Dalla scuola materna alla scuola secondaria di
secondo grado
Domingo Paola
Liceo scientifico “A. ISSEL” Finale Ligure
G.R.E.M.G. Dipartimento di Matematica Università di Genova
NRD Università di Torino
SSIS Genova
1
Carcare, 13 Aprile 2007
Struttura della relazione
Indicazioni ed esempi per la scuola materna
Indicazioni ed esempi per la scuola elementare
Indicazioni ed esempi per la scuola secondaria
di primo grado
Indicazioni ed esempi per la scuola secondaria
di secondo grado
Discussione
2
Scuola materna
Vygotskij sottolinea l'importanza del gioco,
soprattutto in età prescolastica.
Il gioco offre al bambino opportunità di
compiere esperienze ricche e varie. Attraverso
la finzione ludica, si allarga il proprio campo di
azione e di conoscenza.
Il gioco è un'attività basilare per lo sviluppo
intellettivo e, nella prima infanzia, la più
importante.
Probabilmente è il mezzo più efficiente per
sviluppare il pensiero astratto.
3
Scuola materna
Per i più piccoli, l’approccio sia davvero ludico e
non richieda metacognizione, riflessione,
consapevolezza. L’apprendimento può e deve
spesso essere di tipo inconsapevole;
conoscenza tacita, implicita.
Per i più esperti, è necessaria una sempre
maggiore consapevolezza, da parte dei bambini,
dei concetti matematici che stanno affrontando.
Apprendimento consapevole; conoscenza
sempre più esplicita.
4
Scuola materna
Scuola elementare
“FANTASTICANIMALANDO” e “NUMERINGIOCO”
I.C. Corinaldo (AN)
Lorella Campolucci e Danila Maori
http://gold.indire.it/datafiles/BDPGOLD00000000001C6AAE/Descrizione%20esperienza.doc
Il progetto “Fantasticanimalando con i numeri” e
“Numeringioco” sono stati realizzati in continuità tra
la scuola dell’Infanzia e la Scuola Elementare
I progetti, pur essendo centrati essenzialmente sul
numero, hanno un carattere interdisciplinare, con
obiettivi riferiti a diversi campi di esperienza, poiché
specialmente a questa età, conoscenze e abilità,
matematiche e non, vengono acquisite nella vita
quotidiana, attraverso esperienze non inquadrabili5 e
non separabili in ambiti distinti.
Scuola materna
Scuola elementare
Al primo progetto“Fantasticanimalando con i numeri”,
ha fatto seguito, l’anno successivo, “Numeringioco”. Il
titolo vuole mostrare subito quel particolare legame che
c’è tra l’attività ludica e le prime intuizioni e le
conoscenze legate al numero.
Abbiamo scelto una didattica legata ad esperienze
ludiche, perché attraverso i giochi è possibile rilevare le
conoscenze e le competenze dei bambini, meglio e in
misura maggiore, rispetto ad altre situazioni; inoltre
riteniamo fondamentale costruire, fin dai primi anni di
scuola, un’immagine della matematica positiva e
stimolante, per suscitare simpatia nei riguardi delle
attività a carattere matematico e favorire una bella
6
immagine di tutto ciò che riguarda la matematica
Scuola materna
Scuola elementare
I tempi:
Le esperienze sono state svolte nell’arco di
due anni scolastici.
Contenuti:
I numeri e le loro funzioni (aspetto ordinale,
cardinale, ricorsivo, numero nella misura,
numero nel denaro, numero etichetta).
Giochi con e sui numeri.
Lettura e animazione di fiabe classiche e non.
Invenzione di fiabe.
7
Scuola materna
Scuola elementare
Attività:
Sono state svolte attività diversificate nelle singole
scuole, attività in comune e sono stati organizzati
momenti di incontro tra bambini ed esperienze di
laboratorio.
Il contesto fantastico, il carattere ludico delle
proposte e la possibilità di comunicare le proprie
esperienze sia ai compagni che alla coniglietta
“Numerina”, hanno caratterizzato questo approccio
significativo e proficuo ai contenuti matematici.
Caccia al numero – ricerca di numeri in vari luoghi e
contesti.
Ricerca dei numeri personali.
Uscite didattiche (visita al supermercato, percorso
casa-scuola, uscite a piedi lungo le vie della città). 8
Scuola materna
Scuola elementare
Personaggio fantastico: un personaggio fantastico (ma
realmente interpretato da un’insegnante) ha fatto visita alle
varie scuole, portando oggetti e materiali legati ai numeri
(strumenti per misurare, carte da gioco, dadi, monete, …).
La visita di questo personaggio è stata un forte stimolo per
ampliare ulteriormente le esperienze e per diffonderle nelle
varie scuole; l’occasione di rimanere in contatto con la
coniglietta “Numerina”, poi, ha mantenuto alta la
motivazione, ha stimolato il desiderio di ricerca e la voglia
di fare.
Corrispondenza epistolare.
Incontri tra i bambini dei due ordini di scuola.
Laboratorio di giochi (durante il quale i bambini più grandi
hanno condotto l’attività, spiegando i giochi “nuovi” ai
bambini più piccoli).
