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COMUNICAZIONI
hG. E. pmTOLESI
NUOVI INDIRIZZI E SVILUPPI
DELLA. TEORIA. DELLE ELICHE
,I)
In nna conferenza tenuta il 25 gennaio 1921 all' A. 1. D. A. chi scrive
ebbe l'ollore di illustrare in brel'e quelli che sembrav"no esssere allora i
cardini di una teoria delle eliche indirizzata per In stessa via in cui
PRANDTL e i suoi collaboratori della scuola di GÒTTINGEN avevano con si
felici risultati indirizzata lo. teoria dei sistemi portanti.
Riassumo brevemente questi punti fondamentali :
1° LJelica produce un -campo di vortici, fra i qua.li occorre distinguere i vOt'tici aderenti e i t'ortici liberi. l primi costituiscollo un aistema
di vortici che possono sostituirsi alle pale dell' elica o, se si vuole, che accompagnano e rivestono le poJe dell'elica e nascono dallo scorrimento del
fiuido rispetto alla pala. Se la pala è sottile, al sistema di vortici aderenti
che la ricopre può sostituirsi un unico t'ortice aderlmte.
I vortici liberi invece sono quelli che finiscono liberamente nel fluido.
Questi, per un teorema che estende al caso dell'elica un noto teorema del
moto permanente, debbono seguire le linee di corrente del moto rifento ad
una terna d'assi rigidamente connessa. con l'elica.
Approssimativamente essi hanno l'andamento di eliche con passo uguale
all'avanzo dell'elica.
I vortici liberi naSCODO là dove si ha una v"riazione della circnit"zione
lungo la pala. Se passando dal raggio r al raggio r + dr la circnitazione
varia di dr, nel tratto d,' filusce un filetto vorticoso di intensità dr.
2' I vortici liberi e i vortici aderenti producono un campo di velocità
indotte che si aggiungono alla velocità iniziale uniforme V, della corrente.
(I) Comunicnziono presentata nella seduta del 15 luglio 1922.
•
-
29-
Tali velocità incrementali hanno componenti radiali, tangenziali ed
assiali.
Se consideriamo le velocità indotte dai soli vortici liberi, si dimostra
che gli incrementi di velocità subiti dall'aria quando giunge al disco spa.zzato dall'elica sono metà deglI incrementi cerrispondenti a distanza infinita
dopo l'elica. Conclusione questa che conferma ed estende il noto teorema
di FROllOE, con questo, che la sezione contmtta, alla quale si suoi fare riferimento nel teorema di ERODDE, è la sezione a distanza infinita a valle
dell' elica.
3' Gli incrementi indotti dai vortici liberi producono in cOl'l'ispoudenza di ogni sezione dell'elica un cambiamento nella velocità relativa
dell'aria e della sezione, cambiamento che influisce a sua volta sul valore
delle azioni aerodinamiche.
Tale influsso è perfettamente analogo a quello dei vortici marginali sulle
caratteristiche aerodinamiche di un profilo portante. In tal caso, com'è noto,
rn
r< -Wl
:n.n-wll
Fig. l
esso è funzione dell'alluugamento alare ed è nullo per allungamento infinito.
La fig. l chiarirà la cosa.
Se non si tiene conto degli incrementi, la velocità relati,a della sezione e dell'aria Il W. (l'clocità relativa apparente) composta di Vo e di
,. Il (r = raggio della sezione, Q = velocità angolare dell'elica); tenuto conto
degli incrementi v' assiale e ,,' l' "" tangenziale (I), la velocit" relativa
diviene
(l'elocità "elativa etrettilla).
Se gli incrementi sooo piccoli (ciò che è necessario supporre, almeno
io prima approssimazione) potrà trascurarsi la differenza eventnale fra la
grandezza di lIr, e quella di W'; ma non potrà ce1'lo trascurarsi il cambiamento dell'incidenza che da «o si mnta in «, essendo la differenza (in
meno) rappresentata dall'angolo ", che chiameremo incidenza indotta.
nn
=
(I) Quello radiale è generalmente trascurabile.
~o
-
40 Se non vi fosse incidenza indotta, la spinta e la l'esistenza per
ogni elemento di pala sarebbero da calcolarsi in ba"" alla velocità relativa
originaria W, e alle caratteristir.he intrinseche del rispettivo profilo, cioè
alle caratteristiche che competono ad un'ala di allungamento infinito
avente quel profilo come sezione retta.
Ora l'influsso della incidenza indotta può essere valutato in due modi:
a) riferendoci ancora alle caratteristiche iutrinseche del profilo (quelle
cioè spettanti ad allungamento infinito), ma alla velocità relativa effettiva
W'; v) riferendoci alla velocità relativa originaria W., ma attribuendo
al profilo della sezione un appropriato allunga,nento virtuale, e precisamente quell'allungamento che in un'ala di uguale profilo, a parità di incidenza apparente. darebbe origine ad una incidenza indotta uguale ad«,.
