TECNICHE DI PILOTAGGIO DELL’INVERTER TRIFASE
1
NOZIONI DI BASE
Lo schema di un inverter trifase a tensione impressa è illustrato in Fig. 1.1. Esso è composto da
tre rami (insiemi di due interruttori bidirezionali collegati in serie) alimentati in parallelo da
una sorgente in continua. A ciascun ramo fa capo un morsetto del carico trifase, alimentato dal
centrale tra i due interruttori.
Sa +
Sb +
Da +
Vdc
Sc +
Db +
Dc +
Sc −
Sb −
Sa −
Da −
Db −
Dc −
a
b
c
m
Fig. 1.1 - Schema dell'inverter trifase
Dal punto di vista funzionale, esso è un convertitore DC/AC, in grado di trasformare, con
opportuno comando degli interruttori di ramo, la continua in ingresso in un sistema trifase di
tensioni alternate in uscita.
Per evitare il corto circuito della sorgente continua in ingresso, il comando dei due
interruttori di ramo deve essere di tipo complementare, come illustrato in Fig. 1.2.
Vdc
dk
Fig. 1.2 – Comando di ramo
Negli interruttori reali (tempi di apertura e chiusura non nulli) è previsto un tempo morto
(“dead time”) per garantire che ciascun interruttore di ramo sia effettivamente aperto quando
l’altro chiude. Nelle considerazioni seguenti consideriamo interruttori ideali (tempi di apertura
e chiusura nulli) trascurando il tempo morto. In queste condizioni, dal punto di vista logico, il
comportamento di ciascun ramo è definito da un solo segnale di comando (d).
2
CALCOLO DELLE TENSIONI DI USCITA
Per determinare le tensioni fornite dall’inverter trifase facciamo riferimento allo schema in
Fig. 2.3, dove è stato ricavato il punto centrale (0) dell’alimentazione continua (che utilizzeremo
Tecniche di pilotaggio dell'inverter trifase 28/02/01 22.39
2
2 Calcolo delle tensioni di uscita
come potenziale di riferimento) e si è considerato il caso generale di un carico collegato a stella
con neutro isolato.
d1
d2
Vdc
2
d3
Da +
Db +
Dc +
Da −
Db −
Dc −
b
c
0
Vdc
2
Vab
a
Va0
Vam
m
Vm0
Fig. 2.3 - Tensioni di uscita dell’inverter trifase
•
Si possono distinguere:
le tensioni di ramo Va0, Vb0, Vc0, che sono direttamente individuate dal comando di ramo:
d1 = 0 → V a 0 =
d2 = 1 → Vb0
d 2 = 0 → V b0 =
d3 = 1 → Vc 0
•
V dc
;
2
V
= dc ;
2
V dc
=
;
2
d1 = 1 → V a 0 =
d3 = 0 → Vc0 =
V dc
2
V dc
2
V dc
2
(2.1)
le tensioni concatenate Vab, Vbc, Vca, ottenibili come combinazione delle tensioni di ramo:
V ab = V a0 − V b0
V bc = V b0 − V c 0
(2.2)
V ca = V c 0 − V a0
•
•
le tensioni di fase del carico Vam, Vbm, Vcm;
la tensione del centro stella del carico rispetto al potenziale di riferimento Vm0.
Per quanto concerne l’individuazione delle tensioni di fase, esse possono essere espresse
come:
V am = V a0 − V m0
V bm = V b0 − V m0
V cm = V c 0 − V m 0
In queste relazioni occorre determinare il potenziale (incognito) del centro stella.
(2.3)
Scomposizione in serie di Fourier
3
Sommando membro a membro si ricava:
V am + V bm + V cm = (V a 0 + V b0 + V c 0 ) − 3V m0
(2.4)
Nell’ipotesi di carico trifase simmetrico collegato a stella con neutro isolato, è facile dimostrare1
che la somma delle tensioni di fase è nulla:
V am + V bm + V cm = 0
(2.5)
da cui si ricava:
V mo =
1
(V a0 + Vb0 + Vc0 )
3
(2.6)
Pertanto, note le tensioni di ramo (dal comando), si può calcolare il potenziale del centro
stella con la (2.6) e quindi le tensioni di fase dalle (2.3).
In funzione dello stato logico (0 o 1 ) del comando dei tre rami, l’inverter trifase è in grado di
applicare 8 diverse configurazioni di tensione d’uscita, delle quali 2 corrispondenti a tensione
nulla (stati 0 e 7) e le altre 6 a tensione non nulla (stati 1..6).
La più semplice modalità di comando dell’inverter trifase prevede l’applicazione in
sequenza delle 6 configurazioni non nulle di tensione: si tratta del comando ad onda quadra (o sixstep) illustrato nel paragrafo seguente.
001
010
100
011
101
000
110
111
Fig. 2.4 - Stati dell’inverter trifase
1
stato
0
1
2
3
4
5
6
7
d1
0
1
1
0
0
0
1
1
d2
0
0
1
1
1
0
0
1
d3
0
0
0
0
1
1
1
1
Tab. 2.1 – Stati e rispettivi
comandi di ramo
Nelle condizioni indicate si può scrivere: Vam=Z⋅ia, Vbm=Z⋅ib, Vcm=Z⋅ic, che sommando m. a m. fornisce: Vam+Vbm+Vcm=Z⋅(ia +ib
+ic)=0.
4
3
3 Comando ad onda quadra (Six Step)
COMANDO AD ONDA QUADRA (SIX STEP)
Va0
Vdc
2
Sa+
Sa+
π
Sa– 2π
−
ω1t
Vdc
2
Vb0
Sb+
Sb–
Sb–
ω1t
Vc0
Sc+
Sc–
Sc–
ω1t
Fig. 3.5 - Tensioni di uscita riferite al punto centrale del bus DC
Vab
Vdc
0
π
2π
ω1t
–Vdc
Vbc
ω1t
Vca
ω1t
Fig. 3.6 - Tensioni di uscita concatenate
Scomposizione in serie di Fourier
3.1
5
Scomposizione in serie di Fourier
3.1.1
Tensioni di uscita riferite al punto centrale del bus DC
1
1
1


