Appunti sulla matrice densità
Simone Paganelli, Gian Luca Giorgi
2
3
1
Alcuni richiami generali di meccanica quantistica [1]
In Meccanica Quantistica, un sistema è completamente determinato una volta noto il suo stato ad un
tempo iniziale. Lo stato quantistico caratterizza completamente il sistema e l’equazione di Schrödinger
ne descrive l’evoluzione deterministica. In altri termini, si può dire che la conoscenza dello stato
rappresenta tutta l’informazione che si può avere sul sistema.
Elenchiamo brevemente alcuni concetti di meccanica quantistica che ci saranno utili nel seguito
1. La dinamica dello stato è data dall’equazione di Schrödinger
i~
∂
|ψi = H|ψi
∂t
(1)
2. Dato lo stato iniziale |ψ(0)i, il suo evoluto si ottiene applicando ad esso un operatore unitario
(operatore di evoluzione)
|ψ(t)i = U (t)|ψ(0)i
(2)
e tale operatore si determina risolvendo la (1). In particolare, per H indipendente dal tempo,
U (t) = e−i ~ t
H
(3)
hψ|ψi = 1.
(4)
3. Gli stati si intendono normalizzati a 1:
L’evoluzione, così come l’applicazione di una qualsiasi trasformazione unitaria, conserva la norma.
hψ(t)|ψ(t)i = hψ(0)| U † (t)U (t) |ψ(0)i = hψ|ψi = 1.
| {z }
(5)
1
4. Un’osservabile A è un operatore hermitiano (A† = A) che agisce sullo spazio di Hilbert dello
stato del sistema. Gli autovalori di A rappresentano i possibili risultati di una misura. Va notato
che tali risultati possono non essere noti in maniere deterministica pur essendolo lo stato 1 .
5. Un proiettore è un operatore unitario che agisce su un vettore, appartenente ad uno spazio di
Hilbert H di dimensione N , trasformandolo nella sua componente appartenente ad un sottospazio
1
La natura probabilistica della meccanica quantistica emerge soltanto in termini di un processo di misura, non in
termini di stato quantistico e della sua evoluzione.
4
H̄ ∈ H di dimensione M . Sia {|1i, |2i, · · · , |N i} una base ortonormale di H e sia H̄ il sottospazio
generato dai vettori {|1i, |2i, · · · , |M i}, il proiettore su tale stato è
P =
M
X
l=1
|jihj|
(6)
6. Gli autostati di un osservabile A definiscono un a base ortonormale {|aj i}
A|aj i = aj |aj i
(7)
e lo stato del sistema può essere rappresentato mediante tale base come
|ψi =
X
j
bj |aj i.
(8)
La misura di A è un processo proiettivo che porta |ψi in una delle sue componenti |aj i con
probabilità pj = |bj |2 .
7. La media di A è il valore medio dei risultati ottenuti dopo un numero elevato di misure.
hAi =
2
X
j
aj pj = hψ|A|ψi
(9)
Matrice densità per uno stato puro [2]
È possibile associare allo stato di un sistema quantistico il proiettore corrispondente
|ψi → ρ = |ψihψ|
(10)
ρ è detto matrice densità relativo allo stato puro |ψi. Descrivere il sistema per mezzo di |ψio di ρ,
in questo caso, è del tutto equivalente, tuttavia l’utilizzo del secondo strumento risulta più comodo in
alcuni casi, ad esempio nella definizione del processo di misura. Dato un osservabile A e i suoi autostati
{|aj i} ,possiamo introdurre i proiettori su tali stati
Mj = |aj ihaj |,
quindi la probabilità che, misurando A a partire dallo stato |ψi, il sistema si porti nello stato |aj i è
data da
pj = Tr [Mj ρ]
DIM:
Tr [Mj ρ] =
X
k
hak |Mj ρ|ak i =
X
k
hak |aj ihaj |ψihψ|ak i = haj |ψihψ|aj i = pj
(11)
5
2
Analogamente, possiamo indicare la media quantistica di A con
hAi = Tr [Aρ]
DIM:
Tr [Aρ] =
X
k
hψk |A|ψihψ|ψk i
dove {|ψk i}è una base scelta in modo tale che |ψ1 i = |ψi, in questo modo si ha
Tr [Aρ] = hψ1 |A|ψihψ|ψ1 i = hψ|A|ψi
2
3
Matrice densità per ensemble di stati puri
Lo stato di un sistema non è, in generale, conosciuto perfettamente, per questo motivo occorre introdurre un approccio statistico. Il sistema non è più descritto da uno stato puro ma da un insieme di
stati (non necessariamente ortogonali) ad ognuno dei quali è associata una certa probabilità

|ψ1 i → p1 


X
pj = 1,
|ψ2 i → p2


j

..

