Problema n. 1
Nel riquadro sottostante sono mostrate le registrazioni in voltage-clamp di una corrente
dovuta all’apertura di canali voltaggio-dipendenti. La conduttanza massima è G=10 mS;
inoltre tali canali possiedono un’unica gate di attivazione e non inattivano.
a) Dopo aver messo in grafico i valori della
corrente I misurata allo stato stazionario in
funzione del potenziale Vc servendosi del
grafico e di un righello, stabilire qual è il
valore del potenziale di equilibrio (Eeq);
b) Calcolare i valori della conduttanza g e
quindi della probabilità di apertura dei canali
Po ai vari potenziali. Mostrare le formule
utilizzate nei calcoli.
Vc (mV)
-20
-40
-60
-80
-100
I (nA)
0.6
0.25
0.08
0
-0.05
g (mS)
0.01
0.00625
0.004
0.0025
Po
0.001
0.000625
0.0004
0.00025
Eeq: valore di Vm al quale la
corrente ionica a canale aperto
è zero
g=I/(Vm-Eeq)
Po=g/Gmax)
0.7
0.012
0.5
0.01
0.4
0.008
g (microS)
0.6
0.3
0.006
0.004
0.2
0.002
0.1
0
0
-120
-100
-80
-60
-40
-20
-120
0
-100
-80
-60
-40
V (mV)
-0.1
I
0.6  109 A
0.6
6
6
g



10
S

0
.
01

10
S  0.01mS
V  E ( 20  80 )  103 V 60
-20
0
Problema n. 2
Una cellula contiene 105 canali al Ca2+ voltaggio-dipendenti, ciascuno di essi è dotato di
due gates m per l’attivazione identiche e indipendenti che seguono lo schema cinetico a
due stati sotto indicato con costanti di velocità voltaggio-dipendenti.
Gate m chiusa
a(V)
Gate m aperta
b(V)
a (V )  40e V / 20mV (sec-1)
b (V )  400e V / 40mV (sec-1)
Che ampiezza raggiungono le correnti totali di whole-cell allo stato stazionario quando la
cellula è clampata a -80 mV e a +20 mV assumendo che la cellula abbia solo canali al
Ca2+, che la conduttanza di singolo canale sia g= 20 pS e che ECa= +80 mV?
Se la probabilità di apertura della singola gate a +20 mV segue il seguente andamento
temporale: m(t) = 0.3∙(1-e-t/tau), stabilire dopo quanti ms (approssimare alla 2a cifra
decimale) la singola gate m avrà una probabilità del 50 % di essere aperta a +20 mV.
Mostrare le formule generali utilizzate e i risultati numerici finali
Vc
I_Ca (pA)
alfa(V)
beta(V)
m_inf
g (pS)
N
E_Na (mV)
-80
-0.02
0.73
2956
0.0002
20
100000
80
+20
-11493
109
243
0.3096
20
100000
80
taum=1/(ab)=2.8 ms  P(0.5) → 1.94 ms
N=105
m=0.3096
g=20pS
V=+20mV; E=+80mV
I  N  m2  g ( V  E )  105 ( 0.31)2  20  1012 ( 20  80 )  103 A
 0.0958  20 ( 60 ) 1010 A
 114.96  1010 A  11496pA
1
1
m( 20mV ) 

sec  0.0028 sec  2.8ms
a  b 109  243
Problema n. 3
Si supponga che depolarizzando in condizioni di voltage-clamp la membrana di un neurone
dal potenziale di riposo ad un certo potenziale Vf = -20 mV, la probabilita’ di apertura di una
singola gate di attivazione “n” di un canale voltaggio-dipendente raggiunga il seguente
valore allo stato stazionario: n∞(-20) = 0.5.
a) Sapendo inoltre che la conduttanza massima e’ Gmax = 10 nS, che il potenziale di
equilibrio dello ione permeante è Eeq = -70 mV e che il canale possiede due gates di
attivazione uguali e indipendenti e nessuna gate di inattivazione, calcolare il valore allo stato
stazionario della corrente I a -20 mV. Mostrare le formule generali utilizzate e i calcoli.