sin(ω1 t ) + 3 sin(3ω1t ) + 5 sin(5ω1t ) + 7 sin(7 ω1t ) +...


v a0 (t ) =
4 V dc
π 2
vb0 (t ) =
4 Vdc  
2π  1
1 
2π  1 
2π  
 + sin(3ω1t ) + sin 5ω1t +
 + sin 7 ω1t −
 +...
sin ω1t −
π 2  
3  3
5 
3  7 
3  
v c 0 (t ) =
4 V dc  
4π  1
1 
4π  1 
4π  
 + sin(3ω1t ) + sin 5ω1t +
 + sin 7 ω1t −
 +...
sin ω1t −
3  3
5 
3  7 
3  
π 2  
(3.7)
Sono presenti soltanto le armoniche dispari.
k = 6 j + 1 sequenze dirette
k = 6 j + 3 sequenze omopolari
k = 6 j + 5 sequenze inverse
3.1.2
j = 0, 1, 2, ...
Tensioni di uscita concatenate
 

π 1 
π 1 
π
sin ω1t +  − sin 5ω1t +  − sin 7 ω1t +  + K
6
5
6
7
6





 

vab (t ) =
4 3 Vdc
π 2
vbc (t ) =

4 3 Vdc  
π 2π  1  
π  2π  1  
π  2π 
sinω1t + −  − sin5 ω1t +  +
 − sin7 ω1t +  −  +L
6 3  5  
6 3  7  
6 3 
π 2  

vca (t ) =

π 4π  1  
π  4π  1  
π  4π 
4 3 Vdc  
sinω1t + −  − sin5 ω1t +  +  − sin7 ω1t +  −  + K
π 2  
6 3  5  
6 3  7  
6 3 

(3.8)
Non sono presenti le sequenze omopolari nelle tensioni concatenate.
3.1.3
Tensione del centro stella del carico riferita al punto centrale del bus DC
v m0 (t ) =
1
(v a0 (t ) + v b0 (t ) + v c 0 (t ))
3
(3.9)
6
3 Comando ad onda quadra (Six Step)
v m0 (t ) =
4 V dc
π 2
1
1
1