Già nella surricordata conferenza accennavo come questo doppio punto
di vista permette di superare il vecchio dibattito relativo alla valutazione
degli incrementi (l'état dynamiqtte préulable di SOREAO) , in merito al quale
la scuola di DRZEWIECKI si distingueva nettamente dalla scuola inglese
(RIACH, FAGE ecc.) recentemente completata dal JE BOTHEZAT.
L'una sosteneva che gli incrementi di velocità che l'aria ba subito allorcbè giunge alle pale (al disco, come suoi dirsi) non deve computarsi
nel calcolo della velocità relativa e dell'incidenza, l'altra sosteneva il punto
di vista contrario.
Come il lettore può giudicare dagli accenni fatti, ambecl ue le Bcuole
avevano, si può dire, una parte di torto ed una parte di ragione. Soltanto le ricprcbe della Bcuola di Gottinga sui sistemi portanti, mettendo ih chiaro l'influsso dell'allungamento, hanno permesso di trovare la chiave del problema.
Ciò cbe difettava, iufatti, in ambedue i punti di vista era un'esatta
nozione dell'allungamento d" attribuire alle sezioni ,li pala (allungamento
'Virtuale). In mancanza di una. direttiva. razionale si assumevano per esso
valori affatto empirici (ad es. il rapporto fra il raggio dell'elica e la larghezza della sezione o fra il l'aggio e la largbezza media della pala); ma
l'esame rigoroso della questione ha dimostrato tale modo di procedere assolutamente fallace. Vediamo in breve qual'è li, \'era via da seguire.
Per il calcolo degli incrementi, e quindi di «" servono i teoremi della
qultntità di moto e del momento della quantità di moto, i quali possono peraltro essere sostituitI dal teorema di KU1'TA-JOUKO\VSKI cbe ho dimostrato essere applicabile al caso dell'elica, benchè il moto fluido prodotto
dall'elica non sia un moto permanente (I).
Ciò naturalmente richiede ipotesi semplificative, le principali delle
quali SOllO:
a) sostituire all'elica reale con un numero finito n di pale un'elica
(I) R. Ace. doi Lincei. - Nota in corso di stampa. I: Le equazioni del moto dei
fluidi applicate al campo di velocità prodotto dall'elica • .
- al con infinite pale infinitesime regolarmente distribuite su tutto il disco,
con effetto complessivo uguale a quello delle pale reali.
b) supporre che gli incrementi siano piccoli rispetto ai valori originari delle velocità (in particolare ~ piccolo di fronte a V,) in guisa da
poter tralasciare nei calcoli le potenze superiori alla prima dei rispettivi
rapporti e da poter considerare la scia come cilindrica, trascurandone la
contrazione.
c) trascurare la depressione che si produce nell'interno della scia
per effetto della velocità tangenziale che vi regna (il hen noto effetto della
depressioue nell'interno di un' nucleo Yorticoso).
Con queste ipotesi, lecite in uno studio di prima approssimazione e
indispensabili per avviare tale studio a soluzioni pratiche, si giunge ad interessanti conclusioni.
L'incremento w' risulta potersi ritenere perpendicolare W, (qùando
occorre, data la piccolezza delFangolo W o W', Bi può ritenere anche per-
pendicolare a W,) e se indichiamo con W, (fig. 1) la velocità incrementata
finale, quale si ha cioè in una sezione praticata all'infinito a valle dell'elica, l'oichè l'incremento totale 10, è uguale al doppio dell'incremento
vi al disco, risulta evidentemente Wl = l'V, e quindi la direzione di W'
bisettrice dell'angolo TV, TV,. Si ha cioè una conclusione che, a ben guardare, era già implicitamente contenuta nella classica nota di CROceO ('),
nel caso in cui si trascurino -
come noi ora. trascuriamo -
le perdite
dovute alla resistenza intrinseca del profilo, provenienti, com'è noto, dall'attrito e dall'effetto KÀRMAN. Conclusione che può esprimersi nei termini
seguenti: l'aria passando sulla pala d'elica è deviata, ma non rallentata.
'rale conclusione, non occorre dirlo, vale solo per approssimazione.
Procedendo si trova l'espressione dell'allungamento virtuale A
dove il significato del simbolo ~ risulta dalla fig. 1 ed 7 poi indica la larghezza complessiva dell'elica (ossia la somma delle larghezze di tutte le
pale costituenti l'elica) al raggio r.
Una osservazione da fare a questo proposito si è che l'allungamento
virtuale è influenzato, non dalla larghezza di una sola pala, ma da quella
complessiva di tutte le ]lale.
Anzi (ed è ciò una conseguenza evidente del procedimento adottato)
un aumento nel numero delle pale è equivalente ad un aumento nella larghezza delle pale esistenti che conduca alla stessa larghezza complessiva.
(') Cap. G. A. CRoato /I Sulla te01'ia analitica delle eliche e su alcuni metodi
sperimentali li , c Rendiconti delle esperienze e degli studi eseguiti ne11922 li, Stabilimento di e~perie?ze e costruzioni aeronautiche dcI Genio - Roma 1912.