b) Se la probabilità di apertura della singola gate a -20 mV segue il seguente andamento
temporale:
n(t) = 0.5∙(1-e-t/2),
stabilire dopo quanti ms (approssimare alla 1° cifra decimale) metà dei canali apribili a -20
mV saranno aperti.
a)
Vf =
-20
mV
Eeq =
-70
n∞(-20) =
0.5
Gmax =
10
gates =
2
mV
nS
g(-20) [nS]
I(-20) [pA]
2.5
125
I=n2·Gmax(Vm-Eeq)
b)
t
n
n2
0
0.00
0.00
1
0.20
0.04
0. 60
0. 50
2
0.32
0.10
3
0.39
0.15
4
0.43
0.19
5
0.46
0.21
6
0.48
0.23
7
0.48
0.24
8
0.49
0.24
9
0.49
0.24
10
0.50
0.25
11
0.50
0.25
12
0.50
0.25
n(t) =
P(t)=n2(t) =
0.5*(1-exp(-t/2)
(0.5*(1-exp(-t/2))2
0. 40
0. 30
0. 20
0. 10
0. 00
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P1/2 =(0.5*(1-exp(-t/2))2 =(0.5)2/2 = 0.125
0.5*(1-exp(-t/2) = √(0.125)
t=-2ln(0.29)=2.45 ms
13
n(t)=prob. singola gate aperta
n( t )  0.5 ( 1 et / 2 )
P(t)=prob. canale aperto = n2(t)
P( t )  n2( t )  [0.5 ( 1  e  t / 2 )]
Calcolo analitico di P∞:
Calcolo grafico di P∞:
P  lim t  n2( t )  0.5 2  0.25
P  0.25  P1/ 2  0.125
P1/ 2  0.125  [0.5 ( 1  e  t / 2 )]
2
Dobbiamo risolvere l’equazione rispetto a t:
0.125  [0.5 ( 1  e  t / 2 )]
0.353  0.5 ( 1 et / 2 )
1
0.353
 e t / 2
0 .5
t  2  ln( 0.294 )  2.45ms
2
2
Problema N. 4
La figura sottostante è la traccia idealizzata di una corrente di singolo canale registrata
da un canale del Ca2+ voltaggio-dipendente. Il potenziale di inversione di questo
canale è circa +50 mV e il voltaggio è clampato a -10 mV.
0
pA
-2
0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 ms
A) qual è la conduttanza di singolo canale aperto se la relazione I/V di singolo canale è
lineare?
B) Qual è la probabilità di apertura a -10 mV?
C) Se la traccia è rappresentativa delle tracce di corrente per un lungo periodo di
tempo, stimare i valori delle quattro costanti di velocità k+1, k-1, a e b supponendo che
il modello cinetico sia a tre stati con due stati chiusi contigui ed uno stato aperto:
C2
k+1
k-1
a
C1
b
O
Non essendo possibile in questo contesto costruire e interpolare gli istogrammi di apertura e
chiusura, per il calcolo dei tempi medi di apertura e di chiusura utilizzate le medie
aritmetiche ottenute dai valori riportati nella tabella sottostante facendo però attenzione che
esiste un’attività a bursts con due distinte tipologie di chiusure aventi durate
significativamente diverse (vedi traccia idealizzata.
