Concetto di funzione
Funzione y = ax² + bx + c
Equazione ax² + bx + c = 0
Disequazioni 2° grado
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Dati due insiemi A e B, si dice funzione ( f : A B)
una relazione di natura qualsiasi tale che ad ogni
elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B
Esempi
1 2
3 5
4
A
ore
Temp
7
-5
8
-5
B
37
4 5
9
-4
10
-3
11
-2
12
0
13
1
14
2
15
4
Continua
Sommario
Quando i due insiemi A e B sono insiemi di numeri allora si parla
di funzioni numeriche. Spesso in questi casi la relazione è
esprimibile con espressioni algebriche.
Esempio :
la funzione f definita nell' insieme dei numeri reali
x  3x - 2
Indicata normalment e come y  3x - 2
cioè si associa ad ogni valore di x un valore di y.
f :R  R
( Es. : Se x  1  y  1 ; x  2  y  4)
In questi casi la variabile x viene detta variabile
indipenden te ed y viene detta variabile dipendente .
Si può farne il grafico sul piano cartesiano :
Sommario
Funzione y = ax² + bx + c
Disegniamo una parabola generica :
Asse simmetria
E una retta rispetto alla
quale la figura è simmetrica,
detta asse di simmetria.
Vertice
Se b = 0 e c = 0
Possiamo notare un punto
significativo detto vertice
la funzione diventa : y = ax²
Vediamo come si presenta il grafico assegnando ad a valori diversi (Clicca qui)
Se b è diverso da 0 e c = 0 la funzione diventa : y = ax² + bx
Vediamo come agisce b sul grafico(Clicca qui)
Poniamo b e c diversi da 0 la funzione diventa : y=ax² + bx + c
Vediamo come agisce c sul grafico.(Clicca qui)
Sommario
y = ax²
a=1/4
a=1/2
a=1
a=2
a=4
a=8
a= -1/4
a= -1/2
a= -1
a= -2
a= -4
a= -8
Funzione y=…..
Sommario
Se a>0 la concavità è rivolta verso l’ alto, se a < 0 la concavità è verso il basso.
Tanto più piccolo è a tanto più la concavità è ampia
y = x² + bx
Facciamo variare b osservando grafico e vertice
b= - 4 ;V(2,-4)
b=-3;V(3/2,-9/4)
b= - 2;V(1,-2)
b=-1;V(1/2,-1/4)
b= 0;V(0,0)
b= 1;V(-1/2,-1/4)
b= 2;V(1,-2)
Vertice
Vertice
Vertice
b= 3;V(-3/2,-9/4)
Vertice
Vertice
Vertice
Vertice
Dato che abbiamo posto a = 1
al variare di b possiamo dire che la coordinata x
del Vertice si può calcolare V(- b/2a, …..)
Funzione y = … Sommario
y= x² - 2x + c
c=-3
c=-2
c=-1
c=0
c=1
c=2
C
Il parametro c mi dà l’ ordinata del punto di incontro della
parabola con l’asse y.
Se c non compare la parabola passa per l’origine.
Funzione y=….
Sommario
Prendiamo il sistema :
2
 y  x  2x  3

y  0
Una parabola e l' asse x
Risolviamolo graficamente
A
B
Punti di incontro :
A( -1, 0) B( 3, 0)
Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x²
- 2x –3 =0
Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’ incognita)
e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso è soddisfatta
con x= - 1, ed x=3 che sono proprio le ascisse dei punti di incontro della
parabola con l’ asse x.
Continua
Sommario
Consideriamo ora il sistema :
y  x  2x  2

y  0
Ancora una parabola e l' asse x
2
Risolviamolo graficamente
La parabola e l’asse x non hanno
punti in comune.
Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x²
- 2x + 2 =0
Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’ incognita)
e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso non è
soddisfatta da alcun valore di x. L’ equazione è impossibile.
Continua
Sommario
Consideriamo infine il sistema :
y  x  2x  1

y  0
Ancora una parabola e l' asse x
2
Risolviamolo graficamente
La parabola e l’ asse x si
toccano e quindi hanno
un punto in comune.
A( 1, 0)
Algebricamente col metodo di sostituzione otteniamo l’equazione : x²
- 2x + 1 =0
Tale equazione è di secondo grado (Esponente massimo con cui compare l’ incognita)
e quindi ci si possono aspettare al massimo due soluzioni. Nel nostro caso è
soddisfatta da un solo valore di x. L’ equazione ha una soluzione x=1
Continua
Sommario
Ma per risolvere un’equazione del tipo
questi disegnini ?
ax² + bx + c = 0
dobbiamo far tutti
Noooo !!!!
C’è una formula un po’ complicata :
x
1, 2

b
b  4ac
2a
2
Dove a, b, c sono i coefficienti che compaiono nell’equazione.
Come facciamo a sapere se l’equazione ha 2, 1, o nessuna soluzione ?
Nella formula c’è l’espressione b²- 4ac sotto radice quadrata, questa espressione
viene detta discriminante ed indicata con D (delta).
Se D  b²- 4ac>0 posso estrarre la radice ed avrò due soluzioni. (La parabola taglia
l’asse x)
Se D  b²- 4ac=0 posso estrarre la radice ed avrò una soluzione. (La parabola
tocca l’asse x)
Se D  b²- 4ac<0 non posso estrarre la radice (indice 2, radicando negativo) e non
avrò alcuna soluzione. (La parabola non tocca, né taglia l’asse x)
Esempi
Sommario
2x2  3x  1  0
( 3)  4  2  1
3

