Dipartimento di Energetica “S.Stecco”
Sezione di Macchine
UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Elementi delle Turbomacchine Multistadio
Prof. Ing. F. Martelli, Dr. Ing. S. Salvadori
Pag. 1
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Argomenti
Pag. 2
Turbomacchine Multistadio
Canale Meridiano
Prestazioni
Modelli di Progetto/Analisi
Curve Caratteristiche di Stadio
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Rendimenti di Schiera
L’effetto della dissipazione è quello di far sì che il lavoro compiuto lungo la trasformazione
reale sia diverso da quello competente all’isoentropica che evolve fra le stesse pressioni
iniziale e finale (si ricordi che il flusso è praticamente adiabatico).
Velocità e angoli sono diversi da quelli teorici (si ricordi che l’angolo del flusso, diverso
dagli angoli geometrici non dipende esplicitamente dalle irreversibilità).
Si parla infatti di:
• Rendimento di palettatura
• Angoli di flusso
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Rendimento di palettatura
È una espressione della differenza fra la velocità reale e la velocità ideale.
In letteratura si trova spesso espresso in termini di coefficienti di perdita, secondo le
definizioni date dai vari autori.
Le definizioni più utilizzate per i coefficienti di perdita sono le seguenti:
TRAUPEL
(Per turbine)
p01 − p02
ω=
p02 − p2
2
cis2 − creale
ζ =
cis2
Per turbine
Per compressori il denominatore è preso
all’ingresso ovvero ( p01 − p1 )
Le grandezze utilizzate sono relative alla schiera, cioè assolute per lo statore e relative
per il rotore.
I valori devono essere depurati dagli effetti delle variazioni di raggio!
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Angoli di flusso
La direzione del flusso non è sempre tangente alla camber line della pala
stessa, cioè gli angoli che le componenti di velocità formano fra loro non
coincidono con gli angoli geometrici della pala.
• Questo fenomeno non costituisce una vera e propria perdita, ma piuttosto
una mancata energizzazione del flusso.
• Il Teorema di Eulero che lega lavoro ad angoli reali, che determinano la
componente tangenziale ( cϑ1 e cϑ 2 ) di flusso, mette in evidenza questo
aspetto:
L = u2 cϑ 2 − u1cϑ1
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Metodi per valutare
Angoli di flusso in uscita schiera
Coefficienti di perdita della palettatura
Si possono pensare tre approcci:
Per via Sperimentale: la schiera palare in esame è introdotta in galleria del
vento e opportunamente strumentata;
Per via Teorico-Numerica: utilizzando metodi CFD;
Per via Teorica: utilizzando correlazioni, ovvero dati statistici di tecnologie;
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Approccio sperimentale
Angoli di flusso in uscita schiera
Possono essere valutati in vario modo:
• Considerando il bilancio di QdM in direzione tangenziale su un opportuno
volume di controllo (Y forza in direzione tg).
• Attraverso le prese di pressione sul profilo.
• Con sonde direzionali a valle dei profili.
Coefficienti di perdita della palettatura
Possono essere valutati in vario modo :
• Attraverso misure di pressione totale (monte/valle).
• Attraverso misure di velocità e pressione (monte/valle).
Pag. 15
Y
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Angoli - Bilancio di QdM (Sperimentale)
Le prese di pressione sulla pala possono consentire di valutare la distribuzione
di pressione e quindi indirettamente la deflessione.
Considerando il bilancio di QdM in direzione tangenziale su un
opportuno volume di controllo (Y forza in direzione tg):
2
x
Y = ρtcx (ct1 − ct 2 ) = ρtc (tgα1 − tgα 2 )
Y
In direzione assiale:
X = t ( p2 − p1 ) + ρtc x (cx1 − c x 2 ) = t ( p2 − p1 )
D’altro canto, considerando il versore della direzione
tangenziale e la coordinata orientata s sul profilo palare:
r r r
r
F = X + Y = ∫ p ds
Misurando la distribuzione di pressione è quindi possibile
calcolare le forze agenti e la deflessione palare.
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Rendimenti di schiera - Sperimentale
La schiera palare in esame è introdotta in galleria del vento e opportunamente
strumentata.
Per determinare coefficiente di perdita e angoli di
flusso è sufficiente misurare velocità e pressioni per
A
una opportuna traversa.
B
∫ pdx
p=
s
s
p01 − p02
ω=
p02 − p2
Per questo tipo di misure, in genere è sufficiente
utilizzare strumenti di tipo pneumatico: tubi di Pitot,
sonde direzionali (a 3 o 5 fori).
E’ anche possibile ricorrere a misurazioni
anemometriche (cioè che utilizzino l’anemometro a filo
caldo)
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Simulazioni numeriche
Coefficienti di perdita
Angoli di flusso.
Possono essere individuati per via
numerica attraverso la soluzione numerica
delle Equazioni del modello matematico
(CFD)
Le simulazioni numeriche permettono di conoscere il valore
delle grandezze cinematiche e termodinamiche in ogni
elemento della discretizzazione.
Dall’analisi del campo di moto è possibile estrarre i valori
cercati.
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Simulazioni numeriche
Le simulazioni numeriche si basano su modelli teorici e
matematici della fluidodinamica in esame. Per la
determinazione dei coefficienti di perdita e degli angoli di flusso
si possono utilizzare:
Modelli non Viscosi con modellazione dello Strato Limite
Modelli Navier-Stokes 2D, studiando cioè una sezione della
pala
Questo strumento fornisce contemporaneamente
Angoli e Perdite
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Esempi applicativi – NS 2D
Profilo bidimensionale statore turbina a vapore
LE
TE
Griglia di calcolo
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Esempi applicativi – NS 2D
E’ riportata la distribuzione di pressione totale e Mach isoentropico. (M uscita=1.1, i=0).
Da queste informazioni è possibile ricavare i coefficienti di perdita medi per la sezione.
γ
p0inlet  γ − 1 2  γ −1
= 1 +
M is 
p
2