9
Scuola materna
Scuola elementare
Durante le prime esperienze di “caccia al numero”, i
bambini hanno scoperto nell’ambiente di vita una gran
quantità di numeri; “La targa serve per riconoscere una
macchina e per capire quando hanno fatto la
macchina”, “Gli adulti usano i numeri per fare gli
indirizzi delle cartoline”…“ Sì, è vero! Per spedire le
lettere all’indirizzo e al numero della casa”.
Vicino alla scuola c’è un segnale stradale su cui è ben
visibile il numero 50. Perché lì c’è quel numero? A che
cosa serve?. “Perché non devi andare veloce con la
macchina”, “Perché se vai più forte il vigile ti fa la
multa”, “se vai a cento ti fanno la multa!” Al
supermercato hanno osservato i cartellini con i prezzi, i
numeri sui cartelloni pubblicitari….
10
Scuola materna
Scuola elementare
Anche le attività consuete, quali il calendario e la registrazione delle presenze,
le filastrocche, i ritmi, le attività con le scatole dei numeri, gli ordinamenti, le
conte, sono state svolte con una maggiore consapevolezza e con l’attenzione
costante a ciò che i bambini riuscivano gradualmente a costruire.
Le proposte didattiche sono state ambientate a Fantasticanimalandia: uno
strano paese abitato dagli animali più conosciuti e più cari ai bambini; animali
che parlano, si incontrano, giocano, si vogliono bene, si fanno i dispetti…
Qui vive, tra gli altri Numerina, una simpatica coniglietta così chiamata per la
sua grande passione per i numeri. Numerina, un giorno, è arrivata a scuola e,
immediatamente, ha suscitato la curiosità dei bambini, perché ha portato pacchi
colorati, sacchetti, pergamene e altre sorprese veramente speciali … piene di
numeri. I bambini le hanno rivolto mille domande: “Da dove vieni? Perché ci hai
portato queste cose? A cosa servono? Cosa ci possiamo fare?”.
Numerina ha parlato di sé, ma per alcune richieste ha lasciato aperti i problemi,
curiosa di vedere quali giochi e quali attività i bambini avrebbero inventato con
clessidre, candele, carte da gioco, dadi, monete …
In seguito abbiamo continuato l’esperienza didattica sui numeri legandola
ancora di più all’attività ludica e sollecitando maggiormente la risoluzione di
problemi, la collaborazione e il graduale sviluppo del linguaggio.
11
Scuola materna
Frank Baum, 1900
Scuola elementare
12
Scuola materna
Scuola elementare
I bambini della scuola elementare (prima e seconda)
aiutati dalle loro maestre:
1. Leggono un adattamento della fiaba.
2. Costruiscono un modellino tridimensionale del
mondo di Oz (il modellino non deve essere in scala,
ma le dimensioni degli oggetti e dei personaggi
devono rispettare l’ordinamento).
3. Riproducono con un disegno il modellino
tridimensionale.
Le produzioni realizzate nelle fasi 2. e 3. sono date ai
bambini della scuola materna che:
13
Scuola materna
Scuola elementare
1. Ascoltano, dalle loro maestre, la lettura
dell’adattamento della favola (per comprendere
meglio le situazioni possono effettuare attività di
drammatizzazione o produzione di disegni).
2. Giocano, insieme alla loro maestra al “gioco del
mondo di Oz”, con il modellino tridimensionale
fornito loro dai bambini della scuola elementare e
cinque piccole figurine con piedistallo.
3. Giocano, in piccoli gruppi di 5, in giardino o nelle
aule e nei corridoi della scuola, al “gioco del mondo
di Oz”, con la maestra che funge da arbitro e
garantisce il rispetto delle regole e delle consegne.
I giochi, che possono essere ripetuti più volte, 14
hanno sia carattere senso – motorio che simbolico.
Scuola materna
Scuola elementare
Il mago di Oz
Frank Baum
(Adattamento di Domingo Paola da una
rielaborazione del testo di Danila Rotta, per
bambini di 6-8 anni, pubblicato nella collana “Le
pulci con gli occhiali” – Gruppo di lavoro Anna
Botto 1995)
15
Scuola materna
Riempi il secchio
I bambini sono divisi in squadre. Ogni squadra deve
riempire un secchio che si trova a breve distanza usando
l'acqua contenuta in un recipiente posto al punto di
partenza. Vi sono differenti contenitori e nessuna goccia
d’acqua deve essere rovesciata per terra. Il primo
bambino riempie un contenitore di acqua che ha a
disposizione e corre a versarlo completamente nel
secchio, poi torna al gruppo e rimette il contenitore al suo
posto. Quindi parte il secondo bambino … I bambini
possono scegliere di utilizzare anche più volte uno stesso
contenitore, ma ogni bambino, in ogni gioco, può versare
una sola volta. Vince la squadra che, alla fine riempie il
16
più possibile il secchio.
Scuola materna
Strega comanda … numero
I bambini si muovono liberamente nello spazio a
disposizione. Uno di loro ha il ruolo della strega.
La “strega" dice:
Strega comanda numero ... uguale a (maggiore di, minore
di) tre (a scelta del bambino che fa la strega, fra un insieme
di numeri prestabiliti)
I bambini a questo comando devono individuare e indicare,
toccandolo, un insieme di stessi oggetti che rispetta le
indicazioni date dalla strega. Il bambino che per primo
individua correttamente l’insieme di oggetti diventa strega
e il gioco ricomincia.
