Trasmissione numerica in banda passante
1
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
La trasmissione in banda passante
Finora abbiamo considerato il caso in cui le forme d’onda g(t), che trasportano
l’informazione, sono direttamente inviate sul mezzo trasmissivo nella loro forma
originaria, ad esempio come impulsi che in ricezione soddisfino il criterio di
Nyquist (per avere ISI nulla) o come impulsi rettangolari.
In altri casi occorre adattare le forme d’onda alle caratteristiche trasmissive del
mezzo, conferendo ad esse, se possibile, una certa protezione contro i disturbi
inevitabilmente presenti.
Così, per consentire la propagazione attraverso un mezzo trasmissivo con risposta
in frequenza in banda passante, l’informazione viene trasferita in bande di
frequenze spostate verso l’alto.
Questa traslazione in frequenza dello spettro del segnale in banda passante si
ottiene modulando, cioe’ variando, i parametri di un’onda sinusoidale ad una certa
frequenza, detta ‘portante’, in accordo con l’informazione da trasmettere.
Il parametro modulato sara’ l’ampiezza, o la fase o la frequenza, o una
combinazione di questi parametri.
2
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
La trasmissione in banda passante
Per consentire la propagazione attraverso un mezzo trasmissivo con risposta in
frequenza in banda passante, l’informazione viene trasferita in bande di
frequenza spostate verso l’alto.
Spettro del segnale traslato
Spettro del segnale in banda base
f0
f
Questa traslazione in frequenza dello spettro del segnale, originariamente in
banda base, si ottiene modulando i parametri di un’onda sinusoidale ad una certa
frequenza (dette onda e frequenza portante) in accordo con l’informazione da
trasmettere.
3
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Modulazione e Demodulazione
Modulatore
m(t)
X
s(t)
Demodulatore
X
cos(2πf0t)
|M(f)|
m(t)
Filtro
Passa-Basso
2cos(2πf0t)
|S(f)|
Si noti che la modulazione
raddoppia la banda occupata
f
m(t ) ← → M ( f )
Fourier
Fourier
s (t ) = m(t ) ⋅ cos(2πf 0 t ) ←
→ S ( f ) =
-f0
f0
1
[M ( f − f o ) + M ( f + f o )]
2
F . P. B .
s (t ) ⋅ 2 cos(2πf 0 t ) = m(t ) ⋅ 2 cos 2 (2πf 0 t ) = m(t )[1 + cos(4πf 0 t )] 