.
(12)
indichiamo questo insieme con {|ψj i, pj }. In questo caso non parleremo più di stato puro ma di stato
misto (oppure mistura statistica). Va notato che, per questi stati, esiste una vera e propria ignoranza
sul sistema che non deriva dalla sua natura quantistica. Confrontando con il caso precedente:
Stato puro :
• Stato perfettamente noto (massima conoscenza del sistema)
• Indeterminazione quantistica sulla misura
Stato misto :
• Lo stato non è del tutto noto (si introduce un ensemble di stati)
6
• Indeterminazione sulla misura classica e quantistica
Le medie degli operatori sono, ora, delle medie sia quantistiche che di ensemble
X
hAi =
pj hψj |A|ψj i
(13)
j
ossia occorre effettuare una media statistica su tutte le medie quantistiche fatte rispetto a ciascuno
stato dell’ensemble.
È possibile adottare un unico formalismo per i sistemi quantistici, sia che essi siano in uno stato
puro che in uno stato mescolato, introducendo una definizione più generale della matrice densità. Dato
l’ensemble {|ψj i, pj } si definisce la sua matrice densità come
ρ=
P
j
pj |ψj ihψj |.
(14)
Si vede subito che tale definizione coincide con la (10) nel caso in cui tutte le pj , tranne una, vanno a
zero (ossia quando lo stato diventa puro). Si verifica subito che (13) equivale a scrivere
hAi = tr {ρA}
(15)
p(ak ) = tr {ρMk } .
(16)
così come, analogamente alla (11),
La matrice densità è, quindi, un concetto più generale di quello di stato e permette di descrivere sia
stati puri che ensemble di stati con un unico strumento matematico. La matrice densità generalizza il
concetto “classico” di densità di probabilità:
hAi =
Z
dxp(x)A(x).
(17)
D’ora in avanti, seguendo una tradizione oramai consolidata, utilizzeremo il termine stato di un
sistema riferendoci, a seconda dei casi, al suo stato o alla sua matrice densità.
Esercizio 3.1 Consideriamo un sistema di spin 1/2 descritto dalle usuali matrici di Pauli. In un caso
si abbia lo stato
√
1
3
|ψi =
|0i + |1i
2
2
1
3
ed in un altro caso l’ensemble |0i, p0 = 4 ; |1i, p1 = 4
1. Scrivere la matrice densità in entrambi i casi
2. Calcolare hσz i nei due casi
3. Calcolare hσx i nei due casi
(18)
7
4
Proprietà della matrice densità
Elenchiamo, di seguito le principali proprietà che caratterizzano la matrice densità:
1. Hermiticità
ρ† = ρ
(19)
tr {ρ} = 1
(20)
2. Traccia unitaria
DIM: Scegliamo una base ortonormale {|ni}
tr {ρ}
=
X
n
=
X
n,k
=
X
k
hn|ρ|ni =
pk hn|ψk ihψk |ni =
pk hψk |ψk i =
X
X
k
pk hψk |
"
X
n
#
|nihn| |ψk i =
pk = 1
(21)
k
2
3. ρ è non negativa, ossia, per qualsiasi stato |χi vale
hχ|ρ|χi ≥ 0.
(22)
Questo equivale a dire che tutti gli autovalori sono positivi e, per la condizione (20), compresi
tra 0 ed 1.
DIM:
hχ|ρ|χi
=
X
k
=
X
k
pk hχ|ψk ihψk |χi =
pk |hχ|ψk i|2 ≥ 0
(23)
inoltre, per dimostrare che gli autovalori sono compresi tra 0 ed 1, consideriamo la trasformazione canonica V che
diagonalizza ρ. Per quanto detto sopra, si avrà
hχ|V V † ρV V † |χi = hχ|V ρD V † |χi = hχ̄|ρD |χ̄i ≥ 0
(24)
dove ρD è la matrice diagonale
ρD =
X
j
avente autovalori λj e autovettori |ji.
hχ̄|ρD |χ̄i =
segue che λj ≥ 0. Quindi, essendo tr {ρ} =
P
j
X
j
λj |jihj|
λj |hχ̄|ji|2 ≥ 0 ∀|χ̄i
λj = 1, ne deriva che λj ≤ 1.