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Esempi applicativi – NS 2D
Dalla visualizzazione dei vettori
velocità è invece possibile
ricavare il valore dell’angolo di
flusso
α1
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Direzione assiale
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CORRELAZIONI
(basate su esperienza)
Per Turbine Assiali
Coefficienti di perdita
Angoli di flusso.
Per Compressori Assiali
Le vediamo per tipologia di macchina.
Talvolta offrono anche altri elementi di configurazione
utili quali: Passo/Corda (carico), etc.
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Rendimenti - Correlazioni turbine
Prima di procedere all’esame delle diverse correlazioni di calcolo delle perdite è
opportuno fare alcune distinzioni:
1^ Gruppo :
Perdita nel trasferimento
Fluido/Pala
2^ Gruppo :
Perdite , riduzione energia all’albero
Leakage
Ventilazione
Perdite di profilo (S.L.+Scia)
Perdite Secondarie (effetti 3D)
Perdite di paletta (effetti di
macchina Reale)
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Parzializzazione
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Rendimenti di Schiera – Correlazioni turbine
In letteratura esistono correlazioni ottenute per via teorico-sperimentale capaci di fornire
indicazioni sui coefficienti di perdita al variare di alcuni parametri geometrici e di
funzionamento. Le più note sono quelle di Soderberg, Cox ,Traupel (maggiormente
utilizzate per turbine a vapore) e Kacker-Okapuu (più utilizzate per TAG)
ω = f ( parametri geometrici e di funzionamento) ω = p00 − p02
p02 − p2
I principali parametri sono:
PARAMETRI GEOMETRICI
•Rapporto passo/corda
PARAMETRI di FUNZIONAMENTO
•Spessore del TE
•Numero di Reynolds
•Altezza/corda (aspect ratio)
•Incidenza
•Spessore max/corda
•Curvatura SS dopo gola
•Rugosità
•Deflessione del Flusso (β1, β2)
Pag. 25
•Numero di Mach
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Rendimenti di Schiera
Correlazioni di Perdita per Turbine
Correlazione di Soderberg
Si riferisce alle perdite di profilo, non tiene
conto delle perdite al T.E. (assume DT.E.=0):
Condizioni di Riferimento (Base) Re=105;
H/Cax=3;
Nelle suddette condizioni la correlazione
risulta della forma:
ζ = f [ε ; (t max / l )]
2
cis2 − creale
ζ =
2
creale
Per tmax/C=0.2 la correlazione assume l’espressione :
2
ε

Questa approssima con buona accuratezza la curva di S. per ζ * = 0.04 + 0.06 ⋅ 

100
ε<120°


La deflessione ε viene valutata in termini di deflessione
ε = ε N = α 2' + α1'
geometrica della pala (i=0°, Hp di S.)
'
'
ε = ε R = β2 + β3
Esistono le correzioni della perdita nominale per Re e per Cax/H; (vedi Dixon)
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Correlazione di Soderberg
Rapporto passo corda di riferimento
= Zweifel
La Correzione per effetto delle perdite
secondarie è riportata per H/Cax diverse da 3.
(1 + ζ 1 ) = (1 + ζ * ) 0.993 + 0.021 b 
(Ugello)
(1 + ζ 1 ) = (1 + ζ * ) 0.975 + 0.075 b 
(Rotore)
H


