FENOMENI INTERFERENZIALI e
DIFFRATTIVI
•Interferenza tra onde e.m. prodotte da
sorgenti coerenti sincrone;
•Metodo dei fasori o dei vettori rotanti;
•Interferenza in lamine sottili; anelli di Newton,
pellicoli sottili su vetro
•Il principio di Huygens e il fenomeno della
diffrazione dal punto di vista sperimentale e la
sua giustificazione col principio di Huygens;
•Diffrazione di Fraunhofer da fenditura
rettangolare; Potere risolutore di una fenditura
rettangolare;
•Diffrazione da fenditura circolare;
•Potere risolutore di una fenditura circolare.
•Potere risolutore dei sistemi ottici (massimo
ingrandimento di un microscopio);
•Diffrazione prodotta da una schiera di
fenditure rettangolari;
•Reticolo di diffrazione;
•Esercizio reticoli di diffrazione
Onde elettromagnetiche piane
Un caso particolare per la soluzione E e B per
l’equazione delle onde e.m. è dato dalle funzioni
armoniche. Prendiamo come al solito la direzione
di propagazione parallela all’asse X, il campo E
parallelo a Y, quello B parallelo a Z.
r
r
r
r
  x t 
E ( x, t ) = E0 sin[k (x − ct )] = E0 sin[kx − ωt ] = E0 sin 2π  − 
  λ T 
r
v
v
v
  x t 
B( x, t ) = B0 sin[k (x − ct )] = B0 sin[kx − ωt ] = B0 sin 2π  − 
  λ T 
Dove: k =
2π
λ
;
c=
kc = ω = 2πν =
ω
k
=
λ
2π
T
T
λ lunghezza d’onda (parametro di periodicità spaziale)
K=2π/λ
π/λ vettore d’onda
T periodo di oscillazione (par. di periodicità temporale)
ν=1/Τ frequenza oscillazione
λ
Definizione di raggi e fronti d’onda
Una onda e.m. piana che si sta propagando nella
direzione x che scriviamo come
E ( x, t ) = f ( x − vt )
Non è concentrata sull’asse x
ma si propaga in uno spazio tridimensionale con
caratteristiche del campo elettrico Ε identiche su
piani perpendicolari all’asse x.
Possiamo cioè riscrivere l’equazione dell’onda come
r
r r
E (r , t ) = f (r ⋅ u − vt )
dove r è il generico punto del piano sul quale
il campo elettrico ha le stesse caratteristiche ;
u è la direzione in cui l’onda si muove con velocità
v.
Ma l’equazione
r r
f (r ⋅ u − vt )
Finisce col definire la più generica onda che si
propaga in direzione u con velocità v.
Essa non è necessariamente un’onda piana.
Dipende da come nasce la perturbazione della
sorgente.
•Le superfici che presentano all’istante t lo stesso
r r
valore
(r ⋅ u − vt ) = cost
sono detti fronti d’onda
• u è perpendicolare ai fronti d’onda.
Le curve tangenti a u sono dette raggi.
k
k
r r
r v
r
E (r , t ) = E0 sin k ⋅ r − ωt
[
]
•Se le proprietà del mezzo sono omogenee (v=cost)
i raggi sono rette;
•se le proprietà del mezzo non sono omogenee (cioè
variano da punto a punto) i raggi non sono più rette;
•se le proprietà del mezzo sono isotrope (cioè non
dipendono dalla direzione) i fronti d’onda si ripetono
identici e paralleli:
piani ---> piani
cilindri ---> cilindri
sfere ---> sfere
•Se le proprietà del mezzo sono anisotrope (v diversa
in diverse direzioni) i fronti d’onda si deformano in
modo anche complicato.
Interferenza di onde e.m. prodotte da sorgenti
coerenti sincrone
Y
E1
P
r1
S1
E2
r2
S2
X
Prendiamo due onde e.m. generate dalle sorgenti
puntiformi S1e S2 (saranno onde piane!) e
supponiamo che l’onda abbia campo elettrico
Ei = E0,i sin(kri − ωt )
i = 1,2
Cioè le sorgenti hanno la stessa frequenza ω e
fase iniziale nulla.
Ipotizziamo poi che le ampiezze E0,i non cambino
con la propagazione.
Quando le onde si incontrano nel punto P si
sommano.
La somma è vettoriale e prendiamo campi
E1 e E2 paralleli tra loro.
E ( P, t ) = E0,1 sin(kr1 − ωt ) + E0, 2 sin(kr2 − ωt )
Come possiamo fare questa somma ?
Metodo dei fasori o dei vettori rotanti
L’ampiezza istantanea in un punto
preso come origine di un’onda e.m.
del tipo
E1 ( P, t ) = E0 sin(kr − ωt )
può essere vista come la proiezione sull’asse delle
ordinate del vettore E0 che ruota con velocità
angolare ω intorno all’origine in cui è applicato:
E1 (t ) = E0 sin(ωt )
Se si considerano due onde nello stesso punto dello
spazio con campo E parallelo si può ripetere il
ragionamento per entrambe e ottenere che la loro
somma ER= E1+E2 vale:
E R = E1 + E2 = E0 sin(ωt ) + E0 sin(ωt + φ )
Dove Φ è la differenza di fase (d.d.f.) fra le due
onde nel punto in cui si sommano.
β=
φ
2
φ

