I SISTEMI
DI PRIMO GRADO
ANALIZZIAMO LA SEGUENTE
SITUAZIONE PROBLEMATICA
Un gruppo di 15 amici al ristorante pagano per
le pizze che hanno ordinato 78 €
Sei di loro hanno preso la pizza margherita gli altri la pizza
al prosciutto.
Quanto costano le diverse pizze?
IMPOSTAZIONE PROBLEMA
Per risolvere il problema posso scrivere l’equazione in due
incognite (x e y)
6x+9y=78
è una proposizione aperta verificata da molte coppie:
S={(13,0),(10,2),…}
Occorre un’altra informazione.
Ad esempio al tavolo vicino sei amici hanno ordinato le
stesse pizze 5 margherite e una al prosciutto pagando 26€.
Si può impostare l’equazione in due incognite (x e y)
5x+y=26
Proposizione aperta verificata da diverse coppie:
S={(1,21),(3,11),…}
Posso ricercare se esiste una coppia soluzione della prima e
della seconda equazione collegando tra loro le equazioni
 56xx  9yy2678
Ottenendo un sistema di primo grado
Costituito da due equazioni in due
incognite
I SISTEMI DI PRIMO GRADO
MAPPA
TEORIA
METODI DI RISOLUZIONE
MAPPA
I SISTEMI
RISOLUZIONE DEI PROBLEMI
TEORIA
METODI DI RISOLUZIONE
EQUAZIONI COME
FUNZIONI
EQUAZIONI IN
GEOMETRIA
ANALITICA
INSIEME DELLE
SOLUZIONI
Sistema indeterminato
Sistema determinato
Confronto
Riduzione
Sostituzione
Sistema impossibile
Cramer
Schema
EQUAZIONI COME FUNZIONI
f(x)=2x-3
x
-5
0
1
3
4
5
…


x
-5
2-x331
-31
3
y = 2x-3
-13
-3
-1
3
5
7
…
0
1
3
4
…
EQUAZIONI IN GEOMETRIA
ANALITICA
punto
coppia di reali
retta
equazione
la coppia (a,b) verifica
l’equazione 2x-3=y
il punto P(a,b)  alla retta
di equazione 2x-3=y
INSIEME DELLE SOLUZIONI
Un sistema è un insieme di equazioni, tutte nelle stesse incognite, che
devono essere verificate contemporaneamente.
Risolvere un sistema significa trovare le soluzioni comuni a tutte le
equazioni che lo compongono.
L’insieme delle soluzioni di un sistema è quindi costituito
dall’intersezione degli insiemi soluzione di ciascuna equazione.
ax  by  c

a ' x  b ' y  c '
A seconda del
suo insieme
soluzione un
sistema può
essere:
a b c
 
a ' b' c '
Sistema impossibile S=
a b

a ' b'
Sistema determinato
Sistema indeterminato
 c  ax 

S   x,
 x  
b 


a b c
 
a ' b' c '
METODI DI RISOLUZIONE
Elenco dei metodi di risoluzione:
•Metodo grafico
•Metodo del confronto
•Metodo di sostituzione
•Metodo di riduzione
•Metodo di Cramer
Metodo del confronto
Con un esempio vediamo il metodo del confronto, analizzando il sistema:
x  y  2  0

 x  2 y  14  0
Esplicitiamo ora le due equazioni rispetto a una delle due variabili, x
ad esempio:
x  2  y

 x  2 y  14
L’incognita x anche se espressa in modi diversi ha lo stesso valore e
potremo quindi scrivere: 2  y  2 y  14
e risolverla come un’equazione in una incognita.
Il valore di y trovato verrà sostituito in una delle due equazioni.
Basterà una semplice operazione per trovare poi il valore di x.
Metodo di sostituzione
Con un esempio spieghiamo il metodo di sostituzione analizzando il sistema:
56xx  9yy267800
Esplicitiamo ora una delle due equazioni rispetto a una delle due
variabili, x ad esempio:
 6 x  9 y  78  0

 y  5 x  26
Scrivendo nell’altra equazione al posto di y l’espressione prima
calcolata, svolgeremo l’equazione in x.
6x  9 5x  26  78  0
Una volta calcolato il valore di x sostituiremo di nuovo il suddetto
valore nell’equazione esplicitata in y.
Metodo di riduzione
Spiegheremo il metodo di riduzione con un esempio. Analizziamo il
seguente sistema: 2 x  5 y  6  0


 2 x  4 y  7  0
In questo sistema l’incognita x presenta coefficienti opposti nelle due
equazioni, per cui sommandole membro a membro si riducono ad
un’equazione in y.  2 x  5 y  6  0


 2 x  4 y  7  0
 y 1  0
Moltiplicando per -5 l’equazione in y (per ottenere il monomio +5y,
opposto a quello dell’altra equazione) applicheremo lo stesso
metodo e avremo un’equazione in x.
 2 x  5 y  6  0


5
y

5

0

2 x  11  0
Risolvendo le due semplici equazioni ottenute avremo i valori delle
incognite in questo sistema.
Metodo di Cramer
Questo non è un modo di risoluzione ma un modo schematico di
rappresentare le soluzioni. Questo metodo utilizza il principio di
riduzione, ma per capirlo analizziamo l’esempio:
ax  by  c

a ' x  b ' y  c '
Applichiamo quindi il metodo di riduzione; se vogliamo eliminare x
moltiplichiamo la prima equazione per a’ e la seconda per a. Otterremo il
sistema:
a' ax  a' by  a' c

aa' x  ab' y  ac'
Utilizzando il metodo di riduzione avremo l’equazione:
ab'ba' y  ac'ca'
continua…
Ripetiamo l’operazione per eliminare y trovando la seconda equazione:
ab'ba' x  ac'ca'
Potremo quindi riscrivere il sistema nel seguente modo:
ab'ba'  x  cb'bc'
e quindi

ab'ba'  y  ac'ca'

x



y 


cb'bc '
ab'ba '
ac 'ca '
ab'ba '
Scriviamo ora i coefficienti di x e y in una schema detto matrice:
 a b  E con questo ricaviamo il
 a 'b'




: 
a
a'
b
 ab'ba'
b'
(La linea indica la moltiplicazione)
Poi cerchiamo il x sostituendo nella matrice i coefficienti di x (quelli
della prima colonna) con i termini noti dell’equazione:
c
x 
c'
b
 cb'bc'
b'
continua…
Ora per  y faremo la stessa cosa sostituendo però ai coefficienti di y
(seconda colonna) con i termini noti e lasciando quelli di x nella prima
colonna:
y 
a
a'
Avremo quindi:
c
 ac'ca '
c'

x



y 


x

y

Bisognerà poi discutere sul valore del

per poter dar la soluzione.
Schema
Rette incidenti
a
b

a'
b'
0
DETERMINATO
Rette parallele
a
b
c
 
a ' b' c '

Rette corrispondenti

a b c
 
a ' b' c '
  0  x  0   y  0   0  x  0  y  0
IMPOSSIBILE
INDETERMINATO
(Cliccando su una delle tre possibilità la si può visualizzare graficamente)
Sistemi lavoro.ESEMPIO NUMERICO - Foglio1!A1
FINE!