Legge di Hooke formula e definizione
Consideriamo una molla
Se ad una estremità appendiamo una massa m essa subirà un allungamento l, se appendiamo una massa doppia anche l’allungamento sarà doppio, se triplichiamo la massa si triplica anche l’allungamento … questa proprietà delle molle permette di costruire degli strumenti in grado di misurare le forze: i dinamometri
Ogni volta che un dinamometro si allunga vuol dire che ad esso è applicata una forza per la
legge di Hooke (F = - kx) l’allungamento è proporzionale alla forza applicata. Il dinamometro permette una misura indiretta della forza, quello che misuriamo non è la forza ma la deformazione della
molla contenuta nel dinamometro. Gli allungamenti di una molla sono direttamente proporzionali alle masse applicate, costruendo un grafico otteniamo punti allineati con l’origine degli assi cartesiani .
L’unità di misura della forza è il newton ( N ) 1 N = 1kg 1m/s2 .
Legge di Hooke
Si può dimostrare che un corpo elastico soggetto ad una
forza F subisce una deformazione che è direttamente
proporzionale all'intensità della forza applicata.
Consideriamo una molla elastica del tipo elicoidale e
diciamo la sua lunghezza a riposo (in assenza di forze
esterne) sia l.
La legge di Hooke afferma che la forza applicata alla
molla elastica è direttamente proporzionale alla variazione di lunghezza (∆l ) che subisce la molla F=k∆l
F= forza applicata;
k= costante di proporzionalità della
molla, il suo valore dipende dal tipo
di materiale con cui è stata realizzata
la molla e dal numero di spire che
compongono la molla.
∆l la variazione di lunghezza subita
dalla molla in seguito all'applicazione
della forza F.
Si precisa che in natura esistono corpi che non hanno proprietà elastiche e cioè qualsiasi forza applicata origina
semplicemente una deformazione permanente del corpo (la plastilina).
Per misurare una forza si usa uno strumento di misura che prende il nome di dinamometro. Esso è costituito da
una molla posta all'interno di un cilindro trasparente dove è incisa una scala di misura. Le estremità della molla
sono una fissa col cilindro e quella inferiore libera di allungarsi dove normalmente si applica il peso o la forza F.
I dinamometri presentano diversi campi di applicazione e cioè ognuno di esso non può superare un determinato
valore massimo della forza e presenta una sua sensibilità. In altre parole, per applicare correttamente il dinamometro è necessario conoscere con una certa approssimazione il valor e della forza che si intende misurare. Nel sistema internazionale si misura in Newton.
LA LEGGE DI HOOKE
Misura statica della costante elastica di una molla
Obiettivo: Mettere in relazione la deformazione di una molla con l’intensità
della forza applicata ad essa, ricavando la legge di Hooke, che lega la forza e
la deformazione di un corpo elastico.
Strumenti e Materiali occorrenti:
•
Base a treppiede, asta metallica, morsetto.
•
Molla a spirale
•
Porta-masse, masse, bilancia.
•
Asta metrica con indici.
•
Carta millimetrata
Fasi dell’esperimento:
1. Appendi una massa alla molla.
2. Misura l’allungamento della molla, riporta i dati in tabella (le masse nella prima colonna e gli allungamenti nella
terza colonna)
3. Aggiungi una massa alla precedente e misura l’allungamento della molla (riporta i dati nella riga 2)
4. Prosegui aggiungendo masse al porta-masse e misurando gli allungamenti subiti dalla molla.
5. Determina per ogni riga la forza esercitata dalla massa sulla molla, moltiplicando il valore di m per l’accelerazione
di gravità (g=9,81 m/s2).
6. Determina per ogni riga il rapporto k tra la forza F (col. 2) e l’allungamento ∆L (col. 3)
7. Confronta i valori di k riportati nella colonna 5.
Raccolta e elaborazione dati: Molla n°………………..
1
2
3
m
F=mg
∆L
(kg)
(N)
(m)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
εa (∆L)
(m)
5
k
(N/m)
kmedio (N/m)
εa (k)
Elaborazione e rappresentazione grafica dei dati:
•
Poiché i valori di k risultano in generale diversi, calcola il valor medio kmedio calcola inoltre l’errore assoluto εa
(k)come semidifferenza tra il massimo valore e il minimo valore di k (semidispersione).
•
Crea un grafico riportando la variabile F sull’asse delle ordinate e la variabile ∆L sull’asse delle ascisse. La misura
della deformazione ∆L deve essere riportata con il relativo errore, quindi all’incrocio tra il peso e il relativo valore
di ∆L non dovrai disegnare semplicemente un puntino, ma una barra di errore, vale a dire un segmento orizzontale
di lunghezza pari al doppio di εa (∆L).