Yedasi il § 14 di detta nota (Relm:i01li geometriche). Interessante anelle il § 13
(Gonsidet'ozioni meccaniche) ave è abbozzata. un'eleg-ame analogia elettromagnetica
che da.i recenti studi sllll'indllzione aerodinamica. ricc\'o una brillante conferma.
-
32-
Questi risultati, valevoli, è vero, per approssimazione e nella misura
in cui è consentito sostitnire all'elica con numero finito di pale (e quindi
COli campo di velocità variabile da meridiano a meridiano) un'elica di infinite pale (e quindi con campo uniforme Su ogni circonferenza concentrica all'elica) questi risultati, dico, gettano viva luce sul problema del
mutuo influsso delle pale, che tanto ha afIatic",to la mente degli studiosi,
noncbè sull'altro problema, non meno importante ed oscuro, dell'influsso
della larghezza di pala.
Ambe,lue i problemi appaiono ora sotto una stessa luce e ricevouo,
con la considerazione dell'allungamento vÌltuale, la giusta soluzione.
Sarebbe qui interessante esaminare quali errori si commettevano allorchè si fissava l'allungamento virtuale con i criteri empirici cni ho più
sopra accenuato; ma la brevità di questa comunicazione non lo consente
e lascio al lettore cui ciò interessi la uon grave fatica..
•
**
Un problema di notevole interesse teorico, che si riconne!te con problemi analoghi della teoria delle ali, è lo. detel·minazione di quella, fra le
possibili distribuzioni degli incrementi, cbe realizza la condiziono di minima
perdit" di euergia, esclusa beninteso, la perdita dovuta alla resistenza intrinseca (atu·ito, effetto KAR~(À.N); tenendosi cioè unicamente conto delle perdite
dovute all'incremento di forza viva conferito all'aria traversante il disco.
Ora questo problema fu già risolttto dal BSTZ (') il quale trovò la
condizione essere la. seguente: che l'antiproiezione di U,I (che si considera
normale a lVo) nella direzione V, sia costante per tutta l'elica, il che
significa essere W' In. distanza fra due superficie elicoidnli uguali, spostate
l'una rispetto ,,1I'altra nella direzione nssiale V~ Chiunque sia al correote
della teoria delle ali portanti secondo la scuola di Gottinga, avvertirà subito l'analogia fra questo teorema e altri che si dimostrano in detta teoria.
Se ne deduce la legge di distribuzione di v' e di u' --::: r "" (che è poi,
salvo il fattore' f" lo. stessa che per v, e ", = ,. "',) lungo il raggio r. Essa
è rappresentata dal diagramma della fig. 2, t,.,.!to pieno.
il ,liagramllla di ,,', in scala opportuna, mppresenta auche il diagramma dell'inciden", indotta x,. Ciò si ricava dall'esame clei due triangoli simili dell" fig. 1: il primo avente per lati r Il, V, e 11"" il secondo
rispettivamente v', t't.l' e u/. 1::)e ne deduce 1.o'llVa :-= ~i = r (u'IVo ciò che
dimostra 1'asserto. (')
Ciò vale per l'elica a,l infinitA pale. Il BSTZ peraltro ha dimostrato
in generalo il suo teorema. con eleganti considerazioui sintetiche, che estendalla al caso dell'elica considerazioni analoghe escogitate dal PaANDTL per
(I) Schraubenpro}Jpller mi{ gfJring.9fem Energieverlusf, ,K. G0901lscbaft der
Wissenseha.ften » . GHttiugen. lf)l9.
(I) TI diagramma v', prolungato, risulta asintotico alla retta sognata & tratto
6 punto nella figura.
-
33 -
i sistemi portanti. Il risultato è questo: che, nel caso in cui il numero
delle pale è finito, le velocità indotte sono quelle stesse che si ecciterebbero nell' aria per il moto traslatorio, in direzione assiale, delle superficie
elicoidali indefinite lasciate coroe traccia dalle pale nel loro moto, supposte
tali superficie solidificate. Partendo da questo risultato, il PRAND1"L in una
aggiunta alla citata Nota di BE'rz ba determinato in via di approssimazione la velocità (v') media alle varie distanze del centro, velocità che è
naturalmente proporzionale alla spinta media per unità di superficie.
li diagramma ha in tal caso l'aspetto indicato in fig. 2, con linea a
tmtti Può vederai il confronto col caso delle infinite pale (linea piena).
***
Oltre il caso in cui la distribuzione degli incrementi realizza la perdita
minima di energia, vi sono altri casi assai interessanti.
Li enumeriamo:
l' caso in cui v' è costante. La spinta è uniformemente ripartita
stùla superficie del disco.
