XXX Convegno UMI-CIIM Dipartimento di Scienze aziendali, economiche e metodi quantitativi Bergamo 25-27 ottobre La preparazione didattica degli insegnanti di matematica Nicolina A. Malara Dipartimento di Educazione e Scienze Umane Università di Modena & Reggio E. ... quelli che si innamorano della pratica senza scientia sono come nocchieri che entrano in naviglio senza timone o bussola, che mai hanno certezza dove si vadano. Sempre la pratica deve essere edificata sopra la buona teoria .... Leonardo da Vinci Frase riportata dall’attuale presidente UMI in esergo ai suoi messaggi Quale teoria • Pedagogia • Matematica • Psicologia • Epistemologia/Storia della Matematica Educazione • Didattica della Matematica matematica • Sociologia • Antropologia • … Teoria come Dando ragioni del suo costituirsi Federigo Enriques Didattica della Matematica come sinonimo di Educazione Matematica Didattica della Matematica (DM) E’ una disciplina relativamente giovane. La sua nascita può idealmente associarsi all’istituzione dell’ICME, avvenuta in seno all’ICMI su ispirazione di ed in particolare al I congresso ICME (Lione, 1969) H. Freudenthal (1905 – 1990) La DM può ritenersi costituita come risultante dell ’ ampio dibattito e degli studi avviatisi nel secondo dopoguerra circa • la riforma della scuola, • la qualificazione degli studi scientifici • il rinnovamento dell’insegnamento della matematica A livello internazionale, un importante catalizzatore per la sua costituzione diviene la rivista Educational Studies in Mathematics fondata nel 1968 da H. Freudenthal Evoluzione della DM Anna Sfard (ICME 10, 2004, Copenaghen) Sintetizza l’evoluzione della DM con il succedersi di tre ‘ere’ • Programs era (anni 1970-1980) • Students era (anni 1980-1990) • Teachers era (anni 2000 - oggi ) Tappe che segnano in parallelo anche lo sviluppo della ricerca Italiana Avvento degli home computer Si passa dalla loro programmazione all’uso di software specifici per l’insegnamento Percorriamo per grandi linee queste tre ‘ere’ guardando a: i caratteri del patrimonio di conoscenze teoriche della DM che si è venuto a costituire le indicazioni che risultati consolidati della ricerca offrono per la strutturazione dei nuovi programmi e per la formazione degli insegnanti l’analisi di un caso (algebra) nel rapporto ricerca - mutamenti della didattica evoluzione della DM e problemi sul tappeto nel rapporto con l’insegnamento della matematica per la formazione degli insegnanti Programs era Studi sui curricoli • Questioni sui contenuti (nuovi inserimenti, ristrutturazioni, aspetti culturali connessi) • Piani didattici da svilupparsi nel lungo termine articolati per obiettivi (generali - specifici) Proposte di itinerari didattici di innovazione sia su nuovi contenuti (es. trasf. geom., probabilità, …) sia classici (es. la didattica del problema) Analisi Libri di testo (impianto culturale, aderenza ai programmi, linguaggio e stile espositivo, rappresentazioni, attività operative) • • Students era Studi sugli apprendimenti /innovazioni • Studi diagnostici (errori frequenti, misconcetti, • Analisi di difficoltà (questioni psicologiche, ostacoli epistemologici, tradizioni di insegnamento) lacune) Prototipi di percorsi di insegnamento/apprendimento frutto di sperimentazioni con insegnanti-ricercatori (protocolli degli allievi e qualità degli • apprendimenti) Modelli teorici sulle dinamiche che si attivano nell’apprendimento di particolari contenuti • Teachers era Conoscenze contenuti, curricoli, difficoltà studenti Convinzioni contenuti, modalità di insegnamento, studenti … Competenze matematiche e didattico Studio dei sistemi e metodologiche, flessibilità nel delle modalità di repertorio dei ruoli da formazione assumere Difficoltà carenze culturali, inabilità operative, influenza dei modelli di