→ m(t )
4
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
f
Tre esempi di trasmissione in banda passante (1)
• La trasmissione radio
d
La dimenzione d risulta dell’ordine di
grandezza della lunghezza d’onda λ.
Un esempio classico di sistema di trasmissione in banda passante e’ la trasmissione
radio: per poter irradiare efficientemente l’energia elettromagentica che trasporta
l’informazione, l’antenna del trasmettitore deve avere dimensioni dell’ordine della
lunghezza d’onda (λ=c/f, c:velocità della luce) delle componenti spettrali del
segnale trasmesso.
Una frequenza di 1kHz corrisponderebbe ad una lunghezza d’onda λ=300 km !
E’ chiaro che, allora, è conveniente i segnali originari in alta frequenza.
f0
5
f
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Tre esempi di trasmissione in banda passante (2)
• La trasmissione multipla di
segnali a divisione di frequenza
0
f0
2f0
f
Un altro motivo per traslare lo spettro dei segnali originari e’ quello di poter
trasmettere, ad esempio su una linea metallica, oltre ad un segnale in banda
base, altri segnali, traslando opportunamente gli spettri per evitare che
interfereriscano tra di loro.
6
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Tre esempi di trasmissione in banda passante (3)
• La trasmissione numerica
su linea telefonica
300 f =1800
0
3400
f [Hz]
Si consideri infine il caso in cui si voglia trasmettere un segnale numerico su
una linea telefonica originariamente progettata per convogliare il segnale
telefonico analogico, che ha componenti spettrali comprese tra 300 e 3400 Hz.
Il canale telefonico presenta dunque una banda passante traslata, sia pur di poco,
rispetto alla frequenza nulla: se si vuole trasmettervi impulsi binari con
componenti spettrali concentrate intorno alla frequenza nulla, occorre adottare
una tecnica di modulazione.
7
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Schema del sistema di trasmissione digitale in banda
passante
bk
ak
Codifica
Rb=1/Tb
y(t)
x(t)
g(t)
Modulatore
Canale +
rumore
â k
Demodulatore
b̂ k
Decodifica
R=1/T
Il canale in banda passante e’ ipotizzato ideale, con banda B, centrata intorno alla
frequenza f0, tale da non introdurre distorsione sul segnale utile.
Il canale introduce rumore additivo gaussiano e bianco, con densita’ spettrale di
potenza N0/2.
Il ricevitore dovra’ realizzare le operazioni inverse del trasmettitore e minimizzare
gli effetti del rumore sulla stima dei simboli trasmessi ak.
8
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Nei sistemi numerici, si tratta di trasmettere in banda passante una sequenza di
simboli emessi dalla sorgente, solitamente binaria, con ritmo di emissione
Rb=1/Tb [bit/s].
In molti casi si costruisce anzitutto un segnale in banda base x(t), cioe’ una
sequenza di impulsi di forma prefissata g(t), ad esempio rettangolare, con
ampiezze ak che possono variare tra M livelli, con ritmo R=1/T simboli/s, dove T
e’ il tempo di segnalazione. Tale segnale entra nel modulatore.
L’uscita del modulatore e’ un segnale y(t) che in ogni intervallo di segnalazione
di ampiezza T, al variare del valore di ak (il pedice ‘k’ indica il generico istante
kT), assume uno tra M segnali in banda passante yi(t) (il pedice ‘i’ in questo caso
indica che gli impulsi sinusoidali elementari yi(t) possibili sono M, tanti quanti i
livelli di ak, ‘i’ varia tra 1 e M).
I segnali yi(t) si ottengono modulando, nell’intervallo di segnalazione, uno o piu’
parametri dell’onda portante al variare di ak.
9
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Sistemi di modulazione binari
Ci sono tre principali metodi di modulazione binaria, noti con gli acronimi ASK
on-off, BPSK e Binary FSK.
Nella modulazione ASK on-off l’informazione binaria
dall’ampiezza dell’onda portante che puo’ valere zero o A.
e’
trasportata
Nella modulazione BPSK, l’informazione binaria e’ trasportata dalla fase
dell’onda portante che puo’ valere zero o π. La modulazione BPSK si puo’
vedere come una modulazione d’ampiezza antipodale (ASK antipodale).
Nella modulazione di frequenza binaria, ai simboli ‘0’ e ‘1’ corrispondono
impulsi sinusoidali, di durata T, con frequenza rispettivamente f1 e f2.
Nei grafici seguenti, si sono indicate con φ0 e φ1 le fasi delle due onde portanti,
che in generale, saranno diverse.