La considerazione dei soliti triangoli simili della fig. 1 dimostra che
u' è inversamente proporzionale ..d r. L.. distribuzione della velocità tangen-
r
r
,
u·
o."
o""'------'- o'--___L - _
Fig. 2
Fig. S
ziale è adunque quella che corrisponde alla pre.cnza di un nnico vortice
centrale. Si dimostra che questo è il caso in cui la circuitazione r dei vOrtici aderenti è costante lungo tutto il mggio. La distribnzione di v' e u'
è rappresentata in fig. 3. Come già si è osservato, il diagramma u' , in senla
opportuna, rappresenta anche 2.,.
2" caso in cui (.tI' è costante e quindi u' è proporzionale al ragA'io.
In tal caso, dai soliti triangoli simili, si ricava che v' è proporzionale
ad r', ossia la spinta unitaria cresce in proporzione del quadrato del raggio.
La distribuzione degli incrementi è rappresentata in fig. 4.
L'incidenza indotta «, cresce in ragione diretta del raggio.
3° caso in cui l'incidenza indotta è costante, ~J == cost., e quindi u' =cost.
3
-
34-
Segue che ,,' è proporzionale al raggio.
La distribuzione degli incrementi è rappresentata in fig. 5.
In questi tre casi semplici spinta e coppia si esprimono con formule
molto semplici in funzione della quantità che, in ognuno dei tre casi, è
costante. E precisamente, se indichiamo con T la spinta, con O la coppia
e introduciamo le notazioni :
V
r= RQ
T
otteniamo nei tre casi:
1° caso:
2° caso:
X
't=-=
r
VI
1t
r' -V; =
2
7.
r
v'
V.
(1)
"', =
12
(2)
3° caso:
(3)
TI rendimento ? =, r/x risulta nei tre casi uguale ad 1. Oiò è conseguenza, Llon solo delFaver trascurato la resistenza intrinseca delle sezioni, ma anche del procedimento approssimato con cui si sono ricavate
r
r
0 "'-------'--Fig. ti
le formule; procedimento che viene, in ultima analisi, a considerare
l'azione elementare come pe"pendicolare a W •. Abbiamo visto che ciò sarebbe giusto se non esistesse l'effetto dell'induzione. Tale eft'etto è di inclinare l'azione elementare d F, la quale anzichè essere perpendicolare a
W. (velocità relativa apparente) è perpp,ndicolare a W' (velocità relativa
effettiva), ossia inclinata di ., rispetto allo. normale a W o' Partendo da
questa considerazione, il lettore facilmente scorgerà (fig. 1) che per avere
la spinta e la coppia. occorre alle espressioni sopra indicate, cbe rappresentano nei tre ca.si il contributo della componente d F. normale a W"
-
35-
aggiungere i contributi della componente dE., (resistenza elementare
indotta) parallela in direzione" W, e uguale in grandezza al prodotto
dE. per -.
Il calcolo non presenta difficoltà. Per essere brevi ci limitiamo al
terzo ca.so, in cui si trovano i contributi seguenti, che indichiamo con
1'inclice 2 :
dO\'e con " e x, si indicauo i coefficienti relativi ai valori di T e di C
precedentemente considerati, quali si banno cioè astraendo dall'influsso delle
resistenze elementari indotte d F ...
li<
•*
Le precedenti considerazioni e le formule cbe si sono scritte costituiscono il punto di partenza per la risoluzione di quello che è il problema
fondamentale della teoria analitica delle elicbe : determinare i diagrammi
caratteristici di un' elica geometricamente definita.
Per diagrammi caratteristici si possono prendere i diagrammi di or e x
in funzione del coefficiente d'avanzamento y, dove 't'e x si riferiscono stavolta alla spinta complessiva e alla coppia complessiva, tenuto cioè conto
dell'iuduzione. dell'attrito ecc.
Intanto la prima via che si presenta scaturisce dall'aver definito e determinato l'allungamento virtuale di ogni sezione. Allora, data lo. condizione
di funzionamento, cioè y, si possono determinare i coefficienti di spinta e
di coppia, 't'e x, con i consueti procedimenti di integrazione numerica o
grafica come nell'ordinaria. teoria analitica, con l'avvertenza di usare per
i coefficienti "I.. e"l.. delle sezioni i valori relativi all'allungamento virtuale
delle sezioni stesse, valori deducibili nel modo noto dai valori sperimentali
relativi ad un allungamento determinato.
Il metodo 1m il solo iuconveniente, non lieve però, di essere lnngo e
gravoso di molte calcai azioni e però si p"esenta spontaneo il desiderio di
metodi approssimati che consentano di giungere più rapidamente allo scopo.
Ma le d,fficoltà che si presentano per questa via, pur facendo uso di ipotesi sempliticative, non possono esser pra.ticamente superate che ricorrendo
a specia.li a.rtifizi.
.
Uno di q nesti è il seguente.
Sostituire alla effettiva distribuzione dell'incidenza indotta una distribuzione convelll.iOllalo, ad es. qlIella relativa ad UllO dei casi semplici precedentemente cOIl~irlel'ati.
Di questa. incidenza indotta convenziona.le ci si serve per ca.lcolare
l'incidenza eff~ttiva relativa ad ogni sezione; incidenza effettiva che risulterà essa. pure, come è evidente, convenzionale.
