LEGGI SUL MOTO PLANETARIO
LEGGI DI KEPLERO
Le leggi sul moto planetario, scoperte da Keplero, dicono:
1. i pianeti si muovono su orbite ellittiche, uno dei fuochi delle quali è occupato dal
sole,
2. la linea raggio vettore che unisce il Sole con il pianeta copre aree uguali in tempi
uguali (legge delle aree),
3. i quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi della
loro distanza media dal sole.
Nel 1906 Keplero pubblicò la sua Astronomia Nova, con le prime due leggi del moto
planetario (legge delle orbite ellittiche e legge delle aree). L’opera Harmonices mundi
(1619) contiene la terza legge.
Per comprendere meglio il significato
delle tre leggi, si consideri un’ellisse, di
cui a sia il semiasse maggiore, b il
semiasse minore. I fuochi F1 e F2
dell’ellisse godono della proprietà per
cui la somma dei segmenti che li
uniscono a un punto P sull’ellisse è
uguale al doppio del semiasse maggiore, cioè
PF1 + PF2 = 2a.
In astronomia viene impiegata l’eccentricità numerica e cioè il rapporto tra la distanza
di un fuoco dal centro dell’ellisse e il semiasse maggiore: per un cerchio si ha e = 0, per
un’ellisse e è maggiore di zero ma inferiore a 1. Con e = 1 si ha una parabola e con e >
1 si ha un’iperbole. Paraboli e iperboli non sono curve chiuse e si estendono all’infinito.
La seconda legge di Keplero dice che la velocità di un pianeta all’afelio (massima
distanza dal Sole) è minima, e al perielio (minima distanza dal Sole) è massima; la
velocità sull’orbita è tale che l’area coperta dal raggio vettore in un determinato tempo
rimane
costante,
qualunque
parte
dell’orbita si consideri. Se il pianeta
impiega 30 giorni per muoversi da A a
B, o da C a D, o ancora da E a F, allora
i settori ABS, CDS e EFS hanno tutti
uguale area.
Nella terza legge di Keplero le
distanze medie e i periodi di rivoluzione
sono espressi rispettivamente in unità astronomiche e anni. La tabella conferma
l’esattezza della legge per i pianeti visibili a occhio nudo e conosciuti all’epoca di
Keplero.
La terza legge si può esprimere
anche con la formula:
a13 : a23 = P12 : P22
nelle quali P1 e P2 sono i periodi di rivoluzione dei pianeti 1 e 2 mentre a1 e a2 sono i
rispettivi semiassi maggiori. Poiché le masse dei pianeti sono trascurabili rispetto alla
massa del Sole, la forma della terza legge di Keplero ora riportata è da ritenersi valida
come caso particolare della forma più esatta
a13 : a23 = P12 (M + m1) : P22 (M + m2)
nella quale M è la massa del Sole e m1 e m2 sono le masse dei pianeti 1 e 2.
L’ANOMALIA
Attorno ad un’ellissi planetaria si tracci un cerchio che ne abbia in comune il centro
(M) e il cui raggio sia uguale al semiasse maggiore dell’ellisse.
Si indichi allora con anomalia vera V l’angolo che ha vertice nel Sole e per lati le
direzioni del perielio P e del pianeta P’ sulla sua orbita.
Per l’anomalia eccentrica E, si
proietti la posizione P’ del pianeta sul
cerchio
ausiliario
con
una
perpendicolare al semiasse maggiore
dell’ellisse ottenendo P’’: allora E è
l’angolo che ha per vertice il centro
dell’ellisse e per lati le direzioni del
perielio P e di P’’.
L’anomalia media M è l’angolo che
ha ancora per vertice il Sole e i cui lati sono la direzione del perielio e la direzione del
corpo ideale che si muove attorno al Sole con velocità angolare costante e con periodo
uguale a quello del pianeta allo studio.
L’equazione di Keplero dà un legame fra eccentricità, anomalia media e anomalia
eccentrica:
E – e sin E = M
dove e è l’eccentricità numerica.
LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE
Isaac Newton enunciò la legge di gravitazione universale, una teoria matematica che
spiegava i movimenti dei corpi celesti. Tale legge permise di dare le fondamenta al
sistema copernicano e di interpretare le perturbazioni gravitazionali che hanno luogo fra
i corpi celesti. La si esprime così: tutte le masse dell’universo si attraggono
reciprocamente, con una forza K direttamente proporzionale al prodotto delle masse (m1
e m2) e inversamente proporzionale al quadrato della distanza relativa r:
K =G
m1 m2
r2
G è la costante di gravitazione universale, uguale a 6.67 x 10-11 N/m2kg2.
Dalla legge di gravitazione universale si possono dedurre le tre leggi di Keplero; la
terza legge, per un singolo pianeta, può esprimersi nella forma
a3
G
=
2
P (M + m ) 4π 2
dove M e m sono ancora rispettivamente le masse del Sole e del pianeta e π = 3.14.
Un pianeta descrive un’orbita stabile quando non precipita sul Sole a causa
dell’attrazione di questo, né viene lanciato lontano dalla forza centrifuga che si esercita
sull’orbita: l’attrazione gravitazionale del
Sole
e
la
forza
centrifuga
devono
compensarsi. La forza centrifuga Z dipende
dalla massa m del pianeta, dalla sua velocità
v, dal raggio r di curvatura dell’orbita,
nonché dalla distanza del pianeta dal Sole:
Z=
mv 2
r
La velocità circolare vk è la velocità
necessaria per mantenere l’equilibrio tra
forza centrifuga e attrazione da parte del Sole a una certa distanza r. La velocità reale è
leggermente inferiore, in quanto il pianeta si muove su un’ellisse. La forza centrifuga
supera l’attrazione gravitazionale quando il pianeta si allontana dal Sole; viceversa
prevale l’attrazione da parte del Sole quando a questo ritorna ad avvicinarsi il pianeta. Il
diagramma illustra l’andamento della
forza di attrazione e della forza
centrifuga su un’orbita ellittica con
eccentricità e = 0.5.
Naturalmente, le leggi di Keplero, la legge di gravitazione ecc., valgono anche per il
moto di un satellite attorno a un pianeta, per il moto delle componenti di una stella
doppia ecc.
Mario Sandri
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