fra 2 posizioni in cui abbiamo interferenza
costruttiva è:
∆θ≈λ/B
   / B
Esempi:
=1m B=100m 
A
=1/100 ≈ 0.5°
=5cm =6GHz B=10km 
 ≈ 1’’
t
t ≈ 2 min
t ≈ 67ms
t
Intuitivamente:
B
• Sorgenti puntiformi (A, B) mostreranno
variazioni ampie di segnale attraversando le
linee di visibilità
• Sorgenti estese (C) produrranno
modulazione di minore ampiezza
C
t
una
(simulatanea presenza di coppie di punti sulla sorgente
che interferiscono costruttivamente e distruttivamente)
c
c
c
c
Principi di Interferometria - I
Esempio I: osservazioni equatoriali
• 2 radiotelescopi all’equatore, baseline in direzione E-W
sorgente estesa
sorgenti puntiformi
non risolte
C
interferenza
distruttiva
B
∆θ≈λ/B
A
interferenza
costruttiva
λ
Polo nord
Principi di Interferometria - I
Esempio I: osservazioni equatoriali
• 2 radiotelescopi all’equatore, baseline in direzione E-W
Equatore
celeste
“Ventagli” di visibilità (visione dall’alto)
∆θ≈λ/B
N
A
B
Equatore
celeste
E
W
“Ventagli” di visibilità
C
c
c
c
c
S
Principi di Interferometria - I
Esempio II: osservazioni polari
• 2 radiotelescopi in vicinanza del polo
polo nord
celeste
sorgente puntiforme
interferenza
distruttiva
A
∆θ≈λ/B
interferenza
costruttiva
λ
Polo nord
Equatore
Principi di Interferometria - I
Esempio I: osservazioni equatoriali
• 2 radiotelescopi in vicinanza del polo
NCP
Polo nord
celeste
“Ventagli” di visibilità
Principi di Interferometria - I
Esempio III: osservazioni generiche
• 2 radiotelescopi, data baseline e posizione della sorgente
cos n  n / B
 (B / )  n  (B / )
0    180
• Le linee di visibilità formano dei
circoli celesti attorno alla direzione
della baseline
dn  ( / B) / sin n
dn  1
Principi di Interferometria - I
Ricostruzione ideale di una (pseudo)immagine…
• Abbiamo una serie di misure in cui abbiamo identificato le linee di
visibilità
• La sorgente si troverà su una delle linee individuate
• Sovrapponendo le varie osservazioni (set di linee) otteniamo una
pseudoimmagine della regione in esame, in cui identifichiamo la posizione
della sorgente
• Possiamo anche visualizzare ogni misura ottenuta con una data baseline
come un’immagine: osserviamo un pattern di frange nel campo (in
direzione normale alla baseline)
 sommando i vari pattern otteniamo una “immagine” del campo (shading
method)
Principi di Interferometria - I
Quanto
Principi di Interferometria - I
Risposta ad una sorgente puntiforme
• Sorgente puntiforme emette radiazione monocromatica di frequenza .
• I due telescopi intercettano i fronti d’onda piani
• Siano E1 e E2 i campi elettrici misurati dai due telescopi.
E1  E 0 cos t
E 2  E 0 cos(t  )
s
Bcos
b
θ
θ
La differenza di fase Φ è data da
( t )  2B cos ( t ) / 

| E | E  E0 cos t  E0 cos(t  )
(t ) 
(t )

E  2E 0 cos t 
 cos
2 
2

B
Campo elettrico risultante
Oscillazione ad alta frequenza
 modulata da oscillazione a
bassa frequenza Φ/2
(battimento)
Principi di Interferometria - I
Risposta ad una sorgente puntiforme
(t ) 
(t )

E  2E 0 cos t 
cos

2 
2

Oscillazione ad alta frequenza 
modulata da oscillazione a bassa
frequenza Φ/2
=5cm, =6GHz, B=10km
  ≈ 1’’
 T() ≈ 17ns
 T(Φ) ≈ 67ms
(t ) 

2 (t )
E  4E cos  t 
 cos
2 
2

2
2
0
2
Potenza dell’onda ( E2)
Principi di Interferometria - I
Risposta ad una sorgente puntiforme
Mediando su un periodo T tale che: T() << T << T(Φ) (cos2  ½)
(t )  2 ( t )

4E cos  t 
 cos
2 
2

2
0
2

LP
1 2 ( t )
4E cos

2
2
2
0
1 1  cos ( t )
 4E
 2E 02 1  cos ( t )
2
2
2
0
Risposta (nel caso di somma dei segnali)
Principi di Interferometria - I
Risposta ad una sorgente puntiforme
• Eleviamo al quadrato il campo elettrico totale (potenza  E2)
E  E0 cos t  E0 cos(t  )
2
2
E 2  E 02 (cos 2 t  2 cos t cos(t  )  cos 2 (t  ))
media
1/ 2
Termine di interferenza
media
1/ 2
• Per descrivere l’interferenza possiamo allora considerare il prodotto E1E2
2
E
E1E 2  E 02 cos t cos(t  )  0 (cos ( t )  cos( 2t  ( t )))
2
Principi di Interferometria - I
Risposta ad una sorgente puntiforme
2
E
E1E 2  E 02 cos t cos(t  )  0 (cos ( t )  cos( 2t  ( t )))
2
R PS ( t )  E1E 2  (E1E 2 ) LP
1 2
 E 0 cos ( t )
2
( t )  2B cos ( t ) / 
R PS ( t )  E 02 cos ( t )  E 02 cos2B cos ( t ) /  
Risposta (nel caso di moltiplicazione dei segnali)
(è quel che si fa nel caso pratico)
Principi di Interferometria - I
Trattamento del segnale in un radiointerferometro
Principi di Interferometria - I
Risposta ad una sorgente puntiforme
s
Bcos
b
θ
θ
B
R PS ( t )  E 02 cos2B cos ( t ) /  

 2 
R PS  E cos  B( t )  s 


2
0
Pattern di frange per una una sorgente puntiforme
Principi di Interferometria - I
“A che tante facelle?” – G. Leopardi
VLTI