insegnamento ricevuto, poca consapevolezza, rigidità, … Programs era In Italia 1968 Programmi ‘De Finetti’ per la scuola secondaria superiore importante progetto educativo di grande innovazione 1979 Nuovi programmi per la scuola media 1985 Nuovi programmi per la scuola elem. 1986 Nuovi programmi per il biennio sc.sec.sup. …. • Contenuti organizzati per temi con obiettivi da raggiungere nel lungo termine (2-3 anni) • Tanti contenuti nuovi (alcuni con opzionalità) Programs era in Italia Nuova figura dell’insegnante agente decisionale e promotore di un atteggiamento di indagine negli studenti Nuova visione della matematica Matematica nella realtà (unificazione dell’ins. Mat. alle altre Scienze, grande attenzione ai linguaggi con particolare riferimento al linguaggio naturale ) Nuovi metodi e strumenti (ins. per problemi, utiiizzo di strumenti concreti, avvio alla interazione) Nuove visioni educative (no alla selezione ma aiuto alla crescita) Sviluppo della DM in Italia Tra gli universitari coinvolti si distinguono due studiosi convinti assertori dell’importanza del rapporto con le istituzioni pubbliche per la ricaduta sociale degli studi e lo sviluppo stesso della disciplina G. Prodi (1925 – 2010) F. Speranza (1932 – 1998) Attorno a loro si sviluppa una comunità di ricercatori e insegnanti molti dei quali giovani, culturalmente e socialmente molto motivati nascono gli insegnanti-ricercatori • Convegni annuali UMI-CIIM • Convegni annuali ‘INTERNUCLEI’ (s. media, s.elem. s. superiori, s. elem. & s. media) • Il ‘SEMINARIO NAZIONALE’ • La partecipazione internazionale • La nascita di nuove riviste: IMSI, ED, MD … Vari studi degli NRD confluiscono nei volumi delle due collane dei Quaderni CNR, dedicate a: •L’innovazione nelle classi •la formazione degli insegnanti Probabilità e statistica nella s.m.: una proposta didattica (Pesci e Reggiani) • Analisi di libri di testo per la s.m. sul tema Probabilità e Statistica (Malara) Materiali ancora oggi preziosi • Le isometrie piane: mostra di materiale didattico (Ferrari et al.)per la formazione degli insegnanti, dei e dei e arte • La prospettiva: un incontro tratutor matematica (Menghini, Mancini Proia) formatori • Geometrizzazione dello spazio ambiente: una proposta didattica (Marchi et al.) • L’algebra come strumento di pensiero (Arzarello et al.) • Gli scritti di epistemologia (Speranza) • Atti Convegni UMI-CIIM programs era Notiziario UMI, agosto/settembre 1977 •Sull’insegnamento della matematica e delle scienze nella scuola media spaccato dell’ampio dibattito su: - l’integrazione dei due insegnamenti - le sperimentazioni - i problemi della formazione degli insegnanti Notiziario UMI ottobre 1979 • Tracce didattiche per la scuola media itinerari su vari temi, messi a punto dagli NRD, con esempi di attività didattiche Atti Convegni UMI-CIIM students era Notiziario UMI, marzo 1990 •Programmi di matematica nella scuola media dieci anni dopo presenta interessanti relazioni su difficoltà in matematica, su esperimenti di innovazioni con protocolli degli studenti che documentano la qualità degli apprendimenti Materiali importanti per Notiziario UMI, ottobre 1998 la ricerca e laerrori, difficoltà, •Apprendere la matematica: formazione conquiste Notiziario UM, luglio 2003 teachers era •L’insegnante di matematica nella scuola di oggi: formazione e pratica professionale Gli studi che si svolgono nelle prime due ‘ere’ portano all’evolversi di i contenuti matematici d’insegnamento lo studio delle difficoltà degli studenti sposta l’attenzione sui processi di apprendimento e porta alla reificazione di altri tipi di contenuto • contenuti trasversali, quali: congetturare– argomentare-dimostrare; porsi e risolvere problemi • di tipo meta, quali: confronto di strategie; apprezzamento per la matematica le modalità di insegnamento