-
36-
Tuttavia è da attendersi che il risultato complessivo non sarà molto
variato da quello che si avrebbe considerando l'incidenza reale.
Questo è il metodo da me seguito nel Corso tenuto nell'anno 1921 alla
Scuola per Costruttori Aeronautici del R. Politecnico di Torino e completato in un lavoro che presto vedrà la luce nei Rendiconti dell' Istituto
Sperimentale Aeronautico. La distribuzione convenzionale adottata per l'incidenza indotta fu la più semplice: cioè costante lungo il raggio. Nella.oro che
è in corso di stampa ho però sviluppato parallelamente anche il caso in cui
la distribuzione dell'incidenza indotta è quella che corrisponde alla perdita minima di energia. Il confronto tra i due casi mostra che i risultati sono
praticamente identici e così conferma anche la legittimità del metodo.
Non sa.rebbe certo prjva di interesse un'esposizione, sia pure succinta,
dei risultati cui si perviene, i quali permettono il tracciamento rapidissimo dei diagrammi caratteristici di un'elica, l'analisi dei diagrammi determinati sperimentalmente, l'analisi dell'influsso che sui diagrammi stessi,
e in special modo su qnello del rendimento, hanno le caratteristiche geometrico-aerodinamiche dell'elica, ad es. la sua larghezza di pala, la finezza
delle sezioni, la forma e le caratteristiche aerodinamiche di queste, ecc.
Risultati che sono in maniera veramente notevole confermati dalle esperienze
sistematiche compinte, specialmente in America, su modelli di eliche.
Ma la necessità di esser breve a di non tediare mi impongono di
rimandare il lettore desideroso di approfondir~ i particolari del metodo e
di conoscerne i risultati, alla memoria di imminente pubblicazione.
Piuttosto voglio qui accenuare rapidamente ad un diverso artifizio,
piil grossolano, se si vuole, del precedente, ma che permette di abbozzare
una teoria semplificata e, sotto un certo aspetto, di piil facile iutuizione.
Consideriamo, per fissare le idee, un' elica, con larghezza di pala, l,
costante e indichiamo con À la larghezza "elativa tiR. Se non ci fossero
gli incrementi indotti, i coefficienti < e x relativi a due eliche in tutto
simili, salvo una diversa larghezza di pala, sarebbero, a parità di y, proporzionali semplicemente a
À.
Perciò i l'apporti -;- eT .arebbero costanti
e uguali ai coefficienti, e x relativi all'elica di larghezza relativa À = 1 (').
Essi potrebbero calcolarsi con facilitil. in base alla velocità relativa
apparente IV, e all'incidenza apparente ~" supponendo per ogni sezione un
allungamento virtuale infinito. Essi possono anche considerarsi come il
limite dei rapporti ~ e ~ per À
= 0, cioè per _un'elica di larghezza relativa
nulla.
Adottiamo clei simboli per i rappor t l.T' e Tx ' poniamo cioè
(l) Si capisce che l'elica. di lal'ghezza rolativa. À = 1 è puramente convenzio-
llale.
-
I valori di (, e I;. per
À
37
= O, cioè i valori che si avrebbero trascu-
raudo l'induzione, indichiamoli con ~~) e ~II.
Come si è detto, vi è in realtà un incremento v', generalmente funzione di r. Sostituiamo all 'incremento variabile un incremento costante
medio, ricavabile dalle formule (1) . Esse Jorniscono.
v'
~V,
't
=
2
7.
?
À ~I
=
2
7.
y'
Analogamente vi è un incremento tangenziale ')' CJ,' J essendo w' funzione
di r. Sostituiamo all' w' variabile un valor medio, cleterminabile in base
alle formule (2). Si ottiene:
À (,
= --
Q
Ora un aumento v' nella velocità di avanzamento V. ed nna diminuzione
W'
nella velocità angolare
(1
possono interpretarsi come un caro·
biamento nelle condizioni di funzionamento dell'elica priva di induzione.
In altri termini possiamo supporre nullo l'effetto dell'induzione, a patto
di ammettere che l'elica avanza con la velocità V,
v' e ruota con la
velocità angolare n - .i.
Questo cambiamento di velocità ha clue conseguenze:
a) un cambiamento nel y. L'elica ideale senza incluzione verrebbe
a lavorare ad un y. espresso da
+
_
Y. -
2'7!
.i)
R (2
,2
l + - (-' -À
V,+v'
Y-l---=~('-'-À-
"
b) un cambiamento nei coefficienti (, e I;. i quali sono ugua1i ai
coefficiellti (,. e 1;.. dell'elica senza induzione, relativi naturalmente al
coefficiente d'avanzamento y" moltiplicati per il quadrato del rapporto
u-",,'
---::----, ossia per
11
Le formule di passaggio dalla larghezza relativa O (allungamento infiÀ sono adunque le seguenti:
nito) alla larghezza relativa
y
=
l- ~À
"
y,
,
1
7t
(1 - ~ À)'
1;" (1- ~ À)'
(, = (..