Detta δf la deviazione in frequenza della modulazione, cioe’ la distanza tra le due
frequenze f1 e f2, la frequenza f1 sara’ uguale a f0-δf/2, e f2 sara’ uguale a f0+δf/2.
10
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Sistemi di modulazione binari
0
• ASK on-off
b=1 y1(t)=Acos(2πf0t); 0<t<T
b=0 y2(t)=0.
• BPSK
b=1 y1(t)=Acos(2πf0t);
0<t<T
b=0 y2(t)=Acos(2πf0t+π)=-Acos(2πf0t).
• Binary FSK
b=1 y1(t)=Acos(2πf1t+φ0);
b=0 y2(t)=Acos(2πf2t+φ1).
0<t<T
1
0
1
0
0
T
2T
3T
4T
5T
0
T
2T
3T
4T
5T
0
t
2T
3T
4T
5T
0
0
δf
Detta δf=|f2-f1|, risulta f1= f0 -δf /2; f2= f0+δf /2.
f1
11
0
f0
f2
f
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Modulazione in fase e quadratura
(segnali complessi)
12
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Modulazione per seno e coseno
Si consideri il segnale y(t) costituito dalla somma di due segnali x1(t) e x2(t) moltiplicati
rispettivamente per un coseno (modulazione in fase) e un seno (modulazione in
quadratura) alla stessa frequenza fo :
y (t ) = x1 (t )cos(2πf ot ) + x2 (t ) sin (2πf ot )
I due segnali x1(t) e x2(t) sono reali con la medesima durata e con trasformata di
Fourier limitata nella banda tra -fx e + fx < f0.
Si dimostrera’ che x1(t) e x2(t) sono separabili a partire da y(t)
cos(2πf ot )
x1 (t )
y (t )
x2 (t )
sin (2πf ot )
13
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Demodulazione per seno e coseno
Moltiplicando y(t) per il coseno a frequenza fo (operazione detta demodulazione coerente
in fase) si ottiene:
2 y (t ) cos(2πf ot ) = 2 x1 (t )cos 2 (2πf ot ) + 2 x2 (t ) sin (2πf ot )cos(2πf ot ) =
= x1 (t ) + x1 (t )cos(4πf ot ) + x2 (t ) sin (4πf ot )
Questo segnale contiene 3 componenti di cui una sola, x1(t), a bassa frequenza. Dunque,
e’ sufficiente filtrare passa-basso y(t) moltiplicato per il coseno per ottenere x1(t).
Viceversa, moltiplicando y(t) per il seno a frequenza fo (demodulazione coerente in
quadratura) si ottiene:
2 y (t ) sin (2πf ot ) = 2 x1 (t )cos(2πf ot ) sin (2πf ot ) + 2 x2 (t ) sin 2 (2πf ot ) =
= x1 (t ) sin (4πf ot ) + x2 (t ) − x2 (t ) cos(4πf ot )
Questo segnale contiene 3 componenti di cui una sola, x2(t), a bassa frequenza.
Dunque, e’ sufficiente filtrare passa-basso y(t) moltiplicato per il seno per ottenere x2(t).
14
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Schema del Mo-Demodulatore
cos(2πf ot )
2 cos(2πf ot )
x1 (t )
Filtro PB
x1 (t )
Filtro PB
x2 (t )
y (t )
x2 (t )
sin (2πf ot )
2sin (2πf ot )
15
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Una nota sui segnali ortogonali
Si noti che seno e coseno moltiplicati tra loro non danno luogo a segnali a bassa
frequenza:
sin (2πf ot )cos(2πf ot ) =
1
sin (4πf ot )
2
Dunque, il prodotto tra seno e coseno filtrato passa-basso produce un’uscita
nulla. Per tale motivo i segnali seno e coseno sono detti ortogonali.
Piu’ in generale segnali di potenza finita sono detti ortogonali se il prodotto ha
valor medio nullo.
Segnali con energia finita sono detti ortogonali se l’integrale del prodotto e’
nullo.
16
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Demodulazione complessa
Un modo piu’ compatto per riscrivere la stessa operazione di demodulazione
effettuata in precedenza, e’ quello di ricorrere ad una rappresentazione complessa.
Moltiplicando y(t) per l’esponenziale complesso a frequenza fo si scrivono in un colpo
solo sia la moltiplicazione di y(t) per il coseno sia quella per il seno:
2 y (t ) exp( j 2πf ot ) = 2 y (t ) cos(2πf ot ) + j 2 y (t ) sin (2πf ot )
Le uniche differenze rispetto a prima sono che:
1 - il segnale e’ unico, ma complesso (prima ne avevamo due reali)
2 - la moltiplicazione per il coseno e’ sulla parte reale e quella per il il seno sulla
parte immaginaria.
Filtrando passa-basso il segnale complesso, si ottengono ancora le due componenti
x1(t) e x2(t), una come parte reale e l’altra come parte immaginaria del segnale
complesso :
x1 (t ) + jx2 (t )
17
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Schema del Mo-Demodulatore complesso
cos(2πf ot )
x1 (t )
y (t )
x2 (t )
Filtro PB
x1 (t ) + jx2 (t )
2exp( j 2πf ot )
sin (2πf ot )
Si noti che anche la modulazione puo’ essere rappresentata matematicamente in
modo compatto usando il segnale complesso x1(t)+jx2(t). Infatti si ha:
y(t) = Re{(x1 (t) + jx 2 (t))exp(− j 2πf ot )}