H
Effetto Reynolds
 10 
(ζ ) = (ζ 1 ) 
 Re 
5
Pag. 27
0.25
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Correlazioni di Perdita per Turbine
Correlazione di Traupel (1)
Considerando il termine relativo alle alle perdite di profilo, assume la forma di prodotto
2
di fattori:
cis2 − creale
ζ =
cis2
ζ ott = ζ ⋅ χ P ⋅ χ M ⋅ χ δ + ζ δ
Tiene conto delle perdite di scia legate anch’esse al T.E.>0
Tiene conto delle perdite per spessore del T.E.>0
i=iott
Correzione per gli effetti di comprimibilità del flusso
[f(Numero di Mach)]
Correzione dell’attrito a parete per considerare la rugosità in
funzione del numero di Reynolds e del livello di turbolenza Tu
Perdita di Base dipende dalla geometria del
flusso: deflessione
Pag. 28
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Correlazioni di Perdita per Turbine
Correlazione di Traupel (2)
Considerando il termine relativo alle perdite di profilo, assume la forma di prodotto di
fattori:
2
cis2 − creale
ζ =
cis2
ζ ott = ζ ⋅ χ P ⋅ χ M ⋅ χ δ + ζ δ
La correlazione vale per un
rapporto passo/corda di
riferimento definito da un grafico
del Traupel in funzione αin αout
Correzione per i≠iott
ζ = ζ ott
 V1 
+ Z ⋅  
 V2 
2
Rapporto di espansione
Valori da grafico Z=f(i)
Z=0 per i=iott
Pag. 29
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Correlazioni di Perdita per Turbine
Correlazione di Traupel (3)
Le curve del Traupel (Perdita base = ζpo):
Pag. 30
2
cis2 − creale
ζ =
cis2
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Correlazioni di Perdita per Turbine
Correlazione di Traupel (4)
Passo corda Ottimale secondo il Traupel:
Pag. 31
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Correlazioni di Perdita per Turbine
Correlazione di Traupel (5)
Le curve del Traupel (off design):
Pag. 32
2
cis2 − creale
ζ =
cis2
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Correlazioni di Perdita per Turbine
Correlazione Ainley-Mathieson (AMDC) corretta Kacker-Okapuu
(1)
Considerando il termine Complessivo esso si scrive come somma delle perdite di
profilo(p), + perdite secondarie(S)+ perdite per spessore trailing edge (Tet)+ perdite peri
giuochi(TC) :
p o1 − p o 2
Y =
po 2 − p 2
YT = Yp ⋅ f (Re) + YS + YTet + YTC
Inoltre è possibile trattare anche l’off
design separando gli effetti sulle varie
componenti Il grafico riporta tali effetti:
Pag. 33
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Correlazioni di Perdita per Turbine
Correlazione Ainley (AMDC) corretta Kacker Okapuu (2)
In conclusione si può concludere che YT(des) è funzione :
YT ( Des ) = f ( β1 , β 2 , Re, M 2 , t / c, t max / c, h / c, te / g , k / h, n)
Ove
•t = passo;
•c = corda
•h = altezza pala
•te = spessore trailing edge
•tmax= spessore massimo del profilo
• g = gola
•k = spessore del trafilamento ( tip clearance)
•n = numero di labirinti
In condizioni di off design si ha :
Pag. 34
Nel caso di AMDC non viene
indicato un Rapporto passo corda
di riferimento, per cui può essere
usato per la scelta
YT ( i ) = YT ( Des ) f (i = ( β1 − β1met ),....)
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Correlazioni per Turbine; Esse possono consentire anche di
valutare altri parametri progettuali: Passo Corda, Stadio
Definizione del carico:
la più vecchia correlazione per definire
il carico ottimale è quella di Zweifel:
Ψ ≈ 0.8
Si ricordi che salvo
esplicita notazione gli angoli
sono + in direzione della
Velocità
U
Ottenuta su condizioni restrittive, flusso quasi incomprimibile
Il criterio di Zweifel predice il rapporto passo/corda ideale per angoli di
uscita attorno ai 60° -70°
Pag. 35
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Correlazioni per Turbine; Esse possono consentire anche di
valutare altri parametri progettuali: Passo Corda, Stadio