17
Scuola materna
Girotondo
Muoversi sempre alla stessa velocità
tangenziale, ma in cerchi sempre più stretti
(meglio ancora se si avesse a disposizione una
piattaforma rotante): che tipo di sensazioni
avvertiamo?
18
Scuola materna
Scuola elementare
http://www.natiperleggere.it/ associazione di bibliotecari,
pediatri, insegnanti e genitori che si propone così:
Amare la lettura attraverso un gesto d'amore: un adulto che
legge una storia. Ogni bambino ha diritto ad essere protetto
non solo dalla malattia e dalla violenza ma anche dalla
mancanza di adeguate occasioni di sviluppo affettivo e
cognitivo. Questo è il cuore di Nati per Leggere. Dal 1999, il
progetto ha l'obiettivo di promuovere la lettura ad alta voce ai
bambini di età compresa tra i 6 mesi e i 6 anni.
Fra i vari progetti stranieri segnalati da “nati per leggere” può
avere un certo interesse
http://www.bookstart.co.uk/index.php4
Inoltre suggerisco: http://www.mathsforfun.tk/
19
Scuola materna
Scuola elementare
20
Scuola elementare
Il gioco del “batto / vedo”
0
0,
2
2,
3
23,
21
Il gioco del “
batto / vedo”
3*2+5
11
3*(2+5)
21
3* 10
30
3* 100
300
Scuola elementare
5 – (2+3) 0
5–2+3
6
0/5
0
5/0
2+3
3 +2
impossibile
5
5
22
Scuola elementare
Quanto fa ... all’incirca?
115 x 7
234 X 18
245 x 132 … 2345 x 3689 …
Si cerca, senza calcolatrice, un intervallo che contenga il
risultato e vince chi determina il più piccolo intervallo in un
tempo fissato, ma sufficiente a effettuare stime sensate
Viene utilizzata per determinare il risultato
dell’operazione … e poi si chiede …
E per rispondere alla domanda “perché il risultato è …”,
si usa una procedura di calcolo scegliendola tra quelle
che meno mascherano le proprietà delle operazioni
23
Scuola elementare
... è maggiore di … è minore di … è uguale a … è diverso da …
>
1
2
3
4
5
1
2
X
3
X
X
4
X
X
X
5
X
X
X
X
24
Scuola elementare
+
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
25
Scuola elementare
della moltiplicazione
… e poi:
Gi oggetti A e B possono presentarsi ciascuno in 3
stati. Quanti sono le possibili coppie (oggetto, stato)?
Ciascuno di m oggetti dati può presentarsi in n stati
diversi. Quanti sono le possibili coppie (oggetto,
stato)?
26
Scuola elementare
*
1
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
n^2 = (n -1) * (n+1) + 1 …
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9 10
9 10
18 20
27 30
36 40
45 50
54 60
63 70
72 80
81 90
90 100
27
Scuola elementare
………………….
^
1
2
3
4
5
6
2
2
4
8
16
32
64
28
Scuola elementare
…
29
Scuola elementare
8=0+8=1+7=2+6=…=8+0
?+3=8
8 = 1*8 = 2*4 = …. = 8*1
8>6; 7<8…
…
16 : 2= 8
77-69=8
7
8
9
2^3=8
…
30
Scuola elementare
Come giustificazione del fatto che 134 * 120 = …
Si avvia al sapere teorico (che cosa vuol dire
“spiegare perché”)
Si lavora sulle proprietà dei numeri e sulla
scrittura posizionale
Si ripassano le tabelline
31
Scuola elementare
Una cavalletta, partendo dalla posizione 15,
ha fatto 8 salti della stessa lunghezza per
avvicinarsi il più possibile alla posizione 66,
dove si trova il seme. Se arriva nella
posizione 65, quanto sono lunghi i salti?
Ho tre cavallette A,B,C. Se parto da 10, quale di
esse mi conviene utilizzare per arrivare più vicino
a 71 sapendo che A salta di 3 in 3, B di 5 in 5 e C
di 6 in 6? Perché?
……………..
32
Scuola elementare
Perché per aggiungere qualcosa devo fare
“una meno”?
Per esempio consideriamo questo problema:
“Quanti litri di vino devo aggiungere a una
damigiana che ne contiene 22 per arrivare a 50?”
50 – 22
oppure
22+x = 50
33
Scuola elementare
In 50 – 22
manca una sintassi per indicare le operazioni
con un termine incognito
Credo che sarebbe facile produrre una
calcolatrice che permette di scrivere 22+?=50 e
dia il risultato corretto. Ma anche se nessuno si
prenderà mai la briga di produrre un simile
oggetto, possiamo ugualmente scrivere nei
nostri quaderni 22+?=50, restando in pace con la
primitiva intuizione che per aggiungere bisogna34
fare una addizione.
Scuola elementare
Quello che secondo me dovrebbe essere
chiarito agli studenti (non solo delle
elementari) è che una cosa sono i
procedimenti elementari per risolvere i
problemi e un’altra i tipi di calcolo permessi
dalle calcolatrici.
