CONSERVATION LAWS IN THE MODELING
OF FLUIDS PUMPED IN PIPES:
ANALYTICAL AND NUMERICAL RESULTS
Marco Fenaroli
Relatore: Prof. Rinaldo M. Colombo
Correlatore: Prof. Alessandro Musesti
16 Dicembre 2013
Modelli - Gas
Gas/Vapore Comprimibile non Viscoso
ρ = Densità di Massa
q = Densità di Quantità di Moto
Modelli - Gas
Gas/Vapore Comprimibile non Viscoso
Isotermo/Isoentropico
ρ = Densità di Massa
q = Densità di Quantità di Moto
Modelli - Gas
Gas/Vapore Comprimibile non Viscoso
Isotermo/Isoentropico
Tubo di Sezione Costante
x ∈R
Modelli - Gas
Gas/Vapore Comprimibile non Viscoso
Isotermo/Isoentropico
Tubo di Sezione Costante
Equazione di stato
p(ρ) ∈ C 2 (R̊+ ; R+ )
p 0 (ρ) > 0, p 00 (ρ) ≥ 0, ∀ρ ∈ R̊+
γ=1
γ>1
p(ρ) = ρc 2
γ
ρ
p(ρ) = p∗
ρ∗
Modelli - Gas
Gas/Vapore Comprimibile non Viscoso
Isotermo/Isoentropico
Tubo di Sezione Costante
Equazione di stato
Conservazione della Massa
∂t ρ + ∂x q = 0
Modelli - Gas
Gas/Vapore Comprimibile non Viscoso
Isotermo/Isoentropico
Tubo di Sezione Costante
Equazione di stato
Conservazione della Massa
Conservazione della Quantità di Moto
∂t ρ + ∂x
q2
+ p(ρ)
ρ
=0
Modelli - Gas
Gas/Vapore Comprimibile non Viscoso
Isotermo/Isoentropico
Tubo di Sezione Costante
Equazione di stato
Conservazione della Massa
Bilancio della Quantità di Moto
Compressore
Modelli - Liquidi
Liquido Incomprimibile non Viscoso
A = Sezione Bagnata
Q = Portata Volumetrica
Modelli - Liquidi
Liquido Incomprimibile non Viscoso
Tubo di Sezione Costante
x ∈R
Modelli - Liquidi
Liquido Incomprimibile non Viscoso
Tubo di Sezione Costante
Legge di Pressione
p(A) ∈ C 2 (R̊+ ; R+ )
p 0 (A) > 0, p 00 (A) ≥ 0, ∀A ∈ R̊+
Modelli - Liquidi
Liquido Incomprimibile non Viscoso
Tubo di Sezione Costante
Legge di Pressione
Conservazione della Massa
∂t A + ∂x Q = 0
Modelli - Liquidi
Liquido Incomprimibile non Viscoso
Tubo di Sezione Costante
Legge di Pressione
Conservazione della Massa
Conservazione della Quantità di Moto
∂t Q + ∂x
Q2
+ p(A)
A
=0
Modelli - Liquidi
Liquido Incomprimibile non Viscoso
Tubo di Sezione Costante
Legge di Pressione
Conservazione della Massa
Conservazione della Quantità di Moto
Preissmann Slot
Modifica p(A)
⇓
Modifica Sezione Tubo
⇓
Apertura Parte Alta Tubo
Modelli - Liquidi
 1
3
0 ≤ h ≤ h1


3k h




rh2 − kr 2 h + 13 k 2 r 3
h1 < h ≤ h2




 − 1 h3 + 2 rh2 + π − 4 r 2 h+
3k
k
k
p(h) = g
1 2
π3
3

h2 < h ≤ hP
+ 3 k + 24k r





1
k 2
2
2



2 wP h + πr − 2rwP + 4 wP h+

2

−πr 3 + 2r 2 wP − k2 rwP2 + k4 wP3
hP < h
 √

kA
0 ≤ A ≤ A1




 1 A + kr
A1 < A ≤ A2
2r
2
h(A) =
p

A2 < A ≤ AP
2r − k(πr 2 − A)




 1 A − π r 2 − k w + 2r A < A
P
wP
wP
4 P
con k = 2 − π2 , h1 = kr , h2 = π2 r
Modelli - Liquidi
Liquido Incomprimibile non Viscoso
Tubo di Sezione Costante
Legge di Pressione
Conservazione della Massa
Bilancio della Quantità di Moto
Preissmann Slot
Pompa
Modelli - Giunto
Conservazione della Massa
ql − qr = 0
Conservazione della Massa
ql − qr = 0
Modelli - Giunto
Conservazione della Massa
Bilancio della Quantità di Moto
P(ρl , ql ) − P(ρr , qr ) = J(H)
⇒
P(ρ, q) : Pressione Dinamica
⇒
F (ρ, q) : Flusso di Entropia
Conservazione della Massa
Bilancio dell’Energia
F (ρl , ql ) − F (ρr , qr ) = K (H)
Modelli - Giunto
Conservazione della Massa
Bilancio della Quantità di Moto
(
Ψ1 :
ql − qr
ql2
ρl
+ p(ρl ) −
qr2
ρr
= 0
− p(ρr ) = ρgH
Conservazione della Massa
Bilancio dell’Energia
(
Ψ2 :
ql
ρl
ql2
2ρl
+ ρl
R ρl
ρ∗
ql − qr R ρr
qr2
− qρrr 2ρ
+
ρ
r
ρ∗
r
p 0 (r )
r dr
p 0 (r )
r dr
= 0
= qgH
Modelli - Giunto
Conservazione della Massa
Bilancio della Quantità di Moto
(
Ψ1 :
ql − qr
ql2
ρl
+ p(ρl ) −
qr2
ρr
= 0
− p(ρr ) = ρgH
ANALOGO PER LIQUIDI
Conservazione della Massa
Bilancio dell’Energia
(
Ψ2 :
ql
ρl
ql2
2ρl
+ ρl
R ρl
ρ∗
ql − qr R ρr
qr2
− qρrr 2ρ
+
ρ
r
ρ∗
r
p 0 (r )
r dr
p 0 (r )
r dr
= 0
= qgH
Analisi
Shock e Soluzioni Deboli
X Interazioni Shock-Pompa ⇒ Problemi Costruttivi
X Formulazione Debole
X Condizioni di Rankine-Hugoniot
Analisi
Shock e Soluzioni Deboli
Problema di Riemann