La disponibilità di Correlazioni di perdita che abbiano fra i loro
parametri Geometrici anche il rapporto Passo/Corda consente di
espicitare altre correlazioni di Carico:
YT ( Des ) = f ( β1 , β 2 , Re, M 2 , t / c, t max / c, h / c)
2
cis2 − creale
ζ =
= f C ( β1 , β 2 , Re, M 2 , t / camber, te / t ,...)
2
creale
Pag. 36
AMDC-KO
Craig-Cox
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Correlazioni per Turbine; Craig-Cox
2
cis2 − creale
ζ =
2
creale
ζ = xb ( β1 , β 2 ) ⋅ N pr (Re) ⋅ N pt (te / b) + ∆x pt (te / b) + ∆x pm ( M 2 , t / b)...
Pag. 37
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Rendimenti di Schiera
Correlazioni per Turbine: stadio
Diagramma di SMITH
Utile per scelta di stadi
data la portata ed ∆H
** Ca1/Ca4 ≈ 1.
** Grado di reazione al “Mean”
tale da Evitare R*<0. Hub
** Design point
Incidenz.≈ 0
** Perdite per Leakage 0.5% ÷ 3.5%
H/t = 0.7÷ 0.89
** Flussi non Supersonici
** Re 4•104÷2•105
indipendenti da Re
Pag. 38
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Angoli di flusso – Correlazioni turbine
Anche per gli angoli di flusso esistono correlazioni di tipo teorico – sperimentale che
relazionano la tipologia di pala (variabili geometriche) e le condizioni di flusso
all’angolo reale in uscita.
Fra queste, si cita la sinus rule vale per Mach circa unitario. Si noti che gli angoli
sono espressi in un riferimento tangenziale.
s
( ρc* ) s = sin β ( ρc2 )t
( ρc* ) ≈ ( ρc2 )
t
β
Pag. 39
s
sin β =
t
Per M=1
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Angoli di flusso – Correlazioni turbine
Le correlazioni più utilizzate (Traupel, Martelli, Ainley/Mathieson) si originano dalle
considerazioni della sinus rule, estendendone i margini di funzionamento a vari
regimi di Mach utilizzando i bilanci di quantità di moto e i bilanci di portata fra gola e
valle.
Angolo tangenziale: S/T =0.35
Ad esempio, per Ainley/Mathieson
23.5
23.0
21.5
21.0
20.5
1.
30
1.
20
1.
10
1.
00
0.
90
0.
80
0.
70
0.
60
0.
50
0.
40
0.
30
0.
20
20.0
0.
10
(Sinus rule)
(s=gola,t=passo)
s
sin β =
t
22.0
0.
00
M2 =1
Beta
22.5
Mach
M 2 < 0.5
0.5 < M 2 < 1
Pag. 40
β = A + B sin −1 ( s / t ) − 4.(t / R)
Raccordo con flesso a 0.75
(R=raggio di curvatura)
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Angoli di flusso – Correlazioni turbine
Andamento angolo di flusso in uscita alla schiera in funzione del
numero di Mach - Rif. Tangenziale
32
Rapporto passo/corda: 1.08
Angolo metallico di scarico: 19°
Incidenza: 0°
N.Reynolds: 2*10^6*Mach_sc
beta (°) - rif. tangenziale
30
28
26
24
22
20
18
16
0.20
0.40
0.60
Mach
Pag. 41
0.80
1.00
1.20
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Rendimenti di Schiera – Correlazioni compressori
Per i compressori assiali, si cita la correlazione di Lieblein. Anche in questo caso, la
forma assunta è del tipo
ω = f ( parametri geometrici e di funzionamento)
I principali parametri sono:
PARAMETRI GEOMETRICI
•Rapporto passo/corda (s/l)
•Incidenza
•Forma della camber line
•Numero di Reynolds
•Rapporto Altezza/corda
(aspect ratio)
•Numero di Mach (Poco)
•Deflessione geometrica
Pag. 42
PARAMETRI di FUNZIONAMENTO
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Rendimenti di Schiera
Correlazioni di Perdita per Compressori
Correlazione di Lieblein (1)
Deriva da prove sperimentali e si basa sull’ipotesi che lo spessore della scia (perdite di
pressione totale) è proporzionale alla diffusione max sulla S.S. del profilo.
La diffusione (in term. di velocità) è espressa come: cmax,ss/c2
Spessore della quantità di moto della scia
δs
ϑ2 =
v  v
∫δ V ⋅ 1 − V  ⋅ dy
p
Per la Corr. di L. tale espressione adimensionalizzata rispetto alla
corda è sufficientemente approssimata dalla relazione:

 cmax,s 

= 0.004 1 − 1.17 ln
l
 c2  

ϑ2
Pag. 43
Valori limite per
cmax,ss/c2 ca. 1.9-2.0
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Correlazioni di Perdita per Compressori
Correlazione di Lieblein (2)
La perdita, valida per profili non stallati, viene poi espressa in termini di:
∆p 0
2
 ϑ2   l   cos α1 
ω
=
ϖ = 2⋅ ⋅ ⋅
1 2
 l   s   cos 3 α 2 
ρc1
2
La correlazione in questa forma richiede di conoscere la velocità sulla S.S. al fine di determinare la perdita di Ptot
e i limiti di stallo.
Se questa informazione non è disponibile si può calcolare. L. propone un rapporto di diffusione equivalente che
può essere calcolato dalle condizioni di ingresso e di uscita dalla schiera, valido per pale NACA 65-A10 e C.4,
(camber-line ad arco di cerchio).
cmax, s cos α 2 

s
2
1
.
12
0
.
61
cos
α
(
tan
α
tan
α
)
Deq =
=
+
⋅
−


1
1
2 

cos α1 
c2
l

cmax, s cosα 2 

s
2
Per i≠iref e valori di incidenza maggiori di quelli Deq =
=
1.12 + k ⋅ i − iref + 0.61  ⋅ cos α1 (tan α1 − tan α 2 )
c2
cosα1 
l