si propone un insegnamento per situazioni problematiche con modalità di interazione nel quadro del socio-costruttivismo Un caso esemplificativo l’evoluzione della didattica dell’algebra Un importante studio diagnostico 1981, K. Hart (a cura di) Children understanding mathematics 11-16 Studio statistico-qualitativo condotto nel Regno Unito su vasta scala Children understanding mathematics 11-16 Aree di contenuto considerate Operazioni e problemi, notazione posizionale e decimali, frazioni, interi relativi, algebra, grafici, simmetrie e rotazioni, vettori e matrici Si distingue per •la qualità dell’insegnamento che traspare •la lontananza dall’insegnamento da noi generalmente praticato I quesiti del test di algebra (Kucheman) 30 questiti in ambito numerico-algebrico raggruppati secondo 4 livelli di difficoltà richiedenti: • l’uso del principio di sostituzione • le conversioni linguaggio verbale/ linguaggio algebrico e viceversa • il coordinamento tra semantica e sintassi • la modellizzazione di semplici frasi e la soluzione di piccoli problemi Quesiti di algebra del test di Kucheman (1981) risultati più problematici livello 1: 1) a+b = 43 . a+b+2 = … ; 2) 2a+5a = … livello 2: 1) m = 3n+1, n = 4 , m = …; 2) 2a+5b+a = … livello 3: 1) e+f = 8, e+f+g = … ; 2) r=s+t, r+s+t= 30, r = … 3) aggiungi 4 a 3n ; 4) c+d=10, c<d , c =… 5) una figura ha n lati, ogni lato ha lunghezza 2 il suo perimetro è … livello 4 : 1) L+M+N = L+P+N Sempre? Qualche volta (quando?), Mai? 2) che cosa rappresenta 4d+3b se i dolci costano c pence ciascuno, i biscotti b pence ciascuno, sono stati comprati 4 dolci ecc … ? 3) (a-b)+b = … : 4) moltiplica n+5 per 4 5) se (x+1)3 +x = 349 quando x= 6 qual è il valore di x che verifica l’uguaglianza (5x+1)3 + 5x = 349 6) chi è più grande 2n o n+2? Spiega 7) sono state comprate 6 penne rosse e 5 penne blu quale il costo totale. Analisi delle difficoltà di apprendimento In ambito aritmetico - algebrico Il ruolo dominante dei modelli primitivi (Fishbein ) •L’estensione impropria di proprietà della struttura additiva alla struttura moltiplicativa la proprietà n(a+b) = na+nb dà luogo alla falsa uguaglianza (a+b)n = an + bn • Le visioni concettuali distorte per la dominanza della struttura d’ordine discreta rispetto a quella densa nel passaggio dagli interi ai razionali (es. tra 0,27 e 0.28 non c’è alcun numero) Influenza negativa dell’insegnamento procedurale dell’aritmetica (surveys di C. Kieran) • Direzionalità del segno ‘uguale’, inteso come ‘dà luogo’, ostacoli nelle trasformazioni di arricchimento, es. 1+2a = (a+1)2-a2 Tali studi portano a concepire •Non accettazione di scritture quali 2b+a, loro di trasformazionela in pre-algebra equazioni, es.un’area 2b+a =0 per insegnamento ‘mancanza di chiusura’ in aritmetica, di tipo relazionale e strutturale darà poi luogo all’ • Mancanza diche riconoscimento di uguaglianze quali 3b+5a+c = 5a+c+3b perAlgebra la dominanza del Early calcolo nel confonto di espressioni numeriche Bell (1976) documenta difficoltà e inabilità a concatenare scritture algebriche per dedurre nuove informazioni e sviluppare dimostrazioni anche di studenti bravi nelle trasformazioni sintattiche Bell sostiene che il superamento di queste difficoltà può avvenire nel momento in cui viene favorito un uso del linguaggio algebrico come strumento per rappresentare relazioni e per esplorare aspetti di queste relazioni Bell ritiene fondamentale condurre gli studenti attraverso il ciclo algebrico essenziale caratterizzato da tre tipologie di attività algebriche rappresentare manipolare interpretare sviluppa un ampio progetto sperimentale centrato su attività di esplorazione in ambienti realistici e matematici dando spazio alla dimostrazione di proprietà (Bell 1985) Arcavi (1994) Sottolinea l’importanza che gli studenti raggiungano la