I procedimenti elementari non sono 4
come le operazioni, ma 12, e secondo me
sarebbe ora anche di chiamarli con un
nome.
35
Scuola elementare
tabella dei procedimenti elementari
procedimento nome
A+B=?
A+?=B
?+A=B
A-B=?
A-?=?
?-A=?
AxB=?
Ax?=B
?xA=B
A:B=?
A:?=B
?:A=B
Più
Piùcosa
Cosapiù
Meno
Menocosa
Cosameno
Per
Percosa
Cosaper
Diviso
Divisocosa
Cosadiviso
36
Scuola elementare
Quello che anche i bambini possono scoprire
facilmente è che ci sono dei gruppi di
procedimenti che, usando gli stessi due
numeri, hanno lo stesso risultato. I gruppi
risultanti sono questi 4:
37
Scuola elementare
Si vede che ogni gruppo contiene
uno dei 4 procedimenti tradizionali
presenti nelle calcolatrici. Se siamo
interessati al calcolo del risultato
possiamo ricondurre gli altri a uno di
questi. Si possono individuare anche
delle regole per la trasformazione dei
procedimenti.
38
Scuola elementare
Questa sostituzione di un procedimento con un altro è un
passaggio di solito nascosto nella didattica, in quanto il
docente pretende di vedere subito e solo il procedimento
sostitutivo, che però in genere non ha niente da spartire con
il problema, mentre lo studente ha in mente il vero
procedimento che traduce in operazioni il problema: ci sono
studenti che dopo un po’ arrivano a vedere questo
passaggio, ma credo che parecchi non abbiano questa
fortuna, e cominciano ad odiare i problemi e tutto ciò che li
accompagna.
Alla fine del mio ragionamento, mi sono sorpreso a
considerare che le sostituzioni di procedimenti sono
l’essenza dell’algebra e quindi questa è presente da
sempre fin dalla scuola elementare, anche se non si
diceva.
39
Giovanni Artico
Scuola elementare
Scuola media
Scuola superiore
A che velocità ci stiamo muovendo con la Terra
intorno al Sole?
Quanto pesa l’aria di questa stanza?
Quanto spende all’anno Ariele per andare a
scuola se si sposta in macchina e la sua scuola
dista 5 km da casa?
Quanti alberi occorrono per le fotocopie del
nostro circolo?
Tracciare un grafico che indichi la quantità d’aria
presente nei polmoni in un certo intervallo di tempo.
Come si può misurare la lunghezza di una
40
circonferenza?
Scuola elementare
Scuola media
INPUT
OP1
*3 +4 OP1 1 OP1
OUTPUT
1x3+4
1
INPUT
7
OP1
OUTPUT
7x3+4
2
25
41
Scuola media
Scuola superiore
In un allevamento sono presenti 3000
trote. Si sa che il numero di trote
diminuisce ogni anno del 20%, per
questioni legate alla pesca e alla morte
naturale. Se ogni anno si introducono
nell’allevamento 1000 nuove trote, come
evolve il loro numero nel tempo?
OP1 *0.8 + 1000 OP1
3000 OP1 …..
42
Scuola superiore
Una studentessa si è prodotta una distorsione al ginocchio e il
suo dottore le ha prescritto un farmaco antinfiammatorio. Deve
prendere una pastiglia da 440 mg ogni 8 ore per 10 giorni. A ogni
nuova assunzione il suo rene ha filtrato il 60% del farmaco.
Quanto farmaco c’è al massimo nel suo organismo dopo 3
giorni? E dopo 5 giorni? Cercate di studiare l’evoluzione della
quantità massima di farmaco presente nel corpo ogni 8 ore; come
evolve la presenza del farmaco se, dopo dieci giorni, la
studentessa non lo assume più? Quanto tempo impiega a ridursi
a 1/100 del farmaco presente dopo dieci giorni?
440 ENTER 0.4*ans(1)+440 ENTER …..
43
Scuola superiore
Può essere utile organizzare i dati i una tabella del tipo:
44
Scuola superiore
Alcune idee degli studenti
“se la studentessa continuasse a prendere le pillole, la
quantità massima di farmaco tenderebbe a stabilizzarsi,
perché anche se aumenta del 40%, il suo rene filtra il
60% che è sempre maggiore… è come se diamo delle
palate di sabbia e dal mucchio, sempre più grande,
leviamo sempre il 60%, ossia una quantità sempre più
grande…prima o poi quello che aggiungo è uguale a
quello che levo e il processo si stabilizza”
“la concentrazione del farmaco cresce sempre, ma
sempre meno, ossia, la pendenza diminuisce”
“parte da 440 e poi filtra il 60%, quindi abbiamo 440 + il
40% di 440 e poi il 40% di questo più 440 e così via …” 45
Scuola superiore
n
0
1
2
3
4
5
6
7
F(n)
D(n)
D2(n)
-106
440
176
-42
616
70
-17
686
28
-6
715
11
T (0)  440
-3
 726
5
T ( n)  0.4* T ( n  1)  440 730
2
1
x = 0.4 * x + 440
732
1
733
46
Scuola elementare
Da un’idea di Piero Brunet:
ELEMENTI DI PREANALISI E GERMI DEL PENSIERO
INFINITESIMALE NELLA SCUOLA PRIMARIA
"Sono convinto che una buona parte delle difficoltà incontrate da
questi studenti derivino dalla non corretta acquisizione, o dalla
mancata acquisizione di qualche concetto fondamentale, quali quelli
di costante, variabile, funzione e, soprattutto, rapporto. A mio
avviso sarebbe possibile favorire l'acquisizione di tali concetti
lavorando in modo opportuno già a partire dalla scuola elementare.