22
31
4
31
2
x1 

1
x2 


4
4
4
4
2x2  3x  2  0
x 
 ( 3) 
2
98
4
1
2
 ( 3) 
( 3) 2  4  2  ( 2)
3  9  16
x

22
4
35
8
35
2
1
x1 
 2
x2 


4
4
4
4
2
2x  4x  2  0
2
x
x
 ( 4) 
( 4) 2  4  2  2
4

22
16  16
40

4
4
4
1
4
D>0
2 Soluzioni
Grafico
D>0
2 Soluzioni
Grafico
D0
1 Soluzione
Grafico
D<0
 ( 3)  ( 3)  4  2  2 4  9  16 4   7 Nessuna Soluzione
x


2x2  3x  2  0
2
22
4
4
Non si può estarre la radice.Equ azione impossibil e.
Grafico
Sommario
Introduzione
Disequazioni 1° grado
Disequazioni 2° grado
Sommario
Definizione
Una disequazione è disuguaglianza tra due espressioni algebriche
con una quantità incognita.
Risolvere una disequazione significa trovare i valori o gli intervalli di valori, che
sostituiti all’incognita, verificano la disuguaglianza.
A differenza delle equazioni, quindi, le soluzioni di una disequazione sono intervalli di
numeri o, se si sta lavorando a livello grafico, intervalli di punti.
Tali intervalli possono essere :
Limitati, Illimitati
Aperti, Chiusi
a seconda che un estremo o tutti e due siano + o - infinito
a seconda che comprendano o no gli estremi
Come per le equazioni si parla di grado.
Il grado di una disequazione è l’esponente maggiore con cui compare l’incognita.
Disequazioni
Sommario
Disequazioni 1º grado
Si presentano sotto questa forma :
ax  b > 0
ax  b  0
ax  b < 0
Risoluzione con metodo grafico
ax  b  0
Risolviamo la prima :
ax  b
b
>
x>
a
a
a
analogamen te si risolvono le altre.
ax > -b
Esempi :
2x 3
3
>
x>
2 2
2
Intervallo limitato e aperto a sinistra, illimitato a destra
a)
2x  3 > 0
2x > 3
Grafico
2x  3
3
<
x<
2
2
2
Intervallo illimitato a sinistra, aperto e limitato a destra
b)
2x  3 < 0
2x < 3
Grafico
2x  4

x  2
2
2
Intervallo limitato e chiuso a sinistra, illimitato a destra
c)
2x  4  0
2x  4
Grafico
Disequazioni
Sommario
Disequazioni 2º grado
ax  bx  c > 0
2
ax  bx  c  0
ax  bx  c < 0
2
Si presentano sotto questa forma :
2
ax  bx  c  0
2
L’ espressione ax² + bx + c l’abbiamo già incontrata .
y = ax² + bx + c è una parabola
ax² + bx + c = 0 è un’equazione di 2° grado
Per risolvere una disequazione di 2° grado prenderemo in
considerazione sia l’ equazione che la parabola associate.
Ricordiamo solo che la parabola può avere la concavità rivolta verso
l’alto o verso il basso a seconda che il coefficiente a sia positivo o
negativo.
Ricordiamo inoltre che una equazione di 2° grado può avere nessuna,
1 o 2 soluzioni a seconda del valore del discriminante.
Continua
Sommario
In qualsiasi forma si presenti una disequazione di 2° grado si
procede sempre nello stesso modo :
1) Si risolve l’equazione associata
2) Si fa un grafico approssimativo della parabola associata
3) Dal grafico si leggono le soluzioni della disequazione
Considerando l’ espressione ax² + bx + c distinguiamo due situazioni : la prima
con a > 0 , la seconda con a < 0 .
Supposto a > 0 vediamo cosa succede quando l’equazione ax² + bx + c = 0 ha:
Due soluzioni
Una soluzione
Nessuna soluzione
Supposto a <0 vediamo cosa succede quando l’equazione ax² + bx + c = 0 ha:
Due soluzioni
Una soluzione
Nessuna soluzione
Disequazioni
Sommario
Ipotesi : a>0 ; due soluzioni (discriminante >0)
Soluzioni per
ax² + bx + c > 0
Ne consegue che :
• la parabola è rivolta verso l’alto
• taglia l’asse x in due punti
ax² + bx + c > =0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c <= 0
Scelta
Sommario
Ipotesi : a>0 ; una soluzione (discriminante =0)
Soluzioni per
ax² + bx + c > 0
Ne consegue che :
• la parabola è rivolta verso l’alto
• tocca l’asse x in un punto
ax² + bx + c > =0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c <= 0
Scelta
Sommario
Ipotesi : a>0 ; nessuna soluzione (discriminante <0)
Soluzioni per
ax² + bx + c > 0
Ne consegue che :
• la parabola è rivolta verso l’alto
• E’ tutta nel semipiano positivo delle y
ax² + bx + c > =0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c <= 0
Scelta
Sommario
Ipotesi : a<0 ; due soluzioni (discriminante >0)
Soluzioni per
Ne consegue che :
ax² + bx + c > 0
x1 < x < x 2
• la parabola è rivolta verso il basso
• taglia l’asse x in due punti
Un solo intervallo limitato
e aperto da ambo i lati
ax² + bx + c >= 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c < =0
Scelta
Sommario
Ipotesi : a>0 ; una soluzione (discriminante =0)
Soluzioni per
ax² + bx + c > 0
Ne consegue che :
• la parabola è rivolta verso il basso
• tocca l’asse x in un punto
ax² + bx + c <= 0
ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c < =0
Scelta
Sommario
Ipotesi : a>0 ; nessuna soluzione (discriminante <0)
Soluzioni per
Ne consegue che :
ax² + bx + c > 0
• la parabola è rivolta verso il basso
• E’ tutta nel semipiano positivo delle y
ax² + bx + c <= 0
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c < =0
Scelta
Sommario