consapevolezza che il linguaggio algebrico è un potente strumento per capire, esprimere e comunicare generalizzazioni, stabilire connessioni, produrre dimostrazioni Propone una didattica dell’algebra finalizzata allo sviluppo del Symbol Sense che caratterizza attraverso una serie dettagliata di prototipi di attività Kieran(1996) caratterizza l’algebra da portare nelle classi in tre tipologie di attività, da lei viste a livello crescente di complessità 1° livello le attività generazionali riguardano la rappresentazione e l’interpretazione di situazioni, proprietà, modelli e relazioni e che consentono di costruire gli oggetti dell’algebra ancorandone i significati all’esperienza 2° livello le attività trasformazionali attività classiche quali la semplificazione di espressioni, il lavoro con espressioni equivalenti, la risoluzione di equazioni, lo studio dei polinomi e la loro fattorizzazione, … 3° livello le attività globali di livello meta attività non esclusivamente algebriche dove l’algebra è utilizzata come uno strumento, quali: il problem solving, la generalizzazione, la dimostrazione Kieran sottolinea l’importanza delle attività generazionali e la necessità di devolvere più tempo alle attività globali di livello meta Le attività di livello meta inducono gli studenti ad affrontare attività trasformazionali in modo naturale dal momento che il significato guida e supporta la manipolazione algebrica. MacGregor e Price (1999) Metalinguistic awareness symbol awareness capacità di individuare i segni matematici relativi a referenti del mondo reale e di riuscire a manipolarli syntax awareness capacità di riconoscere la forma delle espressioni algebriche e di controllare, attraverso la struttura sintattica, sia i significati di tali espressioni che le inferenze che possono essere dedotte da esse. Symbol sense e Metalinguistic awareness stanno alla base dello sviluppo de il pensiero anticipatorio (Arzarello et al. 1994, 2001, Boero 2001) capacità di: • Ipotizzare scritture formali vca cui pervenire per 4 poter affermare certi risultati • Prevedere, senza svolgere trasformazioni sintattiche, possibili 2 nuove forme di una certa espressione vagliandone i significati • Attivare cambiamenti di frame concettuale ed interpretazioni plurime a +a 3 a +a 3 Arzarello et al. 1994 sostengono che la dimostrazione di congetture è attività tipica nella quale gli studenti sono chiamati ad operare con flessibilità un efficiente gioco di interpretazioni Cruciale per questo non è tanto la padronanza nella manipolazione simbolica, quanto la qualità e la quantità di pensieri anticipatori che lo studente è in grado di mettere in atto in relazione alla nuova forma di una espressione per una possibile trasformazione G E N E R A L I Z Z A Z I O N E Indicazioni per la pratica di classe Studio di problemi verbali algebrici coinvolgenti una o più incognite, Visionecon laboratoriale modellizzabili (dis)equazioni dell’insegnamento Esplorazione di situazioni coinvolgenti della matematica più variabili per l’identificazione e la La matematica per il modellizzione di relazioni funzionali binarie cittadino Esplorazione successioni figurali UMIdi2003-2004 e numeriche soggiacenti a leggi da individuare e modellizzare Modellizzazione Trattamenti Sintattici ragionati Cambiamenti di frame Giochi di interpretazione Esplorazioni numeriche per l’individuaPensieri di zione di proprietà, la formulazione di anticipazione congetture e la dimostrazione • Ciclo algebrico essenziale • Symbol sense • Attività generazionali , attività trasformaSono tutti costrutti zionali, attività algebriche di teorici tipo meta che facilitano lo studio di fenomeni didattici e la • Consapevolezza metalinguistica comunicazione su di essi • • che divengono espressioni • Cambiamenti di frame linguistiche proprie dell’insegnante