(25)
(26)
8
2
Le proprietà elencate sono delle condizioni necessarie e sufficienti : ogni matrice densità le soddisfa
e ogni operatore che le soddisfi può essere interpretato come una matrice densità.
4.1
Purity
Definiamo la grandezza
detta purity. Essa gode della proprietà
P = tr ρ2
(27)
0≤P ≤1
(28)
dove P = 1 si verifica se e solo se ρ è uno stato puro.
DIM: Ricordando che la traccia è invariante sotto trasformazioni canoniche, mettiamoci nella base in cui ρ è
diagonale. In tale base è immediato vedere che
P =
X
λ2j
(29)
j
con λj autovalori di ρ. Per quanto detto precedentemente, tali autovalori sono positivi minori o uguali a uno e la loro
somma è uno. Quindi
X
j
λ2j ≤ 1
(30)
a meno che solo uno dei λ sia non nullo (e quindi pari a 1), in tal caso lo stato è puro e P = 1.
2
Inoltre, è immediato rendersi conto che P è minima quando tutti gli autovalori di ρ sono uguali
λj = 1/N (dove N è la dimensione dello spazio di Hilbert dello stato del sistema), in tal caso si ha
P = 1/N . Questo caso corrisponde allo stato massimamente mescolato, quello, cioè, in cui la nostra
ignoranza è massima. Vedremo in seguito che, proprio per questo motivo, stati massimamente mescolati
corrispondono ad un massimo dell’entropia. Possiamo, quindi, fornire degli estremi più precisi per P
1
N
≤P ≤1
(31)
La Purity fornisce, quindi, una sorta di “misura” del grado di purezza di uno stato. Quanto più ρ si
avvicina ad 1, tanto più lo stato si avvicina ad uno stato puro (e quindi aumenta la nostra conoscenza
dello stato stesso).
9
Esercizio 4.1 Calcolare la purity della matrice densità


a
b

ρ=
b∗ 1 − a
4.2
(32)
Evoluzione temporale della matrice densità
Così come la matrice densità è stata definita a partire da proiettori su stati quantistici, così la sua
evoluzione temporale deriva da quella di tali stati.
ρ(t) =
X
k
Nel caso di evoluzione di Schrödinger,
pk |ψk (t)ihψk (t)|.
|ψk (t)i = U (t)|ψk (0)i
i~
∂
U (t)|ψk (0)i = HU (t)|ψk (0)i
∂t
d
i~ U (t) = HU (t)
dt
(33)
(34)
(35)
(36)
ρ(t) = U (t)ρ(0)U † (t)
(37)
∂
d
i
d
ρ(t) = U (t)ρ(0)U † (t) + U (t)ρ(0) U † (t) = − [H, ρ(0)]t
dt
∂t
dt
~
(38)
quindi, per la matrice densità vale l’equazione del moto
2
(40)
∂
i~ ∂t
ρ(t) = [H, ρ]t
In Particolare, se l’Hamiltoniana è indipendente dal tempo, l’evoluzione è data da
ρ(t) = e−i
Ht
~
ρ(0)ei
Ht
~
.
(41)
Notare che la matrice densità evolve con il tempo invertito rispetto agli operatori in rappresentazione di Heisenberg: essa, a differenza degli altri operatori, dipende dal tempo nella rappresentazione
di Schrödinger mentre è indipendente dal tempo in rappresentazione di Heisenberg. Per chiarire questo
concetto, scriviamo le medie di un operatore nelle due rappresentazioni
hAi =
tr {ρS (t)AS } = tr {ρH AH (t)}
ρS (t) = U (t)ρU † (t)
AH (t) = U † (t)AU (t)
2
Questa equazione rappresenta l’analogo quantistico del teorema di Liouville in meccanica classica
∂
ρcl (t) = − {H, ρcl }cl
∂t
dove con {· · · }cl vengono indicate le parentesi di Poisson.
(39)
10
Abbiamo visto che, in meccanica quantistica, si può definire anche un tipo di evoluzione che si
contrappone a quella deterministica data dall’equazione di Schrödinger e che si riferisce al processo di
misura. In questo caso il pacchetto d’onda si riduce ed evolve in un autostato dell’osservabile, con una
certa probabilità. Questo, in termini di matrice densità, significa che lo stato passa da uno stato puro
ad una mistura statistica. Per cui, data un’osservabile A con autostati {|ψk i}, la matrice densità di
uno stato puro, prima della misura, è data da
ρpre = |ψihψ|
(42)
X
(43)
con
|ψi =
Dopo la misura evolve in
ρpost =
X
k
k
bk |ψk i.
|bk |2 |ψk ihψk |.