Gli obiettivi da definire in questo primo livello scolare sono limitati,
ma, se correttamente perseguiti, contribuiscono a preparare un
terreno fertile dove prospererà l'albero della conoscenza di ogni
alunno; un albero che ha bisogno, per ramificarsi, di essere
sostenuto da solide radici".
P. Brunet
47
Scuola elementare
Le attività didattiche proposte si situano sia a livello di
primo che di secondo ciclo. I temi principali che vengono
trattati possono essere suddivisi nei due seguenti gruppi:
Gruppo 1. introduzione ai concetti di costante, di variabile,
di proporzionalità diretta e inversa, di rapporto;
Gruppo 2. introduzione di germi del pensiero
infinitesimale.
48
Scuola elementare
Il lavoro sulla velocità. Obiettivi generali
(primo ciclo)
- Facilitare l'uso, nel linguaggio corrente, del termine "tempo" e dei
termini che indicano la durata (ore, minuti, secondi...) nelle
conversazioni intorno al concetto di velocità;
-facilitare l'uso, nel linguaggio corrente del termine "spazio" e dei
suoi sinonimi (distanza, percorso...) nelle conversazioni intorno al
concetto di velocità;
-scoprire l'esistenza delle relazioni che legano tempo, spazio e
velocità.
(secondo ciclo)
- prendere coscienza del ruolo che gioca la variabile tempo e la
variabile spazio nel concetto di velocità media;
- facilitare l'uso corrente e appropriato, nel linguaggio di tutti i
giorni dei termini spazio e tempo o di loro sinonimi nella
definizione della velocità media;
- facilitare lo sviluppo e la maturazione dei concetti di: costante,
variabile, proporzionalità diretta e inversa, funzione, rapporto 49
Scuola elementare
Fasi del lavoro
1. Analisi delle conoscenze preliminari
- Questionario per prendere atto del significato che ogni
alunno attribuisce ai termini "velocità" e "tempo", sulla base
delle proprie esperienze (distribuito a tutte le classi, dalla prima
alla quinta)
2. La variabile tempo
- Il gioco del più veloce (prima e seconda elementare): gli
allievi si suddividono a coppie e, una coppia alla volta, escono
dall'aula, ciascun alunno della coppia avendo un percorso ben
determinato da fare (che si conclude con il rientro in classe),
ma ignoto agli studenti che rimangono in classe. Quando i due
allievi ritornano, i loro compagni devono formulare un'ipotesi
su quale dei due è stato il più veloce, giustificandola.
Obiettivi: favorire l'uso dei termini "lontano", "vicino" , "più
50
lontano", "più vicino", "veloce" "lento" ...
Scuola elementare
2. La variabile tempo
- Olimpiadi in palestra (quarta e quinta elementare): si corre in
palestra seguendo un percorso fissato e registrando tempi
intermedi e finali. Si costruiscono un diagramma a barre e un
grafico cartesiano con i dati raccolti. Si leggono e si interpretano i
grafici. Obiettivi: facilitare l'uso corrente e appropriato, nel
linguaggio di tutti i giorni, del termine tempo e dei sinonimi nella
definizione di velocità media; rinforzare le conoscenze che si
hanno sul rapporto tra tempo e velocità (quando lo spazio
percorso non varia); saper raccogliere dati; costruire grafici;
leggere e interpretare grafici; affrontare i concetti di
proporzionalità inversa.
- Il gioco della bacchetta magica (quarta e quinta elementare): il
bambino più lento ha una bacchetta magica con la quale può
accorciare la sua colonna (fino a farla diventare la più corta) e
risultare così il più veloce... Obiettivi: favorire la nascita e lo 51
sviluppo dei "germi del pensiero infinitesimale".
Scuola elementare
3. La variabile spazio
- Olimpiadi in palestra (classi quarta e quinta): corsa in palestra
in un tempo fissato; ogni alunno segna il suo punto di arrivo e
valuta i metri percorsi con un'unità di misura convenzionale;
realizzazione del grafico relativo; lettura e interpretazione del
grafico. Obiettivi: favorire l'uso corrente e appropriato nel
linguaggio quotidiano del termine spazio e dei sinonimi nella
definizione di velocità media; facilitare le conoscenze delle
relazioni che legano fra loro spazio e velocità (con tempo
costante); sapere riassumere i dati e rappresentarli graficamente;
leggere e interpretare i grafici; affrontare il concetto di
proporzionalità diretta.
- Il gioco della bacchetta magica (quarta e quinta elementare): il
bambino che ha percorso meno spazio ha una bacchetta magica
con la quale allungare la colonna e farla diventare la più lunga. In
tal modo risulterà il più veloce. Obiettivi: favorire la nascita e lo52
sviluppo di "germi del pensiero infinitesimale".
