Modelli probabilistici
Antonello Maruotti
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A. Maruotti
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Outline
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Alcuni modelli probabilistici
Variabile aleatoria con funzione di probabilità o densità di
probabilità espressa da una funzione analitica.
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A. Maruotti
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Bernoulli
Due soli possibili risultati: successo/insuccesso
Denotiamo con π la probabilità di successo
{
X=
P(0) = 1 − π,
P(x ) =
π x (1
1 successo
0 insuccesso
P(1) = π
− π)1−x
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A. Maruotti
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Bernoulli: valore atteso e varianza
Valore atteso:
E (X ) = 0 × (1 − π) + 1 × π = π
Varianza:
V (X ) = (0 − π)2 (1 − π) + (1 − π)2 π
= π(1 − π)(π + 1 − π)
= π(1 − π)
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A. Maruotti
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Binomiale
n prove indipendenti
In ogni prova abbiamo successo o insuccesso
Denotiamo con π la probabilità di successo in una singola
prova
Definiamo la variabile aleatoria X : numero di successi in n
prove
P(x ) =
n!
x
x !(n−x )! π (1
− π)n−x
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A. Maruotti
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Binomiale: esempio
Qual è la probabilità di avere una volta 3 lanciando due volte un
dado?
Soluzione 1: Spazio campionario = {(1,1),. . . ,(1,6),. . . ,(6,6)}
P(unavolta3) =
Soluzione 2:
n = 2 prove indipendenti
in ogni prova esce 3 (successo)
π = 1/6 è la probabilità di successo
x = 1 numero di successi di cui vogliamo
conoscere la probabiità
P(X = 1) =
2!
1!(2 − 1)!
( )1 (
1
6
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A. Maruotti
10
36
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1
6
1−
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)2−1
10
36
=
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Binomiale: valore atteso e varianza
E (X ) = nπ
V (X ) = nπ(1 − π)
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A. Maruotti
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Poisson
Variabile di conteggio
X ∼ Poisson(λ),
P(x ) =
x ≥ 0; 0 < λ < +∞
λx −λ
x! e
E (X ) = V (X ) = λ
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A. Maruotti
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Binomial e Poisson: proprietà
Binomiale:
1
2
3
Poisson:
1
Il valore atteso e la varianza crescono al crescere
di n
La distribuzione è simmetrica per π = 0.5
In ogni caso, per n → ∞, la distribuzione tende
a essere simmetrica rispetto al valore atteso
La variabile casuale Binomiale, al crescere di n e
al diminuire di π, tende a una variabile casuale
di Poisson con parametro λ = nπ
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A. Maruotti
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Normale
Simmetrica
Media, moda e mediana coincidono
la locazione è data dalla media
la dispersione è data dalla varianza σ 2
ha un range infinito (−∞, +∞)
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A. Maruotti
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Normale: forma e funzione di densità
2
1
2
e −(x −µ) /2σ
f (x ) = √
2
2πσ
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A. Maruotti
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Normale standardizzata
1
2
f (z) = √ e −z /2
2π
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A. Maruotti
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Calcolo della probabilità di un intervallo
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A. Maruotti
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Calcolo della probabilità di un intervallo
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A. Maruotti
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La Normale standardizzata e le tavole
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A. Maruotti
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Esempio
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A. Maruotti
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La Normale e le tavole (generale)
X ∼ N(µX , σX2 )
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A. Maruotti
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Esempio
Supponiamo X Normale con media 8.0 e deviazione standard 5.0.
Calcolare P(X < 8.6).
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A. Maruotti
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Esempio: trovare la probabilità
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A. Maruotti
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Esempio
Supponiamo X Normale con media 8.0 e deviazione standard 5.0.
Calcolare P(X > 8.6).
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A. Maruotti
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Intervalli notevoli
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A. Maruotti
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Quantili
Supponiamo che la distribuzione della spesa per cliente in un
grande supermercato sia ben approssimata da una normale con
media µ = 50 e deviazione standard σ = 10. Determinare il livello
di spesa sotto il quale abbiamo solo una probabilità del 20% di
trovare un cliente.
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A. Maruotti
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Quantili: le tavole
Spesa = µ + zσ = 50 + (−0.84) × 10 = 41.6
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A. Maruotti
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