18
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Un esempio (i segnali in banda base)
Supponiamo che Ax1(t) e Bx2(t) siano i due segnali in “banda base” (cioe’
passabasso) a banda e durata limitata con ampiezza massima A e B in t=0.
x1(t) e x2(t)
1.5
A= 1
1
0.5
0
-0.5
-1
B= -1
-1.5
-100
-50
0
19
50
100
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Un esempio (i segnali modulati in fase e quadratura)
A valle del Modulatore per A=1 e B=-1 otteniamo i seguenti segnali
1
0.5
cos(2πf ot )
0
-0.5
x1 (t )
-1
-100
2
0
100
y(t )
x2 (t )
0
1
sin(2πf ot )
1
-1
0.5
-2
-100
0
0
-0.5
-1
-100
20
0
100
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
100
Un esempio (il segnale demodulato)
A valle del demodulatore (sempre per A=1 e B=-1 ) otteniamo il seguente segnale
Parte reale
2
Parte reale
2
0
0
-2
-2
Parte immaginaria
-100
0
y (t )
Parte immaginaria
100
Filtro PB
-100
0
100
x1 (t ) + jx2 (t )
Il filtro Passa-Basso elimina le componenti oscillanti delle parti
reale e immaginaria, lasciando passare il valor medio locale.
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
2exp( j 2πf ot )
21
Demodulazione complessa e campionamento
Supponiamo che i due segnali x1(t) e x2(t) siano due seni cardinali (quindi a banda
limitata) con ampiezza massima A in t=0.
x1(t) e x2(t)
A
AT
Trasformata di Fourier
-T
T
t
-1/2T
X1(f) e X2(f)
1/2T
f
Se campioniamo il segnale complesso x1(t) + j x2(t) a passo T, otteniamo:
 A + jA
x1 (nT ) + jx2 (nT ) = 
0
in n = 0
in n ≠ 0
Abbiamo dunque ottenuto un numero complesso la cui parte reale e’ uguale al
massimo del segnale x1(t) e la cui parte immaginaria e’ uguale al massimo del
segnale x2(t).
22
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
La costellazione di M valori complessi
Naturalmente, se utilizziamo diversi valori di ampiezza dei seni cardinali, otteniamo
diversi numeri complessi.
in n = 0
 x (0 ) + jx2 (0 )
x1 (nT ) + jx2 (nT ) =  1
in n ≠ 0
 0
x1 (0 ) = -2 A ; x2 (0 ) = A
Im
(componente in
quadratura)
Nell’esempio qui a fianco, si mostrano i
M=25 numeri complessi che si possono
ottenere combinando 5 valori di
ampiezza del seno cardinale compresi
tra -2A e +2A sia sulla parte reale (x1(0))
sia su quella immaginaria (x2(0) ).
A
A
L’insieme dei valori complessi ottenibile
viene detta costellazione.
Re
(componente
in fase)
La struttura della costellazione puo’
avere forme differenti, ma solo alcune
vengono utilizzate in pratica come
vedremo piu’ avanti.
23
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
La costellazione QAM a 16 livelli
Una costellazione molto utilizzata per la trasmissione di segnali numerici e’ quella della
Quadrature Amplitude Modulation (QAM) di cui si riporta l’esempio per M=16.
Nello schema qui a fianco, si mostrano i
M=16 numeri complessi che si possono
ottenere combinando 4 valori di
ampiezza del seno cardinale compresi
tra -3A e +3A a passo 2A sia sulla
parte reale (x1(0)) sia su quella
immaginaria (x2(0) ).
Im
3A
A
A
3A
24
Re
Un parametro importante (come si
vedra’ piu’ avanti) e’ la distanza minima
tra due valori complessi della
costellazione.
In questo caso, banalmente:
d min = 2 A
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
La costellazione MPSK a 8 livelli
Un’altra costellazione molto utilizzata per la trasmissione di segnali numerici e’
quella della Multiple Phase Shift Keying (MPSK) di cui si riporta l’esempio per M=8.
Nello schema qui a fianco, si mostrano gli M=8 numeri
complessi che si possono ottenere combinando 4 valori
di ampiezza del seno cardinale x1(t) e 4 valori di x2(t)
Im
x1 (0)
A cos(π / 8)
A cos(3π / 8)
A cos(− 3π / 8)
A cos(− π / 8)
A cos(− π / 8)
A cos(− 3π / 8)
A cos(3π / 8)
A cos(π / 8)
A
d min = 0.76 A
Re
25
x2 (0)
Asin(π / 8)
Asin (3π / 8)
Asin(3π / 8)
Asin(π / 8)
Asin (− π / 8)
Asin(− 3π / 8)
Asin(− 3π / 8)
Asin(− π / 8)
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
La costellazione MPSK
Una caratteristica importante della costellazione Multiple Phase Shift Keying e’ che il
modulo dei campioni complessi a valle del campionatore e’ costante.
Im
n=3
n=2
A
n=4
n=1
d min = 0.76 A
n=5
Re
n=8
n=6
26
In questo caso si tocca con mano
la maggior comodita’ della
rappresentazione complessa.
Gli M livelli si scrivono in modo
molto compatto:
x1 (0) + jx2 (0) =
 2π (n − 1 2 ) 
= A exp j