 3 sin(3ω 1 t ) + 9 sin(9ω 1 t ) + 15 sin(15ω 1 t ) + L


(3.10)
Sono presenti soltanto le armoniche multiple di tre.
3.1.4
Tensioni di fase del carico
v am ( t ) =
4 V dc
π 2
1
1


sin( ω 1 t ) + 5 sin( 5ω 1 t ) + 7 sin(7 ω 1 t ) + L


vbm (t ) =
4 Vdc
π 2

 
2π  1 
2π  1 
2π 
sin ω 1t − 3  + 5 sin 5ω 1t + 3  + 7 sin 7 ω 1t − 3  + L






 
v cm (t ) =

4 V dc  
4π  1 
4π  1 
4π 
sin ω 1 t −
 + sin 5ω 1 t +
 + sin 7 ω 1 t −
 + L

π 2  
3  5 
3  7 
3 

(3.11)
Non sono presenti le armoniche multiple di tre nelle tensioni di fase.
Riepilogo delle nozioni fondamentali:
ω1
.
2π
- Non è possibile controllare l’ampiezza della fondamentale:
- È possibile controllare la frequenza fondamentale f 1 =
-
4 V dc
≅ 0.636 Vdc
ampiezza 1a armonica della tensione di fase del carico 1 Vˆ f =
π 2
4 Vdc
3 ≅ 1.1 Vdc
ampiezza 1a armonica della tensione di linea del carico 1 Vˆ l =
π 2
ampiezza 1a armonica della tensione di uscita dell’inverter (riferita al centrale del bus
4 V dc
.
DC) 1 Vˆ f 0 =
π 2
Rappresentazione vettoriale della tensione di uscita
3.2
7
Rappresentazione vettoriale della tensione di uscita
Va0
1 1
Vdc
2
1 π
2π
0 0 0
−
Vdc
2
ω1t
Vb0
1
1
1
0 0
ω1t
0
Vc0
1
1
1
ω1t
0 0 0
stato
6
1
2
3
4
5
Fig. 3.7 – Stati dell’inverter e tensioni ai morsetti nel comando “six-step”
Vm0
V dc
6
2π
π
Vam
100
101
ω 1t
2Vdc
3
110
010
001
ω1t
011
Vbm
ω 1t
Vcm
ω1t
stato
6
1
2
3
4
5
Fig. 3.8 – Stati dell’inverter e tensioni sul carico nel comando “six- step”
Se si considerano le 6+2 possibili configurazioni delle tensioni di fase applicate al carico
dall’inverter trifase (nelle figure precedenti sono riportate le 6 configurazioni non nulle), e si
applica a ciascuna di esse la trasformazione di fasi2 (abc)→(α,β), si ottengono altrettanti vettori di
spazio (ciascuno caratterizzato da una coppia di componenti α,β) la cui rappresentazione nel
piano complesso è indicata in figura:
2
Trasformazione a potenza di fase costante.
8
4 Tecniche di modulazione PWM
b
r
V3 (010)
r
V4
(011)
r
V2 (110)
β
(000)
r
Vo
(111)
r
V7
r
V5 (001)
2
V
3 dc
α≡a
r
V1 (100)
1
V
3 dc
r
V6
(101)
c
Fig. 3.9 - Esagono delle tensioni di uscita dell’inverter trifase
Tale rappresentazione, nota come “esagono delle tensioni di uscita dell’inverter trifase”, consente
di valutare, per ciascuna configurazione del comando, le tensioni applicate al carico sia in
termini di componenti α,β che in termini di tensioni trifasi (queste ultime sono ottenibili come
le componenti di ciascun vettore sugli assi 123 sfasati di 2π/3).
stato
0
1
2
3
4
5
6
7
vettore di
spazio
r
V0
r
V1
r
V2
r
V3
r
V4
r
V5
r
V6
r
V7
d1
d2
d3
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
Tab. 3.2 – Stati, comandi di ramo e vettori di spazio
I sei vettori della tensione di uscita dell’inverter delimitano altrettanti settori angolari di π/3
(“sestanti”) la cui individuazione è alla base di una tra le più importanti tecniche di
modulazione dell’inverter trifase, la modulazione dei vettori di spazio (SV-PWM) presentata nel
seguito.
4
4.1
TECNICHE DI MODULAZIONE PWM
Modulazione seno-triangolo (S∆-PWM)
In questo tipo di modulazione i componenti statici vengono commutati negli istanti di
intersezione di due funzioni periodiche di frequenza diversa (portante e modulante). In questo
modo è possibile sintetizzare delle tensioni di uscita (Va0, Vb0 e Vc0) che, a bassa frequenza, hanno
Modulazione seno-triangolo (S∆-PWM)
9
lo stesso contenuto armonico (stessa forma d'onda) della funzione di riferimento a frequenza
minore. Come portante è di solito usata una funzione triangolare (Vt) con frequenza angolare ωt
ed un valore di picco V̂t .
Come modulanti si usano tre tensioni sinusoidali di frequenza pari a quella desiderata per la
fondamentale della tensione di uscita:
V a*0 (t ) = Vˆ s sin(ω 1 t )
V b*0 (t ) = Vˆ s sin(ω 1 t − 2π 3 )
(4.12)
V c*0 (t ) = Vˆ s sin(ω 1 t − 4π 3)
Parametri fondamentali
Vˆ
M= s
indice di modulazione
Vˆ
t
ω
P= t
ω1
rapporto tra le frequenze
Tecnica di commutazione
se V a*0 > Vt allora poni Sa+ “on” e Sa‒ “off”
se invece V a*0 < Vt allora poni Sa‒ “on” e Sa+ “off”
Vt
Va*0
Va0
Fig. 4.10 – Modulazione S∆-PWM
Vt
*
Vao
ω1 t
0
π
2π
Fig. 4.11 - Portante e modulante nella S∆-PWM con p = 12, M = 0.6
10
4 Tecniche di modulazione PWM
Va0
tensione fondamentale
V dc
2
ω1 t
π
0
2π
Fig. 4.12 - Tensione di uscita (fase a) riferita al punto centrale del bus DC.
Vab
tensione fondamentale
Vdc
π
0
ω1 t
2π
Fig. 4.13 - Tensione concatenata
4.1.1
Scomposizione in serie di Fourier
Σ
V a0 ( t ) = M
2V dc
+
π
V dc
2V dc
cos(α ) +
π
2
∞
±∞
∞