∂t ρi + ∂x qi
∂t qi + ∂x
qi2
ρi
= 0
+ p(ρi )
= 0
(ρi , qi )(0, x)
= (ρi , q i )
Nei Tubi ⇒ Lax, 1956
i ∈ {l, r }
Analisi
Shock e Soluzioni Deboli
Problema di Riemann
Problema di Cauchy
X Soluzione Debole ⇒ Mappa u ∈ C 0 ([0, T ]; u + L1 )
X Condizione al Giunto Verificata per q.o. t ∈ R+
X Entropia-Flusso di Entropia ⇒ Selezione Soluzione
Nei Tubi ⇒ Bressan, 1995
Analisi
Shock e Soluzioni Deboli
GAS
LIQUIDI
Problema di Riemann
Problema di Cauchy
Quantità di Moto
Condizioni al Giunto

∂t ρl + ∂x ql



ql2


∂
q
+
∂
+
p(ρ
)

t
x
l
l
ρl



∂t ρr + ∂x qr
qr2

∂
q
+
∂
+
p(ρ
)

t r
x ρr
r




q
−
q

r
l


P(ρl , ql ) − P(ρr , qr )
= 0
= 0
= 0
= 0
= 0
= J(H)
Energia
Analisi
Shock e Soluzioni Deboli
Problema di Riemann
Problema di Cauchy
Condizioni al Giunto
Teorema - Ipotesi
X f sufficientemente regolare
X Autovalori di Dfi (u): λ1 (u) < 0 < λn (u)
X Mappa con
det[Dl Ψ(u)r2l (u l )
Dr Ψ(u)r2r (u r )] 6= 0
⇓
Analisi
Shock e Soluzioni Deboli
Problema di Riemann
Problema di Cauchy
Condizioni al Giunto
Teorema - Tesi
∃δ, L > 0 e Mappa S : [0, +∞[×D 7→ D t.c.
1
DOMINIO: D ⊇ {u ∈ u + L1 : TV (u) < δ};
2
SEMIGRUPPO: ∀u ∈ D, S0 u = u, ∀s, t ≥ 0: Ss St u = Ss+t u
3
4
LIPSCHITZIANITÀ in L1 : ∀u, w ∈ D, ∀s, t ≥ 0:
kSt u − Ss w kL1 ≤ L · (ku − w kL1 + |t − s|)
u ∈ D Costante a Tratti → St u ≡ Soluzione Problemi di Riemann
Centrati nei Punti di Salto
Integrazioni Numeriche
Algoritmi
Lax-Friedrichs ⇒ Parte Convettiva
Eulero Esplicito ⇒ Parte Sorgente
Metodo di Newton ⇒ Giunto
Parametri
Integrazioni Numeriche
Algoritmi
I
I
Controllo Conservazione
Stima dell’Errore il L1
Integrazioni Numeriche - Algoritmi
dx = 0.05
Integrazioni Numeriche - Algoritmi
dx = 0.01
Integrazioni Numeriche - Algoritmi
dx = 0.002
Integrazioni Numeriche - Risultati
Gas - Compressore
Integrazioni Numeriche - Risultati
Gas - Turbina
Integrazioni Numeriche - Risultati
Gas - Periodicità
Integrazioni Numeriche - Risultati
Gas - Transitorio Iniziale
Integrazioni Numeriche - Risultati
Liquido - Transitorio Iniziale con Attrito
Integrazioni Numeriche - Risultati
Liquido - Transitorio Iniziale con Attrito
Integrazioni Numeriche - Conclusioni
X Quattro modelli 1D che descrivono la dinamica di fluidi pompati in
tubi
X Effetto della pompa su quantità di moto o energia totale del fluido
X Tempi di calcolo dell’ordine di minuti e memoria richiesta di pochi
Mega
X Modello competitivo con quelli che prevedono una descrizione 3D
Integrazioni Numeriche - Conclusioni
X Quattro modelli 1D che descrivono la dinamica di fluidi pompati in
tubi
X Effetto della pompa su quantità di moto o energia totale del fluido
X Tempi di calcolo dell’ordine di minuti e memoria richiesta di pochi
Mega
X Modello competitivo con quelli che prevedono una descrizione 3D
Possibili Sviluppi Futuri
X Confronto tra risultati sperimentali e numerici
X Stima dei parametri per la taratura del modello
X Controllo Ottimale dei transitori della pompa
GRAZIE per l’ATTENZIONE