TABELLA
Dur. aperture (ms)
5
2.5
5
2.5
5
7.5
5
2.5
5
10
2.5
5
2.5
2.5
2.5
5
5
2.5
Dur. chiusure (ms)
2.5
7.5
5
5
5
35
5
7.5
2.5
35
5
5
5
5
5
10
5
C2
k+1
k-1
a
C1
b
O
1) g=i/(V-E)=-2·10-12/((-10-50)·10-3)= 0.033x10-9S=33 pS
2) Po=To/(To+Tc) = 77.5/(77.5+80+70) = 0.34
MOT = 1/b = 77.5/18 = 4.3
MC1T = 1/(a+k-1) = 80/15 = 5.3
MC2T = 1/k+1 = 70/2 = 35
MOB= a/k-1 +1 = (6+4+8)/3 = 6
→ b = 0.232 ms-1
→ a = 0.024 ms-1
→ k+1 = 0.188 ms-1
→ k-1 = 0.005 ms-1
ESERCIZI – TEORIA DEI CIRCUITI
(Corso di Biofisica di membrana ed elettrofisiologia)
Anno Accademico 2014-2015
- Resistenze collegate in serie
- Resistenze collegate in parallelo
- Partitore di tensione e di corrente
RESISTENZE COLLEGATE IN SERIE
Req = R1+R2+R3+…..
1) In tutte le resistenze fluisce la stessa corrente  I1 = I2= I3= ….
2) La somma delle tensioni ai capi di ogni resistenza è pari a quella totale Vtot = V1+V2+V3+…
RESISTENZE COLLEGATE IN PARALLELO
1) La tensione ai capi di ogni resistenza è la stessa  V1=V2=V3=….
2) La somma delle correnti è pari a quella totale che fluisce nel circuito  Itot =I1+I2+I3+…
Nel caso di due
resistenze:
Nel caso di “n” resistenze tutte uguali:
Req = R/n
dove n è il numero di resistenze connesse in parallelo
PARTITORE di TENSIONE
1) Si applica a un gruppo di resistenze in serie
2) Ai capi di ciascuna resistenza si stabilisce una parte della tensione totale che alimenta la
serie
ESERCIZIO
Determinare il valore di V per il circuito in figura.
V = 50* [6/(6+4)] = 30V
PARTITORE di CORRENTE
Si applica a due resistenze collegate in parallelo
ESERCIZIO
Determinare la tensione V, la resistenza totale del circuito e i valori delle tre resistenze,
sapendo che V1 è 5V, V2 è 2V e V3 è 6V e che il circuito è percorso da una corrente di 4 A.
Le resistenze sono collegate in serie, quindi la somma delle cadute di potenziale ai capi di ciascuna
resistenza deve dare il valore totale di tensione :
V= V1 + V3 + V3 = (5+2+6)V = 13 V
La corrente che fluisce nel circuito sarà la stessa che fluisce in ogni resistenza:
R=V/I = (13V)/(4A) = 3.25 W
R1 = V1/I = 5V/4A = 1.25 W
R2 = V2/I = 2V/4A = 0.5 W
R3 = V3/I = 6V/4A = 1.5 W
ESERCIZIO
Nel circuito in figura determinare la tensione ai capi della resistenza R3. Se la resistenza
totale del circuito è pari a 100 W, determinare la corrente che fluisce attraverso il resistore
R1 e il valore della resistenza R2.
Le resistenze sono collegate in serie, quindi la somma delle cadute di potenziale ai capi di ciascuna
resistenza deve dare il valore totale di tensione (25V), quindi:
V3 = (25-10-4)V = 11 V
La corrente che fluisce nel circuito sarà la stessa che fluisce in ogni resistenza:
I = V/R = (25V)/(100 W) = 0.25 A
R2 = V2/I = (4V)/(0.25A) = 16 W
ESERCIZIO
Determinare la corrente che fluisce nel circuito e la tensione ai capi della resistenza da 9W.
Le tre resistenze sono in serie, quindi la resistenza totale:
Rtot = (4+9+11) W = 24 W
La corrente che fluisce nel circuito è la stessa che fluisce in ogni resistenza, quindi anche nella
resistenza da 9 W:
I = V/R = (12V)/(24 W) = 0.5 A
La tensione (V1) ai capi della resistenza di 9 W è data da:
V1 = 0.5A*9 W = 4.5 V
ESERCIZIO
Due resistenze sono connesse in serie. La corrente che fluisce nel circuito è pari a 3A. Se una
resistenza vale 2W determinare: (a) il valore dell’altra resistenza (Rx); (b) la tensione ai capi
della resistenza di 2W.