(44)
Esercizio 4.2 (Stern-Gerlach) Un fascio di particelle, tutte con spin | ↑i, caratterizzato da una
matrice densità ρ0 , viene inviato in uno Stern-Gerlach orientato lungo x. Dopo l’interazione la matrice
densità cambia in ρ1 . A questo punto uno dei due fasci in cui le particelle iniziali si sono divise (per
esempio il fascio con spin |+i) viene inviato in un altro Stern-Gerlach, questa volta orientato lungo z,
a seguito del quale la matrice densità diventa ρ2 . Determinare ρ0 , ρ1 , ρ2 .
4.3
Non univocità della matrice densità [3]
Va notato che la stessa matrice densità può riferirsi a diversi ensemble di stati
Esempio 4.1 Consideriamo un sistema a due livelli e la base ortonormale | ↑i, | ↓i. Prendiamo in
considerazione i due ensemble di stati | ↑i, 3/4; | ↓i, 1/4 e |α+ i, 1/2; |α− i, 1/2 avendo definito
r
r
3
1
| ↑i ±
| ↓i.
|α± i =
4
4
(45)
Notiamo che i due stati così definiti non sono ortogonali. Possiamo costruire le matrici densità
corrispondenti ai due ensemble:
ρ1 =
ρ2 =
1
3
| ↑ih↑ | + | ↓ih↓ |
4
4
1
1
|α+ ihα+ | + |α− ihα− |.
2
2
Con semplici passaggi è facile rendersi conto che ρ1 = ρ2 , ossia a due ensemble diversi corrisponde la
stessa matrice densità.
11
Quali classi di ensembles danno luogo alla stessa matrice densità? Consideriamo un ensemble di N
stati {pj , |ψj i} (ricordare che N può essere grande a piacere e non è vincolato dalla dimensione dello
spazio di Hilbert), corrispondente alla matrice densità
ρ=
N
X
j=1
(46)
pj |ψj ihψj |
quali sono gli altri ensemble che corrispondono alla stessa ρ? Utilizziamo il seguente trucchetto per
conteggiare gli stati dell’ensemble:
1. passiamo dagli stati normalizzati |ψj i agli stati |ψ˜j i (non più normalizzati ad 1)
√
|ψj i → |ψ˜j i = pj |ψj i
2. assegnamo all’indice j valori fino all’infinito e definiamo gli stati come:

 √pj |ψj i
j≤N
˜
|ψj i =

0
j>N
(47)
(48)
In questo modo posso caratterizzare qualsialsi ensemble {qj , |φj i} di un numero qualsiasi M di elementi
passando dai suoi elementi naturali |φj i agli elementi

 √qj |φj i
|φ˜j i =

0
Lemma 4.1 I set
n
j≤M
(49)
j>M
o n
o
|ψ˜j i e |φ˜j i generano la stessa matrice densità se e solo se
|φ˜j i =
X
j
ui,j |ψ˜j i
(50)
con ui,j una matrice unitaria.
DIM:
1. Se . . .
ρ
=
∞
X
i=1
=
|ψ̃i ihψ̃i | =
∞
X
k,j=1
=
∞
X
k=1
|φ˜j ihψ˜k |
|φ˜k ihφ˜k |
∞
X
k,i,j=1
∞
X
ui,j |φ˜j ihψ˜k |u∗i,k =
ui,j u∗i,k =
k,j=1
|
{z
δk,j
}
(51)
12
2. Solo se . . .
Supponiamo che
ρ=
∞
X
i=1
|ψ̃i ihψ̃i | =
∞
X
k=1
|φ˜k ihφ˜k |.
(52)
Effettuiamo la decomposizione spettrale, ossia scriviamo la ρ in forma diagonale
ρ=
d
X
k=1
(53)
λk |kihk|
dove d è la dimensione dello spazio di Hilbert e |ki sono gli autostati di ρ. Definiamo gli autostati non normalizzati
8 √
< λk |ki
k≤d
(54)
|k̃i =
:
0
k>d
ed esprimiamo |ψ̃i i in termini di tali vettori
|ψ̃i i =
ρ=
∞
X
k=1
questo implica che deve valere
|k̃ihk̃| =
∞
X
i=1
X
∞
X
k=1
(55)
ci,k |k̃i.
|ψ̃i ihψ̃i | =
∞
X
i,j,k=1
ci,k c∗i,j |k̃ihj̃|
ci,k c∗i,j = δj,k
(56)
(57)
j
ossia ci,k deve essere unitaria. In forma compatta, si può scrivere
|ψ˜k i = C|k̃i.