M


con 1 ≤ n ≤ M
n=7
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Trasmissione numerica in banda passante (1)
Per ottenere una forma d’onda numerica da trasmettere in banda passante quindi
è sufficiente modulare (in fase e in quadratura, per un completo uso della banda
disponibile). Dati due segnali numerici in banda base
x1(t)=Σa1k g(t-kT) e x2(t)=Σa2k g(t-kT)
si genera e si trasmette il segnale in banda passante
x1(t) cos(2πf0t) + x2(t) sin(2πf0t) = Σa1k g(t-kT) cos(2πf0t) + Σa2k g(t-kT) sin(2πf0t)
In ricezione si demodula in fase e quadratura: si riottengono i segnali in banda base
(senza interferenza reciproca) e poi si procede come già visto.
Si potrebbero eseguire le correlazioni direttamente in banda passante, ma è più semplice
procedere in due passi: demodulazione e correlazioni in banda base.
In pratica, data una sorgente binaria che emette ad un ritmo prefissato di R bit al secondo
(segnali ak), i dati vengono suddivisi in due flussi di R/2 b/s (a1k e a2k) su ciascun
asse. Si generano poi i segnali numerici in banda base e si modula in fase e quadratura.
Si osservi che la modulazione comporta un raddoppio della banda occupata, ma in banda
base la banda richiesta è dimezzata perché R è dimezzato. Dunque la trasmissione in
banda passante richiede esattamente la stessa banda della trasmissione in banda
base. Se non si utilizzassero entrambe le componenti in fase e quadratura la banda
richiesta raddoppierebbe.
27
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Trasmissione numerica in banda passante (2)
Per quanto riguarda le prestazioni basta osservare che in presenza di rumore
gaussiano bianco la probabilità di errore non dipende dalla forma d’onda (né in
particolare dalla banda occupata) ma solo dall’energia. A parità di energia e
densità spettrale del rumore si ha esattamente la stessa probabilità di errore della
trasmissione in banda base (N.B.: non si dimentichi che g(t) cos(2πf0t) ha metà
dell’energia di g(t); per trasmettere la stessa energia per bit d’informazione occorre
moltiplicare l’ampiezza per la radice di 2).
Per essere del tutto convinti che nella trasmissione in banda passante non cambi
veramente nulla (per quanto riguarda la probabilità di errore) occorre mostrare che
i campioni del rumore ottenuti dalle due correlazioni (in fase e in quadratura) sono
statisticamente indipendenti. Per semplicità qui ci si limita ad affermarlo.
La trasmissione di dati sulle due componenti in fase e quadratura è quindi del tutto
indipendente (è come avere due mezzi trasmissivi separati!).
28
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Trasmissione numerica in banda passante (3)
Se la trasmissione è binaria su entrambe le componenti (si dice anche “su entrambi
gli assi”) il “simbolo” a1k g(t-kT) cos(2πf0t) + a2k g(t-kT) sin(2πf0t) si può presentare in
quattro configurazioni. Analogamente se la trasmissione è a quattro livelli su ciascun
asse si hanno sedici possibili segnali corrispondenti a un simbolo. Si usa
rappresentare le possibili coppie (a1k,a2k) come “costellazioni” di punti su un piano,
ovvero di numeri complessi: infatti basta ricordare che
a1k g(t-kT) cos(2πf0t) + a2k g(t-kT) sin(2 πf0t)=Re{(a1k-ja2k) g(t-kT) exp(j2πf0t)}
Costellazioni QAM (Quadrature Amplitude Modulation):
29
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Uso delle costellazioni di segnali complessi
Utilizzando la modulazione in fase e quadratura, possiamo sovrapporre nella stessa