E R = E1 + E 2 = Eθ sin ωt + 
2

Eθ = 2 E0 cos
φ
2
φ 
φ

E R = E1 + E2 =  2 E0 cos  sin ωt + 
2 
2

Se il campo nel punto P vale ER l’energia istantanea
del campo in quel punti è proporzionale al quadrato
del campo elettrico:
2
2
I (t ) ∝ (E1 + E2 )
φ
φ

2
=  2 E0 cos  sin  ωt + 
2
2


Se prendiamo di tale energia il valor medio IM
(che è la quantità che si misura o si vede se le
onde sono luce visibile)
1
φ

= ∫ I (t )dt ∝  2 E0 cos 
T 0
2

T
IM
I M max φ = 2mπ
da cui:
2
m = 0,±1,±2,...
(interferenza costruttiva)
I M min φ = ( 2m + 1)π
m = 0,±1,±2,...
(interferenza distruttiva)
Interferenza tra onde e.m prodotte da due
sorgenti coerenti
Se abbiamo due sorgenti identiche di onde e.m.
con la stessa frequenza ω, fase iniziale uguale e
nulla e campo parallelo (in questo caso le sorgenti
sono dette coerenti)
E1 = E0 sin(kr1 − ωt )
E 2 = E0 sin(kr2 − ωt )
Nel punto P la somma delle
due onde da un campo
risultante ER
φ 
φ

E R = (E1 + E2 ) =  2 E0 cos  sin ωt + 
2 
2

con φ = d .d . f . = kr1 − kr2 = k (r1 − r2 ) =
=
2π
λ
(r1 − r2 )
L’intensità media, cioè la quantità media di
energia in P vale
2
k (r1 − r2 ) 
φ 

I M ∝  2 E0 cos  =  2 E0 cos

2 
2


2
Se lo schermo è lontano, r1 e r2 sono paralleli
2π
φ = d .d . f . = k (r1 − r2 ) ≈ k (a sinθ ) =
( a sinθ )
λ
2
IM
k a sinθ 
π a sinθ 