di riferimento l’espressione viene modificata in :
k = 0.0117[NACA _ 65 − ( A10 )]
k = 0.007[C.4]
(
)
Le espressioni viste sono ancora in uso per la stima della perdita di pressione totale di profili
comunemente usati in compressori assiali in regime subsonico non-stallato.
Il metodo è stato esteso da Swann per considerare le perdite aggiuntive dovute ad urti in
compressori transonici.
Pag. 44
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Angoli di Flusso – Correlazioni compressori
Per i compressori, la correlazione d’angolo più utilizzata è quella di Howell, che assume
la forma
t 
δ = mϑ  
l 
n
Dove: t è il Passo, l la corda e
δ = β 2 − β 2 geom
(differenza fra angolo di flusso e angolo reale)
ϑ = β1geom − β 2 geom
(deflessione geometrica)
m
è funzione dell’angolo di calettamento,
n=0.5
per schiere di compressori
n=1
per schiere deviatrici ingresso compressore
NOTA: Angoli Rispetto direzione assiale Assiale:
Pag. 45
δ >0
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Facoltà di Ingegneria
Dipartimento di Energetica “S.Stecco”
Sezione di Macchine
Modelli Numerici di macchina
(Complessità crescente)
•Mean Line
•ISRE/NISRE
•GRE
•Through Flow
•CFD 3D Pala
•CFD 3D Stage e MultiStage
•CFD Unsteady
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Analisi
Progetto
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Dipartimento di Energetica “S.Stecco”
Sezione di Macchine
Modelli Numerici
Analisi Mean line (1)
E’ il metodo di analisi più semplice consiste nell’assumere che le condizioni di flusso prevalenti al
raggio medio siano rappresentative del flusso a tutte le altezze.
Altre 2 ipotesi: cr = 0; flusso invariante in direzione radiale.
E’ un’analisi fuori pala e fornisce un valore medio delle variabili termodinamiche e cinematiche in
ingresso e in uscita da ogni schiera.
E’ un modello mono-dimensionale derivato da analisi elementare.
•Considera le grandezze geometriche alla mean-line, rm
(L’approssimazione del modello è tanto più elevata quanto più h/
rm è elevato)
•Utilizza bilanci di portata e quantità di moto in direzione
assiale e tangenziale
•Le perdite e gli angoli di flusso sono individuati
mediante correlazioni che legano la geometria della
pala al flusso effettivo
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Sezione di Macchine
Modelli numerici
Analisi Mean line (2)
Conservazione della portata in massa
ρ1 A1c1 = ρ 2 A2 c2 = ρ 3 A3c3
Conservazione della entalpia totale nello statore
c12
c22
h01 = h02 ; h1 +
= h2 +
2
2
Conservazione dell’entalpia totale relativa nel rotore (per macchine
assiali)
w2
w2
h01 _ r = h02 _ r ; h1 +
1
2
Legge del gas ideale (per GT)
= h2 +
2
2
p = ρRT
k
Legge della trasformazione isoentropica p ⋅ v = cost ;
Per il calcolo dei punti sulla retta a s=cost.
p k −1
Tk
= cost
Il lavoro fatto dal rotore si può calcolare con l’eq. di Eulero (derivata
da Energia /Q.d.M), per unità di portata in massa (lavoro specifico)
W
= h01 − h03 = U (ct 2 + ct 3 )
m&
Le perdite e gli angoli di flusso sono individuati mediante correlazioni
Procedimento comunque iterativo, verifica sulla conservazione della
Portata, a convergenza
m& S = m& R
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Sezione di Macchine
Modelli numerici
Simple Radial Equilibrium (ISRE o NISRE) (1)
Fornisce una distribuzione radiale delle variabili
termodinamiche e cinematiche in ingresso e in
uscita da ogni schiera. E’ un modello bidimensionale che considera lo sviluppo radiale
della pala, ma trascura la componente radiale di
Moto (Cr = 0)
•Si assume che ogni eventuale flusso radiale si
completi all’interno del vano, il flusso fuori alla
schiera è in eq. Rad.
•Considera sezioni a differenti altezze radiali
•Considera il flusso assialsimmetrico e quindi l’effetto
delle singole pale non viene trasmesso al flusso
•Utilizza bilanci di portata e quantità di moto in
direzione radiale, per legare il comportamento radiale
delle sezioni
•Le perdite e gli angoli di flusso sono individuati
mediante correlazioni
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Sezione di Macchine
Modelli numerici
Simple Radial Equilibrium (ISRE o NISRE)- (2)
Considerando un elemento di fluido in eq. Radiale le forze di
p. e quella centrifuga si equilibrano a per cui:
1 dp ct2
⋅
=
ρ dr r
Se ct e ρ sono funzioni note di r si ha:
tip
ptip − p root =
∫
ct2
ρ ⋅ ⋅ dr
r
root
Considerando l’entalpia totale e derivandola rispetto a r:
(
)
1 2
⋅ c x + ct2
2
dh0 dh
dc
dc
=
+ c x x + ct t
dr
dr
dr
dr
h0 = h +
Considerando inoltre:
Tds = dh −
T
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1
ρ
dp
ds dh 1 dp
=
− ⋅
dr dr ρ dr