banda di frequenze M segnali che, una volta demodulati e campionati producono M
numeri complessi che formano la costellazione.
Possiamo associare agli M punti della costellazione una qualsiasi configurazione di
N=log2M bit che possono essere trasmessi contemporaneamente sullo stesso canale.
......1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 …..
Simboli di 4 bit
Im
3A
A
Re
A
3A
30
Ad esempio, se usiamo una costellazione QAM con
M=16 punti, possiamo trasmettere “simboli” di
N=log216=4 bit contemporaneamente sullo stesso
canale.
ATTENZIONE: il numero M di punti della costellazione
non e’ necessariamente legato al numero K di livelli del
segnale quantizzato.
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Schema del sistema di trasmissione
......1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 …..
Im
a1k = −3 A
a2k = 3 A
Simbolo da 4 bit da trasmettere
3A
A
Re
A
a1k a2k
g (t )
cos(2πfot )
Ts=NT e’ detto
tempo di simbolo
3A
a1k g (t )
y (t )
g (t )
canale
Filtro PB
a2k g (t )
2exp( j 2πf ot )
sin(2πf ot )
a1k g (t ) + ja2k g (t )
Filtro adattato e
campionatore
a1k g (nTs ) + ja2k g (nTs )
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
a1k + ja2k = −3 A + j3 A
31
Effetto del rumore sommato al segnale ricevuto
Si consideri la trasmissione di simboli da N=log2M bit utilizzando un segnale g(t) scalato
con i coefficienti a1k e a2k come descritto nello schema del sistema di trasmissione.
Adottiamo la notazione complessa ck = a1k +j a2k.
Assumiamo che la trasmissione del segnale g(t) sia disturbata solamente dal rumore w(t)
introdotto dal canale, e cioe’ che al ricevitore, a valle della demodulazione complessa,
arrivi il segnale:
ck g (t ) + w(t )
Il rumore w(t) introdotto dal canale modifica sia la componente in fase che quella in
quadratura del segnale desiderato ck g(t) e quindi e’ complesso.
Abbiamo gia’ visto che, campionando il segnale complesso ricevuto si ottengono i punti
della costellazione ck=ck g(0), in assenza di rumore.
L’addizione del rumore cambia il valore complesso ricevuto ck + w(nTs) . L’effetto di tale
cambiamento e’ uno spostamento nel piano complesso del valore ricevuto rispetto a ck .
32
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Effetto del rumore sulla costellazione ricevuta
Il rumore w(t) introdotto dal canale ha valor medio nullo e una distribuzione delle
ampiezze di tipo gaussiano sia sulla parte reale sia su quella immaginaria. I valori
misurati in prove ripetute si distribuiscono circolarmente attorno ai valori nominali cm .
I valori nominali ck della
costellazione 16-QAM
sono indicati con
33
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Energia di simbolo ed energia di bit
L’energia associata ad ogni simbolo Es e’ data dall’energia Eg della forma d’onda g(t) ,
moltiplicata per il quadrato del modulo del punto della costellazione:
2
Es = ck E g
Ad esempio, nel caso delle costellazioni 4-QAM l’energia associata ad ogni simbolo vale:
2
d min
Es =
Eg
2
Se il simbolo e’ formato da N bit, si puo’ dire che l’energia Eb associata
al singolo bit e’ uguale a quella di simbolo Es divisa per N.
Eb =
Es
N
N = log 2 M
Im
(C2= -A+jA)
(C1= A+jA)
dmin
Ad esempio, nel caso delle costellazioni 4-QAM l’energia
associata ad ogni simbolo vale:
2
E s d min
=
Eb =
Eg
2
4
34
Re
(C3= -A-jA)
(C4= A-jA)
dmin
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Probabilita’ di errore nel caso 4-QAM
Nel caso della costellazione 4-QAM La probabilita’ di errore di simbolo assume la semplice
espressione:
 d2 E

