Corso di Laurea in
Statistica Matematica e Trattamento Informatico dei Dati
Anno Accademico 2003-2004
Prova Finale
“Analisi delle serie storiche e applicazioni”
Relatori:
Dott. Fabio Rapallo
Prof. Mauro Gasparini
Correlatore:
Dott. Emanuela Sasso
Candidato: Daniele Rampoldi
Prova Finale
Processi Stocastici e Serie Storiche
Per Serie Storica o Serie Temporale intendiamo una
successione di osservazioni ordinate logicamente secondo
una variabile t, che solitamente rappresenta il tempo.
Un Processo Stocastico
Xt
è una famiglia di variabili
casuali descritte da un parametro t appartenente ad un
insieme T .
Prova Finale
Processi Stocastici e Serie Storiche
Una Serie Storica è una parte finita di una singola realizzazione del
processo.
Dato un processo
X t , esistono infinite possibili realizzazioni, tra le quali noi
osserviamo unicamente la successione dei risultati campionari
chiamata realizzazione o traiettoria del processo.
x1,..., xN  ,
Prova Finale
Correlazione e indipendenza
Una prima distinzione tra i differenti processi stocastici riguarda
l’indipendenza o meno delle variabili casuali che lo compongono.
La quasi totalità dei processi normalmente considerati è a componenti
correlate, quindi non indipendenti.
Una importante eccezione è il processo definito “White Noise” di valor
medio nullo e varianza costante  a2 , che indicheremo:

At ~ WN 0,
2
a

Prova Finale
Stazionarietà e Autocovarianza
Un’altra distinzione può essere fatta considerando il comportamento
della famiglia di variabili casuali rispetto alla variabile temporale.
Un processo
Xt
è stazionario in senso stretto se la distribuzione


multivariata delle variabili casuali X t ,..., X t non è funzione di t1 ,..., tk  ,
1
k
per ogni k  1 .
È stazionario in senso debole se valgono le seguenti condizioni:
(1)
E  X t    , t
(3)
(2)
E  X t      2  , t
2
E  X t    X s       s  t ,  t , s
Prova Finale
La funzione di autocorrelazione
L’autocovarianza, come covarianza fra
X t e X t k misura il segno e la
forza del legame lineare esistente fra X t e X t k al variare di k .
In analogia con il coefficiente di correlazione si introduce quindi la
funzione di autocorrelazione, definita come il coefficiente di correlazione
lineare fra le variabili casuali
X t e X t k
, al variare di k .
Cov X t , X t k 
 X t    X t k   

, per k  0,1,2,...


Var  X t Var  X t k 

   
 k   E 
Prova Finale
Prova Finale
Processi invertibili e periodici
X t è invertibile se esiste una funzione lineare
h  e un processo WN At tale che, per ogni t, si possa scrivere:
Un processo stocastico
X t  h X t 1 , X t 2 ,...  At
L’invertibilità è quindi la possibilità di esprimere un processo tramite le
variabili casuali del “passato”.
Prova Finale
Il Teorema di Wold
Ogni processo stocastico stazionario X t di valor medio

può essere decomposto
in due differenti processi stocastici, stazionari e fra loro mutuamente incorrelati,
e Vt ,
detti, rispettivamente, componente non deterministica
deterministica
Zt
Z t  e componente
Vt , le quali hanno le seguenti rappresentazioni:
Vt      j cos j t    j sin  j t 

j 1
Z t  At   1 At 1   2 At 2  ... , con  2j  ,
dove

At ~ WN 0, a2
 
 
 , mentre  ,   sono successioni di variabili casuali tali
j

j

 
che E  j  E  j  0; Cov  j ,  j  0, per ogni i, j , e  j è una successione
di numeri reali tali che
0   j   , per ogni j
.
Prova Finale
Modelli ARMA – Processo MA
Il Teorema di Wold introduce il modello lineare
Z t . Per la condizione
posta sui j , possiamo considerarli trascurabili da un certo punto in poi.
Poniamo quindi:
  j , per j  1,..., q
j 
0, per j  q  1, q  2,...
e consideriamo quindi il processo stocastico Media Mobile di ordine q,
denotato Z t
~ MAq  , e definito da:
Z t  At  1 At 1  ...   q At q
Un processo MAq  è sempre stazionario.
Prova Finale
Modelli ARMA
Se è noto Z t si possono calcolare univocamente le autocovarianze.
In generale non è vero il contrario.
Se consideriamo i processi MAq  invertibili, esiste però corrispondenza
biunivoca fra parametri del modello e funzione di autocovarianza.
Prova Finale
Modelli ARMA – Processo AR
Un processo Z t
~ MAq  ,se invertibile, si può scrivere come:
Z t  1Z t 1  ...   p Z t  p  At
Tale
struttura
viene
chiamata
Auto
Regressiva
(ovvero
su
se
Z t 1 ,..., Z t  p ).
stessa
ad
un
perchè
Z
al tempo t
tempo
precedente
paragonabile ad una regressione della variabile
(ovvero Z t )
(AR)
Prova Finale
Modelli ARMA
I modelli AR rispondono al tentativo di spiegare il presente in funzione
del passato, fino ad una certa “distanza” p.
I modelli MA rispondono al tentativo di spiegare il presente come la
risultante di una successione di impulsi casuali, statisticamente riassunti
nel WN
At
.
Prova Finale
Modelli ARMA
Consideriamo quindi il processo stocastico Auto Regressivo di ordine p
e Media Mobile q, indicato con
Zt ~ ARMA p, q 
e definito dalla
relazione:
Z t  1Z t 1  ...   p Z t  p  At  1 At 1  ...   q At q .
Prova Finale
Modelli ARIMA
L’introduzione dei modelli ARMA, stazionari ed invertibili, ci permette di
individuare
il
processo
a
partire
dalla
serie
secondo
criteri
statisticamente efficienti.
I modelli ARIMA nascono dal tentativo di generalizzare i risultati ottenuti
sui modelli ARMA.
Box e Jenkins proposero una procedura iterativa per la costruzione di un
modello ARIMA.
Prova Finale
Procedura iterativa di Box e Jenkins
Analisi
Preliminari
Passo di data
Proc Gplot
Identificazione
del modello
ARIMA
Proc Arima
Statement Identify
Stima dei
parametri
Verifica del
modello
stimato
Proc Arima
Statement Estimate
Proc Arima
Statement Forecast
Utilizzazione
del modello
Rifiuto
Accettazione
Prova Finale
Produzione mensile di elettricità in Australia
Prova Finale
Produzione mensile di elettricità in Australia
Con trasformazione log  ARMA(0,1) stagionale
Prova Finale
Produzione mensile di elettricità in Australia
Prova Finale
Produzione mensile di elettricità in Australia
Prova Finale
Prezzo del petrolio al barile
Spot Oil Price: West Texas Intermediate
Prova Finale
Prezzo del petrolio al barile
Con trasformazione log  ARMA(0,1)
Prova Finale
Prezzo del petrolio al barile