Scuola elementare
4. Tempo, spazio e velocità
- Con il ritmo è meglio (in palestra, classi quarta e quinta). Si invitano gli
alunni a effettuare le seguenti cinque prove:
a) percorrere 24 metri in 24 secondi. b) percorrere 24 metri in 12 secondi c)
percorrere 24 metri in 6 secondi d) percorrere 24 metri in 48 secondi.
Obiettivi: sapere regolare la propria andatura a una velocità costante in base a
un tempo e a un percorso fissati; favorire la formulazione di ipotesi sui rapporti
esistenti tra tempo, spazio e velocità; introduzione al concetto di funzione;
introduzione ai concetti di proporzionalità diretta e inversa; costruzione di
grafici; discussione dei risultati ottenuti con considerazioni personali e di
gruppo; favorire la nascita e lo sviluppo di "germi del pensiero infinitesimale".
- Il pulmino scolare più veloce del mondo (classi quarta e quinta):
elaborazione di una griglia sulla quale si rilevano dati sul pulmino che fa
servizio scolastico riportando le distanze percorsi tra una fermata e l'altra, i
tempi impiegati a percorrere quelle distanze e i tempi di ciascuna fermata. Si
utilizzano i dati per costruire un grafico cartesiano con l'aiuto di un calcolatore.
Si legge il grafico e si discute collettivamente la lettura. Obiettivi: formulazione
di ipotesi relative alla soluzione di situazioni problematiche; organizzazione del
lavoro di ricerca; raccolta dei dati; costruzione e discussione dei grafici; lettura
e interpretazione dei grafici; favorire la nascita e lo sviluppo di "germi del
pensiero infinitesimale".
53
Scuola media
Scuola superiore
I sensori di posizione
54
Scuola media
Scuola superiore
A turno, ciascun coordinatore di ogni gruppo si è
mosso rispetto al sensore, osservando la traccia
del proprio movimento proiettata su un muro
dell'aula grazie a un view screen posto su una
lavagna luminosa e collegato alla calcolatrice. La
consegna prevedeva che anche gli altri studenti
osservassero attentamente, dal proprio banco, il
movimento dei coordinatori e la traccia descritta
sul muro dell'aula.
55
Scuola media
Scuola superiore
Gli studenti si sono riuniti nei gruppi di lavoro per
riflettere e discutere su quanto avevano fatto o visto
fare. La consegna era quella iniziare ad avanzare
ipotesi (o di confrontare quelle eventualmente già
pensate individualmente durante la precedente
attività) sul come e perché il movimento fosse legato
al grafico osservato sul muro.
56
Scuola media
Scuola superiore
A turno, tutti gli alunni che nella prima attività si erano
limitati semplicemente a osservare il movimento dei
coordinatori dei gruppi di lavoro, sono stati chiamati a
compiere essi stessi il movimento. Inizialmente, però, la
lavagna luminosa veniva spenta: i compagni di gruppo
(eventualmente anche di altri gruppi) dovevano disegnare
un grafico tempo-posizione che rappresentasse il
movimento. Subito dopo, la lavagna veniva riaccesa, in
modo che gli studenti potessero confrontare la traccia
disegnata sul muro con il grafico tempo-posizione prodotto
sul foglio.
57
Scuola media
Scuola superiore
Gli studenti si sono nuovamente riuniti in gruppo
per
rispondere
a
domande
riguardanti
l'interpretazione di alcune caratteristiche grafiche
delle tracce osservate sul muro (per esempio, che
cosa suggerisce un segmento orizzontale, uno
obliquo, oppure un tratto di curva e così via…)
A turno, i coordinatori di ciascun gruppo si sono mossi con il
sensore in funzione e con la traccia proiettata alle loro spalle, in
modo tale che essi, al contrario dei compagni, non potessero
osservare la traccia prodotta dal proprio movimento. I
coordinatori dovevano descrivere verbalmente, al tempo stesso, i
propri movimenti e le caratteristiche significative della traccia
proiettata sul muro e visibile a tutti gli altri studenti. I compagni
di gruppo dovevano prendere nota di eventuali errori commessi
dal coordinatore per poi discuterne al termine dell'esperienza.
58
Scuola media
Scuola superiore
A turno, ogni studente doveva cercare di riprodurre, con il
proprio movimento, un grafico tempo-posizione generato
dalla calcolatrice.
A turno, ciascun coordinatore si è mosso e i compagni di
gruppo hanno riportato, sul proprio quaderno, la traccia
proiettata sul muro durante il movimento del coordinatore. Al
termine del movimento, il coordinatore, utilizzando una
specifica funzione fornita dalla calcolatrice, ha rilevato un
certo numero di coppie di dati "tempo-posizione". I dati
raccolti sono stati elaborati in classe dagli studenti, 59con
l'aiuto l'insegnante, in successive lezioni.
Scuola elementare
Scuola media
Scuola superiore
Il figlio di un re, ormai diventato grande, era curioso di visitare e di
conoscere l’immenso regno del padre. Un giorno decise di partire
insieme a tutto il suo seguito: cavalieri, servi, carri, tende e viveri.