I;. =
+ --'
2 - '-À
"(2
(4)
-
3B-
Partendo dai diagrammi (~e (ro relativi all' allungamento infinito, queste
formule permettono il passaggio :lcl una larghezza relativa qualunque.
La. prim.a di esse fornisce, per la determinazione di y, un'equazione di
2' grado. Una facile discussione mostra che delle due radici deve prendersi in con.iderazione la maggiore, lo. quale, trascurando le potenze di
~
À
superiori aUa prima, è espressa da:
(,
1 = 1. - -;;-
À
(
1,
+ 1.1 )
(5)
La (5) è applicabile solo per piccoli valori di À.
La seconda e terza delle (4), qualora (come in pratica quasi sempre
accade) si possano trascurare le potenze di
vengono:
~
7.
À
superiori alla prima, di-
I
\ (a-a)
Ognuno può notare l'analogia di queste formule, semplicissime, con
quelle che esprimono il passaggio da un allungamento infinito ad un allungamento finito nella teoria delle ali portanti.
Ciò posto, il procedimento da seguire è semplice. Fissatosi un valore
di (, si determina con le (4) o le (5-a) il valore di (~ e quindi di 1•. In base
al valore di 1. si determina il valore di y corrispondente al valore prefissato
di (, nell' allungamento À. Insieme a Y. viene a determinarsi I;." e da questo 1;,.
Ripetendo il procedimento per diversi valori di (, si finisce col tracciare
i diagrammi cercati.
Ma, com' è evidente, è necessario conoscere i diagrammi Cio e /;co relativi all'elica di allungamento infinito. La cosa, con gli opportuni accorgimenti semplificati vi, non presenta dlfficoltà.
Cominciamo da un caso particolarmente favorevole, quello in cui tutte
le sezioni dell' elica hanno ugual passo aerodinamico, intendendosi per passo
aerodinamico di una sezione il passo dell' elica tangente alla direzione di
portanza nulla della sezione stessa. Se l'elica è a passo aerodinamico
uniforme e se si trascura la resistenza intrinseca (attrito ecc.) è cbiaro che
per un valore dell'avanzo uguale al passo aerodinamico l'elica non dà nè
spinta nè coppia, percbè l' azione aerodinamica su ciascuna sezione è nulla.
Sia y* il valore di 1 corrispondente ad un avanzo uguale al passo aerodinamico. Si. inoltre A il valore, che è noto potersi ritenere costante, della
derivata dI-:'~ del coefficiente di portanza rispetto all' incidenza. In genel'aleA sarà variabile da sezione a sezione, ma niente vieta che ne prendiamo
un valor medio, tanto più che A varia poco al variare clelia forma del
-
39-
profilo, come provano le ricerche teoriche di R. Y. MISES (') e di altri.
Teoricamente A dovrebbe essere uguale a " O di poco maggiore; praticamente può prendersi A = 2.3 ->- 2.7, secondo il tipo del profilo.
Ciò premesso, con semplici sviluppi che per brevità omettiamo si trova
che, astraendo dall' influsso della resistenza intrinseca, il valore di ~ .. che
indicheremo con
~'j(l,
è dato dall' espressione semplicjssima:
~' .. = A~, (y')
(r" - y)
dove 9" fnnzione di y *, è il valore dell' integrale
<= i
'V·
f
(7)
~t
y* -+-
o
ç!
d, essendo
(raggio relativo). Insomma ~' .. è una retta avente come coefficiente
U,
,
0.12 U6
!
i'-.
0.11
0.10
"" '\
O~
0.0
I
008 0.4
,
007
-.............
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I
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O
T
OJ
~
02
03
~
~I~
W·
O.;
Hg. 6
angolare - .il. 'f. e passante per il punto y' dell' asse delle ascisse (fig. 6).
Sempre trascurando la resistenza intrinseca, ~' ~ si ottiene moltiplicando
(I)
ZUT
Theorie des Trag{f.achenauflriebu, Zeitschrift
1917, 1920
~!otorluftsclllffabrt.
(fu
Flugtecbnik und
-
40-
per y il valore di t'le e il suo diagramma è una parabola (fig. 6) col vertice
ad egual distanza da O e da y".
Per tener conto della resistenza intrinseca, occorre conoscere il valore
del X.z medio da cui essa dipende.
Per gli allungamenti infiniti il x.z. a partire da un certo valore dell'incidenza, è pressochè costante; ad ogni modo non è difficile tener conto
anche della variabilità del b con l'incidenza. Supponendo per brevità noto
il come, i valori ~"lO e ~"CD da aggiungere a C'to e C' co per avere ~to e I:ro sono
dati rispettivamente da:
H,Cy).!.z
~.(Y)·l.z
s: V~d~)
(9.= S>' VY'+('d;)
(~,=
Vedasi in fig. 6 l'andamento dei diagrammi finali.