Un discorso analogo si può fare per un qualsiasi ensemble di stati
densità ρ:
(58)
n
o
|φ˜k i che corrispondono alla stessa matrice
|φ˜k i = D|k̃i.
(59)
|φ˜k i = DC −1 |ψ˜k i
(60)
quindi
ma, poichè D e C sono unitarie, anche il prodotto DC −1 lo è, come si voleva dimostrare.
2
Definizione 4.1 Un ensemble minimo per ρ è un ensemble contenente un numero di elementi minore
o pari al rango di ρ.
5
Ensemble canonico [4]
Nel caso di un insieme discreto classico di configurazioni, si può definire l’Entropia a partire dai possibili
risultati di una misura. Siano {pi } le probabilità relative a ciascun possibile risultato della misura. In
13
termini “frequentistici” pi = ni /n ossia il rapporto fra numero di uscite del risultato i-esimo e il numero
totale di misurazioni.
Considerando n misure, il numero di modi per riarrangiare gli n risultati è
W =
n!
n1 !n2 ! · · ·
(61)
passando al logaritmo ed utilizzando l’approsimazione di Stirling3 si ottiene
ln W ≃ n ln n −
X
i
ni ln ni = −n
X
pi ln pi
(62)
i
L’entropia (di Shannon) è data da
Scl =
X
ln W
=−
pj ln pj .
n
(63)
j
Nel caso quantistico, dato uno stato ρ posso cercare di ottenere informazioni sul sistema effettuando
una misura ortogonale. Ad ogni misura corrisponde una distribuzione diversa di probabilità {pk }
relative ai possibili risultati della misura. Ciascuna distribuzione definisce una diversa entropia di
Shannon. Ciò significa che ogni misura fornisce una quantità diversa di informazione. Si dimostra che,
fra queste misure, quella per cui è minima l’entropia di Shannon corrisponde ad una misura proiettiva
sugli autostati di ρ. Possiamo quindi introdurre la così detta entropia di Von Neumann
S = − tr {ρ ln ρ}
(64)
che corrisponde proprio al valore minimo dell’entropia di Shannon rispetto a tutte le possibili misure
massimali.
Per ora limitiamoci a ricavare l’espressione della matrice densità nell’ensemble canonico, imponendo
che sia massima l’entropia con, in più, il vincolo che sia costante l’energia media. Possiamo utilizzare
il metodo dei moltiplicatori di Lagrange con i seguenti vincoli:
3
tr {ρH} = hEi
(65)
tr {ρ} = 1.
(66)
Memento:
n! ≃
√
2πn
“ n ”n
e
ln n! ≃ n ln n − n
14
Variando ρ si ha
δS = tr {(1 + ln ρ)δρ} = 0
(67)
tr {δρ} = 0
(68)
tr {Hδρ} = 0
(69)
Introducendo due moltiplicatori di Lagrange λ e η si ottiene
tr {(1 + ln ρ + λ + ηH)δρ} = 0.
(70)
Poichè δρ è arbitrario e tutte le variazioni sono indipendenti, la (70) è soddisfatta se e solo se
1 + ln ρ + λ + ηH = 0
(71)
ρ = e−(1+λ) e−ηH .
(72)
tr {ρ} = 1 = e−(1+λ) tr e−ηH
(73)
ossia
Determiniamo, ora, i coefficienti
quindi
e(1+λ) = tr e−ηH ,
ρ=
e−ηH
tr {e−ηH }
(74)
(75)
Per determinare η consideriamo, per esempio, un modo di radiazione all’equilibrio termico a
temperatura T
H = ~ωa† a
hEi =
=
P
†
hn|a† ae−η~ωa a |ni
Pn
−η~ωa† a |ni
n hn|e
~ω
η~ω
e
−1
(76)
~ω
(77)
Per il teorema di equipartizione, nel limite di ~ → 0, si deve avere hEi = kT (due gradi di libertà
quadratici) quindi
lim hEi =
~→0
1
= kT
η
(78)
ossia η = β. In definitiva, abbiamo ottenuto che
ρ=
e−βH
Z
(79)
15
con
Z = tr e−βH
(80)
S = βhEi + ln Z
(81)
∂
ln Z
∂β
(82)
funzione di partizione canonica. L’entropia corrispondente è
con
hEi = −
6
Matrice densità ridotta
Fin qui abbiamo parlato di sistemi definiti su di un solo spazio di Hilbert. In questa sezione ci
dedichiamo a studiare come caratterizzare un sistema bipartito, intendendo con questo termine un
sistema composito formato da due sottosistemi, che indicheremo con A e B. Lo spazio di Hilbert
complessivo è
H = HA ⊗ HB .