Ogni giorno percorrevano 50 chilometri e alla sera si accampavano
per la notte. Temendo che il viaggio fosse lunghissimo, il figlio del re,
già dopo la prima notte di sosta, chiamò il cavaliere più fidato e gli
disse: “Tu hai il compito di fare avanti e indietro dalla nostra
postazione al castello, per portarmi notizie di mia madre, di mio
padre e riferirmi che cosa succede. Io intanto continuerò ad andare
avanti”. Così si salutarono e il figlio del re riprese a cavalcare,
allontanandosi sempre più dal castello. Ogni giorno il figlio del re
percorreva 50 chilometri e il suo messaggero ne percorreva 100…
Dobbiamo scoprire quanti giorni intercorrono tra due successivi
60
incontri del principe con il cavaliere …
Scuola media
Scuola superiore
Supponiamo di trovarci all’n-esimo incontro, a una distanza d dal
castello (che coincide con la posizione del re nel sistema che ha come
origine il castello); il cavaliere, prima di incontrare nuovamente il re,
deve ripassare dalla posizione d e quindi percorrere una distanza 2*d.
Nello stesso tempo il re, che si muove a una velocità che è la metà di
quella
cavaliere, halepercorso
una distanza d trovandosi quindi in
Sedel
si rappresentano
due
leggi orarie
con le corrette
vantaggio
di d rispetto
al cavaliere. Questi, muovendosi a velocità
pendenze,
contare i dopo aver percorso una distanza 2*d a
doppia
del re, basta
lo raggiungerà
quadretti per scoprire che
partire
dalla posizione dell’ennesimo incontro (d). Quindi il cavaliere,
figlio del re e cavaliere si
dopoincontrano
ogni incontro,
percorrerà
in giorni
che sono una distanza 4*d, mentre il re una
distanza
2*d.diEntrambi,
essendo partiti dalla posizione d, si troveranno,
potenze
3
al prossimo incontro, nella posizione 3*d. Quindi la legge ricorsiva d(1)
= Viene
50 d(n+1)
= 3*d(n) dà le posizioni dei successivi incontri.
utilizzata un’unica retta per rappresentare spazio e tempo. Per il figlio del re ogni
della
retta rappresenta
individuato
da due
numeri (giorno
e posizione,
Lapunto
legge
esplicita
è d(n) =un50evento
* 3n con
n numero
naturale.
Analoga
legge
che coincide con i chilometri percorsi); per il cavaliere, che va avanti e indietro,
sono
n con n
varrà
per
i
tempi
t(n+1)
=
3*t(n)
con
t(1)
=
1.
Quindi
t(n)
=
3
61
utilizzati diversi numeri che rappresentano i giorni, perché il cavaliere passa per la
numero
naturale.
stessa posizione
in giorni diversi.
Scuola elementare
Scuola media
Scuola superiore
Classi interessate nella sperimentazione:
due quinte elementari e una seconda liceo
scientifico a sperimentazione PNI (gli studenti
del liceo fungevano da tutor dei bambini della
scuola elementare, oltre a seguire un percorso 62
più approfondito e completo).
Scuola elementare
Scuola media
Scuola superiore
Interviste a genitori e nonni, ricerche su internet
e sui libri per individuare fatti importanti dal 1960
al 2005 (locali e nazionali).
Costruzione di una striscia del tempo dal
1960 al 2005 nella quale inserire i fatti ritenuti più
significativi per esporla in classe (o nel
corridoio) e poi trasferirla sul quaderno.
63
Scuola elementare
Scuola media
Scuola superiore
Una raccolta di statistiche della variazione dei
prezzi di certi beni e del salario di un operaio dal
1960 al 2005 per evidenziare l’evoluzione dei
prezzi e il cambiamento del potere di acquisto del
denaro e il cambiamento del potere di acquisto
del salario mensile su un certo insieme di beni
(uso di un foglio elettronico per la raccolta e
l’elaborazione dei dati).
Gli studenti del liceo elaborano autonomamente i
dati, anche con l’obiettivo di aiutare i bambini
della scuola elementare a risolvere eventuali 64
problemi incontrati.
Scuola elementare
Scuola media
Scuola superiore
Verifica finale con proposta agli studenti di un
testo in cui si parla di variazione del potere di
acquisto, sondando la loro capacità di capire un
testo destinato agli adulti.
Descrizione dell’esperienza.
65
Scuola elementare
Scuola media
Scuola superiore
Vedere CD
… Come approccio ad un’attività più sistematica, tesa a
rilevare come cambia il valore del denaro nel tempo, gli
alunni completano collettivamente la tabella …
Immediatamente gli alunni rilevano che, per effettuare
un possibile confronto, è indispensabile utilizzare la
stessa unità di misura: si rende necessario convertire
in lire i valori espressi in euro o, viceversa, in euro
quelli espressi in lire…
66
Scuola elementare
Scuola media
Scuola superiore
1. Nel 2006, sia i prezzi che lo stipendio
sono molto più alti rispetto agli altri
anni.
2. Le auto costano sempre più dello
stipendio di un operaio.