Tali semplici risultati si estendono senza difficoltà al caso in cui il
passo aero(linamico non è uniforme, definendo opportunamente, in base ai
passi aerodinamici delle singole sezioni, il passo aerodinamico globale.
Con l'introduzione dei coefficienti t. e I;., le formole di similitudine,
note sotto il nome di formule di RENARD, prendono la forma interessante
segnente:
T=at.8 r,-'
i =at.8U'
dove 8 è l'area complessiva delle pale ed U = R g la velocità periferica.
Se l (larghezza di pala) non è costante, la larghezza relativa À si definisce
come rapporto fra l'area della pala, 8, e il quadrato del raggio R .
•••
Ciò che precede è valevole finchè v' è piccolo di fronte a V,; quando
l'ordine di grandezza dell'incremento v' si accosta a quello di V, l'approssimazione delle formule trovate diviene sempre minore, finchè le formule
stesse divengono del tutto erronee quando V, diviene piccolo di fronte a
v' o si annulla.
Quest' ultimo è il caso dell' elica cosidetta a punto fisso.
Tuttavia il metodo sopra esposto si può estendere anche a questi casi.
Vediamo in succinto come. Non potendosi più trascurare v' di fronte a V"
occorrerà. scrivere:
T=2 a 1t R' (V, + v') v'
da cui:
<=2,'1'
( 1 + V,V') V,v'
(8)
-
41-
Risolvendo questa equazione si trova:
v'
(,)
V, =1 7 =
(~'À)
f
l'
Vale invece anche in questo caso la (2) perchè w' può ancora trascurarsi di fronte a Il.
La formula di passaggio da I a IO si ottiene dalla prima delle (4) ove,
al denominatore, il termine aggiunto all'unità si faccia precisamente uguale
aUa funzione
f ('~, À)
.
Ora l'espressione di tale funzione, che si ottiene risolvendo (8), è la
seguente:
Se ne ottiene, per la determinazione del I in funzione di IO' una equazione lineare, mentre quando si trascurava v' di fronte a Vo l'equazione
veniva quadratica. È uno dei non pochi casi in cui un maggior rigore con-
duce a risultati più semplici.
L'equazione, risolta, ci fornisce la seguente formula:
~, À
l
=
~, )
IO ( 1 - -:;;- À
2;
-
(
10 1 -
~,)
7l'
(10)
À
A I = O corrisponde un valore di IO che, tenuto conto della seconda
delle (4), soddisfa all'equazione seguente:
,.~
-
2 1t
~IO--À-
v 2
"
Questa è l'equazione di una parabola con l'asse sull' asse delle ordinate, il vertice ne1l'origine e parametro ~. L'intersezione di questa paI
rabola con il diagramma ~" ci dà il punto di questo diagramma che, nell'allungamento À, corrisponde a I == O.
In fig. 6 si sono rappresentate le parabole relative a diversi valori
di À, e precisamente À == 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 e 0.5 (curve a tratto e punto).
Il calcolo può naturalmente spiugersi più oltre, e condurre ad una
completa trattazione dell'elica a punto nsso.
Ma basti il cenno fatto.
Nella fig. 6 si può vedere il confronto fra i risultati del metodo approssimato originario col metodo approssimato semplificato e di questo
col metodo semplificato che chiameremo rigoroso, nel senso che non si traScura il v' di fronte al V O ' I circoletti rappresentano i risultati del metodo
originario, i diagrammi a tratti quelli del metodo semplificato approssimato,
-
42-
i diagrammi a linea piena quelli del metodo semplificato più rigoroso. li confronto dimostra la pratica equivalenza dei due primi metodi e mette in evidenza lo scostamento che, per i piccoli valori ,li y, si verifica fra il metodo
approssimato e quello che, per intenderei, abbiamo chiamato rigoroso .
•
'* *
Prima di terminare questo rapido sguardo sul campo che le nuove
vedute circa il funzionamento dell'elica hanno dischiuso all'indagine dello
studioso, non possiamo omettere un cenno su di una interessante estensione
di queste ricerche allo sturlio del mutuo influsso di due o più eliche
'l'aie estensione può farsi, sia in base al procedimento originario più
complesso, sia in base al procedimento semplificato. Diamo uno sguardo
a quest'ultimo e limitiamoci, per fissare le idee, al caso di due eliche coassiali e di ugual raggio. Facciamo dapprima l'ipotesi che esse siano abbastanza lontane per potere a.mmettere che l'incremento assiale VI! indotto
d"ll' elica anteriore 1 in corrispondenza della posteriore 2 sia tutto l' incremento impresso dall'elica 1 all'aria che l'attrarersa, e l'incremento 1.'u indotto dall'elica 2 sulla 1 sia nullo. Teoricamente la distanza fra le due
eliche dovrebbe essere infinita perchè la supposizione fatta si realizzasse;
praticamente basta una distanza non grande, perchè l'incremento tende
molto rapidamente, a monte e a valle dell'elica, ai suoi limiti estremi.