∝  2 E0 cos
 =  2 E0 cos

2
λ




2
I M = max ⇒ φ =
Differenza di
cammino ottico
2π
λ
asinθ = 2mπ
r1 − r2 ≈ asinθ = mλ
m = 0,±1,±2,...
IM = 0 ⇒ φ =
2π
λ
asin θ = ( 2 m + 1)π
r1 − r2 ≈ asin θ = ( 2 m + 1)
λ
2
Si ha interferenza costruttiva se la differenza di cammino ottico
percorso dalle onde è un multiplo intero della lunghezza d’onda
(comune); l’interferenza è distruttiva se la differenza di cammino
ottico percorso dalle onde è un multiplo dispari di semilunghezze d’onda
Interferenza prodotta da N sorgenti
coerenti sincrone
Φ
Φ
Φ
Φ
Utilizzando nuovamente il metodo dei vettori rotanti:
nel caso in cui tutti i vettori (che possono rappresentare
il campo elettrico associato ad ogni onda) sono allineati,
si avrà la massima ampiezza risultante possibile, cioè
A=NA1 .Questo si ha per Φ=2mπ
Φ=
2π
λ
a sinθ
L’intensità totale è:
mλ Massimo valore del
sinθ =
campo elettrico
a
risultante
m = 0,±1,±2,...
I (max) ∝ A12 N 2
Φ=π
Φ = (2/3) π
Φ = π/2
Φ = π/9
Si avrà ampiezza nulla nel caso in cui tutti i vettori
formano un poligono chiuso
A=0 . Questo si ha per NΦ=2m’π
Φ=
2π
λ
a sinθ
m' λ
sinθ =
Na
Massimo valore del
campo elettrico
risultante
m' = 0,1,2,...( N − 1), ( N + 1),......(2 N − 1), (2 N + 1),....
L’intensità totale è:
I (min) = 0
Tra due massimi principali per cui sinθ (max) =
mλ
a
m' λ
Na
tra due minimi ci deve comunque essere un
ci sono (N-1) zeri, per cui sinθ (min) =
massimo, quindi ci saranno anche (N-2) massimi
secondari (di ampiezza esigua) tra i massimi
principali.
Itot/N2I0
Riassumendo, se poniamo uno schermo a grande distanza
dalle sorgenti osserviamo un serie di strisce luminose e
strisce buie
Strisce buie
Φ=
2π
λ
a sinθ
m' λ
sinθ =
Na
m' = 0,1,2,...( N − 1), ( N + 1),......(2 N − 1), (2 N + 1),....
Strisce chiare
Φ=
2π
λ
a sinθ
mλ
a
m = 0,±1,±2,...
sinθ =
Interferenza da lamine sottili
Lamine sottili in aria.
Se facciamo riflettere della luce monocromatica di
frequenza ω (cioè numero d’onda k) su
una lamina di spessore d, osservando in riflessione
vediamo che per alcuni valori di d abbiamo
(i) dei massimi di intensità riflessa
per altri valori di d abbiamo
(ii) dei minimi di intensità riflessa.
Vediamo di spiegare il fenomeno
Prendiamo l’onda incidente FD, in D interferisce
con l’onda AB che, rifrattasi in B e subita una
riflessione in C, si ricompone con l’onda incidente
in D.
Si fa notare che le due onde che si sommano in D
fanno parte dello stesso fronte d’onda BB’ e
questo assicura che la loro fase iniziale sia sempre
la stessa. Cioè la coerenza è assicurata.
•Il fronte d’onda BB’ in D arriva con una fase
kr. Dopo la riflessione sulla lamina di indice di
rifrazione n, si ha uno cambiamento di π della fase.
La fase vale:
φ = k ( B' D) ± π
i
a
Fenomeno della riflessione vetrosa.
Quando un’onda e.m. si riflette su una superficie
di indice di rifrazione superiore a quello del mezzo
da cui proviene, l’onda riflessa subisce uno
sfasamento di π.
(Si ottiene questo dalle Eq. di Maxwell)
•La parte di onda che si rifrange in B arriva in D
con la fase:
( 2a )
φ r = k m ( BC + CD ) = k m
cos θ r
La differenza di fase tra le due onde quando
interferiscono in D vale:
2a
d .d . f . = φ r − φ i = k m
±π
cosθ r
Ricordiamo che quando
d.d.f. = 2mπ
π
abbiamo interf. costruttiva
d.d.f. = (2m+1)π
π abbiamo inter. distruttiva
d.d.f. = 2mπ
π
abbiamo interf. costruttiva
d.d.f. = (2m+1)π
π abbiamo interf. distruttiva
Nel caso di interferenza costruttiva
massima riflessione, quindi minima trasmissione:
λa
λm =
n
d .d . f . = k m
2a
2π 2a
2π
2a
±π =
±π =
n
± π = 2mπ
cos θ r
λm cos θ r
λa cos θ r
λ
2na
= (2m ± 1) a
cos θ r
2
m = 0,1,2,...
Nel caso di interferenza distruttiva
minima riflessione, quindi massima trasmissione:
2π
2a
2π
2a
d .d . f . =
±π =
n
± π = (2m + 1)π
λm cosθ r
λa cosθ r
2na
= mλa
cosθ r
m = 1,2,...
Pellicole sottili su vetro
Sfasamento
in riflessione
Sfasamento
in riflessione
L’onda incidente ha fase:
ka r ± π
L’onda rifratta ha fase:
k a r + k m 2a ± π
La diff. di fase vale, per
incidenza normale:
Interferenza costr.
Interferenza distr.
2π
λa
2π
λa
d .d . f . = k m 2a =
2π
λa
n 2a
n 2a = 2mπ ⇒ 2na = mλa
n 2a = (2m + 1)π ⇒ 2na = (2m + 1)
λa
2
Anelli di Newton
interferenza costruttiva
2na = ( 2m ± 1)
λa
2
m = 0,1,2,...
interferenza distruttiva
2na = mλa
m = 1,2,...