(a) Essendo le resistenze collegate in serie la resistenza totale del circuito è data da:
Rtot = V/I = 24V/3A = 8 W
La resistenza Rx vale: Rx = (8-2) W = 6 W
(b) La tensione ai capi della resistenza 2W è:
V1 = IR1 = 3A*2W = 6 V
Oppure usando la formula del partitore di tensione:
V1 = 24V*[2/(2+6)] = 6 V
ESERCIZIO
Determinare la corrente letta dall’amperometro ed il valore della resistenza R2.
amperometro
Le resistenze sono collegate in parallelo:
V= I1*R1 = 8A*5W = 40 V
La corrente letta dall’amperometro:
I = V/R3 = 40V/20W = 2 A
La corrente che fluisce in R2 è : I2 = (11-8-2) A = 1 A
Quindi R2 = V/I2 = 40V/1A = 40 W
ESERCIZIO
Dato il circuito in figura, determinare la resistenza totale e la corrente che fluisce nella
resistenza da 3W.
Le resistenze sono collegate in parallelo, quindi:
Rtot = (3*6)/(3+6) = 18/9 = 2 W
Poiché le resistenze sono collegate in parallelo, la tensione ai capi di ogni resistenza è la stessa, quindi la
corrente che fluisce nella resistenza da 3W è data da:
I1 = V/R1 = 12V/3W = 4 A
ESERCIZIO
Dato il circuito in figura, determinare il valore di V e di I.
Le resistenze sono collegate in parallelo quindi ai capi di ogni resistenza si leggerà la stessa tensione:
V = V2 = I2*R2 =3A*20W = 60 V
Da cui:
I1 = V/R1 = 60V/10W = 6 A
I3 = V/R3 = 60V/60W = 1 A
I = I1+I2+I3 = (6+3+1)A = 10 A
Oppure: 1/Req= (1+3+6)/60 = 10/60 da cui Req = 60/10 = 6 W
I= V/Req = 60V/6W = 10 A
ESERCIZIO
Calcolare la resistenza totale dei circuiti in figura.
Rtot = (2+4.5+1.5) W = 8 W
R = (18*6)/(18+6) = 4.5 W
Rtot = (15+7.5+5) W = 27.5 W
R = (15/2) = 7.5 W
R = (15/3) = 5 W
ESERCIZIO
Dato il circuito in figura, calcolare: a) il valore della corrente I; b) la corrente che fluisce in ogni resistenza; c) la
differenza di potenziale ai capi di ciascuna resistenza.
a) R2 ed R3 sono in parallelo e la resistenza equivalente (detta Rx) vale:
Rx = R2R3/(R2+R3) = (6*2)/(6+2) = 12/8 = 1.5 W
La resistenza equivalente tra R1, Rx ed R4 che sono collegate in serie sarà:
Req = R1+Rx+R4 = (2.5+1.5+4) = 8 W
Da cui: I = V/Req = 200V/8W = 25 A
b) La corrente che fluisce in R1 ed R4 è 25A. La corrente che fluisce in R2 ed R3 (usando la regola del partitore di corrente):
I2 = [R3/(R2+R3)]*I = (2/6+2)/25A = 6.25 A
I3 = [R2/(R2+R3)]*I = (6/6+2)/25A = 18.75 A
c) Calcoliamo la tensione ai capi di ogni resistenza:
V1 = I*R1 = 25A*2.5W = 62.5 V
Vx = I*Rx = 25A*1.5W = 37.5 V (la tensione ai capi di R2 ed R3 è la stessa)
V4 = I*R4 = 25A *4W = 100 V
ESERCIZIO
Trovare la resistenza equivalente del circuito in figura.