Quanto all' incremento tangenziale '·0',,, è noto che esso è costante a valle
dell'elica 1, mentre n,.. è ovunque uguale a O a monte dell'elica 2. Si
avranno dunque formule analoghe alle (1) (2), ossia:
L'elica 2 si trova quindi a funzionare ad un valore y, che non è ugnale
al y, =I~ che si avrebbe se non vi fosse l'influsso dell'elica anteriore,
R2,
ma è espresso da:
(12)
Yt==
+
dove il segno - vale per eliche ruotanti nello stesso senso, il segno
per
eliche l'uotanti in senso contra.rio.
Inoltre, per la variata velocità angolare, i coefficienti <, e x, variati
si deducono da quelli originali spettanti al valore y, del coefficiente d'avanvanzamento, mediante le formule:
.
(13)
-
43-
Da queste formule si deduce intanto:
a) che se le due eliche ruotano nello stesso senso è certamente:
r, > r,
Ora, il rendimento variato è dato da:
-
T, y, _
p,=~
Xi
p,
(1;)
- -(-l .
P2 1,
'ft
12
p,
()
r.
e poichè il rapporto p diminuisce sempre al crescere di
r
p,
r,
segue:
< p.
cioè si ha scapito nel '·e>ldimento.
Ciò è intlùtivo se si pensa che le due eliche in tandell! debbono aumentare le perdite per forza vi va, impressa, sia per gli incrementi assiali che
per i tangenziali.
b) se le due eliche ruotano in senso contrario, sarà r. maggiore,
uguale o minore di r, secondochè:
!I!
Il
==
1
Q!
>:2Q,
Se, per fissare le idee, !l, = !.l" dovrà essere y, minore, uguale o maggiore
di 0.707. Ragionando come al caso a) troveremo rispettivamente diminuzione, uguaglianza o aumento di rendimento. Nelle eliche attuali il precedente valore di y, è ben lungi dall'essere raggiunto, siamo cioè sempre
nel caso di una diminuzione del rendimento.
In modo non diverso si tratta il caso in cui le due eliche siano talmente vicine che possa farsi v" uguale alla metà dell' incremento totale
impresso all'aria dall'elica 1 e analogamente sia v" uguale alla metà dell'incremento totale impresso all'aria dall'elica 2. Le due eliche, per questo,
dovrebbero l'uotare nello stesso piano. Pmticamente dovranno ruota re in
piani vicinissimi. Niente viene a mutare per quanto riguarda gli incrementi tangenziali. Si ha perciò:
W 21
=O
E quindi:
II
(14)
,
-44e infine:
x, = x, (y;)
- )0
. 22L -
"
(15)
-x - x ( 1=+= -SI '
t
2
s.!,
Peraltro ilei caso presente la risoluzione del sistema di equazioni (14)
e (15) Ilon può operarsi che per successive approssimazioni.
Si potrebbe considerare il problema del mutuo influsso anche riferendosi all' elica senza ind uzione, come si è fatto a proposito del problema
dell'autoinduzione. Si otterrebbero formule analoghe alle (4) come relazioni
fra "(20 e "1'2, fra. "fIn e 11, fra ~jl e 'tll.) e fra ~/t e Cl2n'
**'*
Crediamo che il già esposto sia sufficiente a dare un' idea di q nelli che,
nel titolo della presente comunicazione, abbiamo definito nuovi indirizzi e
nuovi sviluppi della teoria delle eliche. Confidiamo di non andare errati
dicendo che solo in base a queste nuove vedute la teoria dell'elica ha
potuto incamminarsi verso quell'assetto razionale che finora le mancava.
Molto è ancora il lavoro ila fare, specialmente per connettere con le ricerche teoriche i risultati delle esperienze, all'analisi delle quali i nuovi metodi
offrono un prezioso strumento. Cosi potranno risolversi interessanti problemi, come quello delle deformazioni che le eliche subiscono sotto l'azione
delle pressioni aerodinamiche, e quello fondamentale dell'adattamento dell'elica all'aereo, che è in ultima analisi, lo scopo finale di tutti gli studi
intorno ai propulsori.
Crediamo che lo studio del mutuo influsso delle eliche spiani anche
la via, oltrechè all'apprezzamento di certe nuove disposizioni dei gruppi
motopropulsori che si stanno imponendo all' attenzione dei tecnici, anche
alla correzione dei risultati sperimentali ottenuti su modelli di elica nella
galleria del vento. Potrà forse in questa ricerca soccorrere il metodo della
riflessione che dà buoni risultati nel problema analogo relativo ai modelli
di sistemi portanti.
Infine occorrerà stringere più da vicino il problema del nnmero finito
di pale, quello del rapporto fra gli incrementi al disco e gl'incrementi
totali quando si ha forte contrazione della vena (come nell'elica funzionante a punto fisso) e vari altri. Tali problemi si presentano generalmente
hti di difficoltà; ma la via è tracciata e non v'è ormai che da percorrerla
con metodo e per~everanza..