(83)
Indicando la matrice densità del sistema composito con ρAB , possiamo definire, a partire da essa, una
nuova matrice densità relativa ad uno solo dei due sottosistemi e detta matrice densità ridotta. La
matrice densità ridotta del sistema A è
ρA = trB {ρAB } ,
(84)
dove con trB {} si intende la traccia fatta sui gradi di libertà del sistema B 4 . In maniera del tutto
simmetrica, per il sistema B si ha
ρB = trA {ρAB } .
(87)
La matrice densità ridotta ha tutte le caratteristiche di una matrice densità (nello spazio del
sottosistema):
4
Consideriamo un set completo di stati ortonormali in HB
{|mi} ∈ HB ,
(85)
la traccia su B di un operatore MAB definito su A e B è
trB {MAB } =
X
m
hm|MAB |mi
(86)
16
• È hermitiana
ρ†A = ρA
(88)
DIM: Per un set completo {|mi} ∈ HB ,
ρ†A =
X
m
hm|ρ†AB |mi =
X
m
dove si è sfruttata la proprietà (19) di hermiticità di ρAB .
hm|ρAB |mi = ρA
(89)
2
• Ha traccia unitaria
trA {ρA } = 1
(90)
DIM: Eseguiamo la traccia in una una base ortonormale di A {|ψn i} ∈ HA :
trA {ρA } =
X
n
hψn |ρA |ψn i =
X
n,m
hψn |hm|ρAB |mi|ψn i = tr {ρAB } = 1
(91)
avendo sfruttato il fatto che il prodotto delle due basi in A e B forma una base completa in AB e la proprietà
(20) .
2
• È non negativa in HA , ossia per ogni |χA i ∈ HA
hχA |ρA |χA i ≥ 0
(92)
DIM:
hχA |ρA |χA i = hχA |
dove si è usata la proprietà (22) per ρAB .
X
m
hm|ρAB |mi|χA i ≥ 0
(93)
2
Perchè si sceglie proprio la matrice densità ridotta per studiare un sottosistema? A prima vista
sembrerebbe che, seppure ragionevole, tale scelta sia un po’ arbitraria. In realtà questo non è vero
e definire la matrice densità ridotta non solo non è arbitrario, ma è anche l’unica scelta possibile
consistente con la statistica che si ottiene effettuando misure sul solo sottosistema
DIM: Supponiamo che M sia un osservabile per il sistema A, vogliamo trovare un operatore σA in A che sia un
operatore densità e che descriva la statistica del sottosistema A in modo coerente, ossia in modo da avere (per qualsiasi
M)
hM i = tr {ρAB M } = trA {σA M }
vogliamo dimostrare che la scelta σA = ρA è non solo una scelta compatibile con tale richiesta, ma anche l’unica.
(94)
17
1. Dimostriamo che ρA è compatibile
trA {M ρA } =
X
n,m
hψn(A) |M hmB |ρAB |mB i|ψn(A) i = tr {M ρAB }
(95)
2. Ora bisogna vedere che ρA è l’unica scelta possibile. Definiamo un mapping generico f (ρAB ) che porti ρAB in σA
tale che
f (ρAB ) = σA
(96)
tr {M ρAB } = trA {M f (ρAB )}
(97)
e
per qualsiasi M definito in A. Consideriamo ora un set completo {Mi } di operatori per lo spazio degli operatori
hermitiani di A, ortonormale rispetto al prodotto di Hilbert-Schmidt
(X, Y ) = tr {XY } .
(98)
Quindi, un operatore in A può essere scomposto come
OA =
X
Mi (Mi , OA ) =
i
In particolare, questo è vero per f
f (ρAB ) =
i
X
i
tuttavia, per ipotesi, deve valere la (97), quindi
f (ρAB ) =
X
i
il che implica che
X
Mi trA {Mi OA } .