R3, R4, R5 sono connesse in parallelo:
1/R = (1/3) + (1/6) + (1/18) = 10/18
ovvero R = 1.8 W
Il circuito è ora equivalente a quattro resistenze in serie:
Req = (1+2.2+1.8+4)W = 9 W
ESERCIZIO
Se quattro lampadine identiche sono collegate in parallelo e la resistenza equivalente è di
100 W, quanto vale la resistenza di ciascuna lampadina?
Poiché la resistenza equivalente di «n» resistenze uguali collegate in parallelo è data da Req=R/n , allora:
R = Req * n = 100W * 4 =400 W
ESERCIZIO
Tre resistori sono collegati in parallelo (20 W, 20 W , 30 W). Quale resistore (Rx) deve
essere collegato in serie ai tre al fine di avere una resistenza totale di 10 W ?
La resistenza equivalente dei tre resistori è:
1/Req = 1/20 + 1/20 + 1/30 = 8/60  Req = 60/8 = 7.5 W
Se la resistenza appena ottenuta è collegata in serie con una resistenza Rx al fine di avere una
resistenza totale di 10 W, allora :
Rx = (10 – 7.5) W  2.5 W
-Condensatori collegati in serie
-Condensatori collegati in parallelo
-Carica/scarica del condensatore
CONDENSATORI
La capacità è data da: C = Q/V [capacità = carica/tensione]
La carica immagazzinata da un condensatore è data da: Q = I*t [carica = corrente*tempo]
CONDENSATORI IN SERIE
I condensatori in serie presentano sulle armature la stessa carica.
1/Ceq = 1/C1 + 1/C2 + 1/C3 + ….
Nel caso di due condensatori:
Ceq = (C1*C2)/(C1+C2)
Nel caso di n condensatori uguali: Ceq = C/n
CONDENSATORI IN PARALLELO
I condensatori in parallelo sono sottoposti alla stessa tensione.
Ceq = C1 + C2 + C3 + ….
ESERCIZIO
a) Determinare la tensione ai capi di un condensatore di 4 mF quando è caricato con 5 mC.
b) Trovare la carica accumulata su un condensatore di capacità pari a 50 pF quando si applica
una tensione di 2KV.
a) C = 4 mF = 4*10-6 F
Q = 5 mC = 5*10-3 C
V = Q/C = (5*10-3)/(4*10-6) = (5*103)/4 = 1250 V = 1.25 KV
b) C = 50 pF = 50*10-12 F
V = 2KV = 2000 V
Q =C*V = (50*10-12 )* 2*103 = 10*10-8 = 0.1 mC
ESERCIZIO
Dati due condensatori di 2 e 6 mF collegati in serie e parallelo, calcolare la capacità
equivalente in entrambi i casi.
a) Collegamento in serie: Ceq = (2*6)/(2+6) = 12/8 = 1.5 mF
b) Collegamento in parallelo: Ceq = 2+6 = 8 mF
ESERCIZIO
Una corrente di 4A fluisce in un condensatore di 20 mF per 3 ms. Determinare la tensione ai
capi del condensatore.
Essendo Q =I*t = 4*3* 10-3 = 12*10-3 C
V = Q/C = (12*10-3)/(20*10-6) = 600 V
ESERCIZIO
Un condensatore di 5 mF è caricato in modo che la tensione ai suoi capi sia di 800 V.
Calcolare per quanto tempo il condensatore fornirà una scarica media di corrente di 2 mA.
Q = C*V =( 5*10-6)*800 = 4*10-3 C
t = Q/I = (4*10-3 )/(2*10-3) s = 2 s
ESERCIZIO
Quale condensatore deve essere collegato in serie con un condensatore di 30 mF affinché la
capacità equivalente sia di 12 mF?