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Modelli numerici
Simple Radial Equilibrium (ISRE o NISRE)- (3)
Sottraendo le due equazioni ottenute si ottiene:
dh0
dc
dc
1 dp
ds
−T
= c x x + ct t +
dr
dr
dr
dr ρ dr
dh0
ds
dc c d (ct ⋅ r )
−T
= cx x + t
dr
dr
dr r dr
ct2
r
NISRE
Questa equazione va accoppiata con:
- le equazioni di scambio energetico nelle sezioni 1-2-3:
∆h0 = 0
Statore
∆h0 = h02 − h03 = U (ct 2 + ct 3 )
∆s = f (ω , T ,...)
- strumenti per il calcolo delle perdite (Correlazioni) :
ω=
Rotore
p01 − p02
p02 − p2
In definitiva si possono calcolare i ds e dh da utilizzare nell’eq. NISRE. Il sistema è comunque di tipo iterativo.
L’equazione della portata sarà data da:
R _T
m& = k p
∫ 2πrρc dr
x
Kp = coeff. Bloccaggio per tener conto dello S.L.
R_ H
Nella sezione di imbocco si suppone nota una certa condizione poi il calcolo si espande alle varie schiere, stadi
seguenti. Il legame tra essi è dato dalla conservazione della portata.
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Modelli numerici
Simple Radial Equilibrium (ISRE o NISRE)- (4)
Una semplificazione dell’eq. NISRE si ottiene considerando
ds/dr. Il che non vuol dire che il flusso sia isoentropico ma solo
che s non varia lungo r.
Considerando profili radiali di ho e s costanti si ottiene infine:
dh0
dc c d (ct ⋅ r )
= cx x + t
dr
dr r
dr
ISRE
Questa equazione è valida per il flusso fra due schiere di una turbomacchina adiabatica in cui il
rotore fornisce o riceve lavoro ad ogni raggio con le stesse perdite; ∆S indipendente da r, oppure,
ovviamente, reversibile (ideale)
Questa equazione può essere applicata a 2 tipi di problemi:
-Progetto (Pb. Indiretto) in cui data la distribuzione di velocità
tangenziale (legge di Progetto) si ricava la distribuzione della comp.
Assiale di velocità, e quindi gli angoli di flusso e da essi la geometria
-Analisi (Pb. Diretto) in cui data la distribuzione di angolo α=f(r) si
ricavano le distribuzioni delle comp. Assiale e Tangenziale di velocità
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Sezione di Macchine
Modelli numerici
Simple Radial Equilibrium (ISRE o NISRE)- (5)
Applicazioni: Progetto Pb indiretto – Free-Vortex flow ct ⋅ r = K
Legge del vortice libero (legge di progetto)
Ponendo questa legge nelle eq. ISRE si ottiene:
cx
dc x
=0
dr
c x (r ) = cost
Valida perciò solo in casi in cui la macchina
sia progettata con queste condizioni
Non è vero in generale e non si può
assumere in analisi!
Con questa legge può essere applicata a flussi incomprimibili permette
di calcolare la distribuzione radiale dell’angolo di flusso, del grado di
reazione e del lavoro scambiato.
Considerando uno stadio di compressore con: rct1=K1 prima del rotore e rct2=K2
dopo il rotore si ha:
W
= U (ct 2 − ct1 ) = Ωr (K 2 r − K1 r ) = cost
m&
Lavoro scambiato costante lungo r
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Modelli numerici
Simple Radial Equilibrium (ISRE o NISRE)- (6)
Applicazioni: Pb indiretto – Free-Vortex flow ct ⋅ r = K
Nell’ipotesi di:
stadio normale, α1= α3
e Cx=cost
Legge del vortice libero (legge di progetto)
Angoli di Flusso
Ωr − K1 r
U
tan β1 =
− tan α1 =
cx
cx
Ωr − K 2 r
U
− tan α 2 =
cx
cx
Grado di
c
Reazione
R=− x
tan β 2 =
∆H rot
R=
∆H stadio
2U
e sostituendo si ottiene
K1 + K 2
R = 1− 2 ; k =
2Ω
r
k
1 dp ct2
⋅
=
ρ dr
r
Pag. 54
(tan β1 + tan β 2 )
Poiché k>0, R aumenta passando
da Hub a Tip della pala
Poiché ct >0, p aumenta con r, passando da Hub a Tip
della pala
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Facoltà di Ingegneria
Esempio di Svegolatura x Vortice Libero
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Modelli numerici
Simple Radial Equilibrium (ISRE o NISRE)- (Esempio-1)
Progetto :
ct ⋅ r = K
Legge del vortice libero (legge di progetto)
Esempio - Stadio di Compressore Assiale
Dati: Diametro Tip =1.0 m, Diametro Hub =0.9 m ;
Angoli al Tip del rotore α1=30°, β1=-60°, α2=60°, β2=-30°per uno
Ω=6000 rpm (628.4 rad/s), ρ=1.5 kg/m3 cost. per lo stadio
Utilizzando l’eq. ISRE e la legge del vortice libero
Risoluzione
U T = Ω ⋅ rt = 314.2 ; U H = Ω ⋅ rH = 282.5
U T = c x (tan α 2 + tan β 2 ) = c x (tan 60° + tan 30°) = c x
Pag. 56
( 3 + 1/ 3 )
c x = 136 m/s
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Modelli numerici
Simple Radial Equilibrium (ISRE)- (Esempio -2)
Free-Vortex flow ct ⋅ r = K
Esempio - Stadio di Compressore Assiale
Portata in massa
m& = π (rt2 − rh2 ) ρc x = 30.4 kg/s
Potenza assorbita dallo stadio
W = m& U T (ct 2 − ct1 ) = m& U T c x (tan α 2t − tan α1t ) = 1.5MW
Componenti di Velocità tangenziale Inlet rotore
Tip Rotore:
ct1 _ Tip = c x tan α1t = 78.6 m/s
Hub rotore
r
ct1 _ Hub = ct1 _ Tip  T
 rH