e usate • Pensieri anticipatori professionalmente • Giochi linguistici Verso la teachers era Il successo di percorsi di innovazione realizzati in collaborazione con insegnantiricercatori, in ogni fase - progettazione, sperimentazione, analisi dei risultati - pone il problema dello studio della loro trasferibilità at large Nello studio dei processi di insegnamentoapprendimento l’insegnante da variabile muta diviene variabile osservata Questioni di ricerca centrali il rapporto dell’insegnante con: •L’innovazione curricolare (indicazioni della ricerca) e metodologico-didattica (discussione matematica, artefatti, nuove tecnologie) • la consapevolezza di sé (delle proprie convinzioni e conoscenze, del proprio modo di essere nell’azione didattica) Studi circa lo sviluppo professionale degli insegnanti in e dalla pratica Gli studi di J. Mason (1998-2008) Gli studi di B. Jaworski et al. (1998- 2009) CORE La riflessione critica sulla propria pratica come elemento chiave per una efficace formazione degli insegnanti Mason, J.: 2002, Researching Your Own Practice: the Discipline of Noticing Questa visione è oggi consolidata in tutti gli ambienti di ricerca e comincia a dffondersi tra gli insegnanti Jaworski (1998) parla di “pratica riflessiva” e sostiene che “l’essenza della pratica riflessiva nell’insegnamento potrebbe essere vista come il rendere espliciti approcci e processi di insegnamento in modo che essi possano divenire oggetto di minuzioso esame critico” L’esame ‘a grana fine’ della propria pratica, porta gli insegnanti ad acquisire consapevolezza delle conseguenze delle loro scelte ed azioni e permette loro di affinare le loro strategie e la loro conoscenza. Una delle sue tesi è che Attraverso pratiche di indagine e di riflessione di mutuo sostegno tra insegnanti e ricercatori si ha un co-apprendimento che contribuisce allo sviluppo di queste pratiche. Le pratiche rigardano l’insegnamento, l’indagine nell’ insegnamento, ed elementi di formazione insegnanti Studi italiani sulla formazione insegnanti in e dalla pratica • Il modello di formazione ‘capire si può’ ed il costrutto di insegnante come ‘mediatore di risonanza’ (tra sfera della cognizione individuale, sfera culturale e strutture della realtà) in percorsi di conoscenza con forte controllo dei significati (Guidoni-Tortora et al.) • Il costrutto teorico dell‘insegnante come‘mediatore semiotico’ nell’uso di artefatti (Bartolini-Mariotti et al. ) • Il modello di formazione basato sulla riflessione critica sui processi di classe, attraverso vari costrutti e strumenti teorici (unità, glossario, MCT) (Malara et al.) Trasposizione meta-didattica come modello teorico dei programmi di formazione (Arzarello et al.) Indirizzi di ricerca sulla formazione Teachers era Scivolamento di prospettiva dalla formazione iniziale alla formazione continua (long-life learning) Filoni di studio metodi e strumenti di formazione (es. interventi in presenza o a distanza, attivazione di forum e piattaforme per la comunicazione, costituzione di comunità di pratica, di indagine ...) studio degli effetti di specifiche pratiche sullo sviluppo professionale degli insegnanti la formazione delle varie tipologie di formatori specificità, cultura da possedere e pratiche per potenziare la loro professionalità Mentors era … 2. Un esempio di modello di intervento per la formazione Jugyou Kenkyuu (‘Lesson study’ giapponese ) Consiste in un ciclo di macro-azioni professionali dell’insegnante che nascono e si sviluppano attivazione e potenziamento di attorno alla progettazione, realizzazione e analisi mathematical habits of mind di una ‘Research lesson’(RL) Una Research lesson è una lezione interattiva centrata sul problem solving e posing, aperta a vari sviluppi possibili, in cui gli studenti ricercano strade risolutive per le