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STORIA DELL’ ARTE
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MATEMATICA
• Il nastro di Moebius
• Come costruire un nastro di
Moebius
• Alcune proprietà
• Maurits Escher
• Limiti di funzione
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La proprietà caratteristica del Nastro di Moebius è
che ha una sola faccia e un solo bordo (al
contrario delle superfici che vediamo di solito,
che hanno due "facce" o due "pagine").
Per chiarire meglio questa affermazione
consideriamo un cilindro: se immaginiamo di
camminare sulla faccia esterna del cilindro non
possiamo sperare di arrivare sulla faccia interna
senza attraversarne il bordo superiore e così,
viceversa, se ci troviamo sulla superficie interna;
inoltre, se camminiamo sul bordo superiore, non
possiamo mai arrivare sul bordo inferiore senza
attraversare la superficie del cilindro.
Questo può invece accadere sul nastro di
Moebius: camminando sulla parte interna si
arriva su quella esterna senza dover mai
attraversare l'unico bordo del nastro.
Una seconda proprietà consiste nel fatto che,
tagliando questa superficie a metà lungo una
linea equidistante dai bordi, anziché ottenere due
oggetti distinti, come si potrebbe pensare, si
ottiene un solo nastro, anche se più lungo.
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Nel 1858 il matematico ed astronomo
tedesco August Ferdinand Moebius (17901860) descrisse per la prima volta una
nuova superficie dello spazio
tridimensionale, superficie che oggi è nota
con il nome di Nastro di Moebius.
Questa superficie ha interessanti
proprietà.
Una consiste nel fatto che se la si
percorre lungo l'asse più lungo con un
dito, ci si accorge che la si percorre tutta
ritornando esattamente al punto di
partenza, senza dover attraversare il
bordo della striscia; il nastro di Moebius
ha, cioè, una sola faccia, non due, una
esterna ed una interna come per esempio
nel caso di una superficie cilindrica.
Una formica che si trovi su una faccia del
rettangolo non potrà mai raggiungere del
cibo sull'altra faccia, se c’è dell'insetticida
lungo tutto il bordo.
La sua superficie risulta essere
infinitamente percorribile: la formica può
raggiungere il cibo in qualunque posto del
nastro si trovi.
• Dato un rettangolo
• si ruota di mezzo giro una
delle due estremità (ad
esempio il lato indicato con A)
• infine si incollano insieme le
due estremità.
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Maurits Cornelis Escher
(17 giugno 1898 - 27 marzo
1972) fu un artista e pittore
olandese.
Esempi famosi del suo lavoro
includono le Mani che
disegnano (1948), un'opera
che raffigura due mani che si
disegnano l'un l'altra, Salita e
discesa (1960), nel quale file di
persone salgono o scendono
una scala chiusa in un ciclo
infinito, su una costruzione
che è impossibile da costruire,
ma che è possibile disegnare
solo avvalendosi di stranezze
della percezione e della
prospettiva.
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Nella produzione di Escher gli anni che vanno
dal 1956 al 1970 individuano quello che
possiamo definire: Periodo dell'Infinito.
L'opera migliore di questo periodo è Limite del
cerchio III (1959), che sembra sia il frutto
dell'ammirazione dell'artista per una
illustrazione di un libro di H.S.M. Coxeter.
Quest'immagine è una rappresentazione di
uno spazio iperbolico il cui modello è dovuto
al matematico francese Poincarè.
Diamo un'idea dello spazio che Escher ha
voluto rappresentare.
Poniamoci al centro del disegno e
supponiamo di voler camminare fino al bordo
di esso.
Mentre camminiamo ci restringiamo sempre di
più, proprio come accade ai pesci della figura.
Per raggiungere il bordo quindi dovremmo
percorrere una distanza che ci sembrerà
infinita, ma essendo immersi in questo spazio
non ci parrà subito ovvio che ci sia
qualcosa di inusuale.
Anche l'ultima opera della sua vita, Serpenti
(1969), è uno studio sull'infinito.
In questo caso lo spazio si scontra con
l'infinito non solo nella direzione del bordo ma
anche verso il centro del cerchio, producendo
un restringimento in entrambi i sensi.
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Ma la stampa più ingegnosa può
essere considerata: Esposizione di
Stampe (1956). Giudicando
quest’opera secondo i canoni
tradizionali dell'estetica, si potrebbero
trovare una quantità enorme di difetti.
Ma quello che è valido in tutta l'opera
di Escher qui è esaltato all'ennesima
potenza. Egli ha raggiunto in
quest’opera il limite della sua
perspicacia e della possibilità di
espressione.
In questa immagine una persona si
trova all'interno di una galleria d'arte e
sta osservando una stampa
raffigurante una città marittima che,
lungo i portici, ospita un negozio.
Quel negozio è una galleria d'arte al
cui interno si trova una persona che
sta osservando una stampa
raffigurante una città marittima...
Escher è tornato in qualche modo sul
suo soggetto; la persona è sia
nell'immagine che al di fuori di essa.
Questo effetto è stato ottenuto grazie
ad una griglia che l'artista creò in
preparazione a quest'opera.
LIMITI DI FUNZIONE
Per limiti di funzione y= f (x), per x tendente ad un
certo valore
che indichiamo con x ∞
Si intende il valore che la funzione tende a
raggiungere quando alla variabile indipendente
x si attribuiscono valori
che si avvicinano sempre di più a x ∞