min g
Psym = 2Q
2N 0



 Es 
 2Eb




 = 2Q N  = 2Q N

0
0




Si noti che se si sbaglia un simbolo con uno vicino si
commette errore su uno solo dei 2 bit che compongono il
simbolo: la probabilita’ di errore del bit e’ la meta’ di
quella del simbolo.
(A+jA)
(-A+jA)
dmin
 Es 

 = Q 2 E b
Pb = Q
 N0 
 N0











10
10
10
10
10
(-A-jA)
(A-jA)
10
dmin
-2
-4
-6
-8
-10
-12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Eb/N0 [dB]
35
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Probabilita’ di errore nel caso M-QAM
Nel caso di una generica costellazione M-QAM (M=L2, costellazione
quadrata) la probabilità d’errore sul bit è data dalla seguente relazione:
M − QAM ; M = L2 = 2 N
L2 − 1  d min
Es = 2

3  2
2
L2 − 1 2

d min E g
 E g =
6

Es
N
 3 log 2 L 2 E b
Pb ≅ Q
 L2 − 1 N 0

Eb =
36




Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Costellazioni PSK
In banda passante si possono utilizzare anche costellazioni ottenute combinando
livelli non indipendenti sui due assi. Ad esempio la costellazione 8-PSK (Phase Shift
Keying) ha nel piano complesso otto punti con ugual modulo e con fasi equispaziate:
 2E S
π 
M − PSK : Pb ≈ Q
sen 
 N0
M 

La costellazione 4-PSK coincide con la 4-QAM già vista (ed anzi è più nota con
questa denominazione). La costellazione 8-PSK può dare buone prestazioni solo in
sistemi di trasmissione che utilizzino anche dei “codici” (ma questo argomento è
tutt’altro che elementare). Costellazioni PSK con più di otto punti sono rarissime.
37
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Sistemi M-ASK
E’ possibile realizzare anche sistemi in cui viene utilizzata una sola
portante (seno o coseno) e tale portante viene modulata con un segnale
base che può assumere M livelli. In questo caso siamo in presenza di un
sistema multilivello (già analizzato) traslato in frequenza (intorno alla
frequenza f0).
Es
Eb
2
− 1  d min
=