questioni poste, strategie che vengono discusse collettivamente e raccolte Fasi costituenti il ciclo di un lesson study formulazione degli obiettivi d’apprendimento progettazione della RL Svolgimento della RL osservazione e riesame della RL raffinamento della RL per una sua riproposizione Nei percorsi di formazione gli insegnanti a gruppi lavorano collettivamente ad una ‘Lezione di ricerca’ per • l’individuazione degli obiettivi • la progettazione della RL con stesura di questioni e di reti di azioni/reazioni previste a seconda degli sviluppi ipotizzati nella RL • l’osservazione video delle singole interpretazioni della RL e discussioni di riflessione sull’osservazione • raffinamenti dei percorsi attuati Il Lesson Study viene attuato nel lungo termine ed utilizzato per tutti i contenuti di insegnamento Esempi di temi per una ‘Lezione di Ricerca’ • confrontare 2/3 e 4/5 • introdurre l’operazione di addizione tra frazioni • Introdurre il concetto di area di figure piane • Esplorare un fenomeno isolare variabili e cercare relazioni tra esse • cercare e confrontare dimostrazioni di uno dato teorema • cercare e classificare gli sviluppi di un cubo … Schema preparatorio per una RL Piano sviluppo RL Problemi Attività Domande poste dall’insegnante Previsioni Osservazione Domande Punti critici su cui Studenti focalizzare Risposte studenti l’attenzione Punti problematici per gli insegnanti •Modificare/raffinare piani di lezioni per dare spazio all‘indagine ed alla scoperta •Prevedere domande degli studenti •Prevedere risposte degli studenti Nel lungo termine gli insegnanti vengono a collezionare repertori di piani didattici e materiali di vario genere frutto delle esperienze nei LS nelle ricerche sulla formazione via LS si cercano di mettere a fuoco indicatori dell’evoluzione dello sviluppo professionale degli insegnanti e i fattori di contesto che lo influenzano Molti dibattiti e positivamente. L. C. Hart, A. S. Alston, A. Murata (a cura di), 2011, sperimentazioni in USA Lesson Study Research and Practice in Mathematics Education - Learning Together Tutti (e non solo) gli aspetti relativi alla pratica dell’insegnamento da noi considerati: •Programmi, piani didattici, libri di testo, •difficoltà di apprendimento, innovazioni e questioni teoriche connesse per ogni tema devono essere oggetto didi insegnamento, studio teorico oltre che •modalità didattiche laboratoriali pratico nel percorso di •lo studio di processi di classe formazione di un •i ruoli che l’insegnante deve assumere •la consapevolezza del significato dell’essere insegnante insegnante Componenti costitutive della conoscenza professionale degli insegnanti •la conoscenza dei contenuti matematici SMK • la conoscenza pedagogica (PK) Sono di fatto le principali • la conoscenza didattica PCK componenti introdotte da Shulman modalità di trasposizione didattica dei contenuti matematici, difficoltà degli Thoseerrori Whofrequenti, Understand: Knowledge studenti, libri di testo di Growth in riferimento, repertori di Teaching attività su dati contenuti,Educational schemi di valutazione …) Researcher (1986) CK Ball & Bass (2002), Bass (2005), Ball & Al. (2005, 2008) Facendo riferimento al lavoro di Shulman focalizzano l’attenzione su SMK e PCK Teorizzano sulla specificità della Conoscenza Matematica per l’Insegnamento Mathematics Knowledge for Teaching, MKT Considerano che la matematica per l’insegnamento ha caratteristiche differenti rispetto alla matematica Ball, D. L., Thames, M. H., & Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education Gli autori sottolineano la fondamentale differenza tra matematica e matematica per l’insegnamento: • la matematica opera una compressione di informazioni in forme astratte • la matematica per l’insegnamento richiede una sorta di decompressione, che consente di