Deve valere: (C1*Cx)/(C1+Cx) = Ceq
quindi:
Cx = (C1*Ceq)/(C1- Ceq) = (12*30)/(30-12) = 360/18 = 20 mF
ESERCIZIO
Quattro condensatori di 1mF, 3mF, 5mF, 6mF sono collegati in parallelo ad un generatore di
tensione di 100 V. Determinare: a) la capacità equivalente del circuito; b) la carica totale; c) la
carica di ogni condensatore.
a) Ceq = (1+3+5+6) mF = 15 mF
b) Q = C*V = 15*10-6*100 = 1.5 mC
c) La carica del condensatore da 1mF : Q1 = C1*V = 1*10-6*100 = 0.1 mC
ecc……
ESERCIZIO
Tre condensatori sono collegati in serie come in figura. Calcolare a) la capacità equivalente; b)
la carica di ogni condensatore e c) la tensione ai capi di ciascun condensatore.
a) 1/Ceq = (1/3) + (1/6) + (1/12) = 7/12
da cui Ceq = 12/7 = 1.7 mF
b) Q = C*V = (1.7*10-6) * 350 = 0.6 mC
c) Essendo collegati in serie tutti i condensatori sono sottoposti alla stessa carica:
V1 = Q/C1 = (0.6*10-3)/(3*10-6) = 200 V
ecc…
PROCESSO DI CARICA di un condensatore
Alla fine del processo di carica fra le due
armature verrà riprodotta la stessa forza
elettromotrice della batteria, quindi Q = fC
(equivalente alla classica dicitura Q=VC) .
La costante  = RC rappresenta il tempo che occorre
alla carica Q(t) per raggiungere il 63% del valore
massimo (fC), ovvero:
Q(t) = 0.632*fC
PROCESSO DI SCARICA di un condensatore
La costante  = RC rappresenta il tempo che occorre
alla carica sul condensatore per scendere al 37% del
valore iniziale Q0, ovvero:
Q(t) = 0.37*Q0
ESERCIZIO
Si calcoli la costante di tempo di un circuito RC in cui C=100 mF e R = 220 KW ed il tempo che
esso impiega a caricarsi fino al 50% della differenza di potenziale massima (f) fornita dalla
batteria.
= RC = (200*103)*(100*10-6) s = 22 s
Posto Q(t) = f*C*(1-e-t/RC) pari al 50% del suo valore massimo:
f*C*(1-e-t/RC) = 0.5*f*C
(1-e-t/RC) = 0.5  1-0.5 = e-t/RC  e-t/RC = 0.5
t = -RC ln(0.5) = -22*(-0.693) s = 15.2 s
Per la proprietà dei logaritmi:
e-A/B = C  ln(e-A/B) = ln C  -A/B = ln C  A = -B *(ln C)
ESERCIZIO
Si consideri un dispositivo come in figura in cui R1 = 150 kW, R2 = 250 KW, C=200 mF collegato
ad una batteria che fornisce una forza elettromotrice (f) di 4.5 V. Una volta chiuso
l’interruttore, calcolare la costante di tempo del processo, il valore massimo di carica sul
condensatore ed il tempo affinché sulle armature si depositi il 75% di questo massimo.
Il dispositivo si comporta come un circuito RC in serie, per cui possiamo scrivere:
Req = R1 + R2 = (150+250) KW = 400 KW
Il valore massimo di carica sarà dato da: Q(max) = f*C = (4.5*200*10-6) C = 900 mC
La costante di tempo vale:
 = RC = ReqC = (400*103)*(200*10-6) = 80 s
Imponiamo che Q(t) = f*C*(1-e-t/RC) sia pari al 75% del valore massimo f*C:
f*C*(1-e-t/RC) = 0.75*f*C

e-t/RC = 0.25
 = -RC ln(0.25) = -80*(-1.39) s = 111 s
ESERCIZIO
Nel grafico è rappresentato l’andamento della corrente in funzione del tempo durante il
processo di scarica di un circuito RC alimentato da una batteria la cui forza elettromotrice
f=9V. Si calcolino i valori della resistenza, della capacità del condensatore e della corrente I1.
Esaminando il grafico, ricaviamo immediatamente la costante di tempo:
 = RC = 2s
Inoltre:
I0 = f/R = 0.0300 A
da qui ricaviamo R:
R = f/I0 = 9/0.03 = 300 W
C = /R = 2/(300) = 0.0067 F
La corrente I1 è quella quando t=, ovvero:
I1 = 0.37*(f/R) = 0.37*0.0300 = 0.0111 A
ESERCIZIO
Un circuito consiste di un resistore collegato in serie con un condensatore di 0.5 mF ed ha
una costante di tempo di 12 ms. Determinare il valore del resistore e la tensione ai capi del
condensatore 7 ms dopo averlo collegato ad una batteria di 10V.