•
•
•
Se hai operato correttamente dovresti essere in grado di tracciare una retta che, partendo dall’origine degli assi,
passa attraverso tutte le barre di errore.
Commenta il grafico ottenuto. Cosa possiamo dire delle due grandezze prese in esame? Che tipo di dipendenza le
lega?
Riproduci con un foglio elettronico (Excel) la tabella della raccolta dati. Costruisci il grafico di F in funzione
di ∆L. Visualizza l’equazione che lega F e ∆L e ricava il valore della costante elastica.
Misura dinamica della costante elastica di una molla
Obiettivo: Osservazione del comportamento di molle di diversa rigidità; misura del relativo periodo per piccole
di oscillazioni e la costante elastica.
Strumenti e Materiali occorrenti:
•
Base a treppiede, asta metallica, morsetto.
•
Due molle a spirale
•
Masse, bilancia.
•
Asta metrica con indici.
•
Cronometro
Richiami teorici
La legge di Hooke afferma che la forza F che la molla esercita, quando viene compressa o dilatata, è proporzionale secondo la costante k al tratto x di spostamento dalla posizione di equilibrio:
Sostituendo a x e a le espressioni matematiche della posizione e della accelerazione in funzione del tempo (per
un moto armonico) otteniamo:
semplificando otteniamo:
Infine, poiché
,
il periodo del moto armonico per piccole oscillazioni di una molla di costante elastica k intorno al
suo punto di equilibrio è:
con m massa dell’intero sistema oscillante, possiamo ricavare k:
Fasi dell’esperimento:
Monta l’apparato come mostrato in figura.
1. Misura la massa delle due molle e delle masse appese (M1 e M2) .
2. Allunga la molla di un paio di centimetri e fai oscillare il sistema. Lascia compiere alla molla un paio di
oscillazioni prima di misurare dieci oscillazioni complete. Dividi la misura per 10 e riporta i dati in tabella
(T1= ∆t1/10).
3. Ripeti la misura quattro volte e calcola il valore medio.
Raccolta ed elaborazione dati:
M1 εa (M1) T1 T2 T3 T4 TM1 εa (TM1) k1 εa (k1)
(kg) (kg) (s) (s) (s) (s) (s)
(s)
(N/m) (N/m)
M2
(kg)
5.
6.
7.
8.
εa (M2)
(kg)
T1
(s)
T2
(s)
T3
(s)
T4
(s)
TM2
(s)
εa (TM2)
(s)
k2
(N/m)
εa (k2)
(N/m)
Per determinare l’errore assoluto di TM utilizza la semidispersione.
Utilizzando la propagazione degli errori determina l’errore assoluto per k1 e k2.
Puoi provare a determinare la costante elastica delle due molle sfruttando la legge di Hooke (metodo statico).
Confronta il valore così ottenuto con quello determinato con la misura dinamica.
Misure di massa attraverso l’allungamento della molla
Obiettivo: Determinazione della massa di un oggetto mediante l’utilizzo di una molla di costante elastica nota.
Strumenti e Materiali occorrenti:
• Base a treppiede, asta metallica, morsetto.
• Molla a spirale
• Oggetti di massa incognita, bilancia.
• Asta metrica con indici.
Richiami teorici
La legge di Hooke afferma che la forza F che la molla esercita, quando viene compressa o dilatata, è
proporzionale secondo la costante k al tratto x di spostamento dalla posizione di equilibrio:
. Se la deformazione della molla è causata dalla forza peso di un oggetto appeso
all’estremità libera della molla, possiamo affermare che il modulo della forza peso dell’oggetto è
uguale al modulo della forza elastica:
È quindi possibile ricavare la massa dell’oggetto:
Fasi dell’esperimento:
.
.
1.
2.
3.
4.
5.
Determina la costante elastica della molla con il metodo statico o con il metodo dinamico.
Appendi un oggetto di massa incognita alla molla.
Misura l’allungamento della molla, riporta i dati in tabella.
Calcola la massa utilizzando la formula riportata nei richiami teorici.
Determina l’errore assoluto della costante elastica e dell’allungamento e calcola (utilizzando la propagazione degli errori) l’errore assoluto associato alla massa.
6. Sostituisci la molla e ripeti le misure. I valori ottenuti per m devono essere confrontabili entro gli errori
sperimentali.
oggetto k (N/m) εa (k) ∆x εa (∆x) m (kg) εa (m)
(N/m) (N/m) (m) (m)
(kg) (kg)
1
2
3
4
Ricorda che:
(εr = errore relativo, εa = errore assoluto)
P=A´B εr(P) =εr(A) + εr(B).
Q=A/B
εr(Q) =εr(A) + εr(B)
S=A+B εa(S) =εa(A) + εa(B)
D=A–B
εa(D) =εa(A) + εa(B)