rendere esplicite le principali idee che sottendono i contenuti matematici Ball, Bass & Al. 2008 Studiano l’insegnamento della matematica dal vivo Obiettivi indagare su: •la PCK per meglio metterla a fuoco e chiarirla, per darne inquadramento teorico e fare una verifica empirica di esso •la natura della conoscenza dei contenuti matematici indirizzati verso la professione dell’insegnamento • i problemi che sorgono nell’atto di insegnare per identificare la conoscenza matematica per l’insegnamento La conoscenza matematica per l’insegnamento Attraverso lo studio •collocano la ‘conoscenza curricolare’ di Shulman all’interno della PCK •Identificano almeno due sottodomini della PCK: • La conoscenza di contenuti in rapporto agli studenti • La conoscenza di contenuti in rapporto all’insegnamento In riferimento alla conoscenza dei contenuti matematici (SMK) Identificano un importante sottodominio di ‘pura’ conoscenza matematica unicamente rivolta al lavoro dell’insegnamento La conoscenza specialistica dei contenuti Specialized Content Knowledge (SCK) nettamente distinta da: •l’area di conoscenza matematica comune a tutte le persone mediamente acculturate (Common Content Knowledge, CCK) Domini di Conoscenza matematica per l’insegnamento Verificano la maggiore efficacia della formazione centrata sul SMT e su MKT mediante test nazionali su vasta scala degli apprendimenti degli studenti gli studenti di insegnanti MKT, formati in SMT, conquistano punteggi più elevati • • • • • • • • • • • • • • • • Compiti di ‘Matematica per L’insegnamento’ (Ball & Al. 2008) Presentare idee matematiche Rispondere ai ‘perché’ degli studenti Trovare esempi per un punto matematico specifico Riconoscere cosa è coinvolto nell’uso di una specifica rappresentazione matematica Collegare rappresentazioni a idee soggiacenti o ad altre rappresentazioni Collegare un argomento da insegnare con argomenti fatti in anni precedenti o da fare in anni futuri Spiegare ai genitori obiettivi matematici e ragioni per le quali si introduce un argomento Valutare ed adattare il contenuto matematico di un libro di testo Modificare compiti in modo che siano più facili o più difficili Valutare (in fretta) la plausibilità delle affermazioni degli studenti Dare o valutare spiegazioni matematiche Scegliere e sviluppare definizioni usabili Usare linguaggio e notazioni matematiche e criticarne l’uso Porre problemi matematici produttivi Selezionare rappresentazioni per particolari propositi controllare equivalenze Ball, Bass et al. Non Didattica della Matematica ma Matematica per l’insegnamento Il cui nucleo è Matematica specialistica per l’insegnamento H. Bass (2005) Mathematics, mathematicians and mathematics education, Bulletin of the American Mathematical Society Specialized knowledge of mathematics is strictly mathematical knowledge (not about students or about pedagogy) that proficient teachers need and use, yet is not known by many other mathematically trained professionals, for example, research mathematicians. Thus, contrary to popular belief, the purely mathematical part of MKT is not a diminutive subset of what mathematicians know. It is something distinct, and, without dedicated attention, it is not something likely to be part of the instruction in content courses for teachers situated in mathematics departments. Questi studi fanno tristemente riflettere sulla adeguatezza sociale del nostro sistema di formazione viste: • Le strutturazioni dei corsi di laurea in matematica dove i corsi di lezione specifici per l’insegnamento se esistono sono al più di sei crediti ed opzionali •La durata del TFA infinitesima rispetto al tempo medio necessario per acquisire le competenze sul versante dei contenuti di ‘matematica specialistica per l’insegnamento’ prima ancora di quelle sul versante metodologico-didattico