Ricaviamo R dalla costante di tempo:
R = /C = (12*10-3)/(0.5*10-6) = 24 kW
sappiamo che durante il processo di carica la tensione varia come V(t)=f*(1-e-t/). Occupiamoci dapprima
della parte esponenziale:
-t/ = -(7*10-3)/(12*10-3) = -0.583
Quindi:
V= 10*(1-e-0.583) = 10*(1-0.558) = 4.42 V
ESERCIZIO
Un condensatore di 20 mF è collegato in serie con un resistore di 50 kW e a sua volta il circuito
è collegato ad una batteria (f) di 20V. Determinare:
a) il valore iniziale della corrente
b) la costante di tempo del circuito
c) Il valore della corrente dopo 1 secondo
d) Il valore della differenza di potenziale ai capi delle armature del condensatore dopo 2
secondi
e) Il tempo impiegato affinché la differenza d potenziale ai capi delle armature del
condensatore sia pari a 15V.
a) Il valore iniziale della corrente:
I0 = V/R = f/R = 20/(50*103) = 0.4 mA
b) La costante di tempo:  = RC
 = (50*103)*(20*10-6) = 1 s
c) La corrente dopo 1 secondo (poniamo quindi t=1):
I = I0*e-(t/) = 0.4*e-(1/1) = 0.4*0.368 = 0.147 mA
d) V = f*(1-e-t/) = 20*(1-e-2/1) = 20*(1-0.135) = 20*0.865 =17.3 V
e) V = V0*e-t/  15=20*e-t/1  et = 20/15  t = ln(20/15) = ln 1.3333 = 0.288 s
ESERCIZIO
Un condensatore di 0.1 mF è caricato a 200V prima di essere collegato ad un resistore di
4KW. Determinare:
a)la corrente iniziale di scarica
b)la costante di tempo
c)Il tempo minimo richiesto affinché la differenza di potenziale ai capi del condensatore
scenda sotto l’1%, espresso in unità di costante di tempo.
a) La corrente iniziale è data da:
I = V/R = 200/(4*103) = 0.05 A = 50 mA
b) La costante di tempo è data da:
 = RC = (4*103 ) * (0.1*10-6) = 0.0004 s = 0.4 ms
c) L’1% del valore iniziale di differenza di potenziale corrisponde a 2V. Quindi:
V=V0*e-t/  2 = 200 * e-t/0.4
t = -0.4ms*ln(0.01) = 1.84 ms che corrispondono a circa 5 volte la costante di tempo 
ESERCIZIO
Quando un condensatore di 3 mF è collegato ad un resistore la differenza di potenziale decade
del 70% in 3.9s. Determinare il valore del resistore.
Detto V0 il valore iniziale della differenza di potenziale e V quello finale, allora se decade del 70%
significa che dopo 3.9s V corrisponde al 30% di V0, ovvero:
V/V0 = 30/100 = 0.3
Quindi: V = V0*e-t/t  V/V0 = e-t/
0.3 = e-3.9/ da cui ricavo :
ln (0.3)= -3.9/

 = -[3.9/ln(0.3)] = 3.25 s
Possiamo ora calcolare R:
R = /C = 3.25/(3*10-6) = 1.08*106 W = 1.08 MW
ESERCIZIO
Durante un potenziale d’azione il potenziale di membrana Vm di una cellula passa
transitoriamente da -70 mV a +30 mV. Quando il neurone si trova a +30 mV, quale è la
variazione di carica accumulata sulla faccia interna della membrana somatica? Quanti ioni
hanno prodotto questo spostamento di carica? [Considerare la capacità della cellula dell’esercizio
precedente].
La variazione del potenziale di membrana è: [+30-(-70)]mV = 100 mV.