Mi trA {Mi f (ρAB )}
Mi tr {Mi ρAB } =
X
i
Mi trA {Mi trB {ρAB }}
f (ρAB ) = trB {ρAB } = ρA
(99)
(100)
(101)
(102)
2
Un altro aspetto molto importante della matrice densità ridotta è la sua evoluzione. Sappiamo che
ρAB evolve in maniera unitaria secondo l’equazione di Schrödinger
ρAB (t) = U (t)ρAB U † (t)
(103)
l’evoluzione di ρA si ottiene tracciando su B:
n
o
ρA (t) = trB U (t)ρAB U † (t) ,
(104)
questo significa che, tranne in alcuni casi, non è più possibile scrivere
ρA (t) = Ũ (t)ρA Ũ † (t)
(105)
ossia, l’evoluzione non è unitaria. Questo fatto implica che uno stato puro può evolvere in uno stato
mescolato e viceversa, cosa assolutamente impossibile in un’evoluzione unitaria. Come si vedrà, questo
meccanismo è alla base del fenomeno chiamato decoerenza.
18
Esempio 6.1 (Sistemi separabili) Consideriamo due sistemi separabili, ossia tali che lo stato complessivo sia il prodotto tensoriale di stati del singolo sottosistema
ρAB = σA ⊗ σB
(106)
in questo caso le matrici densità ridotte sono semplicemente
ρA = σA
ρB = σB .
(107)
H = HA + HB
(108)
Inoltre, se i due sistemi non interagiscono
l’evoluzione delle due matrici densità ridotte è unitaria e lo stato rimane separabile
ρA (t) = e−iHA t ρA (0)eiHA t
(109)
ρB (t) = e−iHB t ρB (0)eiHB t
(110)
ρAB (t) = ρA (t) ⊗ ρB (t).
(111)
Esempio 6.2 (Stato entangled) Consideriamo due sistemi a due livelli, descrivibili con il formalismo di spin 1/2. Supponiamo di avere uno stato iniziale puro
1
|ψAB i = √ [|0A 0B i + |1A 1B i]
2
(112)
questo è un esempio di stato entangled, uno stato, cioè, che non può essere espresso come prodotto
tensoriale di stati appartenenti ai differenti spazi di Hilbert. La matrice densità di AB è
ρAB = |ψAB ihψAB |
(113)
mentre le matricei densità ridotte sono
ρA =
ρB =
1
(|0A ih0A | + |1A ih1A |)
2
1
(|0B ih0B | + |1B ih1B |) .
2
(114)
Quindi, mentre lo stato complessivo è puro, gli stati relativi ai due sottosistemi sono mescolati (in
questo caso massimamente). In altri termini, mentre sul sistema complessivo abbiamo il massimo
19
della conoscenza possibile, restringendoci ad un solo sottosistema perdiamo informazione. Questo fatto
appare evidente calcolando l’entropia di von Neumann che per il sistema composito è
SAB = − tr {ρAB log2 ρAB } = 0
(115)
SA = SB = − tr {ρA log2 ρA } = 1.
(116)
mentre per i due sottosistemi
Esercizio 6.1 Consideriamo il sistema di due particelle di spin 1/2 descritte dalla matrice densità
ρAB =
1 1
+ |Ψ− ihΨ− |
8 2
(117)
dove 1 denota la matrice 4 × 4 identità e
1
|Ψ− i = √ (| ↑i| ↓i − | ↓i| ↑i) .
2
(118)
1. Scrivere le matrici densità ridotte dei due spin
2. Supponiamo di voler misurare il primo spin lungo un asse n e il secondo lungo l’asse m tale che n·
m = cos θ. Qual è la probabilità che entrambi gli spin abbiano direzione “up” contemporaneamente
lungo la rispettiva direzione di misura?
3. Qual’è la matrice densità dopo la misura?
Esercizio 6.2 Supponiamo di voler effettuare un teletrasporto di uno stato
(119)
|φi = a|0i + b|1i
utilizzando uno stato massimamente entangled, ad esempio lo stato di Bell
1
|ΨA,B i = √ (|0A i|0B i + |1A i|1B i) .
2
(120)
Quale sarà la matrice densità di Bob prima della comunicazione classica?
7
Decomposizione di Schmidt
Prendiamo in considerazione un sistema bipartito (AB) con dimensioni dei sottospazi dA ≤ dB .