3
 2
Es
=
lg 2 M
M

Q
Pb ≈
lg 2 M 

2
38
2

 E

 3 ⋅ lg 2 M

2
 M
=
g
 2Eb

 N0
M
2
12


 ≈ Q




−1
2
d min
E
 3 ⋅ lg 2 M

2
 M
g
 2Eb

 N0




Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Banda occupata per la trasmissione
Si consideri una sorgente binaria con una cadenza di R [bit/s] e la sua trasmissione su un
canale di tipo bassa-banda con banda B.
Per trasmettere un segnale g(t) del tipo seno cardinale senza interferenza intersimbolica a
passo di lettura T=1/R, e’ necessario che la banda B del segnale (e dunque quella del
canale) sia almeno pari a: (1/T). Il doppio rispetto alla trasmissione in banda base.
Nel caso si vogliano utilizzare forme d’onda a con trasformata a coseno rialzato si avrà:
B=(1/T)(1+α)=R(1+α), α fattore di roll-off .
Con una costellazione a M punti possiamo trasmettere contemporaneamente N=log2M bit.
Dunque in totale la banda necessaria alla trasmissione sarà:
B=(R/N)(1+α)
39
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Confronto tra costellazioni
II sistemi di trasmissione numerici presentano diverse caratteristiche per quanto
riguarda l’utilizzazione della banda di canale B e la potenza di trasmissione
richiesta.
Si consideri una sorgente binaria con una cadenza di R [bit/s] e alla sua
trasmissione su un canale di banda B.
Definiamo come parametro di efficienza nell’utilizzazione della banda il
rapporto R/B [bit/s/Hz] detto efficienza di canale.
Abbiamo visto in precedenza che:
1- per trasmettere un segnale g(t) del tipo seno cardinale senza interferenza intersimbolica
a passo di lettura T, e’ necessario che la banda B del segnale (e dunque quella del canale)
sia almeno pari a 1/T.
2 -La cadenza di bit al secondo R e’ uguale a 1/T
3 - Con una costellazione a M punti possiamo trasmettere contemporaneamente N=log2M
bit.
Dunque, al massimo:
40
R
B
= N = log 2 M
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Confronto tra costellazioni M-QAM e M-PSK
Per un dato valore di probabilita’ di errore di bit, e’ interessante riportare su un grafico,
l’efficienza di canale R/B ottenibile per diversi tipi di costellazione e il valore di Eb/No
che consente di ottenere la probabilita’ di errore fissata.
6
4
Lim
ite
di
Sh
an
no
n
R/B 8
64
M-PSK
32
16
16
8
Pb = 10 − 5
4
2
0
M-QAM
0
10
20
Eb
(dB)
30 N 0
I valori riportati su questo grafico sono decisamente peggiori di quelli ottenibili, anche in
pratica, utilizzando sistemi più efficienti per “codificare” i segnali da trasmettere.
Nei moderni sistemi di trasmissione numerica le prestazioni si avvicinano molto al limite
teorico individuato da Shannon già a metà del secolo scorso.
41
Fondamenti di Segnali e Trasmissione
Potenza media ricevuta e trasmessa
Abbiamo visto che per garantire una certa probabilità d’errore è necessario
garantire una energia media per bit (Eb).
Ipotizzando un ritmo di trasmissione R=1/T, possiamo dire che sarà necessario
ricevere una potenza media di segnale pari a:
Pr=Eb/T= EbR
Ipotizzando inoltre un canale trasmissivo caratterizzato da una attenuazione (γ)
costante nella banda di interesse possiamo ricavare anche la potenza in
trasmissione:
Pt =Pr γ
Si ricorda che γ è in genere molto grande (>>1) si ha infatti γ=1/K dove K è il
guadagno (minore di 1) del mezzo trasmissivo.
42
Fondamenti di Segnali e Trasmissione