π
 π
∑ J 0  k M 2 sin k 2 cos(kω t t )+
k =1
1  π 
π
J n  k M  sin(k + n)  cos(kω t t + nα )
2


2

k =1 n= ±1 k
∑∑
(4.13)
dove:
α = ω1t
J0, ... , Jn: funzioni di Bessel del primo ordine.
• Il primo termine rappresenta la tensione fondamentale che è direttamente proporzionale
all'indice di modulazione se M < 1.
• Il secondo termine rappresenta le componenti armoniche alla frequenza della portante e suoi
multipli. Non esistono armoniche la cui frequenza è multiplo pari della frequenza della
portante: sin(k π / 2 ) = 0 se k è pari.
Modulazione seno-triangolo (S∆-PWM)
11
• Il terzo termine rappresenta le bande di armoniche centrate sulle frequenze multiple
della frequenza della portante. In accordo con il termine sin[(k + n ) π / 2 ] si ha:
- per k dispari, la banda presenta solo armoniche pari;
- per k pari, la banda presenta solo armoniche dispari.
Poiché l'armonica dominante si ha per ω = ωt, si prende un rapporto di frequenze p multiplo
di tre, in modo tale che l'armonica dominante formi una sequenza omopolare (terne di correnti
omopolari non possono circolare).
tensione
p.u.
ω1
1
0.6
0.2
ω1
ωt
2ωt
3ωt
ω
Fig. 4.14 - Tipico spettro della modulazione S∆-PWM (M = 0.8)
k
V̂ a 0
V dc
0.5
0.4
k = 1 (fondamentale)
0.3
k = 2p± 1
0.2
k = p±2
0.1
k = 3p± 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
indice di modulazione
1.0
M
Fig. 4.15 - Ampiezza relativa delle armoniche in funzione dell'indice di modulazione
(tensione di uscita dell’inverter riferita al centrale del bus DC).
Per M = 1, si ha il massimo valore della tensione fondamentale, che è soltanto il 78.5% della
massima tensione fondamentale che si può avere dall'inverter (con la modulazione six step):
1 ˆ
V a0(SIX −STEP ) π
V
4 V dc
1 ˆ
→
= = 0.785 3
V a 0( M =1) = dc ; 1Vˆ a 0(SIX −STEP ) =
(4.14)
1 ˆ
2
π 2
4
V a 0 ( M =1)
3
Queste relazioni valgono anche per la tensione di fase del carico, la cui prima armonica ha la stessa ampiezza della tensione di
uscita dell’inverter riferita al centrale del DC bus.