Scegliamo due basi {|αn i} e {|βk i} rispettivamente per A e B. Il generico stato di AB è
|ψi =
dA X
dB
X
n=1 k=1
cn,k |αn i|βk i =
dA
X
n=1
|φ˜n i|αn i
(121)
20
con |φ˜n i stati di B definiti come
|φ˜n i =
X
k
cn,k |βk i
(122)
e, in generale, non necessariamente ortonormali. Consideriamo la matrice densità ridotta relativa allo
stato di dimensione inferiore
ρA = trB {|ψihψ|}
(123)
e supponiamo di aver scelto la base {|αn i} tale che diagonalizzi ρA
ρA =
X
n
pn |αn ihαn | =
X
hφ˜m |φ˜n i|αn ihαm |
(124)
n,m
questa ipotesi implica che hφ˜m |φ˜n i = pn δn,m ossia gli stati
|φ˜n i
|φn i = √
pn
(125)
sono ortonormali. Questo procedimento ci permette di arrivare ad una decomposizione dello stato in
termini di prodotti di vettori ortonormali appartenenti ai due sottospazi distinti
|ψi =
(λn =
√
X
n
λn |φn iB |αn iA
(126)
pn ), nella somma, così ottenuta, appare un solo indice. Alcune osservazioni:
• La decomposizione di Schmidt è unica (a parte fattori di fase globali) nel caso in cui le λn 6= 0
sono anche non degeneri. In caso contrario posso scegliere diverse decomposizioni.
• Mentre la decompsizione di Schmidt è sempre possibile in un sistema bipartito, in generale non
lo è per sistemi multipartiti.
• Utilizzando (126), si ricavano immediatamente le matrici densità ridotte dei due sottosistemi
ρA =
X
n
ρB =
X
n
λ2n |αn ihαn |
λ2n |φn ihφn |
(127)
ossia, ρA e ρB hanno gli stessi autovalori.
• Si può introdurre una grandezza detta Schmidt number, indicata con m e definita come il numero
di λn non nulli. Questa grandezza è legata all’entanglement fra i due sistemi ed in particolare:
1. Per stati separati m = 1
21
2. Per stati entangled m > 1
3. Per stati massimamente entangled m = dA com λn =
√1
dA
Esempio 7.1 Consideriamo lo stato
|ψi =
con a0,↑ = a1,↑ = −a2,↑ =
√1 ,
6
a0,↓ = a1,↓ =
2 X
X
n=0 j=↑,↓
√1
12
ρA =
an,j |ni|ji
e a2,↓ =

√1 .
3
1 0
(128)
La matrice densità del sistema A è

1

2
0 1
(129)
quindi ρA è diagonle nella base {| ↑i, | ↓i}. Ne deriva che
|φ̃↑ i =
|φ̃↓ i =
1
√ [|0i + |1i − |2i]
6
1
√ [|0i + |1i + 2|2i]
12
(130)
quindi la decomposizione di Schmidt dello stato iniziale è
1 h
|ψi = √ |φ̃↑ i| ↑i+ φ̃↓ i| ↓i]
2
Esercizio 7.1 Per gli stati a due qubit:
"
!
!#
√
√
1
1
1
3
3
|ψi = √ |0A i
|0B i +
|1B i + |1A i
|1B i +
|0B i
2
2
2
2
2
1
|ψi = √ [|0A i|0B i + |1A i|1B i]
2
1
[|0A i|0B i + |0A i|1B i + |1A i|0B i + |1A i|1B i]
|ψi =
2
1
|ψi = √ [|0A i|0B i + |0A i|1B i + |1A i|1B i]
3
(131)
(132)
1. Calcolare ρA e ρB
2. Trovare la decomposizione di Schmidt
Esercizio 7.2 Dimostrare che, in un sistema bipartito, una trasformazione locale non varia l’entanglement. Utilizzare la nozione di entropia per quantificare l’entanglement e sfruttare la decomposizione
di Schmidt dello stato.
22
8
Purificazioni
Consideriamo un sistema A in uno stato mescolato nella decomposizione ortonormale
ρA =
X
n
pn |nihn|,
(133)
possiamo introdurre un secondo sistema R (eventualmente fittizio), con stessa dimensione di A in modo
tale che lo stato complessivo dei due abbia come decomposizione di Schmidt
|ψAB i =
X√
n
pn |niA |niR
(134)
a tale stato puro corrisponde una matrice densità ridotta di A pari proprio a (133), questo stato è
detto purificazione di ρA . Va notato che, data una matrice densità, la sua purificazione non è unica.
23
Riferimenti bibliografici
[1] G. Benenti, G. Casati, and G. Strini, Principles of Quantum Computation and Information Vol. 1,
vol. one: Basics concepts (Word Scientific, 2004).
[2] G. Benenti, G. Casati, and G. Strini, Principles of Quantum Computation and Information Vol.2,
vol. two: Basics tools and special topics (Word Scientific, 2007).
[3] M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information (Cambridge
University Press, Cambridge, 2000).
[4] W. H. Louisell, Quantum Statistical Properties of Radiation (Wiley-Interscience, 1990).