 = 87.3 m/s

Componenti di Velocità tangenziale Outlet rotore
Tip Rotore:
ct 2 _ Tip = c x tan α 2t = 235.6 m/s
Hub rotore
r
ct 2 _ Hub = ct 2 _ Tip  T
 rH
Pag. 57

 = 262 m/s

Legge del vortice libero (legge di progetto)
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Sezione di Macchine
Modelli numerici
Simple Radial Equilibrium (ISRE)- (Esempio-3)
Free-Vortex flow ct ⋅ r = K
Esempio - Stadio di Compressore Assiale
Angoli di flusso al Hub
tan α1 =
ct1 _ H
cx
tan β1 = U H
tan α 2 =
cx
Grado di Reazione
R = 1−
k
r
2
− tan α1 ; β1 = 55.15°
cx
; k=
cx
Triangoli di velocità
; α1 = 32.75°
ct 2 _ H
tan β 2 = U H
Legge del vortice libero (legge di progetto)
; α 2 = 62.6°
− tan α 2 ; β 2 = 8.64°
K1 + K 2
2Ω
Ricavando k si ottiene poi:
k = 0.5rT2 = 0.125
RH = 1 −
RT = 1 −
Pag. 58
k
rH2
k
rT2
; RH = 1 −
; RT = 1 −
0.125
0.45 2
0.125
0.50 2
= 0.382
= 0.50
Osservazioni:
•Elevata deviazione del flusso vicino alle pareti
interne (Hub)
•Elevati Mach al Tip
•Elevata svergolatura “twist” delle pale rotoriche
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Sezione di Macchine
Modelli numerici
Analisi through flow
Fornisce una distribuzione radiale delle variabili termodinamiche e cinematiche non solo all’ingresso e
in uscita di ogni schiera, ma anche per stazioni interpalari. E’ un modello bi-dimensionale che
considera anche la componente radiale del flusso
•Utilizza bilanci di portata e quantità di moto in direzione assiale, e radiale; integra le eq. di Eulero su
una griglia di calcolo 2-D, flusso assialsimmetrico
•Le perdite e gli angoli di flusso sono individuati mediante correlazioni
•Può essere implementato con equazioni dello strato limite su cassa e mozzo
Griglia di calcolo
st
Distribuzione M
Pag. 59
rot
st
rot
Vani interpalari
st
rot
st
rot
Per ogni stazione di
calcolo, sono noti i valori
di cinematici e
termodinamici.
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Sezione di Macchine
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Modelli numerici
2D/3D viscoso steady
Fornisce una distribuzione puntuale delle variabili termodinamiche e cinematiche per ogni
elemento della griglia di calcolo. Si risolvono le equazioni di Navier-Stokes stazionarie.
Si utilizzano modelli di turbolenza.
Modello solido
Pag. 60
Griglia di calcolo
Soluzione numerica
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Sezione di Macchine
Rendimenti di Schiera
Correlazioni di Perdita per Turbine
Confronto fra Correlazione di Traupel e calcoli CFD 2-D
Coefficiente di perdita di schiera in funzione del Mach
0.060
CFD-2D
Corr-Traupel
0.050
csi
0.040
0.030
0.020
0.010
0.000
0.0
Pag. 61
0.2
0.4
Mach
0.6
0.8
1.0
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Sezione di Macchine
Modelli numerici
Navier-Stokes unsteady
In generale, calcoli di tipo unsteady sono utilizzati quando
• i fenomeni da studiare sono instabili
• le condizioni al contorno non sono costanti (ad esempio a valle di un rotore)
• interessa lo studio in transitorio
Si studia il fenomeno per ogni istante della discretizzazione temporale.
Pompa idraulica con stallo fenomeno instabile
1
2
4
3
T=t1
Pag. 62
T=t2
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Sezione di Macchine
Modelli numerici multistadio
E’ possibile simulare intere macchine
anche
attraverso
approcci
multistadio, quali il mixing plane
approach (come
nell’esempio
riportato).
Il flusso in uscita da una schiera viene
mediato in direzione tangenziale e quindi
ottenendo una radiale (media) delle
grandezze, che viene posta come
condizione
di
ingresso
al
schiera
successiva.
c
u
w
St2
c
R1
St1
w
c
w u
Si noti che per ogni schiera i vettori velocità
sono considerati nel sistema di riferimento
relativo.
Vantaggi:
•Possibilità
di
effettuare
calcoli
stazionari (equivale ad assumere che il
rotore ruoti a vel. “infinita” e quindi non veda
le disuniformità in direzione tangenziale)
•Possibilità di considerare una sola
pala per schiera
Pag. 63
Pressione statica
(superficie a raggio costante)
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Facoltà di Ingegneria
Curve caratteristica di Stadi Multipli di
Compressore
Dalle curve di funzionamento dei
singoli stadi, è possibile individuare il
funzionamento dell’intera macchina.
Intera macchina
Si noti che la variazione di portata
volumetrica Q in ingresso ad ogni
singolo stadio è tale da compensare
l’aumento di densità.
Per quanto riguardal’intera macchina,
la portata volumetrica Q in ingresso
coinciderà con quella in ingresso al
primo stadio, mentre il rapporto di
compressione globale coincide con il
prodotto dei singoli rapporti di
compressione.
Pag. 64
Singoli stadi
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Sezione di Macchine
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Facoltà di Ingegneria
Curve caratteristica di Stadi Multipli di
Compressore
Dalle curve di funzionamento dei
singoli stadi, è possibile individuare il
funzionamento dell’intera macchina
che appare come qui riportato
Pag. 65
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Sezione di Macchine
Caratteristica di Stadi Multipli di Turbina
Il Comportamento del singolo stadio può
essere ricondotto a quello dell’Ugello, ma
l’andamento del rapporto
T
0
P0
ha l’andamento riportato in figura
Rapporto Espansione
3.
00
2.
80
2.
60
2.
40
2.
20
2.
00
1.
80
1.
60
1.
40
1.
20
1.
00
FATTORE DI RIDUZIONE SQ(t0)/p0
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
Pag. 66
Serie1
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Sezione di Macchine
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Facoltà di Ingegneria
Caratteristica di Stadi Multipli di Turbina
E quindi ne risulta la curva
per stadi multipli già visti
Pag. 67