La carica spostata sulla superficie di membrana è:
Q = C*V = 0.79 pF * (100*10-3 V) = 79*10-15 C
Poiché durante la fase iniziale del potenziale d’azione la depolarizzazione della membrana è dovuta
all’influsso di ioni sodio (monovalenti), sulla faccia interna della membrana si sono accumulati:
79*10-15 / 1.6*10-19 = 493750 ioni monovalenti
Leggi di Kirchhoff
Legge di Kirchhoff per la CORRENTE:
La somma delle correnti entranti in nodo e di quelle uscenti è pari a zero
Legge di Kirchhoff per la TENSIONE:
La somma delle cadute di potenziale è pari a zero
Convenzione:
La corrente che fluisce dal polo positivo di una batteria a quello negativo è POSITIVA
Usare la legge della corrente di Kirchoff e la legge per il voltaggio per
calcolare la corrente attraverso ciascuno dei resistori e il voltaggio a cavallo
di essi.
4k W
3k W
i1
i2
9V
+
i3
6k W
2k W
+
3V
i1  i 2  i3

 R1i1  R3i 3  0
 V*
1
 
 V*2 R3i3  ( R2  R4 )i 2  0
i1  i 2  i3

V1  R1i1  R3i3  0
 
V2 R3i 3  ( R2  R4 )i 2  0
1° legge di Kirchoff
(dei nodi)
2° legge di Kirchoff
(delle maglie)
i 3  5 / 8K  0.625mA

i 2  9 / 8K  1.125mA
i  7 / 4K  1.75mA
1
Una corrente positiva fluisce dal + al – all’interno di
un generatore di voltaggio (batteria).
*
ESERCIZIO
Si calcoli il valore della corrente in ciascuno dei rami del circuito in figura e la tensione fra i
due nodi, sapendo che:
f1 = 12 V
f2 = 15 V
R1 = 100 W
R2 = 200 W
R3 = 300 W
Servono 3 equazioni per determinare il valore
delle correnti incognite.
I1 = I2 + I3 (equazione per le correnti)
-f1 +R1I1 +R2I2 = 0
f2 + I3R3 - R2I2 = 0
(equazioni per le cadute di potenziale)
Risolvendo il sistema, dopo alcuni passaggi otteniamo:
I3 = (R2I2-f2)/R3
f1 = R1I2 +R2I2 + R1(R2I2-f2)/R3
I1 = 27.3 mA
I2 = 46.4 mA
VA – VB = R2I2 = (200*0.046)V = 9.2 V
I3 = -19.1 mA
ESERCIZIO
Determinare le correnti che fluiscono in ogni ramo del circuito in figura.
Dopo aver deciso il verso della corrente per ogni maglia (frecce blu), applichiamo le leggi di Kirchhoff:
-E1 + R1I1 –E2 + R2I2 = 0
E2 - R2I2 + R3I3 = 0
I 1 = I 2 + I3
I1 = 6.52 A
I2 = 6.37 A
I3 = 0.15 A

16 = 0.5I1 + 2I2
12 = 2I2 - 5I3
I1 = I 2 + I 3
 ……
ESERCIZIO
Scrivere senza risolverle le tre equazioni che permettono di ricavare il valori delle correnti in
ogni ramo del circuito, supponendo noti i valori delle resistenze e delle batterie.
I1
I3
>
>
>
I2
Scelto il verso della corrente (frecce blu) possiamo scrivere le tre equazioni:
-f1 + R1I1 – f2 + R2I1 = 0
f2 + f3 + R3I3 =0
I1 = I2+I3
ESERCIZIO
Scrivere senza risolverle le tre equazioni che permettono di ricavare il valori delle correnti in
ogni ramo del circuito, supponendo noti i valori delle resistenze e delle batterie.
f2
R1
R3
R2
f1
Scelto il verso della corrente (frecce nere) possiamo scrivere le tre equazioni:
-f1 + R1I1 – f2 + R2I2 = 0
f2 - R2I2 + R3I3 =0
I1 = I2+I3