3. Per acquistare un televisore, sia nel
1955 che nel 1965, occorreva più di uno
stipendio, mentre nel 2006 con uno
stipendio si potrebbero acquistare 5
televisori
4. Il biglietto dell’autobus e il
quotidiano mantengono lo stesso
prezzo.
5. Tutti i prodotti dal 1955 al 1965,
aumentano di prezzo, tranne zucchero,
67
benzina e
televisori.
Scuola elementare
Scuola media
Scuola superiore
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Scuola elementare
Scuola media
Scuola superiore
Si consegna a ogni singolo alunno:
una tabella a doppia entrata indicante i prezzi al consumo di una
serie di prodotti per ogni quinquennio a partire dal 1960; un foglio
per effettuare registrazioni e calcoli a livello collettivo o di gruppo;
un foglio personale dove scrivere osservazioni, problemi, quesiti.
In un secondo momento, al termine delle attività, in piccolo
gruppo, gli alunni metteranno in comune le reciproche
osservazioni, confrontandosi e cercando di chiarirsi eventuali
problemi. I quesiti rimasti aperti e le osservazioni che gli alunni
stessi riterranno significative verranno riportati in classe virtuale.
Si prende in esame il decennio 1960 – 1970 e si “misura” il potere
di acquisto della lira, calcolando quanti chili di carne si potevano
acquistare nel 1960, nel 1965 e nel 1970.
69
Scuola elementare
Scuola media
Scuola superiore
70
Scuola elementare
Scuola media
Scuola superiore
Mentre si registrano le variazioni dei costi su un
grafico cartesiano, Sanie esprime la
perplessità di non riuscire a pensare ad un grafico
che registri contemporaneamente le
variazioni relative allo stipendio e quelle relative, ad
esempio, alla carne:
sul grafico cartesiano non riusciamo a confrontare
insieme i valori dello stipendio,dal 1965 al 1975,e
quelli della carne:l'ascissa va bene ma ... l'ordinata?
Il problema viene “preso in carico” dagli
studenti tutor … “I numeri indice” …
71
Scuola elementare
Scuola media
Scuola superiore
72
Scuola elementare
Scuola media
Scuola superiore
I bambini leggono, insieme all’insegnante tabelle e
grafici dell’ISTAT. Ricompaiono i “numeri indice”.
Si studia un’attività per iniziare a far comprendere
la loro importanza e utilità nello studio di una
“serie storica”.
La scheda di Flatlandia
73
Scuola elementare
…
Scuola media
Scuola superiore
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Scuola elementare
Scuola media
Scuola superiore
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Scuola elementare
Scuola media
Scuola superiore
La variazione del denaro nello spazio
I numeri del consumo energetico nel mondo
I numeri del consumo dell’acqua nel mondo
76
77
78
http://didmat.dima.unige.it/
Si tratta di uno dei siti più ricchi di materiali didattici
per l'insegnamento - apprendimento della
matematica. Il sito è organizzato dal gruppo di
Paolo Boero, del Dipartimento di Matematica
dell'Università di Genova e contiene materiali per
ogni livello scolare, dalle elementari al triennio della
scuola secondaria. In particolare, cliccando
sull'hotword "progetto MIUR/DIMA", si accede a una
serie di lavori effettuati da alcuni docenti di diversi
ordini scolari. In questi lavori è compreso il mio
"Storia di una ricerca" che è una puntuale
descrizione di un anno di lavoro con una classe di
79
prima liceo scientifico.
Ministero
dell’Istruzione,
dell’Università
e della Ricerca
Direzione
Generale
Ordinamenti
Scolastici
matematica 2003
Unione
Matematica
Italiana
La Matematica
per il cittadino
Società
Italiana di
Statistica
Liceo
Scientifico
Statale
“A. Vallisneri
Lucca
Attività didattiche e
prove di verifica per
un nuovo curricolo di
matematica
”
80
Ciclo secondario
http://macosa.dima.unige.it/
È il sito del Progetto Macosa, un progetto di
innovazione nell'insegnamento della matematica
nella scuola secondaria superiore coordinato da
Carlo Dapueto del Dipartimento di Matematica
dell'Università di Genova. I materiali che si trovano
in rete a questo indirizzo sono particolarmente
interessanti e curati. Se si vuole andare direttamente
ai materiali per gli studenti utilizzare l'indirizzo
http://macosa.dima.unige.it/om/index.html .
81
http://illuminations.nctm.org/pages/across.asp#r
esources
Una raccolta di attività di matematica on line
classificate per livello scolare e progettate come
esempi di applicazione degli standard nazionali
dei programmi degli Stati Uniti d'America. Si
tratta di attività particolarmente intelligenti e
stimolanti, alle quali mi sono spesso ispirato
nella mia attività di insegnamento.
82
http://www.matematica.it/
Sito di Michele Impedovo, docente
dell'Università Bocconi, Luigi Tomasi e Domingo
Paola, docenti di scuola secondaria di secondo
grado.
I siti propongono materiali didattici, articoli di
descrizione di esperienze e di riflessione
sull'insegnamento - apprendimento della
matematica, con una particolare attenzione
all'uso delle nuove tecnologie... navigazione
quanto mai opportuna, per chi è interessato a
83
questo tema.
In particolare, per il lavoro sulla variazione del denaro nel tempo:
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